大学高等数学下考试习题库(附答案)

高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。

答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。

答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。

计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。

极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。

大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（ ）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （ ）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（ ） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（ ）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 （ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9…解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .—4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 【解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学下考试题库(附答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，且f(a) = 1，f(b) = 2，则下列不等式成立的是：A. f(x) ≥ 1，a ≤ x ≤ bB. f(x) ≤ 2，a ≤ x ≤ bC. f(x) ≥ f(a)，a ≤ x ≤ bD. f(x) ≤ f(b)，a ≤ x ≤ b答案：C2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数f'(x) =3x^2 - 3，则f'(x)的符号变化点为：A. x = -1 和 x = 1B. x = 0 和 x = 2C. x = -1 和 x = 1D. x = 0 和 x = 1答案：A3. 下列关于极限的叙述正确的是：A. 当x → 0时，sinx → 0B. 当x → ∞时，e^x → ∞C. 当x → -∞时，|x| → ∞D. 当x → a时，x^2 → a^2答案：B4. 设函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 2答案：A5. 下列关于积分计算的叙述正确的是：A. 定积分与不定积分具有相同的计算法则B. 定积分的计算结果为数值，不定积分的计算结果为函数C. 被积函数为偶函数时，定积分的计算结果为非负数D. 被积函数为奇函数时，定积分的计算结果为0答案：D二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数为f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 32. 函数y = e^x的导数为y' = ______。

答案：e^x3. 定积分$$ ∫_{ a }^{ b }$$f(x)dx的定义为f(x)在[a, b]上的______。

答案：面积4. 设函数f(x) = x^2，则f(x)的极值点为______。

答案：x = 05. 设函数f(x) = sinx，则f(x)的周期为______。

大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。

这个定义描述的是（）。

A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。

答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。

答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。

答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。

答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。

A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1、 z=log a ( x 2y 2) (a0)的定义域为 D=.ln( x 2 y 2 )dxdy2、二重积分 |x| | y| 1的符号为.3、由曲线y ln x及直线xy e 1， y1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.x (t ) (x ),y(t)4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 ds.5、设曲面∑为 x2y29介于 z0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds.dyyy6、微分方程 dxtanx 的通解为.x7、方程 y(4 )4 y 0的通解为.18、级数 n 1 n( n1)的和为.二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f ( x, y) 在 ( x 0, y 0) 处连续；（ B） f x( x, y)， f y( x, y)在( x 0, y 0 )的某邻域内存在；zf x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y当( x)2（ C ）limz f x (x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 0x 0 ( x)2( y)2（ D ）y 0.u yf ( x)xf ( y),f2、设y x 其中 具有二阶连续导数，则（ A ）xy ； （ B ） x； (C) y；(D)0 .2 ( y)时，是无穷小；2u2ux2y2x y 等于（）： x2y2z2IzdV3、设1, z0,则三重积分等于（）2d 2d13sin cos dr（A ）4r0 0；2dd12sin dr（B ） 0 r；22d1r 3sin cosdrd（C ） 0；2d1r 3sin cos drd（D ） 0.4、球面 x2y 2z 24a 2 与柱面 x 2y 22ax所围成的立体体积 V= （）42d2a cos4a2r 2dr（ A ）；42 d2a cos 4a 2 r 2 drr （ B ）；82 d2 a cos 4a 2r2drr（ C ）；2d2 a cos4a 2 r 2 drr（ D ）2.5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q (x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy( )L( P Q) dxdy（A ） Dyx ；（ B ） ( P Q)dxdy（C ） Dxy ； （D ）6、下列说法中错误的是（）DDQ P()dxdyyx；(QP)dxdyxy.（ A ） 方程xy2 y x 2 y 0是三阶微分方程；y dy x dyy sin x（B ） 方程 dxdx是一阶微分方程；（ C ） 方程 ( x22xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2)dy 0 是全微分方程；dy 1 2y（ D ） 方程 dx xx2 是伯努利方程 .7、已知曲线 y y( x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy 6平行，而y(x)满足微分方程y 2 y 5y，则曲线的方程为y （）（ A ） e xsin 2x ；（ B ） e x(sin 2xcos 2x) ；（ C ） e x(cos 2 xsin 2 x) ；（ D ） e xsin 2x .lim nu n 0, 则 n 1 u n8、设 n （ ）（ A ）收敛； （ B ）发散； （ C ）不一定；（ D ）绝对收敛 .三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 7 分）设f , g均为连续可微函数 .uu , uf ( x , xy ), vg ( xxy ) ，求 xy .u( x,t )x tu ,ux f (z)dzt四、求解下列问题（共计 15分）.22y 2 dy1、计算Idx ex.（ 7 分）I(x 2 y 2 )dV是由x2y22z, z 1及 z2所围成的空间闭区域（ 8分）.2、计算，其中Ixdy ydxL22五、 （ 13 分）计算 xy，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O (0,0)的封闭曲线的逆时针方向 .f ( x) f ( y)x, y, f ( x) 满足方程f (x y)六、 （ 9 分）设对任意 1 f ( x) f ( y) ，且 f (0) 存在，求 f ( x) .( 1)n ( x2) 2n1七、（ 8 分）求级数 n 12n 1 的收敛区间 .高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）zz1、设 2sin( x2y 3z)x 2 y 3z ，则 xy.39 xylimxy x 02、y.I2 2 x f ( x, y)dydxxI3、设，交换积分次序后，.lim 1 3f ( x 2 y 2 )d4、设 f (u) 为可微函数，且f (0)tt.0, 则x 2 y 2 t 25、设 L 为取正向的圆周x 2y24，则曲线积分y( ye x1)dx (2 ye x x)dyL.6、设A( x2yz) i ( y2xz) j (z2xy) k，则 div A.7、通解为yc 1e xc 2e2 x的微分方程是.f ( x)1,x0 xa n8、设1, ，则它的 Fourier 展开式中的 .二、选择题（每小题 2 分，共计16分）.f ( x, y)xy 2 , x 2 y 2 0x 2 y 41、设函数0,x 2y 2）,则在点（ 0， 0）处（ （ A ）连续且偏导数存在；（ C ）不连续但偏导数存在；2、设u(x, y)在平面有界区域2u2ux y及 x2则（）（ B ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在 .D 上具有二阶连续偏导数，且满足2uy 2，（ A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（ B ）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C ）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D ）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 .D ： ( x 2) 2 ( y 1) 21，若 I 1( x y) 2 dI 2( x y)3 d3、设平面区域D，D则有（ ）（A ）I 1I2； （B ） I 1 I 2 ；（C ） I 1I 2 ； （D ）不能比较 .是由曲面zxy, y x, x 1及 z所围成的空间区域，则xy 2 z 3 dxdydz4、设=（）1111（A ）361； （B ）362； （C ）363； （D ）364.x (t)5、设f ( x, y)在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为y(t) (t)，其中(t ), (t ) 在 [ ,]上具有一阶连续导数，且2(t )2(t )， 则曲线积分f ( x, y)dsL（）f ( (t), (t))dt(B)f ( (t ), (t))2(t )2(t) dt(A)；； (C)f ( (t ), (t ))2(t ) 2(t )dt； (D)f ( (t ), (t ))dt.6、设是取外侧的单位球面 x 2 y 2 z 21， 则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=（）(A)0 ； (B)2； (C)； (D)4.7、下列方程中，设y 1, y2是它的解，可以推知(A) y p(x) y q( x) 0 ；(B)y(C) yp(x) y q( x) y f (x) ； (D)a ny 1y2 也是它的解的方程是（ ）p(x) y q(x) y 0 ；yp( x) y q(x) 0 .8、设级数 n 1 为一交错级数，则（ ） (A) 该级数必收敛； (B) 该级数必发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D) 若a n0 ( n0)，则必收敛.三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 8 分）求函数uln( xy2z 2 )在点 A （ 0， 1，0）沿 A 指向点 B （ 3， -2， 2）的方向的方向导数 .2、（ 7 分）求函数f ( x, y)x 2 y(4 x y) 在由直线 x y6, y 0, x 0 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值 .四、求解下列问题（共计15 分）dvI31、（ 7 分）计算(1 x y z)，其中是由x0, y 0, z 0 及 xy z 1所围成的立体域 .2、（ 8 分）设f (x)为连续函数，定义 F (t )[ z 2f ( x 2 y 2 )]dv，( x, y, z) | 0 z h, x2y2t2dF其中，求dt.五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求I(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy，其中 L 是从 A （ a ， 0）经yax x2L到O （0， 0）的弧 .Ix 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy是 x2y2z 2 (0 z a) 的外侧 .2、（ 7 分）计算，其中六、（ 15 分）设函数( x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分[ 3 (x) 2(x) xe 2x ] ydx( x)dyL与路径无关，求函数( x).高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）uyz t2dtue1、设xz， 则z.2、函数 f (x, y)xy sin( x 2y) 在点（ 0， 0）处沿 l(1,2) 的方向导数f (0,0)l=.x2y 2, zIf ( x, y, z) dv3、设为曲面z1 0所围成的立体，如果将三重积分化为先对 z再对 y最后对 x三次积分，则 I=.lim1f (x, y)d22224、设f ( x, y)为连续函数，则It 0 tD，其中D : xyt .( x 2y 2 )dsL : x 2y 2a25、 L，其中.6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为 公式 .7、微分方程y6 y 9 yx26x9 的特解可设为 y *.( 1) n 18、若级数 n 1np发散，则 p.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）f ( x a, b)f (a x, b)lim1、设 f x (a, b) 存在，则 x 0x=（ ）1（A ） f x(a,b)；（ B ） 0；（ C ） 2 f x(a,b)；（ D ）2f x(a,b).2、设zx y 2 ，结论正确的是（）2z2z2z 2z（ A ）x yy x； （ B ）x yy x；2 z2 z（ C ）x yy x； （ D ）3、若f ( x, y)为关于 x的奇函数，积分域2z2zx y y x.D 关于 y轴对称，对称部分记为D 1, D2 ，f ( x, y)在D 上连f ( x, y)d续，则D（）f (x, y) df ( x, y)df ( x, y)d（A ）0；（ B ）2 D 1；（ C ）4 D 1； (D)2 D 2.： x2y2z2R 2 ，则( x 2 y 2 )dxdydz4、设=（ ）8 R 54 R5 8 R516 R 5（A ）3； （B ）3； （C ） 15 ； （D ） 15 .5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L ，在点( x, y)处的线密度为( x, y) ，则曲线弧 Ｌ 的重心的 x坐标 x为（）1 x ( x, y)ds1x ( x, y)dx（Ａ） x =M； （B ） x =MLL；x ( x, y)ds1xds（ C ） x= L；（ D ） x =ML, 其中 M 为曲线弧 Ｌ的质量 .６、设为柱面 x2y 21和 x0, y 0, z1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz＝（ ）5（ A ） 0； （B ） 4； （C ）24； （D ） 4.７、方程y2 yf ( x)的特解可设为（ ）（ A ） A ，若 f ( x) 1； （ B ） Ae x，若f (x)e x ； （ C ） Ax4Bx3Cx 2DxE ，若 f ( x) x 22x ；（ D ） x( Asin 5x B cos5x) ，若 f (x)sin 5x .f (x)1,x 010 x，则它的 Fourier 展开式中的a n等于（８、设）2 [1 ( 1) n ]14（ A ）n； （ B ）0； （ C ） n ； （ D ） n.y f (x, t),t确定的 x, y的函数，其中f , F具有一阶连续偏三、 （１２分）设为由方程 F (x, y, t) 0 dydx .导数，求四、 （８分）在椭圆x 24y 24上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短 .五、 （８分）求圆柱面x 2 y 22y被锥面zx 2y 2和平面z 0 割下部分的面积Ａ .Ixyzdxdy为球面 x2y 2 z 2 1 的 x 0, y部分六、（１２分）计算，其中的外侧 .df (cos x) 1 sin 2 x七、 （ 10 分）设d (cos x)，求 f (x) .八、（ 10 分）将函数f ( x) ln(1 xx 2x 3 )展开成x 的幂级数 .高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、由方程xyzx2y2z22所确定的隐函数z z(x, y)在点（ 1， 0，-1）处的全微分dz.2、椭球面 x22 y23z26在点（ 1，1， 1 ）处的切平面方程是.x 2, yI(1 x 2 )dxdy3、设 D 是由曲线 yx2所围成，则二重积分D.4、设是由 x2y24, z 0, z4所围成的立体域，则三重积分I( x 2y 2 )dv=.5、设是曲面zx 2 y 2 介于z 0, z 1之间的部分，则曲面积分I(x 2y 2 )ds.x 2 dsx2y 2z 2a 26、 xy z 0.7、已知曲线 yy( x) 上点 M(0,4) 处的切线垂直于直线 x 2 y 5 0 ，且 y( x)满足微分方程 y 2yy，则此曲线的方程是 .8、设f (x)是周期 T= 2的函数，则f ( x)的 Fourier 系数为.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）zarcsinyxy1、函数x的定义域是（ ）（ A ） (x, y) | x y , x 0 ； （B ） ( x, y) | x y , x 0 ；（ C ）(x, y) | xy 0, x 0(x, y) | x y0, x 0 ；（ D ） (x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y 0 .2、已知曲面 z4 x 2y 2 在点 P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0，则点 P 的坐标是（ ）（ A ）（ 1，-1， 2）； （ B ）（ -1， 1， 2）；（ C ）（ 1， 1，2）； （D ）（ -1， -1， 2） .3、若积分域 D 是由曲线yx 2 及y2 x 2f (x, y)d所围成，则 D=（）12 x21x2（A ） 1dx x21yf ( x, y)dy（ B ） 1dx 2 x 2 ；2 x 21f (x, y)dy；（ C ）dy2 yf ( x, y) dx；（ D ） x 2dy1 f ( x, y)dx .4、设1: x2y 2z 2R 2, z 0;2: x2 y2z 2R 2, x 0, y 0, z 0，则有（）（ A ）xdv 4 xdv（ B ）ydv4ydv12；12；（ C ）xyzdv4 xyzdv（ D ）zdv4zdv12；12.5、设 为由曲面zx2y 2及平面 z 1所围成的立体的表面，则曲面积分( x2y 2 )ds =（ ）122（ A ）2； （B ） 2； （C ）2； （D ）0 .６、设是球面 x2y 2z 2a 2 表面外侧，则曲面积分x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy＝（ ）12a 312a 54 a 5（A ）5；（B ）5；（C ）5； （D ）k７、一曲线过点 (e,1)，且在此曲线上任一点 M ( x, y) 的法线斜率（）12a 55.x ln x xy ln x ，则此曲线方程为yx x ln(ln x)yx x ln xee（ A ）；（B ）；yx ln(ln x)（ C ）yex x ln(ln x) ；e（ D ）.( n 1) x n８、幂级数 n 1的收敛区间为（）（ A ）（ -1， 1）； （B ）(,)； （ C ）（ -1， 1）； （ D ） [-1 ， 1].uyf ( x) xg( y)三、（１０分）已知函数yx ，其中f , g具有二阶连续导数，求2u 2 ux yx 2x y的值 .四、（１０分）证明：曲面xyzc 3 (c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值 .五、（１４分）求抛物面z 4 x 2y 2 的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面( x 1)2y21内部的部分的体积为最小 .I(e x sin y y)dx (e x cos y x)dy2六、（１０分）计算 L，其中Ｌ为y4 x由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.y2 y y 2 七、（８分）求解微分方程1 =0 .x n八、（８分）求幂级数n 1n的和函数S( x).高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设zf (x, y) 是由方程 zy x xez y x所确定的二元函数，则dz.x 2 y 2z 2 3x 0２、曲线2x 3y 5z 4 0在点（１，１，１）处的切线方程是 .是由 x2y2z21，则三重积分e z dv３、设＝.a y４、设f ( x)为连续函数，a, m是常数且 a 0 ，将二次积分dye m(a x)f ( x)dx化为定积分为.Pdx Qdy与积分路径L( AB)无关的充要条件为５、曲线积分 L(AB).６、设 为 za 2 x 2 y 2 ，则 ( x 2 y 2z 2 ) ds.７、方程y3y e 2 x 的通解为.a nb n(a n b n ).８、设级数 n 1 收敛， n 1 发散，则级数 n 1必是二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）x 2 y ,(x, y) (0,0)f ( x, y)x 2 y 2１、设0,( x, y)(0,0)，在点（０，０）处，下列结论（）成立 .（Ａ）有极限，且极限不为 0；（Ｂ）不连续； （Ｃ）f x(0,0)f y (0,0) 0 ；（Ｄ）可微 .２、设函数（Ａ）2f2zf ( x, y) 有 y 2，且 f ( x,0) 1， f y( x,0) x，则 f ( x, y) =（）1 xy y 2； （Ｂ）1xy y 2； （Ｃ） 1 x 2yy2 ；（Ｄ）1x 2 y y 2 .３、设Ｄ： 1 x2y 24， f在 D 上连续，则f ( x 2 y 2 ) dD在极坐标系中等于（）22rf (r )dr2 22)dr1rf (r（Ａ）；（Ｂ）1；2 [2r 2f (r )dr1r 2f ( r )dr ]2 [2rf (r 2 )dr1rf (r 2 )dr ]（Ｃ）； （Ｄ）.４、设是由x0, y 0, z 0 及 x 2y z1所围成，则三重积分xf ( x, y, z)dv ( )1 1 yx 2 ydx12 dz（Ａ）111 x2 yxf ( x, y, z)dy；dxdyxf ( x, y, z)dz（Ｂ）；11 x1 x2 ydx2dyxf ( x, y, z)dz（Ｃ）；11 dy1dx xf (x, y, z)dz（Ｄ） 0.５、设是由x0, y 0, z 0, x 1y1, z 1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy ( )（Ａ） 0；（Ｂ） 1； （Ｃ） 3；（Ｄ） 2.６、以下四结论正确的是（）(x2 y2 z2 ) dv 4 a 5 （Ａ）x2 y 2 z2 a23 ；x2 y 2 z2 ds 4 a 4 ;（Ｂ） x2 y2 z2 a2( x2 y2 z2 )dxdy 4 a 4 （Ｃ）x2 y 2 z2 a2外侧；（Ｄ）以上三结论均错误 .７、设g ( x)具有一阶连续导数，g(0)1.并设曲线积分yg ( x) tan xdx g( x)dyL与积分路径( , )g( x) dy ( )4 4 yg( x) tan xdx无关，则(0,0 )2 2 2 2（Ａ） 2 ；（Ｂ） 2 ；（Ｃ）8 ；（Ｄ）8 .( 1) n 1８、级数n 1 2n 1 的和等于（）（Ａ） 2/3；（Ｂ） 1/3；（Ｃ） 1；（Ｄ） 3/2.三、求解下列问题（共计１５分）u u u１、（８分）设ux yz ,, 求x y z .u f ( x,y)（７分）设y z，f具有连续偏导数，求du.四、求解下列问题（共计１５分）I af (x) bf ( y) d2 y 2 R 2１、（８分）计算D f (x) f ( y)，其中D : x .I ( x y z 1) dv（７分）计算，其中 : x2 y 2 z2 R 2 .五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，2 xy( x 4 y 2 ) dx x 2 ( x 4y 2 ) dyu( x, y) .L与积分路径无关，并求其一个原函数1 xf ( x)x)3六、 （８分）将函数(1 展开为 x的幂级数 .七、 （７分）求解方程y6y9y.高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1．设函数 f ( x, y) 在 P( x 0 , y 0 )的两个偏导 f x ( x 0 , y 0 ) ， f y( x 0, y 0)都存在，则( )A ．f ( x, y)在 P 连续B ．f (x, y)在 P 可微lim f ( x, y 0 ) lim f ( x 0 , y) C ． x x 0及 y y 02．若zy ln x ，则dz等于（ y ln x ln y y ln x ln yA. x yC . y ln x ln ydxy ln x ln y dyxlim f ( x, y)都存在D ． ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) 存在）．B.y ln xln yxy ln x ln yy ln x ln xD.dxdyxy是圆柱面 x2y 22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f (x, y, z) dxdydz (3．设）．A.2d2 cos1f (r cos , r sin , z)dzB.2d2cos rdr 1f (r cos , r sin , z)dz0 dr0 02d2 cos12cos x rdr1C.rdrf (r cos , r sin , z)dzD . df (r cos , r sin , z)dz2a n (x 1)n1 处收敛，则此级数在 x2 处（ 4． 4．若 n 1 在 x）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定x y z 25．曲线 z x 2y 2在点（ 1，1， 2）处的一个切线方向向量为（ ） .A. （ -1， 3， 4）B. （ 3， -1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）edxln xIf ( x, y)dyI2．交 换 1的积分次序后， _____________________ ．z23．设u2xy，则 u 在点M ( 2, 1,1)处的梯度为.e xx nn! ，则 xe x4. 已知 n 0. 5. 函数zx 3y 3 3x 2 3y 2 的极小值点是.三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）z y arctanyzzy .1.（本小题满分 6 分）设x , 求 x,2.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 23y2z29 的平行于平面 2x 3y 2z 1的切平面方程，并求切点处的法线方程r1 r 3 r3. （本小题满分 7 分）求函数z x 2y 2 在点 (1,2) 处沿向量l 2i2 j方向的方向导数 .1f ( x)3的幂级数，并求收敛域 .4. （本小题满分 7 分）将x展开成x5．（本小题满分 7 分）求由方程2x 2 2y 2 z 2 8yz z 8 0 所确定的隐函数 z z(x, y)的极值 .(x 2y 2 )d , D 由曲线 x1 y2 , y1, y 16．（本小题满分 7 分）计算二重积分 D及 x2 围成 .xy 2 dy x 2 ydx22 2Lxa向） .xydxdydz是由柱面 x2y21 及平面 z 1, x 0, y所围成8. （本小题满分 7 分）计算 ，其中且在第一卦限内的区域 ..四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）u n ,v n(u n v n )21．（本小题满分 8 分）设级数 n 1n 1都收敛，证明级数 n 1收敛 .f2xf ( x, y) 在 R 2内具有一阶连续偏导数，且x2．（本小题满分 8 分）设函数，证明曲线积分2xydx f ( x, y)dyt 恒有L与路径无关．若对任意的( t ,1)f ( x, y) dy(1, t )f ( x, y)dy2xydx2xydx(0,0)(0,0)，求f ( x, y)的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、 1、当 0 a 1时，x 2y 21；当a 1 时， x 2 y 2 1 ；1 e 1 yddye ydx;3222、负号；3、 D24、(t )(t )dt ；y；Cxsin5、 180 ；6、 x；7、yC 1 cos 2x C 2 sin 2x C 3 e 2 x C 4 e2 x ；8、 1；二、 1、 D ； 2、 D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、 B ； 7、 A ； 8、C ；uf 1 yf 2uxg (xxy )三、 1、xy；；uf (x t)f (x t )uf (xt) f (x t )2、xt；；22e y2dy 2 y y 2dx2y2dy 1 (1 e 4)dxdyeye2四、1、 0x； 柱面坐标22 23dz 22 dr 23dz 14I0 ddrrd 2 1 2 r1r32、2；五、令Py ,QxPy 2 x 2Qx 2y 2 x 2y 2 则 y ( x 2y 2 )2x ， ( x, y) (0,0) ；P , Q于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O （ 0， 0）时，yx在 D 内连续 .所以由 Green 公式得：P , QI=0 ；②当 L 所围成的区域 D 中含 O （ 0，0）时， yx在 D 内除 O （ 0，0）外都连续，此时作曲线l为 x2y22( 01)，逆时针方向，并假设D * 为 L 及 l 所围成区域，则ILl l L l Green 公式 (QP) dxdy 2lD *xy x 2 y 22六、由所给条件易得：f (0)2 f (0) f (0)1f 2( 0)f (x)lim f ( xx) f ( x) 又x 0xlim1 f2 ( x)f ( x)f ( x) f (x)x x 01f ( x) f (0)即1f 2 ( x)arctan f ( x) f ( 0) xc 即 又 f (0) 0 即 c k , k Zf (x) f ( x)f ( x)lim 1 f ( x) f ( x)= x 0 xf ( 0)f (0)[1 f 2 ( x)]f ( x) tan[ f (0) x c] f ( x) tan( f (0)x)( 1) nt 2n1七、令x 2 t，考虑级数n 12n 1t 2 n3lim 2n 3 t 2t 2 n 1n2n 1当 t 21即t1时，亦即 1x3时所给级数绝对收敛；当t 1即 x3 或 x 1 时，原级数发散；当t1即 x1时，级数n( 1) n 11 12n 1 收敛；(1) n 11收敛；当 t 1 即 x 3 时，级数 n 12n级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1， 3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案2y42dyf ( x, y)dxdy一、 1、 1； 2、-1/6 ； 3、y / 22 y / 2f ( x, y)dx2 f (0)；4、3；5、 8； 6、2(x y z)； 7、yy2 y；8、 0；二、 1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、 D ； 7、B ； 8、C ；三、 1、函数uln( xux AxuAyxuz Ax而 l ABuul Axy 2 z 2 )在点 A （ 1，0， 1）处可微，且1 (1,0,1)y 2z 21/ 2；1y (1,0 ,1)y 2z 2y 2z 2；1z(1,0 ,1)1/ 2y 2z 2 y 2z 2l 2 2 1(2, 2,1), ( ,, ),故在 A 点沿 l AB方向导数为：所以33 3uA cosuAcosAcos + y+ z1 2 0 ( 2 1 1 1/ 2.2 3 ) 2 33 f x 2xy(4 x y) xy( 1) 0f y x 2 (4 x 2 y)得 D 内的驻点为M 0 (2,1),且 f (2,1)4，2、由又 f (0, y) 0, f (x,0) 0而当xy 6, x 0, y0 时， f ( x, y) 2x 312 x 2(0 x 6)令(2 x 312x 2 ) 0 得 x 10, x 2 4于是相应y 16, y 2 且 f (0,6) 0, f (4,2)64.17/180 x 1: 0y x 1四、 1、的联立不等式组为0 z 1 x ydz11 x1 x yIdxdy 0(1x yz)3所以11 1 x [112dxxy) 2]dy0 0(1 41 1 13 x )dx 1ln 252(4 216x 12、在柱面坐标系中2t ht21 32[hf ( r ) rr ] drF (t )ddr [ z 2f ( r 2)] rdzh3所以dF 2 [hf (t 2)t 1h 3t ] 2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]dt3 3五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：。

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。