浅谈数形结合的应用-厦门华天涉外职业技术学院

浅谈数形结合的应用
张美花
摘要：数与形是数学研究的两个重要方面。

一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。

另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。

本文利用数与形的结合解决数学中的一些问题，能够直观而形象地解决一些较为复杂的问题。

关键词： 数形结合 抽象 直观 应用
在研究过程中发现，数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。

数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

一．代数问题用几何方法解决
数与形在一定条件下可以互相转化，如某些代数问题往往有几何背景，而借助其背景图形的性质，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

例1 求方程2Sinx=x 解的个数
解 函数y=2sinx ,y=x 的图象很容易能画出(如下图)
可以看出当x>2和x<－2时这两个函数不可能有交点，而当－２≤x ≤２时有三个交点。

显然方程Sinx=2x 解的个数即是这两个函数y=sinx ,y=2x 的图象交点的个数，据数形结合知它们交点的个数是3,故原方程有3个不同的解.
此题如果用其它一般的求方程的方法来求是不适宜的，例如通过移项，两边同时乘，除同一数，平方，开方，积分，微分等常用的解方程的方法将无济于事。

根据函数的性质进行分段的讨论又将x
y x
y =x
y sin 2=
很复杂，而且很容易就出错，甚至得不出正确的结果。

但是用了数形结合的方法却清晰，快速，准切地求出了答案。

例2 求在圆()()12122=-+-y x 上的点到直线y =21x-2
1的最大值与最小值. 分析:本题完全可以用代数的方法,即先求出圆上任意一点到直线的距离关系式,再根据函数的关系式去求的最大值与最小值.在做的过程中会发现计算非常的复杂,而且在去掉绝对值时需要进行讨论正数还是负数,可以说过程是复杂易错.
但如果建立直角坐标系,画出这两个函数的图象,可以知道尽管圆上的点到直线的距离可能不同,但圆心到直线的距离是固定不变的,再根据三角形不等式的性质,判断出(如下图所示)所求最大值为点到直线的距离,最小值为点到直线的距离. 解 由点到直线距离公式知:圆心0到直线 的距离 d = ()221212121121-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-⨯ =554 据数形结合知直线l 上的A 和B 到直线y =21x-2
1的距离最大与最小. max d =d + r = 5
54 + 1 min d = d –r = 5
54 - 1 因此数形结合是一种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象概念和解析式，若赋之以几何意义，往往变得非常直观形象，并使一些关系明朗化、简单化。

二．几何问题用代数方法解决
在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，转化为几何问题，⋅()
2,1y
l A
B x
O 2121-=x y 2
121-=x y
利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解决问题的途径，因为往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。

这对提高分析问题和解决问题能力的提高将有极大帮助.
例3 求由抛物线y 2
=2x 与直线y=x-4所围成的平面图形的面积。

解：作出它的草图:， y=x-4
y 2
=2x 并求抛物线与直线的交点，即解方程组 ⎩
⎨⎧-==422x y x y 得交点A(2,-2),B(8,4).
一般地,我们习惯选择x 为积分变量,但从图形中可以看出,若选x 为积分变量,则需要所求图形的面积分成两块,即将分为两个积分区间:[0,2]和[2,8],并且求出当y>0和y<0时y=f(x)函数表达式,再根据数量关系用定积分求出在这两个区间的面积之和,这种过程就比较复杂.
如果选择y 作积分变量，y ∈[-2,4]，任取一个子区间[ y, y + dy] ∈[-2,4]，
则在[ y, y + dy]上的面积微元是
dA = (x 2- x 1)dy =[(y + 4)-2
2
y ]dy 于是 A = ⎰-4
2[(y + 4)-2
2y ] dy =（22y ＋4y -63
y ）2
4- =(8+16-
664)-(1-8+6
8) = 18
数形结合解题就是在解决与几何问题有关的问题时，将图像信息转换为代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题。

y x
B
A
三 数形结合可使抽象的复杂问题简单化
巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,有时可取到事倍功半的效果,数形结合的重点是研究”以形助数”.
例4 已知|Z|=1, 求ω=2Z+2+i 的幅角主值范围
解:由已知知点ω的轨迹是OA k =-4
3 |ω-（2+i ）|=2
即 （x-2）2+(y-1)2=4
如图所示y 轴是其一条切线，设过原点的另一 条切线OP,设圆心到点p 的距离为d,则: ()()431
12412222-=⇒+-=⎩⎨⎧=-+-=k k k d y x kx y 据数形结合知arg ω∈[0,2π
] ∪[2π-arctan 43,2π]
在数学解题中，方法至关重要，这对于节省时间，提高效率，煅炼能力有重要的作用。

运用形数结合解题，产生较好的效果。

它可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开阔思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理、决策的能力，真正提高数学素质、创新精神和创新能力。

平时应注重培养这种思想意识,争取见数想形,以开拓视野。

数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。

巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程.正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”
参考文献：
x y A
⋅O ()
1,2
［１］盛祥耀主编，教育部高职高专规划教材《高等数学》，高等教育出版社，2002第[069114号]，2005年重印［２］张雄，李得虎编著，《数学方法论与解题研究》，高等教育出版社，2003第[037784号]，2004年重印
作者简介：张美花，理学士，助教，厦门华天职业技术学院数学教师。