概率论区间估计

第１８卷第２期　２０１０年４月　安徽建筑工业学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ＆．Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ｖｏ１．１８　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２０１０　

岩土工程可靠度评价的概率区间估计　

丁梅文　，　贾　超　

（１＿安徽省地勘局第一水文工程地质勘察院，蚌埠２３３０００；２．山东大学土建与水利学院，济南２５００６１）　

摘要：论述了将基于概率分析的可靠度理论用于岩土工程可靠性评价中更符合客观实际，给出了多种破坏　模式下，失效概率的一阶和二阶概率界限的计算方法。得出了若干有益的结论。　关键词：岩土工程；可靠度；概率界限；破坏模式　中图分类号：ＴＵ４３１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—４５４０｛２０１０｝０２—０２６—０３　

Ｇｅｏｔｅｅｈｎｉｅａｌ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｆａｉｌｕｒｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｂｏｕｎｄｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ　

ＤＩＮＧ　Ｍｅｉ—ｗｅｎ　，　ｊＩＡ　Ｃｈａｏ。　（１．Ｆｉｒｓｔ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ　Ｈｙｄｒｏｇｅｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｇｅｏｌｏｇｙ　Ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ．Ｂｅｎｇｂｕ　２３３０００；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｗａｔｅｒ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ　２５００６１）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｉｓ　ｕｐ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｒｅａｌｉｔｙ．Ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｆａｉｌｕｒｅ　ｍｏｄｅｓ，Ｕｎｉ．－－Ｍｏｄａｌ　ｂｏｕｎｄｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｓｏｍｅ　ｖａｌｕａｂｌｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｃｏｎ—　ｃｌｕｄｅｄ．　

章 节

名 称 区间估计

教 学目 标 理解置信区间的概念，了解置信区间计算的基本原理及步骤

教 学重 点 置信区间的概念，置信区间计算的基本原理及步骤

教 学

难 点 置信区间计算的基本原理及步骤

教学内容

一、引入新课：

点估计量是有不足之处的，因为点估计量是一个随机变量，每给一个样本观测值点估计的值就会发生变化。虽然这些点估计的值都在真值附近波动，但是因为真值是未知的，所以这些点估计，他与真值之间到底有多近，这是不得而知的，因此点估计不能反映估计的精度。因此我们就想能不能给出未知参数的一个估计范围，并使其包含增值的可靠性，达到一定的要求，这就是我们今天要给大家介绍的区间估计。

二、讲授新课：

引例，估计一下某人的年龄范围。

第一种你可能会选择1岁到100岁，第二种区间估计，20岁到21岁。

很明显，第一种区间长，他的可信度高，也就是说，真值100%都在这个区间里面，但是精确度却很低。第二种区间短，这时可信度就低，也就是说，真值是不是在这个区间里面呢？因为区间太短可能性就很低了，它的精确度却很高。

因此，我们发现可信度和精确度是一对矛盾，提高了可信度，精确度就下降了，提高了精确度，可信度就会下降，那么在他们两者之间，我们应该如何取舍呢？

统计学家奈曼提出了处理原则，先确定可以接受的可信度的前提下，尽量的提高我们的精确度。

因此，我们首先来确定区间估计的可信度，区间估计的可信度也被称为置信度，我们用1来表示。1我们经常90%，95%，99%等,表示这个区间可信的程度。

1、区间估计的概念：

设总体的未知参数为，也就是我们要估计的参数。由样本x1到xn确定了两个统计量，1ˆ和2ˆ对于给定的实数)10(满足

1)ˆˆ(21P

我们就称随机区间)ˆ,ˆ(21为置信度为1的置信区间，其中1又称为置信水平或置信概率，显著性水平。

1这个置信水平反映了区间的可信度。

简述区间估计的概念

区间估计是一种统计学方法,用于估计某个参数或变量的取值范围。在概率论和统计学中,区间估计是指给定一些样本数据,计算一个区间,这个区间应该是一个合理的范围,能够覆盖数据的大多数情况。

在区间估计中,我们通常选择一个中心点作为估计值,然后根据样本数据计算出两个点之间的误差范围。这个误差范围就是区间的边界,也就是估计值和实际值之间的范围。

区间估计的应用场景非常广泛,例如在医学研究中,医生可以使用区间估计来估计患者某种疾病的概率;在金融领域中,投资者可以使用区间估计来估计某个股票的价格趋势。

除了计算区间外,还有一些常见的方法可以用来进行区间估计,例如最大似然估计、贝叶斯区间估计、参数估计和区间生成器等。这些方法可以根据具体情况选择使用。

拓展:

区间估计的优点是能够给出一个合理的范围,能够反映数据的大多数情况,并且不需要对数据进行精确预测。但是,区间估计也有一些局限性,例如可能会受到样本量、数据分布、噪声等因素的影响。因此,在进行区间估计时,需要结合具体情况进行判断。

班级班级：：________________

学号学号：：________________

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概率统计概率统计作业作业19————区间区间区间估计估计

【提要】①区间估计(Interval estimate)

设总体X

的参数θ

未知，对给定的(01)αα<<

，由样本

1,,

nXX⋯

确定两个统计量：

1121(,,),(,,)

nnXXXXθθ⋯⋯

，满足

12()1Pθθθα≤≤≥−

,则称随机区间

12[,]θθ

为θ

的置

信度为1α−

的置信区间

②求置信区间的方法——枢轴量法：

(i) 从θ

的一个良好的点估计出发，构造一个其分布已知，且分布与θ

无关的枢轴量

1(,,;)

ngXXθ⋯

; (ii) 确定常数,ab

，使得

1((,,,))1

nPagXXbθα≤≤≥−⋯

；

(ii) 解出

1121(,,)(,,)

nnXXXXθθθ≤≤⋯⋯

，即得置信区间

12[,]θθ

.

要求：熟悉正态总体均值、方差的置信区间.

1. 某厂生产的某材料的抗拉强度2~(,)XNµσ

（MPa）,现抽取容量为16的样本:

2.1, 2, 2.3, 2.4, 2.5, 2, 2.3, 2.5,

1.9, 2, 2.5, 2.6, 2.5, 1.9, 2, 2.3,

分别按下列要求求这批材料的平均抗拉强度µ

的置信水平为0.95的置信区间：

(1)0.4σ=

； (2) σ

未知.

2. 设总体2~(,)XNµσ

,其中2σ

已知，问样本容量n

取多大时，才能保证µ

的置信水平为0.99的置信

区间的长度不大于k

.

3. 设某种材料的抗压强度为2~(,)XNµσ

,2,µσ

未知，现随机取出10个试件做抗压试验，测得数据：

482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.

(1) 求平均抗压强度µ

的置信度为90%的置信区间；

(2) 求2σ

的置信水平为90%的置信区间.