大学数学c1练习题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A4．C 5．D 6．C 7．D 8．A9．A10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________.7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x < 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e 5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+=三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinx B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、⎰=+dx x x ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx x π B 、⎰1ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-14)1(dx x π 9、⎰=+101dx e e xx（ ）.A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e+ D 、221ln e +10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xx x x --+→11lim； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x c o slim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→ 3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx xπ B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+. 三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e xy 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

大学数学实操考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是函数f(x) = x^2 + 3x + 2的最小值？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：B2. 函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是：A. 1B. πC. -1D. π/2答案：A3. 如果一个数列是等差数列，且a_3 = 7，a_5 = 13，那么这个数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解？A. y = x^2B. y = x - 1C. y = x + cD. y = c/x答案：D5. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) 的值是________。

答案：47. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么曲线y=f(x)在该点处的切线方程是y - f(a) = f'(a)(x - a)，其中f'(a)是函数f(x)在x=a处的________。

答案：导数8. 定积分∫[0, 1] x dx的值是________。

答案：1/29. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式|A|是________。

答案：-210. 二阶偏导数fxx(x, y)表示函数f(x, y)对x的________偏导数。

答案：二阶三、解答题（共75分）11. （15分）计算定积分∫[1, e] (2x + 1) dx。

答案：首先计算原函数F(x) = ∫(2x + 1) dx = x^2 + x + C。

然后计算F(e) - F(1) = (e^2 + e) - (1 + 1) = e^2 + e - 2。

12. （15分）解微分方程dy/dx - 2y = 4x。

答案：首先求解齐次方程dy/dx - 2y = 0，得到y = Ce^(2x)。

大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。

A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。

答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。

答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。

证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。

首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。

因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。

6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。

首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。

x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末 《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数 在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理 的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。

大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。

答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。

答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。

答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。

答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。

答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。

2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。

答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。

3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。

大学数学考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-3x+2，下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=3处取得最大值C. f(x)在x=1处取得最大值D. f(x)在x=3处取得最小值答案：A2. 以下哪个选项是复数z=3+4i的模？A. 5B. √7C. √13D. 7答案：C3. 矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]的行列式det(A)等于多少？A. 2B. -2C. 5D. -5答案：B4. 如果序列{an}满足a1=1，且an+1 = 2an + 1，那么a3的值是多少？A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)的值是______。

答案：12. 给定函数g(x)=x^3-6x^2+9x+1，求g'(x)的值。

答案：3x^2-12x+93. 计算定积分∫(0 t o 1) (2x+3)dx的结果。

答案：5/24. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，求该圆的半径。

答案：√5三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：如果一个数列{an}是单调递增且有界的，则它必定收敛。

答案：略2. 求解微分方程dy/dx = y/x，其中初始条件是当x=1时，y=1。

答案：略3. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是区域x^2+y^2≤4。

答案：略4. 证明：对于任意正整数n，n^3-n是6的倍数。

答案：略5. 给定函数f(x,y)=x^2y+2xy^2-x^2-y^2，求该函数在点(1,1)处的梯度和方向导数。

答案：略6. 证明：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。

答案：略四、附加题（10分）1. 给定函数f(x)=x^3-3x^2+4，求f(x)的极值点。

大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。

根据选项，可知C选项是正确答案。

2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。

根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。

根据选项，可知B选项是正确答案。

3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。

根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据选项，可知A选项是正确答案。

4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。

根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。

5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。

对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。

根据选项，可知C选项是正确答案。

二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。

根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。

2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。

根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。

3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。

根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。

大学数学相关考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. (k! / λ^k) * e^(-λ)答案：B3. 在复数域中，下列哪个表达式是正确的？A. (1 - i)(1 + i) = 2B. (1 - i)^2 = -2iC. i^2 = -1D. i^3 = 1答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(1/n^2) (n从1到∞)B. ∑((-1)^n)/n (n从1到∞)C. ∑n (n从1到∞)D. ∑(1/n) (n从2到∞)答案：A5. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

A. -1B. 0C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→0) [x^2 sin(1/x)] 的值是 _______。

答案：07. 假设函数f(x)在点x=a处连续，且f'(a)存在，那么f(x)在x=a处的导数为 _______。

答案：f'(a)8. 矩阵A = [1 2; 3 4] 的行列式 |A| 等于 _______。

答案：-29. 设随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，那么Y的期望值E(Y)等于 _______。

答案：μ10. 利用洛必达法则计算极限lim (x→∞) [(x^2 + 1)/(x - 1)] 的结果为 _______。

答案：x + 1三、解答题（共75分）11. （15分）证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1成立。

证明：首先，我们考虑函数f(x) = e^x - x - 1。

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。

厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。

6．求方程2x ydy dx +=的通解。

7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。

8．求方程1y y x x'-=的通解。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。

2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。

4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。

5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。

6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。

三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。

2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。

大学数学习题及答案一填空题：I 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 3方程y''-2y'+y = 0的基本解组是.4 一个不可延展解的存在区间一定是 ____________ 区间. 5方程空=［1顼 的常数解是. dx6方程x''-p(t)x'+ = q (t)x = 0 一个非零解为xi(t),经过变换7若％)是线性方程组X'=A(f)X 的基解矩阵，则此方程组的任•解4«)=. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为. 9满足 条件的解，称为微分方程的特解.10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为. II 一阶线性方程y'+p(x)y = q(x)有积分因子(〃= ).12求解方程^ = -x/y 的解是().dx13 已知(axy 2 +3x 2y )6?x + (%+ y)x 2dy = 0为恰当方程，则a-.dy _ 2 214 \dx =X +-V 由存在唯一性定理其解的存在区间是().y(0) = 015方程—5安+ 6y = 0的通解是().\dx) dx 16方程［片］+y3+x = y5的阶数为.17若向量函数Y l (x);Y 2(x);Y 3(x)---Y,,(x)在区间D 上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式W (x)= ____________ .18若P(X)是方程组虫=A(x)Y 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为. dx 19. 方程X 。

2 T )& +-l)dy = 0所有常数解是.20. 方程y" + 4y = 0的基本解组是.22. 函数组代⑴，代3)，・"，03)在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行史项+1 21.方程W满足解的存在唯一性定理条件的区域是列式在区间I 上不恒等于零.23. 若y = %（x ），y = /（x ）是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零 点.二单项选择：1方程也=+ y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）. dx （A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面2方程— = 77+i （）奇解.dx（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 3在下列函数中是微分方程y''+y = 0的解的函数是（）.（A ） y = 1 （B ） y = x （C ） y = sinx （D ） y = e ，4方程= 的一个特解y*形如（）.5 f （y ）连续可微是保证方程— = f （y ）解存在且唯一的（）条件. dx（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 6二阶线性非齐次微分方程的所有解（）.9— + x 2 y + cos x = 0 ）.dx .（A ） 一阶非线性方程 （B ）一阶线性方程（C ）超越方程 （D ）二阶线性方程(A)Cj +C 2e 3' (B) Qx + Ge -3' (C) +C,e^x (D) C 2e -3r(A) ae x = b(B) axe ' + bx (C) ae ' +bx + c(D) axe x +bx + c（A ）构成一个2维线性空间（C ）不能构成一个线性空间7方程—过点（0,0）有（ dx（B ）构成一个3维线性空间 （D ）构成一个无限维线性空（A ）无数个解 （B ）只有一个解 （C ）只有两个解 （D ）只有三个解 ,,(01) 8初值问题x'=x ,[1 ojx(0)fl ）在区间,-00 < z < oo±的解是().(t )(A) %10 (B) %(D) M U)方程+ 3四=0的通解是（）. dx(A) x,e —2' 很)1折一2" (C)x 2,e'A (D)e"',xe^2,（A ）是该方程的通解 （B ）是该方程的解 （C ）不一定是该方程的通解 （D ）是该方程的特解 13方程空=Jl — y2过点（0,0）的解为v = sinx,此解存在（）. dx （A ） （-oo,+oo ） （B ） （-oo,0］ （C ） ［0,+co ） （D ）［一号,号］ 14方程y=3『y —e"是（）.（A ）可分离变量方程 （B ）齐次方程（C ）全微分方程 （D ）线性非齐次方程 15微分方程^--y = 0的通解是（ ）.dx x c1（A ） y = —（B ） y - ex （C ） y = — + c （D ） y = x + cXX16在下列函数中是微分方程y''+y = 0的解的函数是（）. (A) y = 1(B) y = x (C) y = sin x (D) y = e x17方程y”—y = 的一个数解形如().(A) ae x + b (B) axe x + bx (C) ae x + Zzx + c (D) axe x + Zzx + c 、、 fO) 、18初值I 可题X’x;x(0)= 在区间一8＜，＜CO 上的解是().[1 OJ k V邕、(-t\ e字］(A)"(» =（B ）侃°）—侦）（C ）"（'）=L —t7(D)"⑴=叫19.方程&7的奇解是（）.（A ）q(B )y=i(o y = -i＜D )y=。

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。

A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。

A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。

A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。

A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。

2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。

3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。

4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。

5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。

三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

解：y'=3x^2-6x。

2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。

解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。

大学生数学试题及答案考试形式： 闭卷 考试时间： 150分钟 满分:100 分一、（本题满分10 分） 求极限))1(21(1lim222222--++-+-∞→n n n n n n .【解】 ))1(21(1222222--++-+-=n n n n nS n ))1(1)2(1)1(1(1222nn n n n --++-+-=))1(1)2(1)1(1)0(1(12222nn n n n n --++-+-+-=∑-=-=121.)(1n i nn i=∞→n n S lim ]1.)(1[lim 12∑-=∞→-n i n nn i因21x -在]1,0[上连续，故dx x ⎰12-1存在，且dx x ⎰12-1=∑-=∞→-121.)(1lim n i n n n i ，所以，=∞→n n S lim ndx x n 1lim-112∞→-⎰4-112π==⎰dx x 。

二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1lim 220c tdtt ax x x bx =+-⎰→【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到2202201)(cos lim1sin 1lim xa x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰, 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在,且其值为0；若1=a ，则21)1(cos lim 1sin 1lim 22220-=+-=+-→→⎰xx x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、（本题满分10 分) 计算定积分⎰+=22010tan 1πxdxI 。

【解】 作变换t x -=2π，则⎰=+-=022010cot1πt dtI I dt dt t t tdt -=+-=+⎰⎰⎰202020201020102010)tan 111(tan 1tan πππ=I 2220ππ=⎰dt ，所以，4π=I .四、（本题满分10 分） 求数列}{1nn-中的最小项.【解】 因为所给数列是函数xxy 1-=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

期末总复习题一、填空题1、已知向量2a i j k =+-r rr r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ⋅r r = -1 。

2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。

3、级数1113n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性为 发散 。

4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y+⎰= a π 5．交换二重积分的积分次序：⎰⎰--0121),(ydx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x-121⎰⎰6．级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 1 。

二、选择题1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ）A 、2221x z +=B 、2221y z +=C 、2221x y +=D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1)1Dx x y dxdy x y ++=++⎰⎰（ A ）A 、2πB 、0C 、1D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则⎰⎰=Ddxdy （ A ）A 、π16B 、π4C 、π8D 、π25、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j -6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、67．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ）A 、3x x y e e C =++B 、3x x y e Ce =+C 、3x x y Ce e =+D 、312x x y C e C e =+8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1n n u ∞=∑收敛的（ B ）A 、充要条件B 、 必要条件C 、充分条件D 、什么也不是 三、已知1=a ϖ，3=b ϖ，b a ϖϖ⊥，求b a ϖϖ+与b a ϖϖ-的夹角.P7四、一平面垂直于平面0154=-+-z y x 且过原点和点()3,7,2-，求该平面方程.（参考课本P7例题）五、设,,,22xy v y x u ue z v =-==求yzx z dz ∂∂∂∂,,. P19 六、求由z xyz sin =所确定的函数()y x z z ,=的偏导数yzx z ∂∂∂∂, 七、求旋转抛物面2222y x z +=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21,10M 处的切平面和法线方程. O221202142b -a b a ))((cos 231))((2)301()(b - a 2)301(a b a 0ab b a =∴==⨯+-+=∴-=-=-+=+-=-==++=+=+=∴⊥θθ ）（ 解：b a b a b a b a b a b Θ0z y 13x 4705B 4-A 54-1n 0C 3B A 2-0D 0D Cz By Ax =++=+∴⊥=++==+++故有： ，， 又， 依题可得解：设平面方程为C Θ)2()2()2()2()()()22()()()(z du z dz 23322332222222xy y x e yz y y x x e x z dy xy y x e dx y y x x e xdy ydx e y x ydy xdx e xy d e y x y x d e dv ue du e dvv u xy xy xy xy xyxyxy xy v v --=∂∂-+=∂∂--+-+=+-+-=-+-=+=∂∂+∂∂= ，进而可得变性，得解：由全微分方程的不八、求函数())2sin(,y x xy y x f ++=在点()0,0P 处沿从点()0,0P 到点()2,1Q 的方向的方向导数。

大一高数c题库及答案高等数学C是一门主要讨论运筹学、概率论及统计的课程，因而在解题时，往往需要掌握一定的相关概念才能有效地解题。

下面，是为大一高数C课程准备的一些常见题库及答案，仅供参考。

一、运筹学：1.极值问题问题：已知函数f(x,y)=2×2+3×3-2xy，求极值点。

答案：∂f/∂x=6x-2y=0∂f/∂y=-2x-6y=0结论：x=y=-1/3，点(-1/3,-1/3)为极值点，且为极小值，因其导数=0。

2.最佳化问题问题：f(x,y)=2×2+3×3-4xy，求使得函数最大的点。

答案：∂f/∂x=6x-4y=0∂f/∂y=-4x-6y=0结论： x=y=-1/2，点(-1/2,-1/2)为极大值，其值为f(-1/2,-1/2)=1。

二、概率论：1.条件概率问题问题：在一抽样中有五名男生和五名女生，其中有三名男生掌握C 语言，已知如果一名学生掌握C语言的概率为p，求在这抽样中掌握C 语言的女生的概率。

答案：设随机选取的是女生时的概率为q，p(女生掌握C语言|随机选取的是女生)=p(女生掌握C语言并且随机选取的是女生)/P(随机选取女生) = 3/5 / q由贝叶斯公式可知：p(女生掌握C语言并且随机选取的是女生)= p(女生掌握C语言)*p(随机选取女生/女生掌握C语言) = 3/10 * q/5综上可得：p(女生掌握C语言|随机选取的是女生)= 3/5三、统计学：1.描述性统计量问题问题：在一组数据中，X的最小值为xmin，最大值为xmax，求X 的中位数。

答案：根据定义，中位数即将数据集分为两个等大的部分，由此可求得中位数 = (xmin + xmax)/2以上内容提供了一些大一高数C课程常见题库及相应解答，希望能够为大家解决同学常见的题目疑难，学习更上一层楼。

习题十九 不定积分总习题一．选择题：1．若()()df x dg x =⎰⎰，则有（ A 、B 、C ） A ．()()f x g x = B ．'()'()f x g x =C ．()()df x dg x =D ．'()'()d f x dx d g x dx =⎰⎰2．下列等式正确的是（ A ） A ．⎰=)()(x f dx x f dxdB ．⎰=')()(x f dx x fC ．⎰=)()(x f x dfD ．⎰=)()(x f dx x f d 3．若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 有一个原函数为（ D ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1cos x + D ．1cos x - *4．若)(x f 连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（ A ）A ．当)(x f 是奇函数时)(x F 必为偶函数B ．当)(x f 是偶函数时)(x F 必为奇函数C ．当)(x f 是周期函数时)(x F 必为周期函数D ．当)(x f 是单调函数时)(x F 必为单调函数二．填空题：1．设3x是()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰3x C +。

2．设'(ln )1f x x =+，则()f x =xx e C ++ 3．设)(t f 连续,()sin ()cos df t d t f t t dt =⎰4*．222(1)ln 2x f x x -=-，且：[()]ln f g x x =，则()g x dx =⎰2ln 1x x C +-+三．计算题：1．求下列不定积分：(1)(2)3(1)x dx x -⎰解：2=⎰ 解：3(1)x dx x -⎰311(1)(1)x d x x -+=---⎰C =- 2311(1)(1)(1)(1)d x d x x x =-----⎰⎰ 211112(1)C x x =-+⋅+-- (3)4sin cos 1sin x x dx x+⎰(4)742(1)x dx x +⎰解：4sin cos 1sin x x dx x+⎰ 解：742(1)x dx x +⎰444214(1)x dx x =+⎰ 4sin sin 1sin xd x x=+⎰ 44421(1)1(1)4(1)x d x x +-=++⎰ 2411sin 21sin d x x=+⎰ 444421111(1)(1)4(1)4(1)d x d x x x =+-+++⎰⎰ 21arctan(sin )2x C =+ 44111ln(1)44(1)x C x =++++ (5) ⎰xdx x 3cos 2(6) 224x x dx x -+⎰ 解：⎰xdx x 3cos 221sin 33x d x =⎰ 解：原式22244x x dx dx x x =-++⎰⎰ 212sin 3sin 333x x x xdx =-⎰ 222211(4)4(4)244x d x dx x x +-=+-++⎰⎰ 212sin 3cos339x x xd x =+⎰ 2214ln(4)24x x dx x =+-++⎰ 2122sin 3cos3cos3399x x x x xdx =+-⎰ 2211ln(4)21()2x x dx x =+-++⎰2122sin 3cos3sin 33927x x x x x C =+++ 21ln(4)2arctan 22xx x C =+-++ （7）221(1)dx x x +⎰ （8）215dx x x --⎰解：原式22111dx dx x x =-+⎰⎰ 解：原式211()1212()24d x x =---⎰1arctan x C x =--+x C -=2．设22'(sin )cos ,(0)1f x x f ==，求()f x 。

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-nn n n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++ 解： （4）00sin 1limlim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++== 原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x xx e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：......<+<1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。

c类全国大学生数学竞赛试题及答案由于我无法提供具体的试题和答案，因为这些通常受版权保护，并且每年都会有不同的试题。

但我可以提供一个模拟的C类全国大学生数学竞赛试题的样例，以及一个参考答案的框架。

样例试题：1. 选择题：设函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(2) \)的值。

A. -1B. 2C. 4D. 62. 填空题：若\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

3. 简答题：证明：对于任意实数\( a \)和\( b \)，不等式\( a^2 + b^2 \geq 2ab \)总是成立。

4. 计算题：计算下列不定积分：\[ \int \frac{1}{x^2 + 4x + 13} dx \]5. 证明题：证明等差数列的前\( n \)项和公式：\[ S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]其中，\( a_1 \)是首项，\( a_n \)是第\( n \)项。

6. 应用题：某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 1000 +50x \)，销售价格为\( P(x) = 300 - 0.5x \)，其中\( x \)是生产的产品数量。

求工厂生产多少产品时，利润最大。

参考答案框架：1. 选择题：根据函数\( f(x) \)的定义，将\( x = 2 \)代入，计算得到\( f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \)。

因此，正确答案是A。

2. 填空题：由于\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，根据勾股定理，\( \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 -(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5} \)。