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学习分式的几点注意

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学习分式的几点注意

学习分式的几点注意

一、要注意分母的值不能为零

例1 当x ＝__时，分式

的值为零。

解：由|x |－1＝0，得x ＝1或x ＝－1； 当x ＝－1时，分母(x

－3)(x ＋1)＝0， ∴x ＝1时，上述分式的值为零。 二、要注意不要盲目通分

例2 当a =3,b =2时，求代数式b

a a

b b b ab a b a 222

222---+++的值。 解：待求式＝

三、要注意最后的结果为最简分式

例3 化简 。

解：原式

注：如化简结果为 ，则就错了。 四、要注意引进参数

例4 如果x ：y ：z ＝1：3：5，那么 ___。

解：设x ＝k ，则x ＝3k ，z ＝5k ，

。 五、要注意应用乘法分配律

例5 先化简，再求值：

。

六、要注意运用常数代换

例6实数a、b满足ab＝1，记则M、N的关系为___。

A.M>N

B.M＝N

C.M

D.不能确定

解：N中的1用ab代换得

故选B。

七、要注意运用取倒数的技巧

例7已知a、b、c为实数，且那么的值是___。 解：由已知得

八、要注意应用特殊值法

例8 设 则M 、N 、P 之间的大小关系是

( )

A .M >N >P

B .N >P >M

C .P >M >N

D .M >P >N

解：取

，则分别代入M 、N 、P 中，通过计算可求得

分式的基本性质“四注意”

分式的基本性质是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分及四则运算的基础，学好本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键，在学习时，请同学们要注意以下四点．

一、注意一个“约定”————M 的值一定不等于零

分式的基本性质是：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．即 A A M

B B M ?=?，A A M B B M

÷=÷（M 是不等于0的整式）．因为当M =0时，分式的分母为零，分式五意义，所以一定要强调M 的值不等于零

二、注意两个“字”的含义————“都”和“同”的含义 明确基本性质中的“都”与“同”的含义，否则容易漏乘． 例1．在括号内填入适当的整式，使等号成立；

（1）()b a ab b a 2=+；（2）()y x x

xy x +=+2

2；（3）())01(.2≠+=+a c a

a a 思路解析：紧扣“性质”进行观察、分析，通过比较等式左、右两边分式的分子、分母发生了怎样的变化，应用分式基本性质获得正确解答．

解：（1）a (a +b )；(2)x ；(3)(a +1)c 点评:根据分式的基本性质来判断即可． 三、注意一个思想————整体思想

例2．约分：222

2a ab a ab b +++

错解：原式=

21112b +++=2

2

3b +．

思路解析：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先因式分解，再约去公因式．因此要注意分式约分时一定要根据分式的基本性质能分解因式的要分解，再约分，分子、分母要从整体上把握．

正解：原式=

2

()()a a b a

a b a b

+=++． 点评：解本题的根据是分式的基本性质，解题的关键就是先因式分解，再进行约分．

例3．化简：

11y x y x

+

-． 思路解析：本题若分子、分母先通分，再化简较繁，若利用分式的基本性质，即可将繁分式进行化简了．

解：原式=(1)(1)y x

x y x y x y x x

++=--． 点评:分式的基本性质是解决该问题的“法宝”，一用就灵． 四、注意性质的实质————形变而值不变

理解分式基本性质的实质是恒等变形，即“形”变而“分式的值”不变，不能等同于等式的性质． 例4．不改变分式的值，使分式a b

a b

-+--的分子、分母第一项符号为正．

错解：

a b a b -+--=a b

a b

+-．

思路解析：此题的错误原因是把分子、分母首项符号当成了分子、分母的符号．因此要注意：分子、分母应先提取“－”号，再化简．

正解：

a b a b -+--=()()a b a b

a b a b

---=-++．

点评：本题就是重点考查分式的符号问题

例5．判断在下列各式中从左边得到右边的变形是否正确． （1）

m n m n 23=（ ）（2）c

a bc a

b 22= （ ） （3）

()y x y

x y x y x +-=

--2

22 （ ）（4）

2242y x xy =（ ） 思路解析：根据分式的基本性质分式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数（或整式），分式

的值不变．

解：（1）错误；（2）错误；（3）对；（4）错误．

点评: 根据分式的基本性质来判断即可．要注意分式前后变化的值要相等

分式陷阱——请提防

分式化简求值题，近年出现了一个新亮点——“陷阱”，若不注意，定会落如井底，一败涂地.为此,本文把“陷阱处插上标记”,仅防误入歧途.

一、明枪——易躲

例1课堂上李老师给大家出了这样一道题：当37,225,3+-=x 时，求代数式

12

21

1222+-÷-+-x x x x x 的值，小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．

简析 12211222+-÷-+-x x x x x 21

)1(2)1()1)(1()1(2=-+?-+-=x x x x x 所以，1221

1222+-÷-+-x x x x x 的值与x 无关 当37,225,3+-=x 时，代数式的值是2

1

此类题看是无从下手，其实化简后很简单. 二、暗箭——须防 例2

先化简)24

()44122(

2 322x

x x x x x x x x --÷+----+，再请你用喜爱的数代入求值. 简析 生甲和生乙均是先对分式进行计算，再选值代入： 因为)24()44122(

2322x x x x x x x x x --÷+----+=)

2(4)2(1)2(22

2--÷----+x x x x x x x x =24)2()

2()1()2)(2(22

-=--?----+x x x x x x x x x x x 生甲：当x =0时，原式=

02002=-=-x x 生乙：当x =2时，原式=

22

44

2=-=-x x 两位学生的化简是正确的，但是代值是不正确的，因为当x =0或x =2或x =4时,原分式的分母x 2－2x ,x 2

－4x +4,x 3－2x 均为0,所以x 不能选0和2和4代入求值，他们犯了原分母为零的错误，陷入前功尽弃困境.

其正确的解答是：取值时避开0、2、4即可.

三、多箭——谨防

例3 先化简(1+1x-1)÷x

x 2-1，再选择一个恰当的x 值代人并求值．

简析 一位学生看到了此题后这样解答：(1+1x-1)÷x x 2-1=（x-1x+1+1x-1）·（x+1）（x-1）x

=x x-1·（x+1）（x-1）x

=x +1 因为x －1≠0,x 2－1≠0,所以x ≠±1.

当x =0时，原时=x +1=1.结果他打开答案一看，又解错了.

此题的x =0使除式为零,显然不正确. 所以x 取不等于－l ，O ，1的其他值均可.

由上述例题可以看出,此类化简、选值题，选值时应注意两点：一是原分母不能为零；二是除式不能为零.

练习题 先化简代数式：22

1 21111x x x x x -??+÷ ?+--??

，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值． 参考答案：

22121111x x x x x -??+÷ ?+--??2

22(1)21(1)(1)11x x x x x x ??-=+÷ ?+---??2221(1)1

x x x +=?--21x =+ 由x +1=0,x 2－1=0得x =－1,x =1,当0x =时，原式的值为1．只要1x ≠±，且代入求值正确．

解分式方程 谨防“三漏”

大家都知道在解可化为 一元一次方程的分式方程时，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，稍不留神就会发生形形色色的错误，下面从以下三个个方面剖析一下，供同学们学习时参考．

易漏点一：解分式方程“漏检验” 例1．解方程：

2236111

x x x +=+-- 误解：方程两边同乘以(x +1)(x －1) 得2x －1+3(x

+1)=6，整理得：5x =5，x =1，所以原方程的根为x =1． 剖析：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验． 正解：方程两边同乘以(x +1)(x －1) 得2x －1+3(x +1)=6，整理得：5x =5，x =1 检验：当x =1时，(x +1)(x －1)=0，所以x

=1是增根，所以原方程无解．

易漏点二：解分式方程“漏根” 例2．解方程：

131041

4351

x x x x -=----- 误解：方程两边通分得：

3131

(4)(3)(5)(1)

x x x x x x ++=

----，两边同除以（3x +1）得 11(4)(3)(5)(1)

x x x x =

----，所以(x －4)(x －3)=(x －5)(x －1),即22

71265x x x x -+=-+， 所以x =7，经检验x =7是原方程的根．

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分式一元二次方程的解法

分式一元二次方程的解法

分式一元二次方程的解法

哎，说起这分式一元二次方程的解法啊，还真是个让人又爱又恨的家伙。记得我第一次碰到它的时候，那叫一个头疼啊，感觉就像是在解一个复杂的谜题，怎么转都转不出来。不过呢，经过一段时间的摸索和学习，我现在也算是小有心得，愿意和大家分享一下我的学习历程。

一、初识分式一元二次方程

1.1 啥是分式一元二次方程呢？

说白了，就是方程里面既有分数，又是一个一元二次方程。看着就让人心里发憷，不过咱们别急着怕，先一步步来。

1.2 第一次见面的感受

我记得第一次遇到它的时候，是在一次数学课上。老师一黑板一黑板地写，我是一脸一脸地懵。心里想着：“这啥啊这是，怎么这么难啊？”但是没办法，数学嘛，就是要攻克难关的。

二、慢慢摸索，逐渐上手

2.1 找出方程的规律

我开始试着找出这类方程的规律。慢慢地，我发现，虽然它看起来复杂，但其实也是有迹可循的。比如，你可以先找出方程中的公分母，然后通过乘公分母的方式，把方程化为整式方程。这样一来，问题就变得简单多了。

2.2 试着解第一个方程 找到方法后，我就开始试着解第一个分式一元二次方程。记得那个方程挺简单的，但是我就是解不出来。急得我在屋里走来走去，嘴里还不停地念叨着：“怎么回事呢？怎么就是解不出来呢？”最后，还是通过看答案，我才恍然大悟，原来是我忽略了一个小小的细节。

2.3 不断练习，总结经验

经过那次失败后，我就开始更加认真地练习。每次解方程，我都会仔细地检查每一个步骤，生怕再出现什么差错。慢慢地，我就总结出了一些经验，比如：在解题过程中，一定要保持冷静，不要因为一时的困难就放弃；还有，要特别注意方程中的细节，有时候一个小小的疏忽，就会导致整个解题过程的失败。

三、深入探索，掌握技巧

3.1 学习更多解法

在掌握了基本的解法后，我就开始探索更多的解法。比如，通过配方法、公式法等方式来解分式一元二次方程。这些方法虽然复杂一些，但是有时候却能让解题过程变得更加简单和高效。

八年级数学上册《分式基本知识结构》教案、教学设计

八年级数学上册《分式基本知识结构》教案、教学设计

八年级数学上册《分式基本知识结构》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解分式的概念，掌握分式的组成元素，能够正确书写分式，并了解分式在不同数学问题中的应用。

2. 学会分式的化简与运算，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能运用这些性质解决实际问题。

3. 能够运用分式解决一些简单的实际问题，如比例问题、速度问题等，培养将现实问题转化为数学问题的能力。

4. 通过分式的学习，提高学生的逻辑思维能力，培养学生的抽象思维和数学建模能力。

（二）过程与方法

1. 采用探究式教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现分式的基本性质，培养学生自主探究和合作学习的能力。

2. 通过具体的实例，让学生在实际操作中掌握分式的化简与运算方法，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3. 运用问题驱动法，设置不同难度的练习题，引导学生逐步深入地掌握分式的知识，培养学生的问题意识和解决问题的策略。

4. 利用信息技术手段，如多媒体课件、网络资源等，辅助教学，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，使学生能够主动参与分式的学习，形成积极向上的学习态度。

2. 引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，理解分式知识在实际问题中的应用，增强学生的应用意识。

3. 通过分式的学习，培养学生严谨、细致的思考习惯，提高学生的思维品质。

4. 鼓励学生克服困难，勇于探索，培养学生在解决问题过程中，积极寻求帮助，学会与人合作，形成团队精神。

5. 培养学生具有良好的道德品质，尊重同学，尊重老师，遵守课堂纪律，形成良好的学习氛围。

二、学情分析

八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整式的知识有了较好的掌握，但对于分式的概念和运算还较为陌生。在此基础上，学生对分式的学习可能存在以下情况：

1. 学生在理解分式的概念过程中，可能会对分母为零的情况感到困惑，需要教师引导和解释。

初中数学《分式》优秀教案(通用12篇)

初中数学《分式》优秀教案(通用12篇)

第 1 页 共 47 页 初中数学《分式》优秀教案〔通用12篇〕

篇1：初中数学分式教案 初中分式教案

初中数学分式教学反思

经历了三周多的学习，学生已根本掌握了分式的有关知识(分式的概念、分式的根本性质、约分、通分、分式的运算、分式方程和能化为一元一次方程的分式方程的应用题等)，并且获得了学习代数知识的常用方法，感受到代数学习的实际应用价值。但是，“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根，均属于运算才能问题，因此在教学中应特别关注这一深层根，并根据学生的实际情况寻找相应对策。下面是我在教学中的几点体会：

一、教学中的发现

1、本章可以让学生通过观察、类比、猜测、尝试等活动学习分式的运算法那么，开展他们的合情推理才能，所以教学时重点应放在对法那么的探究过程上。一定要让学生充分活动起来。在观察、类比、猜测、尝试当一系列思想活动中发现法那么、理解法那么、应用法那么，同时还要关注学生对算理的理解，以培养学生的代数表达才能、运算才能和有理的考虑问第 2 页 共 47 页 题才能。可是我在知识的传授上并没有注重探究、类比法那么，而重在对分式四那么运算法那么的运用和分式方程的运用上，没有抓住教学的关键环节恰当的选择教学方法。今后要防止类似事情的发生。

2、问题

(1) 分式的运算错的较多。分式加减法主要是当分子是屡次式时，假如不把分子这个整体用括号括上，容易出现符号和结果的错误。所以我们在教学分式加减法时，应教 育学生分子部分不能省略括号。其次，分式概念运算应按照先乘方、再乘除，最后进展加减运算的顺序进展计算，有括号先做括号里面的。

(2)分式方程也是错误重灾区。一是增根定义模糊，对此，我对增根的概念进展深化浅出的阐述，⑴增根是分式方程的去分母后化成的整式方程的根，但不是原方程的根;⑵增根能使最简公分母等于0;二是解分式方程的步骤不标准，大多数同学缺少“检验”这一重要步骤，不能从解整式方程的形式中跳出来;

初二数学分式部分学习方法指导

初二数学分式部分学习方法指导

初二数学分式部分学习方法指导

编者按：查字典数学网小编为大伙儿收集了初二数学分式部分学习方法指导，供大伙儿参考，期望对大伙儿有所关心!

部分分式是初中数学竞赛的重要内容，在初中数学竞赛中常有应用，而且在今后学习微积分时还要经常用到。部分分式中表达出来的把整体分解成部分来处理问题的方法也是一种重要的思想方法，这种方法对我们解决问题有指导意义。下面我们介绍部分分式及其应用。

关于一个分子、分母差不多上多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把那个分式叫做真分式。假如一个分式不是真分式，能够通过带余除法化为一个多项式与一个真分式的和。把一个真分式化为几个更简单的真分式的代数和，称为将分式化为部分分式。

把一个分式分为部分分式的一样步骤是：

(1)把一个分式化成一个整式与一个真分式的和;

(2)把真分式的分母分解因式;

(3)依照真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式;

(4)利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组;

(5)解方程或方程组，求待定系数的值;

(6)把待定系数的值代入所设的分式中，写出部分分式。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”因此不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。以上确实是查字典数学网为大伙儿提供的初二数学分式部分学习方法指导期望能对考生产生关心，更多资料请咨询查字典数学网中考频道。