高中数学竞赛一试试题

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2022年全国高中数学联合竞赛

一试(B卷)参考答案及评分标准

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.

1.不等式2022911xx的解集为_____

答案:,119,11.

解:移项通分可得20112290911xxxx,等价于110911xxx,易知解集为,119,11.

2.在平面直角坐标系中,以拋物线2Γ:6yx的焦点为圆心作一个圆Ω,与Γ的准线相切,则圆Ω的面积为_____

答案:9.

解:拋物线Γ的焦点与准线的距离为3,故圆Ω的半径3r.

所以圆Ω的面积为29r.

3.函数lg2lg5lg2lg5fxxx的最大值为_____

答案:14.

解:2lg2lg5lg2lglg5lglg2lg5lglgfxxxxx

22111lglglg.244xxx

当1lg2x,即1010x时,fx取到最大值14.

4.一枚不均匀的硬币,若随机拋郑它两次均得到正面的概率为12,则随机抛郑它两次得到正面、反面各一次的概率为_____

答案:21.

解：设随机抛郑该硬币一次,得到正面的概率为01pp.

根据题意得212p,故22p.从而随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为2121pp.

5.已知复数z满足1z,且11Re31zz,则Rezz的值为答案:79.

解:由于2||1zzz,故1zz.因此111ReReRe1311zzzzz,结合1z知122i33z.进而27427ReReRei999zzz.

6.若正四棱锥PABCD的各条棱长均相等,M为棱AB的中点,则异面直线BP与CM所成的角的余弦值为_____

DCBAxyOxyOOOxyxy全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

题 号 一 二 总 分

得 分 评卷人

一、选择题

1、二次函数baxy2与一次函数)(babaxy在同一个直角坐标系的图像为（ ）

2、已知数列na满足)(,,*1221Nnaaabaaannn。nnaS是的前n项的和，则20042004Sa等于（ ）

A、ab

B、ab C、ab D、ab

3、在12)2(nx的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）

A、1312n； B、123n； C、12321n； D、)13(2112n

4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,aaaaa中，满足条件,,2321aaaa

4543,aaaa的排列个数是（ ）

A、10； B、12； C、14；

D、16.

5、直线3mxy与抛物线xmxyCmmxxyC)12(:,45:2221

323:,3232mmxxyCm中至少有一条相交，则m的取值范围

是（ ）

A、283mm或 B、211mm或

C、Rm D、以上均不正确

6、若关于x的不等式062aaxx有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a的最大值为aM、最小值为am，则aM－am等于（ ） A、1 B、24 C、25 D、26

7、Rk，则方程组0111618491222yxyxkkxy （ ）

A、有且仅有一组实数解

2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题

（高一组）

（考试时间120分钟满分120分）

题号一二三四合计

得分复核人

一、填空题

（本小题满分64分，每小题8分）

1.已知函数

0,

6sin









xxf

，若











3

fxf

对任意的实数x

都成立，则的最小取值为

2.已知12,0,0baba

，则

baab

2的最大值为

3.已知函数

axgxxfx

22,1

，若对任意的

4,3

1x

，存在

1,3

2x

，使得

21xgxf

成立，则

实数a

的取值范围是

4.定义

cba,,max

为cba,,

中的最大值，设





xxxxh6,

38

,max2

，则

xh

的最小值为

5.若区间

ba,

满足：①函数

xf

在区间

ba,

上有定义且单调；②函数在区间

ba,上的值域也为

ba,

，则称

区间

ba,

为函数的共鸣区间.

函数

31

xxf

的一个共鸣区间为；若函数

kxxf12

存在

共鸣区间，则实数k

的取值范围是

6.已知ABC

的三边为cba,,

，满足222222222,accbbacba

，则ABC

的面积为

7.若函数

baxxxf2

与坐标轴有三个交点CBA、、

，且ABC

的外心在xy

上，则

ABC

；

8.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

Benz-ercedesM

的olog

很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O

是ABC

内一点，BOC、AOC

、

AOB

的面积分别为

CBASSS、、

，则0OCSOBSOAS

CBA.若O是ABC锐

角内的一点，CBA、、

是ABC

的三个内角，且O点满足

OAOCOCOBOBOA

，则下列说法正确的是（填序号）

①O是ABC的外心；②ABOC

；

③

C

BAOCOBOAcos:cos:cos::

高中数学竞赛一试模拟题汇编

高中数学竞赛一试，是评估学生数学能力和思维水平的重要方式，也是培养优秀的数学人才的必要手段。以下是数学竞赛一试的模拟题目，希望对学生加深对数学知识的理解和巩固数学基础有所帮助。

一、选择题

1.已知曲线y=2x²-3x+5，求曲线在点（1，4）的切线方程的斜率。

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

答案：D

2.函数y=f(x)的导函数为y=x(x-2)，且f(1)=3，求f(2)的值。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

答案：D

3.已知函数f(x)和g(x)都在区间[0,1]上单调递增且满足f(0)=0，f(1)=1，g(0)=1，g(1)=0，在这个区间内的任意点x，交点f(x)和g(x)的坐标为（x,f(x)）和（x，g(x)），求这两条曲线之间的面积。

A. 1/2

B. 1/4

C. 1/8

D. 1/16

答案：B

二、填空题

1.若f(-1)=2，f'(x)=3x²+2x-1，则f(x)=______。

答案：x³+x²-x+3

2.已知函数y=ln(7x-8)的反函数为f(x)，则f'(4)的值为______。

答案：1/27

3.已知函数y=cos(x)，则当0°≤x≤45°时，y从最大值变为最小值的增量的绝对值为______。

答案：√2/2

三、解答题

1.已知直角三角形ABC中，角A=90°，BC=a, AB=b，以BC为底画一高为AD，则已知两边AD和AB之比是5:12，求a与b之比。

解：连接BD，设AD=5k, BD=12k，则AB=√(BC²+AC²)=√(a²+b²)，同时有BC²=AD²+BD²，即a²=(5k)²+(12k)²，b²=AB²-BC²=144k²-(5k)²=119k²，所以有a/b=5k/√(119k²-25k²)=5/√(119-25)=5/√94，所以a/b=5√94/94。

2.设a>1，aⁿ-bⁿ=a-b，其中n∈N*，求b。