2016年杨浦区八年级第一学期期中数学试卷

一、选择题1. 如果√1−x 有意义，那么x 的取值范围是__________2. 化简√1916=__________3. 计算：√(1−√2)2+√2=__________4. 分母有理化：12+√3=__________5. 化简：√8a 2b (a >0)=__________6. 不等式√2x −3<√3x 的解集是__________7. 方程x 2=2x 的根是__________8. 已知x =−1是关于x 的方程2x 2+ax −a 2=0的一个根，则a =__________9. 在实数范围内因式分解：2x 2+3x −1=______________________10. 若关于x 的方程mx 2−x −2=0有两个实数根，则m 的取值范围是__________11. 一种型号的智能手机，原来每台售价5888元，经过两次降价之后，现在每台售价为5488元，如果两次降价的百分率均为x ，那么可列方程________________12. 把命题“等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是______________________13. 在△ABC 中，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，∠BDC =60°，则∠A 的度数是_________14. 如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点D 、E 分别在射线OA 、OB 上，从①∠OCD =∠OCE ②∠ODC =∠OEC ③DC =EC ④DE ⊥OC 中选取一个为已知条件，通过说理能得到OD =OE 。

这样的一个条件可以是__________（填写所有可能的序号）二、填空题 15. 下列各式中，与√8是同类二次根式的是（ ）A.√0.2B.√12C.√64D.√9816. 下列结论中，对于任何实数a 、b 都成立的是（ ）A.√ab =√a √bB.√b a =√b √aC.√a 2=aD.√a 4=a 217. 关于x 的方程(x −2)2=1−m 无实数根，那么m 满足的条件是（ ）O D E AC BA.m >2B.m <2C.m >1D.m <118. 下列命题中，真命题是（ ）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.有一条斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.三角形的外角大于它的任何一个内角D.等腰三角形既是轴对称图形，有是中心对称图形三、解答题19. 计算：√12−√32−√3−√2(√0.5+√6) 20. 若x =13−2√2，求x 2−6x+2x−3的值 21. 解方程：4x 2−2x −1=0（配方法）22. 解方程：3(x −2)2=x 2−2x23. 已知：如图，点C 、D 在AB 上，AC =BD ，AE ∥BF ，AE =BF ，求证：CE ∥DF四、解答题24. 已知关于x 的方程k 2x 2+1=2(k +1)x 有两个实数根，求k 的取值范围A BC D F E25. 芭蕾舞剧《吉赛尔》在城市剧院演出前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口，问围成的这个长方形的相邻两边的长分别是多少米？解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边为长；设这个长方形的宽为x 米，则长为__________米（完成填空后继续解题）26. 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D(1) 求证：AE=CD ；(2) 若AC=12cm ，求BD 的长五、综合题27. 在等边△ABC 中，点E 在线段AB 上，点D 在线段CB 的延长线上，且ED=EC(1)当点E 为线段AB 的中点时，如图2，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE_____DB （填“>”“<”“=”）(2)当点E 为线段AB 上一点时，如图3，确定线段AE 与DB 的大小关系AE_____DB （填入口 出口 A B C D E F“>”“<”“=”，并进行证明。

2016-2017学年上海市浦东新区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．设x是实数，下列各式一定有意义的是（）A．B．C．D．2．若与是同类二次根式，则m的最小正整数值是（）A．16 B．8 C．4 D．23．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x﹣=1 B．（x+1）（x﹣1）=x（x+2）C．x2=0 D．x3+x2+2=04．下列一元二次方程没有实数解的是（）A．x2﹣3x=0 B．x2=x﹣3 C．x2﹣3=0 D．（x﹣1）（x﹣2）=05．把方程2x2﹣3x+1=0变形为（x+a）2=b的形式，正确的变形是（）A．（x﹣）2=16 B．（x﹣）2=C．2（x﹣）2=D．2（x﹣）2=166．下列命题中是假命题的是（）A．同位角相等B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行C．两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等D．在三角形中，如果一边上的中线等于这一边的一半，那么这条边所对的角是直角二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．下列二次根式中①②③④中，最简二次根式是．8．化简：（x＞0）= ．9．﹣2的倒数是．10．写出2﹣n的一个有理化因式：．11．不等式x﹣1＜x的解集是．12．方程x2=2x的根为．13．若方程3x2﹣mx+2=0的一个根是﹣1，则m= ．14．在实数范围内因式分解：x2﹣x﹣1= ．15．某校2014年有800名学生，2016年学生数增长为1152人，若设连续两年平均增长的百分率相同，则这个增长率为．16．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．17．如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于点E，AC=3cm，AB=2cm，则△ADE的周长为cm．18．如图，已知AB与CD相交于点O，且AB=CD，当满足时，AD=BC．（只需填出一个条件）三、简答题（本大题共4题，第19题每题5分，第20题10分，21题6分，满分26分）19．计算：（1）（﹣2）﹣（﹣3）（2）8÷2•（a＞0）20．选择适当方法解下列方程：（1）（x+2）2﹣3=0（2）（2x﹣3）2=x2．21．已知：如图△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD和CE相交于O，且AD=CD．求证：BD=OD．四、解答题（本大题共4题，第22、23题每题7分，第24题4分，第25题8分，满分26分）22．已知关于x的方程x（mx﹣4）=（x+2）（x﹣2）．（1）若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的值．23．劳技课上某小组的同学们要用40厘米长的铝合金材料加工成长方形的框架．分别在下列条件下，求相邻两边的长．（1）面积为36平方厘米；（2）面积为100平方厘米；（3）面积为120平方厘米．24．阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），我们知道当△=b2﹣4ac≥0时，这个方程的两个实数根可以表示为：x1=，x2=，此时方程的两根之和为：x1+x2=+==﹣．两根之积为：x1•x2=•====．这就是一元二次方程的根与系数关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知x1，x2分别为一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的两根，则x1+x2=﹣=﹣=，x1•x2===﹣．回答下列问题：已知x1，x2分别是一元二次方程﹣x2=x﹣4的两根，则x1+x2= ； x1•x2= ； x12+x22= ；+= ．25．如图1，已知BD是∠ABC平分线，P是角平分线上任意一点．作图：以B为圆心，任意长为半径画弧，分别BA交于点E，交BC于点F，联结PE，PF，则△和△关于直线BD对称，（保留作图痕迹）用符号语言将这对全等的三角形表示为△≌△．利用这种方法解答：如图2，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD与CE相交于F．求证：FE=FD．2016-2017学年上海市浦东新区第四教育署八年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．设x是实数，下列各式一定有意义的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．【解答】解：当x≠0时，无意义，当x＜﹣1时，无意义；当x≤0时，无意义；一定有意义，故选：D．2．若与是同类二次根式，则m的最小正整数值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】同类二次根式．【分析】先求出=4，再根据同类二次根式的定义得出即可．【解答】解： =4，∵与是同类二次根式，∴m的最小正整数值是2，故选D．3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x﹣=1 B．（x+1）（x﹣1）=x（x+2）C．x2=0 D．x3+x2+2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件进行解答．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．4．下列一元二次方程没有实数解的是（）A．x2﹣3x=0 B．x2=x﹣3 C．x2﹣3=0 D．（x﹣1）（x﹣2）=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac，逐一找出四个选项方程根的判别式△的正负，由此即可得出结论．【解答】解：A、△=（﹣3）2﹣4×1×0=9＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；B、方程可变形为x2﹣x+3=0，△=（﹣1）2﹣4×1×3=﹣11＜0，∴该方程没有实数根；C、△=02﹣4×1×（﹣3）=12＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；D、方程可变形为x2﹣3x+2=0，△=（﹣3）2﹣4×1×2=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．5．把方程2x2﹣3x+1=0变形为（x+a）2=b的形式，正确的变形是（）A．（x﹣）2=16 B．（x﹣）2=C．2（x﹣）2=D．2（x﹣）2=16【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，再将二次项系数化为1，最后配上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：2x2﹣3x=﹣1，x2﹣x=﹣，x2﹣x=﹣，x2﹣x=﹣+，即（x﹣）2=，故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．同位角相等B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行C．两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等D．在三角形中，如果一边上的中线等于这一边的一半，那么这条边所对的角是直角【考点】命题与定理．【分析】利用平行线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，错误，是假命题；B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；C、两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题；D、在三角形中，如果一边上的中线等于这一边的一半，那么这条边所对的角是直角，正确，是真命题，故选A．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．下列二次根式中①②③④中，最简二次根式是③．【考点】最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．【解答】解：是最简二次根式，故答案为：③．8．化简：（x＞0）= 2xy．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：原式=2xy，故答案为：2xy．9．﹣2的倒数是﹣2﹣．【考点】实数的性质．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣2的倒数是﹣2﹣，故答案为：﹣2﹣．10．写出2﹣n的一个有理化因式：2+n ．【考点】分母有理化．【分析】根据平方差公式即可得出答案．【解答】解：2﹣n的有理化因式2+n，故答案为2﹣n．11．不等式x﹣1＜x的解集是x＞﹣﹣．【考点】解一元一次方程；分母有理化．【分析】根据不等式的基本性质解答．【解答】解：原不等式的两边同时减去﹣x，得（﹣）x﹣1＜0，不等式的两边同时加上1，得（﹣）x＜1，不等式的两边同时除以（﹣），得x＞，即x＞﹣﹣；故答案是：x＞﹣﹣．12．方程x2=2x的根为x1=0，x2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，或x﹣2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2．13．若方程3x2﹣mx+2=0的一个根是﹣1，则m= ﹣5 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=﹣1代入3x2﹣mx+2=0即可得关于m的方程，解之可得．【解答】解：根据题意将x=﹣1代入3x2﹣mx+2=0，得：3+m+2=0，解得：m=﹣5，故答案为：﹣5．14．在实数范围内因式分解：x2﹣x﹣1= ．【考点】实数范围内分解因式．【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可．【解答】解：x2﹣x﹣1=（x﹣）（x﹣）．故答案为：（x﹣）（x﹣）．15．某校2014年有800名学生，2016年学生数增长为1152人，若设连续两年平均增长的百分率相同，则这个增长率为20% ．【考点】一元二次方程的应用．【分析】利用等量关系为：2014年学生数×（1+增长率）2=2016年学生数，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设这个增长率为x．800（1+x）2=1152，（1+x）2=1.44，∵1+x＞0，∴1+x=1.2，x=20%．答：这个增长率为20%．故答案为20%．16．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么它们相等．【考点】命题与定理．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．17．如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于点E，AC=3cm，AB=2cm，则△ADE的周长为 4 cm．【考点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，求得AD=AB=1cm，再根据直角三角形斜边上中线的性质，求得DE=AE=AC=cm，最后计算△ADE的周长．【解答】解：∵△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，∴∠A=∠B，∴AC=BC，又∵CD⊥AB，∴CD是△ABC的中线，∴AD=AB=1cm，∵DE∥BC，CD平分∠ACB，∴∠EDC=∠BCD=∠ECD，∴DE=CE，又∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴AE=CE，即E是AC的中点，∴Rt△ACD中，DE=AE=AC=cm，∴△ADE的周长为：1++=4cm．故答案为：4．18．如图，已知AB与CD相交于点O，且AB=CD，当满足OB=OD 时，AD=BC．（只需填出一个条件）【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】证出OA=OC，由SAS证明△AOD≌△COB，得出对应边相等即可．【解答】解：满足OB=OD时，AD=BC；理由如下：∵AB=CD，OB=OD，∴OA=OC，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SAS），∴AD=BC．三、简答题（本大题共4题，第19题每题5分，第20题10分，21题6分，满分26分）19．计算：（1）（﹣2）﹣（﹣3）（2）8÷2•（a＞0）【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式=﹣﹣﹣+=2﹣2；（2）原式=8××=．20．选择适当方法解下列方程：（1）（x+2）2﹣3=0（2）（2x﹣3）2=x2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）整理后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）整理得：（x+2）2=9，开方得：x+2=±3，解得：x1=1，x2=﹣5；（2）两边开方得：2x﹣3=±x，解得：x1=3，x2=1．21．已知：如图△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD和CE相交于O，且AD=CD．求证：BD=OD．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由AAS证明△ABD≌△COD，然后由全等三角形的性质，证得结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CDO=∠CEB=90°，∴∠BAD+∠B=∠OCD+∠B=90°，∴∠BAD=∠OCD，在△ABD和△COD中，，∴△ABD≌△COD（AAS），∴BD=OD．四、解答题（本大题共4题，第22、23题每题7分，第24题4分，第25题8分，满分26分）22．已知关于x的方程x（mx﹣4）=（x+2）（x﹣2）．（1）若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的值．【考点】根的判别式．【分析】将原方程整理成一般式．（1）由方程只有一个根可得出二次项系数为0，由此得出m的值，再解一元一次方程即可得出此时方程的根；（2）由方程有两个不相等的实数根可得出m﹣1≠0且32﹣16m＞0，解之即可得出结论．【解答】解：整理方程得：（m﹣1）x2﹣4x+4=0．（1）当m﹣1=0即m=1时，原方程只有一个根，此时方程为﹣4x+4=0，方程的根为x=1．（2）当m﹣1≠0即m≠1时，△=（﹣4）2﹣4×（m﹣1）×4＞0，即32﹣16m＞0，解得：m＜2，∴当m＜2且m≠1时原方程有两个不相等的实数根．23．劳技课上某小组的同学们要用40厘米长的铝合金材料加工成长方形的框架．分别在下列条件下，求相邻两边的长．（1）面积为36平方厘米；（2）面积为100平方厘米；（3）面积为120平方厘米．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．（1）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）=100，通过解该方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（2）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）=36，通过解该方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（3）根据矩形的面积公式得到方程x（20﹣x）=120，结合根的判别式进行解答．【解答】解．设长方形框架的一边长为x厘米，则另一边长为（20﹣x）厘米．（1）根据题意，得方程x（20﹣x）=100，整理，得x2﹣20x+100=0，解得x1=x2=10，经检验，x=10符合实际意义．当x=10时，20﹣x=10答：长方形的邻边长均为10厘米；（2）根据题意，得方程x（20﹣x）=36，整理，得x2﹣20x+36=0，解得x1=18，x2=2，经检验，x1、x2都符合实际意义．当x=18时，20﹣x=2；当x=2时，20﹣x=18．答：长方形的邻边长为2厘米，18厘米；（3）根据题意，得方程x（20﹣x）=120，整理，得x2﹣20x+120=0，∵△=400﹣480=﹣80＜0，所以次方程无实数根．答：用40厘米长的材料加工成长方形框架，面积不可能120平方厘米．24．阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），我们知道当△=b2﹣4ac≥0时，这个方程的两个实数根可以表示为：x1=，x2=，此时方程的两根之和为：x1+x2=+==﹣．两根之积为：x1•x2=•====．这就是一元二次方程的根与系数关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知x1，x2分别为一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的两根，则x1+x2=﹣=﹣=，x1•x2===﹣．回答下列问题：已知x1，x2分别是一元二次方程﹣x2=x﹣4的两根，则x1+x2= ﹣； x1•x2= ﹣2； x12+x22= +4；+= ．【考点】根的判别式；二次根式的乘除法；分式方程的解．【分析】将方程整理成一般式，根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣、x1•x2=﹣2，再将x 12+x 22变形为﹣2x 1•x 2、+变形为，代入数据即可得出结论．【解答】解：方程可整理成﹣x 2﹣x+4=0．∵x 1，x 2 分别是一元二次方程﹣x 2=x ﹣4的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=﹣2×（﹣2）=+4； +===．故答案为：﹣；﹣2； +4；．25．如图1，已知BD 是∠ABC 平分线，P 是角平分线上任意一点．作图：以B 为圆心，任意长为半径画弧，分别BA 交于点E ，交BC 于点F ，联结PE ，PF ，则△ BEP 和△ BFP 关于直线BD 对称，（保留作图痕迹）用符号语言将这对全等的三角形表示为△ BEP ≌△ BFP ．利用这种方法解答：如图2，在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 与CE 相交于F ．求证：FE=FD ．【考点】作图-轴对称变换．【分析】直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分别得出答案．【解答】解：如图1所示：则△BEP 和△BFP 关于直线BD 对称，（保留作图痕迹） 用符号语言将这对全等的三角形表示为△BEP ≌△BFP ．故答案为：BEP ，BFP ；BEP ，BFP ；如图2，在AC 上截取AG=AE ，联结FG ，在△AEF 和△AGF 中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，∵∠B=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，可得∠FAC+∠FCA=60°，∴∠AFE=∠AFG=∠CFD=60°，∠CFG=60°，在△CGF和△CDF中，∴△CGF≌△CDF（ASA），∴FD=FG，综上可得EF=FD．。

2015-2016学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列二次根式中，最简二次根式是( )A．B．C．D．2．的一个有理化因式是( )A．B．C．+D．﹣3．下列方程是一元二次方程的是( )A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）B．3x2+2x﹣4=3x2C．5x2﹣2x=0 D．=14．下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．5．下列语句中哪个是命题( )A．联结A、B两点B．等角的余角相等吗？C．对顶角相等D．代数式（a≥0）叫二次根式6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是( )A．∠BAC=36°B．BD平分∠ABCC．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°D．点N是BD的中点二、填空题（每小题2分，共24分）7．计算：﹣=__________．8．如果有意义，那么a的取值范围是__________．9．化简：（b＞0）=__________．10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是__________．11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为__________．12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为__________．13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=__________．14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=__________．15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为__________．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__________度．17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=__________cm．18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=__________度．三、简答题（每小题7分，共56分）19．计算：．20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．21．解方程：y﹣=﹣．22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．（1）求证：△ABF≌△GCA；（2）求证：AG⊥AF．四、解答题27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？2015-2016学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列二次根式中，最简二次根式是( )A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【专题】计算题；二次根式．【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，正确；B、=2，错误；C、=|a|b2，错误；D、=，错误，故选A【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2．的一个有理化因式是( )A．B．C．+D．﹣【考点】分母有理化．【专题】计算题；二次根式．【分析】找出原式的一个有理化因式即可．【解答】解：的一个有理化因式是，故选B【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．3．下列方程是一元二次方程的是( )A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）B．3x2+2x﹣4=3x2C．5x2﹣2x=0 D．=1【考点】一元二次方程的定义．【专题】计算题；一元二次方程及应用．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：5x2﹣2x=0是一元二次方程，故选C【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．4．下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．【考点】同类二次根式．【专题】计算题．【分析】根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．【解答】解：，A、，故A不正确；B、被开方数不同，故B不正确；C、，故C正确；D、，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，先化成最简二次根式，再比较被开方数．5．下列语句中哪个是命题( )A．联结A、B两点B．等角的余角相等吗？C．对顶角相等D．代数式（a≥0）叫二次根式【考点】命题与定理．【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的定义进行判断．【解答】解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；D、代数式（a≥0）叫二次根式，是定义，不是命题，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是( )A．∠BAC=36°B．BD平分∠ABCC．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°D．点N是BD的中点【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，由三角形的外角的性质得到∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，推出∠ABC=∠C=2∠BAC，根据三角形的内角和列方程即可得到∠BAC=36°，故A正确；由∠ABD=∠BAC=36°，∠ABC==72°，即可得到BD平分∠ABC，故B正确；根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到∠BNM=54°，故C正确；根据三角形的中位线的性质即可判断D错误，【解答】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°，∴∠BAC=36°，故A正确；∴∠ABD=∠BAC=36°，∠ABC==72°，∴∠ABC=2∠ABD，∴BD平分∠ABC，故B正确；∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB=90°，∵∠DBC=36°，∴∠BNM=54°，故C正确；∵AM不平行于AC，BM=CM，∴BN≠DN，∴D错误，故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共24分）7．计算：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【专题】计算题；二次根式．【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣3=，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．如果有意义，那么a的取值范围是a≥．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2a﹣1≥0，解得，a≥，故答案为：a≥．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．9．化简：（b＞0）=．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题；二次根式．【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果．【解答】解：原式=，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设每次降价的百分比为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），从而列出方程，求出答案．【解答】解：设每次降价的百分比为x，根据题意得：100（x﹣1）2=100﹣36，解得：x1=1.8，x2=0.2．因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.1．答：该商品平均每次降价的百分比是20%．故答案为：20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【考点】命题与定理．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为2．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣3=0，得（﹣1）2﹣（﹣1）•m﹣3=0，解得m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】令原式值为0列出方程，求出方程的解即可得到分解的结果．【解答】解：令x2﹣4x﹣3=0，解得：x==2±，则原式=（x﹣2+）（x﹣2﹣），故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，令原式值为0求出x的值是解本题的关键．14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=﹣1．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，根据乘方的意义计算即可．【解答】解：由题意得，b﹣1=0，a+2=0，解得，a=﹣2，b=1，（a+b）2015=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为120°．【考点】等边三角形的性质．【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．故答案为：120°．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B=∠C的度数是解题关键．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出∠BAD=∠ACF=90°，根据三角形内角和定理求出∠BAD=∠CAF，根据ASA 推出△ABD≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AD=CF即可．【解答】解：∵AB⊥AC，CF∥AB，∴CF⊥AC，∴∠BAD=∠ACF=90°，∵AF⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，∴∠ABD+∠ADB=∠CAF+∠ADB=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CDF（ASA），∴AD=CF，∵AC=cm，D为AC中点，∴AD=AC=，∴CF=，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能推出△ABD≌△CDF是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=15或75度．【考点】旋转的性质．【分析】分成顺指针和逆时针两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形内角和定理求解．【解答】解：当顺时针旋转时，C落在C'1的位置，∵B'1C=BC，∴∠BC'1C=∠BCC'1，又∵∠ABC=∠BC'1C+∠BCC'1=30°，∴∠BC'1C=15°；当逆时针旋转时，C落在C'2的位置，∵BC'2=BC，则∠BC'2C=∠BCC'2===75°．故答案是：15或75．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，注意到分两种情况进行讨论是本题的关键．三、简答题（每小题7分，共56分）19．计算：．【考点】二次根式的加减法．【分析】分母有理化的同时，运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=2（+1）+3﹣2=2+2+3﹣2=2+3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：整理得：x2+2x﹣8=0，（x+4）（x﹣2）=0，x+4=0，x﹣2=0，x1=﹣4，x2=2，所以原方程的根是x1=﹣4，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．21．解方程：y﹣=﹣．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先去分母，整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解y﹣=﹣，去分母，得6y﹣3（y2﹣1）=﹣2，整理，得3y2﹣6y﹣5=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣5）=96，y=，y1=，y2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：原方程化为配方得即开方得∴，．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解答】解：原式=+=+3++=2+4，当x=3，y=4时，原式=2+4=2+8．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知，△＞0，列出关于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）=﹣4m+5＞0，又∵（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0是一元二次方程，∴（m﹣1）≠0，故m的取值范围是m≤且m≠1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是要明确：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设鸡场的宽为x米，平行于墙的边长为35﹣2x米，根据面积为150平方米，可列方程求解．（2）如果离墙9米开外准备修路，那么宽就要小于9米，可选定墙长为9米，由此进一步分析得出答案即可．【解答】解：（1）设养鸡场靠墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（35﹣2x）米，由题意得：（35﹣2x）x=150，即（2x﹣15）（x﹣10）=0，解得：x=7.5或x=10，当x=10时，35﹣2x=15＜18，符合实际意义；当x=7.5时，35﹣2x=20＞18，不符合实际意义，舍去．答：养鸡场的长是15米，宽是10米；（2））求出的平行于墙的一条边应小于墙长a；如果a大于等于20，则方程有两个解，如果a小于20，大于等于15，则有一个解，如果a 小于15，则无解．根据离墙9米开外准备修路，那么长不小于20米，即a≥20米，此时养鸡场的长至少为20米，宽为7.5米．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题．26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．（1）求证：△ABF≌△GCA；（2）求证：AG⊥AF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据垂直定义得出∠BDC=∠GEC=90°，根据等角的余角相等求出∠ABF=∠ACG，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠F=∠GAC，求出∠GAC+∠FAE=90°，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠GEC=90°，∵∠DGB=∠EGC，∴∠ABF=∠ACG（等角的余角相等），在△ABF和△GCA中，，∴△ABF≌△GCA；（2）由（1）△ABF≌△GCA，∴∠F=∠GAC，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠F+∠FAE=90°，∴∠GAC+∠FAE=90°，∴AG⊥AF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能求出△ABF≌△GCA 是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．四、解答题27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4，根据全等得出CQ=BD=5，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【解答】解：（1）①∵t=3（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=10，D为AB中点，∴BD=5（厘米）又∵PC=BC﹣BP=8﹣3=5（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=5．∴点P的运动时间t==4（秒），此时V Q==1.25（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得1.25x=x+2×10，解得x=80（秒），此时P运动了80×1=80（厘米），又∵△ABC的周长为28厘米，80=28×2+24，∴点P、Q在AB边上相遇，即经过了80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．。

2023学年第一学期期中质量调研卷初二年级数学学科（时间：90分钟分值：100分）一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1.如果有意义，那么x 的取值范围是______．2.=______．3.已知0mn <，化简：=______．4.b 的有理化因式是______．5.21x ≥-的解集是______．6.=______．7.方程3x 2=4x 的根是_____．8.在实数范围内因式分解：2243x x --=______．9.已知1k y x -=是正比例函数，那么k =______．10.已知反比例函数y=kx （k 是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，点A（x 1，y 1）和点B（x 2，y 2）在函数的图象上，当x 1＜x 2＜0时，可得y 1________y 2．（填“＞”、“=”、“＜”）．11.关于x 的一元二次方程()223230m x x m m -++--=有一个根为零，则m 的值为____________12.已知a 为方程2360x x --=的一个根，则代数式2622023a a -+=______．13.等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．14.在直角坐标平面内，函数(0)k y k x =≠的图像在同一个象限内经过A 、B 两点，且(2,4)A ．过点B 作y 轴垂线，垂足为点C ，连接AC 、AB 、CB ，若2ABC S =△，则点B 的坐标是______．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15.下列各二次根式中，最简二次根式的是（）A. B.C. D.16.下列等式，正确的是（）A.3=±B.= C.a = D.x y =+17.下列方程中，没有实数根的是（）A.223x x -= B.20x = C.23450x x ++= D.22450x x --=18.正比例函数y kx =-与反比例函数k y x=在同一直角坐标平面大致的图像可以（）A. B.C. D.三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分）19.-．20.⎛ ⎝21.解方程：223(2)12x x --=22.用配方法解方程：22810x x -+=23.先化简，再求值：已知x =，求2212111x x x x x ----+的值．四、解答题（本大题共4题，其中24、25、26每题7分，27题9分，满分30分）24.已知关于x 的方程2(2)6410-++-=k x kx k 有两个相等的实数根，求k 的值．并求此时方程的根．25.如图，在平面直角坐标系中，点(,4)A m 在反比例函数4y x=上的图像上，将点A 先向右平移1个单位长度，再向下平移a 个单位长度后得到B ，点B 恰好落在反比例函数4y x =的图像上．（1）求点A 、B 坐标．（2）联结BO 并延长，交反比例函数的图像于点C ，求ABC S ．26.如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 而积为72m 2，求AB 的长．27.如图，已知直线2y x =与双曲线(0)k y k x=≠交第一象限于点(,4)A m ．（1）求点A 的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点O 绕点A 逆时针旋转90︒至点B ，求直线OB 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线OB 上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交双曲线(0)k y k x=≠的图像于点D ，交x 轴于点E ，且:2:3DCO DEO S S =△△，求点C 的坐标．2023学年第一学期期中质量调研卷初二年级数学学科（时间：90分钟分值：100分）一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1.如果有意义，那么x 的取值范围是______．【答案】13x ≥【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．【详解】解：由题意得：310x -≥，解得：13x ≥，则x 的取值范围是13x ≥，故答案为：13x ≥．2.=______．【答案】2##2+【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．22=-=-，故答案为：23.已知0mn <，化简：=______．【答案】【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m ，n 的取值范围，然后化简二次根式是解题关键．【详解】解：∵20m n -≥，0mn <∴00m n ><，，=故答案为：．4.b的有理化因式是______．【答案】b+【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式和有理化因式的意义是解题的关键．利用平方差公式和有理化因式的意义解答即可．【详解】b -b +．故答案为b +．5.21x ≥-的解集是______．【答案】2x ≤+【分析】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断2-与0的大小关系．21x ≥-21x -≥-)21x ≥-2x ≤+，故答案为：2x ≤+．6.=______．【答案】5x >【分析】本题考查了二次根式商的性质，解题的关键是利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组．【详解】解：要使=2050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．7.方程3x 2=4x 的根是_____．【答案】0，43【详解】试卷解析：234.x x = 2340.x x ∴-=(34)0.x x -=0,340.x x =-=1240,.3x x ==故答案为1240,.3x x ==点睛：一元二次方程的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.本题用的是因式分解法.8.在实数范围内因式分解：2243x x --=______．【答案】101021122x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】本题考查实数范围内的因式分解，解题的关键是先将式子进行配方，再用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：2243x x --2322112x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭()22212x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦101021122x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：101021122x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．9.已知1k y x -=是正比例函数，那么k =______．【答案】2【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是能够根据正比例函数的一般形式()0y kx k =≠列出算式．【详解】∵1k y x -=是正比例函数，∴11k -=，解得：2k =，故答案为：2．10.已知反比例函数y=k x（k 是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，点A（x 1，y 1）和点B（x 2，y 2）在函数的图象上，当x 1＜x 2＜0时，可得y 1________y 2．（填“＞”、“=”、“＜”）．【答案】<【分析】先根据题意判断出k 符号，再由反比例函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y=k x（k 是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，∴k ＜0，且在每一象限内y 随x 的增大而增大．∵x 1＜x 2＜0，∴y 1＜y 2．故答案为＜．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．11.关于x 的一元二次方程()223230m x x m m -++--=有一个根为零，则m 的值为____________【答案】1-【分析】把0x =代入()223230m x x m m -++--=得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程()223230m x x m m -++--=有一个根为零，∴把0x =代入()223230m x x m m -++--=得2230m m --=，解得1231m m ==-，，∵30m -≠，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查一元二次方程的解及解法．根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零．12.已知a 为方程2360x x --=的一个根，则代数式2622023a a -+=______．【答案】2011【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是根据方程的根可得236a a -=，整体代入即可解题．【详解】解：∵a 为方程2360x x --=的一个根，∴236a a -=，∴226220232(3)20232620232011a a a a -+=--+=-⨯+=，故答案为：2011．13.等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．【答案】25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m=∴1210b x x a +=-=，12c x x m a==∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC=即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．14.在直角坐标平面内，函数(0)k y k x=≠的图像在同一个象限内经过A 、B 两点，且(2,4)A ．过点B 作y 轴垂线，垂足为点C ，连接AC 、AB 、CB ，若2ABC S =△，则点B 的坐标是______．【答案】83,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,8．【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点(2,4)A 求得反比例函数，再设点B 的坐标为8,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有BC m =，过点A 作AD BC ⊥则有84AD m=-，结合三角形面积公式即可求得答案．【详解】解∵函数(0)k y k x =≠的图像经过(2,4)A ，∴248k =⨯=，∴该函数得为：8y x=，∵B 点在反比例函数8y x =上，∴设点B 的坐标为8,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵BC y ⊥轴于点C ，则BC m =，过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图所示：∵点(2,4)A ，∴84AD m=-，∵2ABC S =△，∴122BC AD ⋅=，∴18422m m⋅-=，∴844m m ⎛⎫⋅-=± ⎪⎝⎭，由844m m ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，解得：3m =，由844m m ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，解得：1m =，当3m =时，点B 的坐标为83,3⎛⎫⎪⎝⎭，当1m =时，点B 的坐标为()1,8，故答案为：83,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,8．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15.下列各二次根式中，最简二次根式的是（）A.12 B.33x C.18y D.22x xy y -+【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A 1222=，不符合题意．B 333x x x =，不符合题意．C =D 是最简二次根式，符合题意．故选：D ．16.下列等式，正确的是（）A.3=±B.= C.a = D.x y=+【答案】B【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简．【详解】解：3=，错误，故本选项不符合题意．B=，正确，故本选项符合题意．C a =，当a<0a =-，错误，故本选项符合题意．D 故选∶B ．17.下列方程中，没有实数根的是（）A.223x x -= B.20x = C.23450x x ++= D.22450x x --=【答案】C【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据根的判别式对选项进行分析，即可求出答案．【详解】解：A ．223x x -=，将原方程变形为一般形式得2230x x --=，∵()()2241423250b ac =-=--⨯⨯-=> ，∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．B ．20x =，∵22441020b ac =-=-⨯⨯=> ，∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．C ．23450x x ++=∵()2244435440b ac =-=-⨯⨯=-< ，∴原方程没有实数根，故本选项符合题意．D ．22450x x --=∵()()2244425560b ac =-=-⨯⨯-=> ，∴原方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．故选：C ．18.正比例函数y kx =-与反比例函数k y x =在同一直角坐标平面大致的图像可以（）A. B.C . D.【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数以及反比例函数的图像以及性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【详解】解：当0k >时，函数y kx =-经过二、四象限，k y x=在一、三象限，故D 项符合题意．当0k <时，函数y kx =-经过一三象限，k y x=在二、四象限，无对应选项．故选∶D ．三、简答题（本大题共5题，每题6分，满分30分）19.12120.7554833-．【答案】332-【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各个二次根式化简，再进行计算即可，熟练掌握二次根式化简的方法以及运算顺序和运算法则是解题的关键．12120.7554833+-343232333⎛=-+⨯ ⎝343833233=+--332=-．20.⎛ ⎝【答案】158a -【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用运算法则计算即可．⎛ ⎝，=，==，158a =-．21.解方程：223(2)12x x --=【答案】14x =-，22x =【分析】将方程变形为2280x x +-=，再将228x x +-进行因式分解为()()42x x +-，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．【详解】解：223(2)12x x --=，22344120x x x +--=-，224160x x +-=，2280x x +-=，()()420x x +-=，40x +=或20x -=，∴14x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解．22.用配方法解方程：22810x x -+=【答案】11422x =+，21422x =-+【分析】根据配方法解一元二次方程的一半步骤进行解答即可．【详解】解：22810x x -+=，移项得：2281x x -=-，二次项系数化为1得：2142x x -=-，配方得：214442x x -+=-+，即：27(2)2x -=，∴1422x -=±，∴11422x =+，21422x =-+．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一半步骤是解本题的关键．23.先化简，再求值：已知x =，求22111x x x x x ----+的值．【答案】1-【分析】本题主要考查了分式的化简求值及二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．【详解】解：)2121131x ⨯⨯====-．22111x x x x x----+()()()1+1+1111x x x x x x x-=---+.11+1x x x=--.2+1x x =-.=.=)3-12=-.1=--.1=-．四、解答题（本大题共4题，其中24、25、26每题7分，27题9分，满分30分）24.已知关于x的方程2(2)6410-++-=k x kx k有两个相等的实数根，求k的值．并求此时方程的根．【答案】115k=，22k=-；当15k=时，方程的根为1213x x==，当2k=-时，方程的根为1232x x==-【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得()()()224642410b ac k k k∆=-=---=，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根．【详解】∵方程2(2)6410-++-=k x kx k有两个相等的实数根，∴()()()224642410b ac k k k∆=-=---=解得：115k=，22k=-，当15k=时，方程为29610555x x-+-=，解得：1213x x==；当2k=-时，方程为241290x x---=，解得：1232x x==-．25.如图，在平面直角坐标系中，点(,4)A m在反比例函数4yx=上的图像上，将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数4yx=的图像上．（1）求点A 、B 坐标．（2）联结BO 并延长，交反比例函数的图像于点C ，求ABC S ．【答案】（1）()1,4A ，()2,2B （2）6【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合运用．（1）由反比例函数关系式求出点A ，再由点A 平移得到点B 的坐标，将点B 代入反比例函数表达式即可求解；（2）根据反比例函数图象与性质可得点B 与点C 关于原点对称，从而得到点C 的坐标，由A 、C 的坐标，运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式，进而得到直线AC 与y 轴的交点D 的坐标，作AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，再由ABC COD OBF ADOE AEFB S S S S S =++- 四边形四边形即可求解．【小问1详解】∵点(,4)A m 在反比例函数4y x =上的图像上，∴44m=，解得1m =，∴点A 的坐标为()1,4，∵点A 先向右平移1个单位长度，再向下平移a 个单位长度后得到B ，∴点B 的坐标为()2,4a -，∵()2,4B a -恰好落在反比例函数4y x =的图像上，∴442a -=，解得2a =∴点B 的坐标为()2,2．【小问2详解】由反比例函数性质可得点C 与点B 关于原点对称，∴点C 的坐标为()2,2--，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()1,4A ，()2,2C --，∴422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为22y x =+，令0x =，则2y =，∴直线AC 与y 轴的交点D 的坐标为()0,2，过点()1,4A 作AE x ⊥轴于点E ，过点()2,2B 作BF x ⊥轴于点F ，∵4AE =，2BF =，1OE =，1EF =，∴ABC COD OBFADOE AEFB S S S S S =++- 四边形四边形()()111122241421222222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯6=．26.如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 而积为72m 2，求AB 的长．【答案】12m【分析】根据题意设AB 的长是x m ，则BC 的长为1(543)(18)3x x -=-m ，再根据矩形面积公式ABCD S AB BC =⋅ ，列出关于x 的方程，求解，再分情况讨论x 的取值，舍去不符合题意的解即可．【详解】.解：设AB 的长是x m ，则BC 的长为1(543)(18)3x x -=-m ，根据题意，得()1872ABCD S AB BC x x =⋅=-= ，解得16x =，212x =，当6x =时，181210-=>x (不符合题意，舍去)，当12x =时，186-=x （符合题意），故AB 的长是12m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程求解是解题关键．27.如图，已知直线2y x =与双曲线(0)k y k x=≠交第一象限于点(,4)A m ．（1）求点A 的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点O 绕点A 逆时针旋转90︒至点B ，求直线OB 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线OB 上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交双曲线(0)k y k x =≠的图像于点D ，交x 轴于点E ，且:2:3DCO DEO S S =△△，求点C 的坐标．【答案】（1）()8A 2,4y x=，（2）13y x =（3）3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或3【分析】（1）代入直线解析式，可得出点A 的横坐标，再将点A 的坐标代入反比例表达式即可求出；（2）根据题意，找出点B 的位置，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BM AF ⊥于点M ，可证AOF BAM ≌，由此可得点B 的坐标，由待定系数法求可求出直线OB 的解析式；（3）根据题意作出图形，由面积比可得:1:2,DC DE =设点C 的横坐标为m ，由此表达点D ，E 的坐标，进而可得DC 和DE 的长度，得出关于m 的方程，解之即可.【小问1详解】点(),4A m 在直线2y x =，42m = ，.2m = ，∵点A 在第一象限，且点A 的纵坐标为4，∴()A 2,4,将点()2,4A 代入直线()0,k y k x=≠248k =⨯= ，8y x=；【小问2详解】根据题意，找出点B 的位置，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BM AF ⊥于点M ，90AFO AMB ∴∠=∠=︒，90AOF OAF OAF BAM ∴∠+∠=∠+∠=︒，AOF BAM ∴∠=∠，由旋转可知，,OA AB =()AAS AOF BAM ∴ ≌，2,4AM OF BM AF ∴====，∴()B 6,2，∴直线OB 的解析式为：13y x =；【小问3详解】如图,12DCO S DC OE =⋅ ，12DEO S DE OE =⋅ ，:1:2DCO DEO S S = ，11:2:322DC OE DE OE ⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即:2:3DC DE =，即23DC DE =，设点C 的横坐标为m ，由（1）可知双曲线的解析式为8y x=，()18,03C m m D m E m m ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，1883DC m DE m m∴=-=，，182833m m m∴-=⨯，解得m =m =(负值舍去)，∴点C 的坐标为223⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2103．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，证得三角形全等，把面积比转化为线段的比值是解题关键．。