2013版高考数学 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值课件 苏教版必修1

数的最大值与最小值.
观察下列两个函数的图象： M
y
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最
高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定
义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)≤M
例3
已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b ．当
x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值．
【证明】 因为当x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数， 所以对于任意x∈[a ，c] ，都有f(x)≤f(c).又因为当
要赢得好的声誉需要20年，而要毁掉它，
5分钟就够。如果明白了这一点，你做起
事来就会不同了。
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 一般地，设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使 得对于任意的x∈A ，都有f(x) ≥ f(x0) ,那么称f(x0)为
y=f(x)的最小值，记为 ymin= f(x0).
提升总结： 1.函数最大（小）值的几何意义：函数图象最高（低） 点的纵坐标. 2.讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优先的原则； 函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小） 值，最高（低）点必须是函数图象上的点.
第2课时 函数的最大值、最小值
1. 引导学生通过观察、归纳、抽象概括，自主构建函数
最值等概念.（重点）
2. 会求简单函数的最大值与最小值.(重点、难点）
3. 让学生领会数形结合的数学思想方法、培养学生发现 问题、分析问题、解决问题的能力．
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历 了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数 的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函
3.如果在函数y=f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域 内任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则应有 f(x)的最大值是f(x2)，最小值是f(x1).
思考1 怎样求一次函数y=kx+b（k≠0)在区间[a,b]上的最大 值与最小值？
【解答】k 0时, y =f x kx b为增函数，ymin f a , y max f b . k 0时，y =f x kx b为减函数，ymin f b , ymax f a .
2 由1 知函数f x 在1, 4 上是增函数，
2 4 1 9 则最大值为f 4 , 4 1 5 2 1 1 3 最小值为f 1 . 11 2
先有单调性， 后有最值！
4.求函数f(x)=kx+2,(k≠0)在区间[0,2]上的最大值和最小值。 【提示】根据k＞0, k＜0时函数的单调性进行解答. 【答案】 k＞0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2； k＜0时，函数的最小值是2k+2 ，最大值是2 .
x=1，在[0,1]上是单调增函数，在（1,10]上是单调减
函数，所以当x=1时，取得最大值1，当x=10时，取得最
小值-80.
1. （2012 郑州高一检测）函数f x 的图象如图所示，则f x 的 定义域为 ____ ，值域为 _____ .
【解析】由图象可以观察出， 函数的定义域为 -5,5 , 函数的值域为 -2,3. 【答案】 -5,5
最高点的纵坐标即是 函数的最大值！
函数最大值的定义： 一般地，设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,
使得对于任意的x∈A ，都有
f(x)≤f(x0) ,
那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，
记为
ymax=f(x0).
观察下列两个函数的图象： y y
m
m x0 图1 x x0
o
o
图2
x
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点 的纵坐标叫什么名称？ 函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值, 即函数的最小值.
x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，所以对于任意x∈[c，
b] ，都有f(x)≤f(c).因此对于任意x∈[a，b],都有
f(x)≤f(c) ，即f(x)在x=c时取得最大值．
求函数f(x)=-x2+2x在[0,10]上的最大值和最小值.
解:函数f(x)=-x2+2x是开口向下的二次函数，对称轴是
2
-2,3
2．某商店按每件80元的价格，购进商品（卖不出去 的商品将成为废品）1000件，市场调研推知：当每件售价 为100元时，恰好全部售完；在此基础上当售价每提高1元 时，销售量就减少5件,则当售价为________元时获得最大 利润，最大利润为_________元.
【解析】设售价比 100元高x元，总利润为y元，则有 y 100 x 1000 - 5 x - 80 1000 -5 x 2 500 x 20000 -5 x - 50 32500, 显然，当x 50即售价定为150元
思考2 怎样求反比例函数f x 与最小值？
k k 0 在区间 a, b 上的最大值 x
【解析】根据k的正负，画出反比例函数的图象，在图象上找出
a, b 上那一段，借助图象得出函数的最大值与最小值.
思考3 怎样求二次函数f x ax2 bx c在区间 a, b 上的最值？
= 1，所以函数的最小值为 1 ，即ymin= 1 . 时1 x 3 3 3
x 3
定义域为 -3， - 2的函数y _____ .
2 - 3x的最大值为 _____ ，最小值为 x
2 【解析】y - 3 x在 -, 0 上为减函数， x 2 故ymin - 3 -2 5, 2 -2 " " 与"- 3 x " 均为减函数 x 2 25 ymax - 3 -3 . 它们的和仍为减函数. -3 3 25 【答案】 5 3
【解析】假设a 0, 则二次函数的图象开口向上，对称轴为 b x - , 根据区间与对称轴的位置关系可分为以下三种情况： 2a y y
y
o
a b
x
o
a
b
x
x
b 2a
b x 2a
o
a b b x 2a
x
①轴在区间右侧
②轴在区间内
③轴在区间左侧
分别对应以上三种情况，结合图象可求得最大值与最小 值，当a<0时，同法可得最值. 提升总结：1.求函数最值的方法： 图象 单调性
最值
2.求二次函数在某区间上最值的方法：
一看开口方向，二找对称轴，三定区间位置.
例1
下图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，指出它的最大
值、最小值及单调区间.
-1.5
7x
【解析】观察函数图象可以知道，图象5, -2 , 所以，当x 3时，函数y f x 取得最大值，即ymax 3;当x -1.5时，函数y f x 取得最 小值，即ymin -2.函数的单调增区间为 -1.5,3 , 5, 6；单调 减区间为 -4, -1.5 , 3,5 , 6, 7 .
“菊花”烟花是最壮观的烟 花之一。制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂,如果烟花距地 面的高度h m与时间t s之间的关
系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那
么烟花冲出后什么时候是它爆裂
的最佳时刻？这时距地面的高度
是多少? （精确到1m）
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图所示， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的 横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地
1、 掌握函数的最大（小）值的概念. 2、 求函数的最大（小）值的一般方法. （1）对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等
可以先画出其函数图象，根据函数的性质来求最大（小）
值. （2）对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出 其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单 调性求出函数的最大（小）值.
14.7 = 1.5 2? ( 4.9)
面的高度约为29m.
例2
求下列函数的最小值：
(1)y=x2-2x;
(2)y= 1 ,x∈[1,3]. x 解:(1) 因为y=x2-2x=(x-1)2 -1≥-1,且当x=1时y=-1，所 以函数取得最小值-1，即ymin=-1. (2) 因为对于任意实数 x∈[1,3]，都有 1 ³ 1 ,且当x=3
2
时，利润最大，其最大利润为32500元。 【答案】 150 32500.
2x 1 x 1 1 判断函数在区间[1, )上的单调性，并用定义证明你的 3.已知函数f x 结论；
2 判断函数在区间1, 4 上的最大值与最小值.
【解析】 1函数f x 在[1, )上是增函数，证明如下： 任取x1 , x2 [1, ), 且x1 x2 , f x1 - f x 2 x1 - x2 , x1 1 x2 1 x1 - x2 0, x1 1 x2 1 0, f x1 - f x2 0, 即f x1 f x2 , 函数f x 在[1, )上是增函数； 2 x 1 1 2 x2 1 x1 1 x2 1
面的高度。
30 25 20 15 10 5 0
h
1
2
3
4
t
由二次函数的知识知，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，我们有：当 t = 时，函数有最大值