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选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程第一节 坐 标 系本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；极坐标系.突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[基本知识]设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[基本能力]1．判断题(1)平面直角坐标系中点P (－2,3)在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y的作用下得到的点为P ′(－1,1)．( )(2)已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝－12y ，经φ变换得到点A ′(2,4)，则原来点的坐标为A (4，－2)．( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)直线l ：x －2y ＋3＝0经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y 变换后得到的直线l ′方程为________________．解析：设l ′上的任一点P (x ′，y ′)由题得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝12y ′，代入x －2y ＋3＝0得x ′－y ′＋3＝0，直线l ′的方程为x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝0(2)已知平面直角坐标系中点A (－2,4)经过φ变换后得A ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，2，则伸缩变换φ为________．解析：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－2λ，2＝4μ，解得⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12.∴φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .答案：φ：⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y[全析考法]平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．[解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(x ′，y ′)，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (x ′，y ′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．[全练题点]1．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .2．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4.3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36， 即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．突破点(二) 极坐标系[基本知识]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化[基本能力]1．判断题(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.( ) (2)tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线．( )(3)点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为⎝⎛⎫2，3π4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2.填空题(1)点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M (2,0)处的切线的极坐标方程为________． 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .由图象可知圆在点M (2,0)处的切线的直角坐标方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝2(3)在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________． 解析：法一：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23)． ∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝36＝6. 答案：6(4)圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一) (5)在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.答案：4 3[全析考法]1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．[解] (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，故圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)l ：y ＝2x 关于点M (0，m )对称的直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，于是，实数m 的最大值为5－2.[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．[全练题点]1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2.[考点二]在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2的距离的最大值．解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去ρ1，得曲线C 2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0,1)为圆心，以1为半径的圆(坐标原点除外)．圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.[课时达标检测]1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1. 3．(2018·扬州质检)求经过极点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2018·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点(2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝⎛⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解：(1)曲线C 的极坐标方程化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y 2＝8x .直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)点Q ⎝⎛⎭⎫2，3π2的直角坐标为(0，－2)． 因为直线l 过点P (2,0)和Q (0，－2)， 所以直线l 的倾斜角α＝π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎫2＋22t .整理，得t 2－82t－32＝0.Δ＝(－82)2＋4×32＝256>0.设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根， 则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.由极坐标与直角坐标互化公式得点G 的直角坐标为(－2,0)． 点G 到直线l 的距离为d ＝|PG |sin 45°＝4×22＝22， 所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.第二节 参数方程本节主要包括2个知识点： 1.参数方程； 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.突破点(一) 参数方程[基本知识]1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[基本能力]1．判断题(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形是直线．( )(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )答案：(1)√ (2)× 2．填空题(1)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－32(2)椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．∴|AB |min＝2×95＝185.答案：185(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．答案：y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)(4)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．解析：由椭圆的参数方程可知a ＝5，b ＝2.故c ＝52－22＝21，故椭圆的离心率e ＝ca ＝215. 答案：215[全析考法]1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0<x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3， ∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： (1)把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； (2)根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·石家庄质量检测)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．[解] (1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立，得⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|32cos θ－32sin θ－32 ＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 由此当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64()2－1.[方法技巧]求解直线与圆锥曲线参数方程问题的方法(1)解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[全练题点]1.[考点二](2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.[全析考法]参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] (2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到曲线C 2上点的距离的最小值．[解] (1)由曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α得曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42， 即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0. (2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P (2cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|2cos α＋sin α－8|2＝|3sin (α＋φ)－8|2，所以当sin(α＋φ)＝1时，d 取得最小值82－62.[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[全练题点]1．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 2．(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22t . (1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧， 如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)， 当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，由图可知，当2－2<t ≤1时，曲线C 2与直线C 1有两个公共点.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 4．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)． 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.[课时达标检测]1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.直线l ：y ＝x 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)．(2)圆心到直线的距离d ＝|－1＋2|2＝22，∴|MN |＝21－12＝2， ∴△CMN 的面积S ＝12×2×22＝12.。
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ，就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ，(θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ，(θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ，(θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2，(t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α，(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝2t1＋t2；(2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：y ＝t －a x ＝t ，(t 为参数)过椭圆C ：y ＝2sin φx ＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为9x2＋4y2＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：4x2＋9y2＝1，直线l ：y ＝2－2t x ＝2＋t ，(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如y ＝y0＋bt x ＝x0＋at ，(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为6π.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为y ＝sin θx ＝1＋cos θ，(θ为参数). 直线l 的参数方程为t 1(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(m －)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋或m ＝1－.高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝sin α3cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 4π＝2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.的距离d (α)的最小值.d (α)＝23cos α＋sin α－4|＝－2π，当且仅当α＝2k π＋6π(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为21.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程y ＝sin φx ＝1＋cos φ，(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM ：θ＝3π与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
