教学月刊·小学版2021/3数学
JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN让学生学会“数学地想”*
——《好玩的一笔画》教学实录及解析
□李铁安张惠云
这节课是以数学家欧拉解决“哥尼斯堡七桥问
题”为史料背景展开的。本节课不仅要让学生探究
一笔画图形的规律，还要让学生经历一个发现提出
问题和分析解决问题的完满的过程，并在探索的过
程中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的
思维分析世界，用数学的语言描述世界”。【教学过程】
环节一：创作及判断图形能否一笔画——明确
何为一笔画
教师在屏幕上动态展示一笔
写出“好玩”两个字的过程（如
图1）。
师：同学们请看！这两个字认
识吗？
生：认识！是“好玩”两个字。
生：我发现“好玩”这两个字是一笔写出来的。
师：一笔连着写出“好玩”两个字，确实挺好玩。
今天让我们一起来学习“好玩的一笔画”。大家请
看，我用一笔创作了一个图形，这是什么？（生答，略）
师：是的，老师用一笔画出了一个向上指的箭
头。你们能用一笔画出怎样的图形呢？自己试一试！
（学生交流各自的作品，如图2）
图2师：哦！这么多图案都能用简单的一笔就画出
来，你们的想象和创意都很独特。下面同学们再认
真看看这些图形（出示图3）。想一想，试一试，能一笔画吗？
①②③④⑤⑥
图3生：第①个图形能一笔画，我是这样
画的（从圆点处起笔）。
生：我还有其他的画法，这样画也是
可以的（从圆点处起笔）。
生：我再试试其他两个点，都不行。
师：你们是从每个点开始尝试一笔画的，这个
想法挺好。
生：第②个图形和第⑤个图形从哪个点开始画
都行，只要绕着所有的线走一圈就可以啦！
师：从哪个点画都行！你的发现太美妙了！
生：第③个图形也能一笔画，从这两
个点开始都是可以的。
师：是啊，这个图形能一笔画，也确实
只有这两个点能走通。
生：第④个图形我尝试了所有的点，无论从哪
个点开始都不能一笔画，大家看。（展示图片，如
图4
）
图
4图1
*本文系中国教育科学研究院2019年基本科研业务费专项资金项目“推进数学文化进课堂的实践研究”（项目批准
第1页，共8页六年级思维拓展之工程问题
知识汇总
1.一般工程问题都是，已知独做的工作时间（或合作的工作时间），求合作的
时间（或独做的工作时间）。
2.从问题入手，确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间，就用要完成
的那部分工作量除以谁的工作效率。
3.工程问题的基本数量关系式：
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
练习
1.用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。
现在由甲乙两人合作，由于乙中途生病休息了若干天，结果一共用了8天才完成
任务，那么，乙中途休息了多少天？
2.一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2
天后由乙队独做，还要几天才能完成？第2页，共8页3.打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才
能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。
甲、乙两合做需几天完成？
4.我们规定两人轮流做一个工程是指，第一个人先做一个小时，第二个人再做
一个小时，然后再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此
反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同
样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
5.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的
工作效率相当甲、乙每天工作效率和的
51。如果3人合抄只需8天就完成了，那
么乙一人单独抄需要多少天能完成？
6.有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做
需要48天完成。现在有由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数
天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。那么丙休息了
多少天？第3页，共8页7.一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队
先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙
设计意图
三年级学生已经对基本的平面图形有了初步认识，知道了单数和双数，认识了方向等知识。在此基础上设计本课，旨在让学生了解现实世界中存在有趣的问题，这些问题可以利用丰富的数学知识来解决。让学生认识到：数学这门学科是有用的、有趣的。从而使学生对数学、对世界充满好奇心和求知欲，提高学生的数学学习兴趣，增强自主学习的动力。设计符合学生认知的活动，在活动中提升“抽象、推理”能力，提升“模型”思想。同时引导学生在升入高年级之前初步感知数形结合思想，以及在研究问题时我们常常要化“复杂”为“简单”、化“不能”为“能”，从而通过抽象、推理得出一般规律，然后利用得出的规律来解决生活中的实际问题。在今后的学习中同学们可以利用这些数学思想和方法来研究和解决问题。
教学目标
1.通过抽象出点、线的过程，提升学生对点、线有进一步的认识，体会用数学知识解决问题的方法；
2.通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及养成勇于发表见解的好习惯；
3.通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
教学重点
运用“一笔画”的规律，正确快速地解决问题。
教学难点
探究“一笔画”的规律。
教学准备
PPT课件，研究学习单，彩色铅笔。
教学过程
情景创设学习新知
激趣引入 师：同学们，今天这节课希望大家能在课堂上积极思考，能用自己的思维来解决问题，下课前老师要教你们一个独门绝招——用一笔画出一个动物，保证你在1分钟之内学会。
情景创设，建立模型
师：同学们，你们每天怎么上学？
学生发表自己上学的方式。
师：老师给大家带来了三位同学在周末外出时拍到的3幅图，下面请看看认识这些是什么道路吗？
学生回答 师：他们现在都走到了每条路的岔路口，你们能在图中帮老师找到他们的位置吗？
学生上讲台指。
师：现在你能用一句话说说什么是岔路口吗？
学生回答
师小结：看来岔路口就是道路和道路交汇的地方。
师：你们能再帮这3位同学看看，他们走到各自的岔路口后，各有几种道路可以选择？
第27讲 一笔画图形
一笔画的理论是由大数学家欧拉（Euler）建立的.他在建立这一理
论的过程中方法新颖、独特，使人们折服、倾倒.并且为人类思想宝库
奉献了一颗耀眼的珍珠，这颗珍珠将在人类的智慧史上放射着不灭的光
辉.
同学们，你肯定想知道什么是一笔画吧？让我们从一个游戏开始.
问题27.1图27－1中有四个图形，你能一笔画出来吗？
这就是一笔画问题.对以上四个图，经过几次试画读者不难发现：
图（1）可一笔画成且从任一点出发均可回到出发点；图（2）可一笔画
成但起点只能在D或B点且不能回到出发点；图（3）、（4）均不能一
笔画成.
如果一个图形可以用笔不离纸且每条线都画到并不准重复，则这个
图形就叫做一笔画图形.
关于一笔画问题有下面几个问题需要解决：
（1）怎样简单地判断一个图形能否一笔画？
（2）如果能一笔画，什么时候可回到出发点，什么时候又不能？
（3）对不能回到起点的一笔画，应把何处作为起点？何处作为终
点？
（4）若一个图形不能一笔画，那么至少需要几笔画成？
当图形较简单时（如图27－1），只要进行几次“试画”，就可以回
答上述所有问题.但是，当图形较复杂时，要回答上述问题难度就大了.
同学们不信可以试试，如果你不看下文就能独立地解决这个问题，
那么在这一问题上你就与大数学家欧拉一样聪明了.
下面我们开始研究一笔画问题.
让我们从产生这一问题的历史背景谈起吧！说起来还有一段引人入
胜的故事呢！
事情发生在公元18世纪普鲁士的哥尼斯堡城.一条河从这个城市穿过，河中有两个小岛把主流分成了两半.河上有七座桥连接两岛同河的
两岸沟通（如图27－2）.这是个风景秀丽的地方，吸引了许多游人.人们
在这里参观、散步.不知谁最先提出了一个问题：一个散步者怎样能一
次走遍这七座桥，最后又回到出发点，而每座桥只走过一次，不许重
复.
这一问题似乎不难，谁都愿意试一试，但没有一个胜利者.这下引
起了许多优秀人才极大的兴趣和好奇心.
过了很久一段时间，这件事被瑞士大数学家欧拉知道了.欧拉头脑
