周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。

,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。

把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。

[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。

为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结篇一：函数周期性结论总结函数周期性结论总结①f(x+a)=-f(x)T=2a②f(x+a)=±1T=2af(x)③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+tf(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|证明：f(a+x)=f(a-x)f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)假设a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)T=2(a-b)现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]=-f[a-(x+a-2b)]=-f(2b-x)=f(x)篇二：函数周期公式主要知识：1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

高中数学抽线函数周期性难题解题技巧（名师总结）今天跟同学们分享一个专题就是抽象函数怎么想周期，同学们抽象等式给到我们的时候有的时候，有得时候让我们找周期性、找对称中心、看奇偶函数等等一系列的问题，同学内题型还是比较困扰同学们的，今天就给同学分享一下抽象函数找周期性的问题！今天通过4个例题的讲解，同学们在遇到这类题型的时候，就知道是找抽象函数周期行的题型！函数周期性技巧原理讲解：首先这是定义是对每一位同学基本的要求，你必须要要掌握，同学们考试的时候给我们的周期式肯定不会这样简单，比如说f(x+8)=f(x)那么一目了然就知道周期式8，同学们这类题的考察本质是函数周期，那么它一定不会给那么简单地式子，而他会隐身给周期的解析式；接下来老师会分享四个抽象等式的式子，同学能够完全记住，在以后做题的时候才能节约时间；接下看一下不等式的两种出现方式；同学先讲两个f()型的题型，两个f()型我们要找到周期原本的定义，那怎么来找出周期的本质定义了，这里来看老师的具体讲解，怎样来理解；接下来；老师会由浅入深给同学讲一些难点，能够做到循序渐进；接下来要注意了，重点来了，这个式子两两个都是复杂，同学们分享到这里，同学以后做题的时候对函数周期的了解、掌握不仅仅局限于定义式，而是这四个你都要记住，这里重要说一个知识点：第二个式子与第三个式子其实是一个类型的，二式m为正、三式前面有负号，这里正负其实没有关系，只要是这种形式那么周期一定等于a的2倍:第四式是绝对值括号内部相减，绝对值括号内x+a-x-b,这个时候正x、负x约掉就是绝对值a减b或者b减a,接下来要解决这样的问题，就要掌握什么样的情况想周期、什么情况想奇偶性、什么情况想对称轴、什么情况想对称中心，要解决这些问题老师给同学们总结了一句话，这句话是非常重要的。

只要把这句话掌握清楚明白周期一眼就能看出来；此类抽象等式：当f()内x前系数相同时一定想周期！我们来看一下前面的不等式是不是这么一会事了，不要想要眨眼，是时候表演真正的技巧了：这里讲的是正常周期，正常周期是f()外侧的系数相同，等式中f()外面的系数的绝对值是相等的；今天没有分享内周期，所以不要抬杠！接着分享：上面讲的都是两个f()型，这道题函有三个f()型；这里体现了数学的逻辑性，是一环扣一环的，如果没有看懂，可以找老师要视频资料；好的这道就把周期给大家解决掉，我可以告诉大家，这道题的答案是1，同学可以自己算，我把最重要的东西给大家搞定就可以了，接着在看一题，今天分享抽象函数周期型那题尽分享完了，这篇文章有对应的视频资料，需要的可以联系老师！。

高中数学涉及周期的公式，例题，证明12以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。

解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。

1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x)，则f [f (52)]= 解：令x=0，f(0)=0; 令x =−12，f (−12)=0； 令x =12，f (32)=0； 令x =32，f (52)=0； ∴ f [f (52)]=f (0)=02. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1−x ),x ≤0f (x −1)−f (x −2),x >0，则f(2009)=解：整理f (x )=f (x −1)−f (x −2)， 得到f (x −1)=f (x )+f (x −2)令x=x+1得到，f (x )=f (x +1)+f (x −1)由公式6知道周期为6，即f (x +6)=f(x)，x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。

由公式f (x )=f (x −1)−f (x −2)得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=0，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。

令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。

令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，∵ x不恒为零，∴f(0)=12∴f(2010)=1。

2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。

高中数学涉及周期的公式,例题,证明以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。

解周期问题,两种方法：1.列举多个数据,找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。

1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f[f(52)]=解：令x=0 ,f(0)=0;令x=−12,f(−12)=0；令x=12,f(32)=0；令x=32,f(52)=0；∴ f[f(52)]=f(0)=02.定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1−x),x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0,则f(2009)= 解：整理f(x)=f(x−1)−f(x−2),得到f(x−1)=f(x)+f(x−2)令x=x+1得到,f(x)=f(x+1)+f(x−1)由公式6知道周期为6 ,即f(x+6)=f(x),x>0f(2009)=f(334×6+5)=f(5)。

由公式f(x)=f(x−1)−f(x−2)得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=0,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R,则f(2010)=3.已知函数f(x)满足f(1)=14思路：消元和赋值。

令x=x,y=1 ,则f(x)=f(x+1)+f(x−1) ,根据公式6知道,f(x+6)=f(x) ,∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。

令y=0 ,则4f(x)f(0)=2f(x) ,∵ x不恒为零,∴f(0)=12∴f(2010)=1。

2下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程,并总结了推导周期过程的一般思路。

因为word 输入数学公式太过麻烦,所以手写了出来,以图片的形式奉上。

函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。

更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。

二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。

2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。

3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。

三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。

2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。

四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。

2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。

3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。

五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。

2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。

3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。

六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。

2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。

周期函数一、周期函数的 定义1、 对于函数 f (x) ，假如存在一个非零常数，使适当x 取定义域内的每一个值 时，都有．．．．T．．．．f ( x T ) f ( x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。

注意：① 定义域：对于任何函数， 都需要明确其定义域， 对于周期函数来说， 其定义域必为起码一端无界 的会合。

原因：设周期为 T, 由周期函数的定义知 f(x+T)=f(x), 易得 f(x+nT)=f(x) ( 此中 n 是整数 ), 即 x+nT 也在定义域内 , 故周期函数定义域必是无界集。

例题： y sin x(0 x 10 ) 是周期函数吗？② 变的只好是 xT 的变化只好发生在 x 上。

比如 f ( x) sin(3 x 8) 是周期函数，则 f (x T ) sin[3( x T ) 8] ，不可以写成 f (x T ) sin(3x T 8)。

例题： sin x 2sin x，那么 2 是 sin ( x) 的周期吗？333③ 图像为周期颠簸的函数不必定是周期函数，要察看定义域。

比如： f ( x) x [ x] （ 3 x 3 ）（ [ x] 是取整函数， 表示不超出 x 的最大整数），该函数的图像以下所示，该图像重复出现，可是由于其定义域两 端都有界，因此其必不为周期函数。

二、 周期函数问题的有关题型及解答。

中心：全部周期函数的问题，中心在求出周期 T ，马上题目里各样 f ( x) 的等 式往 f ( x T) f ( x) 方向化简。

化简过程中需要注意的有关函数观点 ：化简过程中要注意 f (x) 自己的对称性和奇偶性。

三、抽象函数的周期总结1. f ( x)f (x T ) 型： f ( x) 的周期为 T 。

证明：对 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x T)f ( x) ，则 f (x) 为周期函数， T 叫函数 f (x) 的周期。

周期函数怎么证明周期函数是指在一定区间或整个数轴上具有重复性质的函数。

当函数满足一定条件时，可以通过证明其具有周期性来得出其为周期函数。

证明一个函数为周期函数的方法有多种，下面我将介绍其中两种主要方法：方法一：通过函数表达式证明周期性首先，对于周期函数f(x)，我们需要找到一个正数T，使得对于任意实数x，都有f(x)=f(x+T)。

1.针对具体的函数表达式f(x)，我们可以通过观察函数的特征来推测周期。

2.对函数f(x)进行变形，使得函数表达式能够符合周期函数的形式，即存在一个正数T，满足f(x)=f(x+T)。

3.求解方程f(x)=f(x+T)，得到周期T的具体值。

这里需要注意，周期可以是任意正数，也可能是一个最小正数。

例如，对于函数 f(x) = sin(x)，我们需要证明其为周期函数。

1. 观察函数的特征，sin(x) 的函数图像在 x 轴正半轴和负半轴上都具有对称性。

2. 通过变形，我们可以得到f(x) = sin(x + 2π)。

3. 求解方程sin(x) = sin(x + 2π)，得到周期T = 2π。

方法二：利用数学定理证明周期性根据数学定理，如果一个函数f(x)在一些整数n处具有周期T，那么对于任意整数k，f(x)在n+kT处也具有相同的函数值。

1.假设函数f(x)在一些整数n处具有周期T。

2.对于任意整数k，证明f(x)在n+kT处具有相同的函数值。

-记作f(n)=f(n+kT)。

-利用函数的性质和数学定理进行推导，得出f(n)=f(n+kT)成立。

3.根据任意整数k，得出f(x)的周期为T。

举个例子，我们证明函数 f(x) = cos(5x) 为周期函数。

1. 变形后的函数表达式为f(x) = cos(5(x + 2π/5))。

2. 假设整数 n = 0，考虑整数 k，我们证明 cos(5 * 0) = cos(5 * (0 + k * 2π/5))。

3. 应用余弦函数的周期性质，得出cos(0) = cos(5 * k * 2π/5)，即 1 = 14. 根据数学定理，我们得出结论：函数 f(x) = cos(5x) 的周期为2π/5综上所述，通过函数表达式或数学定理，可以证明一个给定函数具有周期性。

周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明周期函数是指函数在一些时间间隔内重复出现相同的值的函数。

周期函数的周期是指函数在一个完整的周期内重复出现的时间间隔。

在讨论周期函数的注意点之前，我们先来了解一下常见的抽象函数周期性的证明。

常见抽象函数周期性的证明：1.偶函数的周期性证明：偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。

要证明一个函数是偶函数，需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。

其中常见的方法有代入法和变量替换法。

例如对于函数f(x)=x^2-1，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，所以函数f(x)是一个偶函数。

2.奇函数的周期性证明：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。

要证明一个函数是奇函数，也需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。

同样常见的方法有代入法和变量替换法。

例如对于函数f(x)=x^3+x，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。

3.周期为2π的三角函数的周期性证明：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，它们的周期都是2π，也就是说sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。

可以通过代数方法来证明它们的周期性，我们需要利用三角函数的性质和三角恒等式。

例如对于函数f(x) = sin(x)，我们有f(x + 2π) = sin(x + 2π)= sin(x)cos(2π) + cos(x)sin(2π) = sin(x)，而且sin(x)在区间[0,2π]上单调递增，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。

同理，对于函数f(x) = cos(x)，我们有f(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) - sin(x)sin(2π) = cos(x)，而且cos(x)在区间[0,2π]上单调递减，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。

函数专题抽象函数的类型和解法二、抽象函数：1、f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)2、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 3、f (x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 4、对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 5、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 6、已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.7、设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f )3x (f 21)]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++>-解方程解不等式8、)xy1yx (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；（Ⅱ）).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++函数专题函数的奇偶性题型一：奇偶性证明（两大步骤） 1.一般函数： 例1：f(x)=12+x x例2：f(x)=22-12--x x2，含参数函数例：f(x)=R a a x a x ∈--+, 3.分段函数例1：⎪⎩⎪⎨⎧--∈-+∈--=]1,6(,4)5()6,1[,4)5()(22x x x x x f 例2：⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f4.抽象函数例1：f(a)+f(b)=f(a+b) 例2：f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 5,指数函数例：f(x)=x x 214+6,对数函数 例：f(x)=xxa -+11log题型二：利用奇偶性求值问题1.8)(35-++=bx ax x x f ，f(2)=10,求f(2)的值2.x x eaa e x f +=)(是定义在R 上的偶函数（1）.求a 的值（2）.求证f(x)在（0，+∞）是增函数 3.f(x)=)(212R x a x∈--是奇函数，求实数a 的值题型三：利用奇偶性求解析式问题例1：X>0时，f(x)=13++x x ,求x<0时f(x)的解析式 例2：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求f(x),g(x)题型四：奇偶性单调性结合1.奇函数在关于原点对称的两个区间内单调性相同2.偶函数在关于原点对称的两个区间内单调性相反例1：f(x)是定义在（-1，1）的奇函数，若0)1()1(2>-+-t f t f ，求t例2：定义在[]1.1-上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)为增函数，若)2()1(m f m f <+成立，求m 的取值范围。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数周期的求法函数模型法抽象函数的周期是指函数在一个周期内重复的最小单位长度。

对于周期函数，它的周期可以通过函数模型法来求解。

本文将详细介绍函数模型法，并以具体的例子进行解释。

函数模型法是一种求解函数周期的常用方法，它的核心思想是通过构建函数模型来寻找函数的周期性规律。

具体而言，可以通过观察函数的图像、函数的性质以及函数的定义域和值域等来构建函数模型，从而求解函数的周期。

在使用函数模型法求解函数周期时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 寻找函数的周期性规律首先，我们需要观察函数的图像，尝试发现函数的周期性规律。

在观察图像时，可以注意函数的重复部分，例如曲线的形状是否相同、峰值或谷值是否重复出现等。

对于一些简单的函数，周期性规律可能比较明显，但对于一些复杂的函数，可能需要借助额外的方法来寻找周期性规律。

Step 2: 构建函数模型在寻找到函数的周期性规律之后，我们可以尝试构建函数模型。

函数模型可以描述函数的周期性特点，并且可以通过函数模型来预测函数在其他区间的表现。

函数模型可以是一个数学式子或者一个函数图像。

具体而言，如果函数的周期是T，则可以构建函数模型为：f(x+T)=f(x)。

即函数在周期T内的任意两个点的函数值相等。

通过构建函数模型，我们可以利用函数的周期性规律来简化函数的计算和分析。

Step 3: 求解函数的周期一旦构建了函数模型，我们可以通过函数模型来推导函数的周期。

具体而言，我们可以将函数模型中的变量替换为特定的数值，来找到满足函数模型的周期T。

对于一些简单的函数，可以直接观察函数模型的形式来求解周期。

例如，对于正弦函数sin(x)，它的函数模型为sin(x + 2π) = sin(x)，因此它的周期是2π。

但是对于一些复杂的函数，可能需要借助一些数学方法来求解周期。

例如，对于幂函数f(x) = ax^b，其中a、b为常数，可以通过求解函数的导数或者利用对数函数的性质来求解周期。

周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。

抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(b-x)$，则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$（或 $f(2a-x)=f(x)$），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

推论2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)=f(a-x)$，又若方程 $f(x)=0$ 有 $n$ 个根，则此 $n$ 个根的和为 $na$。

定理2：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(b-x)=c$（$a,b,c$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

推论1：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，且满足条件$f(a+x)+f(a-x)=0$（$a$ 为常数），则函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(a,0)$ 对称。

定理3：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 两函数的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$ 对称。

定理4：若函数 $y=f(x)$ 定义域为 $R$，则函数$y=f(a+x)$ 与 $y=c-f(b-x)$ 两函数的图像关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$ 对称。

性质1：对函数 $y=f(x)$，若 $f(a+x)=-f(b-x)$ 成立，则$y=f(x)$ 的图像关于点 $(2,0)$ 对称。

性质2：函数 $y=f(x-a)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称。

性质3：函数 $y=f(a+x)$ 与函数 $y=f(a-x)$ 的图像关于直线 $x=0$ 对称。

图③图①图②抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性” 在高中数学的学习中，每个学生都或多或少的遇到过几次类似()()f a x f a x +=-亦或()()f x a f x b +=-+这类关于函数的抽象描述，大多数学生都能够通过积累经验后，认识到前式涉及到函数对称性，后式涉及到函数周期性。

但是大部分学生对于这类抽象表示依然不理解，那么有没有一种较为实在又准确的方式来理解它们并加以记忆呢？一、对称性：1.轴对称（1）. 以()()f x f x =-为引例：关于()()f x f x =-的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为x 和x -。

那么()()f x f x =-可以解读为：互为相反的两个自变量（x 和x -）所对应的函数值相等。

下面我们通过取若干个常数x ，来模拟(),y f x x R =∈的图象分别取12x a =、、()a R ∈，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性：那么就不难理解用()()f x f x =-作为偶函数的定义，即图象关于y 轴呈轴对称。

（2）. 下面按照上述方式对()()11f x f x +=-加以解读首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量分为1x -和1x +。

因为()()1112x x -++=，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量1x -和1x +始终保持着关于1x =对称的位置关系。

那么()()11f x f x +=-可以解读为：关于1x =对称的两个自变量对应的函数值始终相等。

模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性。

且其对称轴1x =是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆。

（3）. 对于一般的()()f a x f a x +=-，由于()()2a x a x a ++-=，那么按照上述方式可以解读为：关于x a =对称的两个自变量所对应的函数值相等，易得函数()y f x =关于x a =呈轴对称。

抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。