北师大版 数学必修一：正整数指数函数

正整数指数函数一. 教学目标：1．知识与技能（1）理解正整数指数函数的概念和意义；（2）理解和掌握正整数指数函数的图象和性质；（3）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.§2.1指数概念的扩充一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解教学过程：一、复习1.零指数、负整数指数的概念，以及它们之间的关系.2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩好？二、新课引入与讲解在初中已学过，若是大于1的整数，是的整数倍，那么若不是的整数倍，那么上式中右端的就是一个分数了(引入自然，合理)例如，当＝2，＝3时，，显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定义，为此规定，在不是的整数倍时也适用，自然应把看成是根式的另一种记法，对于底为什么要使，须回忆应分几种情况：1.零指数与负整数的底均不能为零.2.正分数指数幂，当指数的分子，分母互质时，分母为奇数，底数可以为任意实数；分母为偶数时底数为非负实数.3.负分数指数幂，当指数的分子与分母互质时，分母为奇数、底数不能为零，分母为偶数，底数为正实数.总之，当正实数为底时，指数可为任意实数.以上这几点均可举例说明.关于运算法则仍然成立，可以通过特殊值加以验证，克服心理障碍.假如，设＝，＝验证第一条∵，∴成立.它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后，运算法则仍然有效，同时也能启发学生在解繁杂根式运算时，用幂的运算法则更为简便.当时，(、∈，且为既约分数)；(、∈且为既约分数). 这样当指数推广到分数指数幂以后当，为有理数时，表示一个确定的实数.当，为无理数时，是否还表示一个确定的实数？答案是肯定的，它是在的以值不足近似值为指数的所有幂与以的以的过剩近似值为指数的所有的幂中间的一个实数，这样就使中的可取一切实数了.为学习指数函数做好了必要准备.由此得可以验证与证明；；，其中，，、为任意实数.三、课堂练习(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)利用计算器计算(精确到0.001)①；②；③.(请同学按课本上的方式按键计算，如学生手中的计算器按键方式不同，教师需给予辅导).课堂小结：。

高一上学期数学正整数指数函数说课稿范文（北师大
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一、教材分析
1、《正整数指数函数》在教材中的地位、作用和特点
《正整数指数函数》是北师大版高中数学(必修一)第三章指数函数和对数函数的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用.
此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算、环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

2、教学目标、重点和难点
鉴于对学生已有的知识基础和认知能力的分析，根据《教学大纲》的要。

正整数指数函数[学习目标]1、知识与技能（1）结合实例,了解正整数指数函数的概念．（2）能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．2、过程与方法（1）借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法．（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．3、情感．态度与价值观通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．[学习重点]:正整数指数函数的定义．[学习难点]：正整数指数函数的解析式的确定．[学习教具]：直尺、多媒体[学习方法]：学生观察、思考、探究．[学习过程]【新课导入】[互动过程1]问题1．某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…一直分裂下去．（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,分裂次数细胞个数（2）个数y之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数y随着分裂次数n发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是___________数,而且___________是变量,取值为________数．细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式为_______________细胞个数y 随着分裂次数n 的增多而逐渐___________．[互动过程2]问题2．某种商品的价格从今年起每年降15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为：其图像如何呢？[互动过程3] 上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取００.０.０.０.值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?正整数指数函数的定义:一般地,函数_____________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是________________________．说明: 1．正整数指数函数的图像是_____________,这是因为___________________．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．例题1 :某地现有森林面积为10002hm,每年增长5%,经过x（x∈N+）年,森林面积为y2hm．写出x,y间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到x,y间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x,y间的函数关系式．解:例题2 ：高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?练习：1. 某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?2.抽气机每次抽出容器内空气的60％，要使容器内的空气少于原来的0.1％，则至少要抽( )A.6次B.7次C.8次D.9次3.下面给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )(A)y=1.2x(x∈N+)(B) y=3x(x∈N+)(C) y=0.999x(x∈N+)(D) y=πx (x∈N+)注意：正整数指数函数y=a x（1）x是________________________，定义域是________________________（2）规定底数________________________判一判判断下列函数是否为正整数指数函数(1) y=3x (x∈N+)(2) y=3－x (x∈N+)(3) y=2×3x(x∈N+)(4) y=x3(x∈N+)练一练作出函数图像（1）y=3x(2) y=(1/2)x性质小结：⏹当_______________________时是单调递增函数⏹当_______________________时是单调递减函数作业：一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p％，写出成本y随经过年数变化的函数关系式。

第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。

知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。

知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。

例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。

第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。

2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。

2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。

知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。

§1 正整数指数函数1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域． 2．掌握正整数指数函数的性质及应用．正整数指数函数(1)定义：一般地，函数y ＝_______(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数．其中x 是______(x 在指数位置上)，底数a 是常数．(2)定义域：__________.(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x 轴的__________． 【做一做1－1】 下列函数是正整数指数函数的为( )．A ．y ＝－2x (x ∈N ＋)B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝x 2(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋) 【做一做1－2】 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈N ＋)，则f (2)＝__________.答案：1．(1)a x 自变量 (2)N ＋ (3)孤立 上方 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】491．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a ＞0且a ≠1?剖析：(1)若a ＝0，则由于x ∈N ＋，则a x ＝0，即a x 是一个常量，没有研究的必要． (2)若a ＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x 的某些取值，a x 无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈N ＋，a x ＝1，即a x 是一个常量，没有研究的必要．为了避免出现上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1，在规定以后，对于任意x ∈N ＋，a x 都有意义，且a x ＞0.2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋)的图像如图所示．题型一 判断正整数指数函数【例1】 若x ∈N ＋，下列哪个函数是正整数指数函数？ (1)y ＝(－2)x ；(2)y ＝x 3；(3)y ＝7×2x ；(4)y ＝(13)x ；(5)y ＝(π－1)x .分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)即可． 反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a ＞0，a ≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y ＝x α(α是常数)的区别．题型二 正整数指数函数的性质【例2】 画出正整数指数函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．反思：正整数指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的值域是{a ，a 2，a 3，…}．当a ＞1时，为增函数，当0＜a ＜1时，为减函数．题型三 实际应用中的正整数指数函数【例3】 已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x 百年后剩留量为y 克(其中x ∈N ＋)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．答案：【例1】 解：(1)y ＝(－2)x 的底数小于0，不是正整数指数函数． (2)y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．(3)y ＝7×2x 中2x 的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数． (4)(5)是正整数指数函数．【例2】 解：列表，描点作图，如图所示.x 1 2 3 … y3927…单调性：函数y ＝3x (x ∈N ＋)是增函数． 值域是：{3,32,33，…}．【例3】 解：镭原来质量为20克； 100年后镭的质量为20×95.76%(克)； 200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)； 300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)； ……x 百年后镭的质量为20×(95.76%)x (克)． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝20×(95.76%)x (x ∈N ＋)．∴经过1 000年(即x ＝10)后镭的质量为 y ＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1 若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )． A ．y ＝x 4 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 2函数y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)的值域是( )．A ．RB ．R ＋C ．N D.23111,,,222⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭3 函数y ＝43x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数 4 已知f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(3,64)，则f (2)＝________. 5 一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y 随经过年数x 变化的函数关系式．答案：1．D 2.D 3.A4．16 由题意，得a 3＝64，∴a ＝4. ∴f (x )＝4x .∴f (2)＝42＝16.5．分析：归纳出函数关系式．解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8. 当x ＝1时，y ＝220×0.8；当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；……所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1,2,3，…10)．。

《正整数指数函数》《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图像基础，为初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。

此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算、环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

【知识与能力目标】1、结合实例，了解正整数指数函数的概念；2、能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质。

【过程与方法目标】1、让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法；2、从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫。

【情感态度价值观目标】 使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心。

【教学重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征。

【教学难点】正整数指数函数图像的特征。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取181.02 1.43=）为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x ，人口数为y ，则x z=54.8(1+2%)其中我们给xy =(1+2%)起个名字为正整数指数函数引出本节课题。

二、研探新知，建构概念问题1：某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个……一直分裂下去。

（1）请你列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n ()与得到的细胞个数y 之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数。

课题：§3.1正整数指数函数一、教学分析教材分析：《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。

通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。

此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。

学情分析:通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生已初步掌握函数的基本知识能力层面：学生已经掌握了用列表法解决问题，初步具备了“数形结合”的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。

但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均二、教学目标知识与技能：（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念。

（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质。

（3）理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性。

过程与方法：（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法。

（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫。

情感·态度·价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心。

三、教学重、难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征。

难点：正整数指数函数概念的理解。

四、设计思路与教学方法探究交流，讲练结合。

启发诱导探求新知（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n(+∈Nn)与得到的细胞个数y之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式；试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.(4)试分析随着分裂次数的增加，细胞的个数是增加还是减少.学生回答：（1）列表法：（2）图像法：（3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为ny2,n N+=∈；用科学计算器算得215=32768,220=1048576.（4）通过计算和看图可以知道,随着分裂次数的增加,细胞的个数在逐渐增加。

3.1正整数指数函数【教学目标】1．知识与技能(1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念．(2) 能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．(1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法．(2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．3．情感．态度与价值观使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．【教学重点】正整数指数函数的概念及图像特征.【教学难点】正整数指数函数的图像特征．【学法指导】学生观察、思考、探究．【教学方法】探究交流，讲练结合．【学习教具】直尺、多媒体【教学过程】一、回顾旧知1.初中学的幂是什么？2. 函数的定义是什么？二、探索新知探究一动手实验项目：折纸游戏问题1：一张纸你可以对折多少次？对折43次后有多少层？问题2：对折过程中纸张每层的面积有什么变化？问题3：从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数?引出概念：正整数指数函数的定义:一般地,函数xy a (a 0,a 1,x N )+=>≠∈叫作正整数指数函数,其中x 是自变量,定义域是正整数集+N ．函数解析式的特征：（1）a x 前的系数必须是1;（2）自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上； （3）底数a 是大于零且不等于1的常数． 概念辨析：练习1、判断下列函数是否是正整数指数函数：（1） （2）（3） （4）三、正整数指数函数的图像和性质探究二 作图并观察图像的特征在图(1)(2)(3)(4)中分别画出正整数指数函数 、 、、 的图像，并说明函数的单调性。

总结归纳：正整数函数的图像和性质练习变式训练：四、课堂小结1. 正整数指数函数的概念2. 正整数指数函数的图像和性质当_______ 时函数在定义域上是增函数， 当_______ 时函数在定义域上是减函数a>1 0<a<1 23()x y x N +=⋅∈3()y x x N +=∈3()x y x N +=∈3()x y x N -+=∈2()xy x N +=∈1()2xy x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3()xy x N +=∈1()3x y x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2．函数y ＝(43)x ，x ∈N ＋是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数已知正整数指数函数y ＝(2a －1)x (x ∈N ＋)是增函数，则实数a 的 取值范围是________．五、备用练习(1)函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点(2)函数y ＝7x ，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋ C ．[0，＋∞)D ．不存在 (3)比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)． ①1.5819________1.5820；②0.52 009________0.52 010.(4)在下列函数中x ∈N ＋，判断下列函数是否是正整数指数函数， 若是，指出其单调性．①y ＝(－9)x；②y ＝x 2；③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；④y ＝(π－3)x；⑤y ＝⎝⎛⎭⎫52x ；⑥y ＝5×⎝⎛⎭⎫12x .课后作业：课本习题3-1 第2,3题 教学反思：。