《二次根式复习》例题精讲与同步练习

第十六章二次根式16．1二次根式【课标要求】1、理解二次根式的概念；2、掌握二次根式有意义的条件；3、会运用二次根式的两个性质进行化简计算【核心扫描】1、理解二次根式的概念及有意义的条件，并利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题(重点)2、掌握二次根式的两个性质：()2a a a=≥=，并会利用二次根式的性质解题．(难点)自主学习一、知识链接1、叫作平方根。

2、叫作算术平方根，数有算术平方根。

二、知识点回顾1)0a____的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.2、二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.3、二次根式的性质：性质1(0)a a≥；性质2：2(0)a a=≥；性质3（0a≥，0b≥）；性质4=（0a≥，0b>）．4与a(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩．精讲精练1知识点1、二次根式的意义及有意义的条件例1、（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1xx>），1x y+0,0x y≥≥）．（2）设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？变式1、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1（2．变式2、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2知识点2、二次根式的双重非负性例2、已知实数a，b(0b-，求20032003a b+的值．变式12344b c c+++=-，求()cab的值．变式2x、y的值是．变式3、若z，求z的值．变式4、已知实数a满足2015a a-+，求22015a-的值．23 知识点3、二次根式的性质[()20a a =≥与()20a ≥]例3、计算下列各式的值：（1）2 （2）2 （3）2（4）22-变式1、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x ≤4C 、x ≥1D 、x ≤4 变式2、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 变式3、当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。

、相关定义1、二次根式的概念：式子ja （a 0）叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：0a 与ja ；av'b c<d 与 aUb cUd ） 2、二次根式的性质：(1) .后具有双重非负性：a>0, ^>0. (2) (4a)2a(a 0)；3、积的算术平方根的性质:4、商的算术平方根的性质:a a \b b （a 0，b 0）5、最简二次根式定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

6、同类二次根式二次根式二衩根式后（口二°）是非负数（石 二日 g 之o ）二次根式的化曾与云用二次根式的乘除二代根式的加减(3) \a 2aa (a 0) a (a 0)Vab Va <b (a>0,b>0)；一般地，把几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开放数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

二、二次根式的运算：1、二次根式的乘法：v；a Jb v ab （a>0, b>0）。

2、二次根式的除法：Ya 但（a 0,b 0）b \ b3、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

4、分母有理化---把分母中的根号化去5、二次根式的混合运算运算顺序与实数混合运算顺序一样，结果要化为最简二次根式。

真题练习:、选择1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. J8B.C.D.2.如果J12与最简二次根式了，5 a是同类二次根式,则a的值是A. a 7B. a 2C. a 1D. a 13.在下列二次根式中，与a a是同类二次根式的是（▲）A.虎aB. ga2 C . x/a3 D . \/a44.下列根式中，与J8属于同类二次根式的是（）A. <?8B. J；C. 724D. JT25、若m —（ 2）,则有（）2A. 2 m 1B. 1 m 0C. 0 m 1D. 1 m 26.若，x 24x 4 2 x ,则实数x 满足的条件是（12.计算21 J2 , n 1 5/2 ,则代数式4m n 23mn 的值为 14.若 a + b= 3^/2, ab=4,则 a 2+b 2的值为 也―在实数内范围有意义，则 x 的取值范围为2x 316 .若(y 3)2 0西，则 x yA. x 2B. C.x<2 D.7.下列运算正确的是（ A. . 2 +「3 = . 52,J2-j2=/2C• ；( 2) ( 3)=、O) x 尸8.下列计算正确的是（ A.U = ± 4 B. 四C.1)2 D. ■. 32 429.化简7（ 5）2的结果是（10. B.C.D. 25卜列二次根式中属于最简二次根式的是 A. 12下列计算正确的C. D.A. J12 <3 <3 B .贬 J3 3、52. 2 5. 212.己知j a3 J2 b 0,则二工aA. 1B. 2C. 、, 3D.4.3 3二、填空 11.计算<81而的结果是13.己知m15.若代数式(11) (3 亚)(3 亚(1近) (12)2 3 - 1517 .要使式子J 1 2x 有意义，则实数x 的取值范围是 .18 .计算：77 2” 77 242.19 .若/4而 是正整数，则n 可取到的最小正整数为 • 20 .若4=5在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是三、计算(3) 422-3 1- + I 33-2 I (4)( ；3(9)而(1) 12 近 3321、(1) 88 - 6^1 +|1 —啦|(2)2、. 5 3 2 2,5 3 ,2(5) + 而(122- 277 )(6) 1 22 2018718⑺ 2+ 3 2 3 2 8 6(8)33- 22 2 -33 x 122 .(10) - 48（13）（2 小-yf5）（木 +木）23 3（17）；~ /~246 2 '-.2 3 -3三、解答题22.已知a J3 22, b J3 近.⑴求a2 b2的值;(2)求b a的值. a b23.像而2而2 1、Ga a 0、7b 1 7b 1 b 1 b 0两个含有二次根式的代数式相ft,积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，75与而，跖1与61, 2石3石与2后3石等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.请完成下下列问题⑴化简:(2)计算：1—1—2 3 3 、2(3)比较72018 J2017与闻17 72016的大小，并说明理由24.阅读材料：若a, b都是非负实数，则a b 2<ab .当且仅当a = b时，“二”成立.证明：: (、② Jb)2 0 , .-.a 2Vab b 0.-1• a b 2Jab .当且仅当a = b时，"=”成立.2举例应用：已知X>0,求函数y x —的最小值.Xx - 2Mx - 2V2 .当且仅当x 2 ,即x J2时，“二”成X X x 解：y・♦・当x J2时，函数取得最小值，y最小2< 2 .问题解决:3 x(1)已知x>0,求函数y ———的最小值2x 62(2)求代数式m一组二(m> - 1)的最小值.。

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。

变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。

《二次根式》最新初二数学课后同步练习«二次根式»2021最新初二数学课后同步练习【学习目的】进一步了解掌握二次根式的概念和性质;掌握二次根式的加、减、乘、除运算。

【学习重点】二次根式的化简和运算。

【学习难点】正确了解二次根式的性质和运算法那么的合理性。

【学习内容】教材P2～21 学习过程【活动一】二次根式的概念及性质(仔细思索，独立完成——8分钟) 1. 以下各式中，是二次根式的是( ) A. B. C.D. 2. 要使有意义，那么应满足的条件是( ) A. =1 B. C. D.3. 要使式子有意义，那么的取值范围是( ) A. B. C. D.4. 假设，那么( ) A. B. C. D.5. 以下各式不成立的是( ) A.B. C. D. 6. 假定，那么实数在数轴上的对应点一定在( ) A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧归结：(1).__________________________叫做二次根式。

(2).二次根式在实数范围内有意义的条件是________________ (3). 二次根式的性质：_______________ _________________ 【活动二】二次根式的乘除(仔细思索，独立完成——8分钟) 7.以下各式属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 8.以下计算正确的选项是( ) A. B. C. D. 归结：对二次根式的乘法规则___________对二次根式的除法规则____________ 9.计算： (1) (2) (3) (4) 【活动三】二次根式的加减(仔细思索，独立完成——8分钟) 10.以下计算正确的选项是( ) A. B. C.D. 11.计算：____________，=___________________=_____________________ 归结：二次根式加减时，可以先二次根式化成________________________________，再将被开方数__________的二次根式停止_____________. 12.计算： (1) (2) 【活动四】二次根式综合(仔细思索，独立完成——10分钟) 13.假定那么 .=_________________ 15.计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 16.，，求以下各式的值 (1) (2) (3) 17.如图，实数、在数轴上的位置，化简第二十一章二次根式章末温习课堂检测 1.以下计算正确的选项是( ) A. B. C. D.2.以下二次根式能与兼并的是( ) A. B. C.D. 3.化简：(1)=_________ (2)=___________ 4.计算： (1)(2) (3) (4) (5) (6) (7)。

《二次根式》分类练习题二次根式的定义：【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2、中是二次根式的个数有______个【例2有意义，则的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的的取值范围是（ ） A 、>3B 、≥3C 、 >4D 、≥3且≠42有意义的的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若=5-x x -52021，则=举一反三：12()x y =+，则－的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若、都是实数，且=4x 233x 2+-+-，求的值3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。

已知a 整数部分，b 是12a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为，小数部分为，求y x 12+的值知识点二：二次根式的性质【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边、的长满足｜2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。

（公式)0((2≥=a a a 的运用）【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4 举一反三：1、 在实数范围内分解因式:23x-= ；4244m m -+=429__________,2__________x x -=-+=2、 1-3、 ，则斜边长为（公式的应用）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2【例6】已知2x <,的结果是A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1A ．-3B ．3或-3C ．3D ．9 2、已知a<0，那么│－2a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a ）A 52a -B 12a -C 25a -D 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）A －1B 1C 2a －7D 7－2a52得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、已知0a <【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -+=．oba【例8】化简1x -2-5，则的取值范围是（ ） （A ）为任意实数 （B ）1≤≤4 （C ） ≥1 （D ）≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ） A a=0 B a=1 C a=0或a=1 D a ≤1 举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x 【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a B 2---a C 2-a D 2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A-aB --aC -aDa2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；aa --11)1(＝ 。

专题12.10 二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式0)a ≥的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特别说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥才有意义.2.二次根式的性质0(0)a ≥≥（1；2(0)a a =≥（2）；(0)3(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（；特别说明：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a一定有意义.（3时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同中a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.二次根式.特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：特别说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13+-=+-=.【典型例题】类型二、二次根式➽➼概念➽➼有意义条件✭✭二次根式的性质1．（2022春·四川乐山·九年级统考期中）1. 已知实数a、b满足3b=-，求b a的值．举一反三：【变式1】（2022秋·上海·七年级校考期中）2.化简：231a--+．【变式2】（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）3.=，且x为偶数，求(1x+的值．2．（2022·全国·八年级专题练习）4. 已知a、b、c是三角形的三边，化简：2+-．举一反三：【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）5.比较和的大小（平方法）【变式2】（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）6.一天老师在黑板上出示：求代数式a的值，其中1007a=．如图是小明和小芳的解答过程：（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a +的值，其中2022a =-．类型二、二次根式➽➼相关概念➽➼最简二次根式✭✭同类二次根式3．（2022·全国·八年级假期作业）7. 已知最简二次根式a 是同类二次根式，求()aa b +的值．举一反三：【变式1】（2020秋·山东济南·八年级校考阶段练习）8. 同类二次根式，且0+=，求x ，y 的值．【变式2】（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）9. 阅读下面的解题过程：已知a 能合并，试写出三个满足条件的a 的值．能合并，m =为正整数）．所以2217a m +=，所以2712m a -=．又a 为正整数，所以271m -为偶数，所以m 为奇数．所以当1m =时，3a =；当3m =时，31a =；当5m =时，87a =．所以满足条件的a 的值可以为3、31、87．（也可取m 为其他正奇数，得出不同的答案）请根据上面的信息，回答问题：已知a a 的值．类型三、二次根式➽➼二次根式的乘除➽➼运算✭✭化简4．（2021春·上海·八年级校考阶段练习）10. ⎛ ⎝举一反三：【变式1】（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）11. 计算：（1；（2（3÷．【变式2】（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）12. 计算（1⎛ ⎝（2(÷类型四、二次根式➽➼二次根式的加减➽➼运算✭✭化简5．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）13. 计算：6-举一反三：【变式1】（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）14. 计算下列各题；（13a -（2）747a -+【变式2】（2022春·全国·八年级期末）15. 计算：（1．（22-．类型五、二次根式➽➼二次根式的混合运算➽➼运算✭✭化简6．（2020秋·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）16. 计算．（1+（2(22-．举一反三：【变式1】（2022春·四川攀枝花·九年级统考期中）17. 计算题（1）()101 3.143π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）⎛-⨯ ⎝【变式2】（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）18. 计算：（1）0||72022+-；（2；（3）233|-+-+（43-．7．（2022春·上海静安·八年级校考期中）19.a =，b =时的值．变式1】（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）20.化简并求值：已知x =，求223x x -+的值．【变式2】（2022秋·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）21.已知a =b =，求b a a b+的值．类型六、二次根式➽➼综合与拓展8．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）22.，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下=-（1．（2）善于动脑的小明继续探究：当a ，b ，m ，n 为正整数时，若a+=2+，则()a m n +=++，所以,a m n bmn =+=，若a += 2，且a ，m ，n 为正整数，m n >；求a ，m ，n 的值．【举一反三：【变式1】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）23. 【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：()222523+=++=++=+；()(2228171211+=++=++⨯=．【类比归纳】（1）请你仿照宾宾的方法将7+（2【变式探究】（3）若2a ±=+，且a ，m ，n 均为正整数，则=a ______．【变式2】（2021春·甘肃兰州·八年级统考期中）24. 的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如1====+，这样的化简过程叫做分母有理化．)1+叫做)1的有理化因式．（1的有理化因式是________2的有理化因式是________．（2．（3与2．专题12.10 二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式0)a ≥.特别说明：0a ≥，即只有被开方数0a ≥才有意义.2.二次根式的性质0(0)a ≥≥（1；2(0)a a =≥（2）；(0)3(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（；特别说明：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2） a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 一定有意义.（3时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同中a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.二次根式.特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：特别说明：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13+-=+-=.【典型例题】类型二、二次根式➽➼概念➽➼有意义条件✭✭二次根式的性质1．（2022春·四川乐山·九年级统考期中）【1题答案】【答案】18【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得20,20a a -≥-≥，进而可得出2a =，然后可得3b =-，从而得出b a 的结果．【详解】解：由题意可知20,20a a -≥-≥，解得：2a =，则3b =-，∴18b a =【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022秋·上海·七年级校考期中）【2题答案】【答案】4a -【解析】【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，10a --≥，化简得1a ≤-，再由a 的取值范围，求得12a -≤-，化简1a -及【详解】解：∵10a --≥，∴1a ≤-，∴12a -≤-，∴11a a -=-a a ==-，原式=()()131a a a ----+-=()133a a a ---++-=4a -【点睛】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键．【变式2】（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）【3题答案】【答案】【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x 的范围，然后根据x 是偶数即可确定x 的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．【详解】解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，解得：6＜x ≤9，∵x 为偶数，∴x ＝8．∵原式＝（1+x＝（x +1．∴当x ＝8时，原式=【点睛】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）【4题答案】【答案】3a b c-+【解析】【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．【详解】解：∵a ，b ，c 为三角形三边，∴0a >，0b c +>，0a b c --<，0a b c -+>，2+a b c a b c a b c=++---+-+()a b c a b c a b c=++----+-+⎡⎤⎣⎦a b c a b c a b c=+++--+-+3a b c =-+．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．举一反三：变式1】（2022·全国·八年级专题练习）【5题答案】【答案】<【解析】【分析】利用平方法，即可比较出大小．【详解】解：(29545=⨯=，(225375=⨯=，4575<，((22∴<，又0>，0>，∴<【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质【化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．【变式2】（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）【6题答案】【答案】（1）小亮（2）2028【解析】【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．【小问1详解】a=>，解：∵10071∴a=+aa a=+-，1a a=+-1=，2013∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；【小问2详解】a=-，解：∵2022∴a+=+a23=+-a a()=+-23a a=-+6a=+20226=．2028【点睛】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性)a=是解答的关键．类型二、二次根式➽➼相关概念➽➼最简二次根式✭✭同类二次根式3．（2022·全国·八年级假期作业）【7题答案】【答案】1【解析】【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；【详解】解：∵最简二次根式a∴23a bb a b+=⎧⎨=+⎩，解得：2ab=⎧⎨=⎩，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【点睛】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，字母因式是整式，被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．举一反三：【变式1】（2020秋·山东济南·八年级校考阶段练习）【8题答案】【答案】x=4，y=3．【解析】【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．同类二次根式，∴3a+4=19-2a，解得，a=3，=0=≥0，∴12-3x=0，y-3=0，解得，x=4，y=3．【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．【变式2】（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）【9题答案】【答案】1，21，61（答案不唯一）【解析】式，然后模仿例题的过程解答即可．【详解】解： 能合并，∴m =为正整数），2235a m ∴+=，2532m a -∴=，又a 为正整数，253m ∴-为偶数，m ∴为奇数，∴当1m =时，1a =；当3m =时，21a =；当5m =时，61a =．所以满足条件的a 的值可以为1、21、61．（也可取m 为其他正奇数，得出不同的答案）．【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．类型三、二次根式➽➼二次根式的乘除➽➼运算✭✭化简4．（2021春·上海·八年级校考阶段练习）【10题答案】【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．【详解】解原式23⎛=- ⎝243ab =-÷243a b =-=【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简， 正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式1】（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）【11题答案】【答案】（1）（2）1（3）18【解析】【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．【小问1详解】=÷123=⨯⨯=【小问2详解】==＝1；【小问3详解】÷142=⨯=＝18．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．【变式2】（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）【12题答案】【答案】（1）-（2）4 3 -【解析】【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；【小问1详解】解：原式（-=（-=-【小问2详解】解：原式(÷=-=4 3 -【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．类型四、二次根式➽➼二次根式的加减➽➼运算✭✭化简5．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】【解析】【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：6+-66=⨯+66=⨯=+-=．【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）【14题答案】【答案】（1）12-（2）20【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．【小问1详解】3a +-213334=⨯-+⨯a a a 32=+-32⎛=-+- ⎝a a a a 12=-【小问2详解】解：747a -+2747a a =⨯-+147=-20=【点睛】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．【变式2】（2022春·全国·八年级期末）【15题答案】【答案】（1）1-（2）2【解析】【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可；（2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可【小问1详解】解：原式312122⎛⎫=-+--⎪⎝⎭1=-；【小问2详解】解：原式(2=----2=-+-+2=-．【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键．类型五、二次根式➽➼二次根式的混合运算➽➼运算✭✭化简6．（2020秋·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）【16题答案】【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．【小问1详解】解：原式=+-=．【小问2详解】解：原式()43 =-143=-+-6=+．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．举一反三：【变式1】（2022春·四川攀枝花·九年级统考期中）【17题答案】【答案】（1）4-（2）10-【解析】【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；（2）根据二次根式的运算求解即可．【小问1详解】解：()113.143π-⎛⎫---⎪⎝⎭312=--+(22=-4=-；【小问2详解】解：⎛+⨯⎝4=-+=-+1010=-【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【变式2】（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）【18题答案】【答案】（11+（2）8 （3）6-+（4）0【解析】【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（3）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；（4）直接利用二次根式的性质与化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．【小问1详解】原式71=-=+-；1【小问2详解】=-+原式239=；8【小问3详解】原式93=-+-+6=-【小问4详解】原式3=-33=-0=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2022春·上海静安·八年级校考期中）【19题答案】【答案】原式ab =，当a =，b =时，原式1=【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．【详解】解：原式====ab =，当a =，b =时，原式==1=．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．【变式1】（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）【20题答案】【答案】2(1)2x -+；5【解析】【分析】将x 1化简，把所求式子配方变形，将x 的值代入计算即可得到结果．【详解】解：∵1x ===，∴())2222312112325x x x -+=-+=+-+=+=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．【变式2】（2022秋·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）【21题答案】【答案】18【解析】【分析】先将条件变形为：2a =+，2b =-，然后将结论变形22a b ab +，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．【详解】解：∵a =b =，∴2a =，2b =-，∴ab ＝1，+=a b ，∴b a a b +()(22222218a b a b ab ab ++==-=-=．【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出2a =，2b =-是解答本题的关键．类型六、二次根式➽➼综合与拓展8．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）【22题答案】【答案】（11-（2）17118m n a ===，，【解析】【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；（2）先将2展开，然后与a +a m n =+、17mn =，再根据a m n m n >，，为正整数，确定m 、n 的值，进而求得a 的值．【小问1详解】===1．【小问2详解】解：∵a +=2m n =++∴a m n =+，17mn=∵a m n m n>，，为正整数，∴17m =，1n =，17118a m n =+=+=．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）【23题答案】【答案】（1）2（2）3（3）10或22【解析】【分析】（1）将7看成是2+5，则2==，由此求解即可；（2）将11看成是9+2，则23=⨯==，由此求解即可；（3）根据2m n =+±2a ±=，可以得到m n a +=，21mn =，再根据a ，m ，n 均为正整数，则2112137mn ==⨯=⨯，由此求解即可．【小问1详解】()725+=++22=++2=【小问2详解】====3=【小问3详解】∵2m n ±=+±，2a ±=，∴m n a +=，21mn =，∵a ，m ，n 均为正整数，∴2112137mn ==⨯=⨯，∴3710a=+=．a=+=或12122故答案为：10或22【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．【变式2】（2021春·甘肃兰州·八年级统考期中）【24题答案】【答案】（12>-；（2（32【解析】【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可；（2）把分子分母都乘以3（3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．【详解】解：（12的有理化因式是2-2（2==；（3==，2==+而20+>>>->-2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的分母有理化，二次根式大小的比较，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．。

初中数学试卷鼎尚图文**整理制作一、基础知识(一)、二次根式的概念一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

（二）、二次根式中字母的取值范围二次根式有意义的条件：根据任何数的平方是非负数可得，当a ≥0时，a 有意义，所以二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.二次根式无意义的条件：因为负数没有平方根，所以当a ＜0时，a 无意义 （三）、二次根式的性质1、二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说)0(≥a a 是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。

注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0=+b a ，则a=0,b=0；若0=+b a ，则a=0,b=0；若02=+b a ，则a=0,b=0。

2、())0(2≥=a a a 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式())0(02≥=a a 是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若0≥a ，则2)(a a =，如：2)2(2=3、⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a二、重难点分析例题精析 1．重点：（1）二次根式的定义一般地，我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，所以判断一个代数式是不是二次根式，需要满足两个条件：一是根指数是2；二是被开方数必须大于或等于0.如1+x 不一定是二次根式，因为当1<x 时，二次根式无意义；而12+x 是二次根式，因为无论x 取任何值，被开方数12+x 永远大于0.（2）二次根式中字母的取值范围二次根式a 有意义的条件是0≥a 所以求二次根式中字母的取值范围，只需要解被开方数大于等于0的不等式即可.但在求二次根式中字母的取值范围时，一定要考虑全面，满足代数式成立的所有条件的公共部分才是字母的取值范围.如式子11+x 中x 的取值范围是1->x ，易错点是忽略分式中分母不为0. （3）二次根式的性质①二次根式具有双重非负性：0;0≥≥a a 这个性质在解答题目时应用较多，如 若0=+b a ，则a=0,b=0；若0=+b a ，则a=0,b=0；若02=+b a ，则a=0,b=0。

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

专题01二次根式专题复习【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．其中：①“”称为二次根号；②a 是被开方数，a ≥0，是一个非负数；【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式【解题方法】判断形式，确定被开方数大于等于0。

例题讲解：1．下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B ．xC ．22+x D ．22-x 【考试题型2】根据被开方数大于等于0求未知数的值或范围。

【解题方法】利用被开方数大于等于0建立不等式，解不等式。

例题讲解：2．若x 31-是二次根式，则x 的值不可能是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1考点二：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。

即a 中，a ≥0。

【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围【解题方法】利用式子中所有二次根式的被开方数都大于等于0建立不等式（组）求解集，同时若式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

例题讲解：3．若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＜2【考试题型2】利用二次根式有意义求式子【解题方法】利用二次根式有意义的条件求出相应字母的值，再带入需要求的式子。

例题讲解：4．已知y ＝322+-+-x x ，则x y 的值是（）A ．5B ．6C ．8D ．﹣8考点三：二次根式的性质二次根式的基本性质：①二次根式的双重非负性。

即a ≥0；a ≥0．②（a ）2＝a （a ≥0）（一个数的算术平方根的平方等于它本身）．③()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）。

【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。

【解题方法】结合绝对值，偶次方，让被开方数，绝对值符号内的式子以及底数分别为0建立方程解方程即可。

二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。

3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。

届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。

双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。

第十六章 二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念:1、定义：一般地，形如 Va (a >0的代数式叫做二次根式。

当时， .a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，若 根号下为负数，则无实数根)概念：式子-a (a >0叫二次根式。

.a (a >0是一个非负数。

题型一：判断二次根式(1)下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：、、2、3 3、-、、、x (x>0)、x中，二次根式有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件(1) 3x 4(2) 1 8a (3) . m 2 4V32、 ---- 有意乂，贝U ____________________ ;J x 1 2、 当x 是多少时， 2x 3+x 2在实数范围内有意义?x3 若、J x 2 * 2成立，贝q x 满足 ___________________ 。

V 3 x v 3 x 典型练习题：.0、42、- .2、---- 、__y (X >Q y >0.x y '(2)在式子 J x x f 0 , V2,—1 y2 , , 2x x p 0 ,3 3^. x 2 1,x yA.B. 3 2mC. -a 2 1(4)3、_____________ 当时，VT~2 J i 2x有意义。

4、使式子(x 5)2有意义的未知数x有()个.A. 0 B . 1 C . 2 D .无数5、已知y= 厂x + •一厂2+5，求-的值.y6若・、3 x + , x 3有意义，则厂= ____________ .7、若."m 有意义，则m的取值范围是____________________ 。

m 18、已知' x 2 2 2 x，则x的取值范围是_________________________9、使等式x 1 x 1 •. x 1、、x 1成立的条件是______________ 。

二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

二次根式复习例1（1有意义，则x 的取值范围是 ；（2）若321-x 有意义，则x ； （3）若31-x 有意义，则x ． 答案：（1）x ≥13 （2）x ≠2 （3）x ≥0且x ≠9解：（1）由3x －1≥0，故x ≥13； （2）由x －2≠0得x ≠2；（3）由x ≥03≠0 得x ≥0且x ≠9.例2（1）在下列根式 ，，，，，中最简二次根式有 ．（2， ，是同类二次 根式的是 ．答案：（1；（2、解：（1 ＝，所以它们都不是最简二次根式.（2）因为xy,＝,,,＝,所以是同类二次根式. 例3计算：（1）274821313123-+-； 答案：解：274821313123-+-＝3·13-•+•＝＝（2）x x x x 502712112-+-；答案：解：x x x x 502712112-+-＝-＝.（3）0)13(27132--+-；答案：解：0)13(27132--+-1+11+＝（4）)()2233723372-+；答案：解：()()2233723372-+＝ (2[] ＝((222[]-＝2(2827)-＝1.（5）-答案：解：-＝532-⋅＝-（6答案：解：＝23m n＝2m .(7) y xx y xy x 3135⋅÷ ；答案：解：y xx y xy x 3135⋅÷＝5（8）()x x x x 31248-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+．答案：解：()x x x x 31248-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝(82x ⎛+÷- ⎝⎭＝((÷-＝(-＝－2.例4（1）已知,x y =11，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y y x xy 的值．答案：解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y y x xy＝x ＋y.（2）化简求值：mm m m m m m -+--+-2221211， 其中32-=m ．答案：解： m m m m m m +--+-2221211＝(1)(1)1m m m +-+＝|(1)|(1)1m m m ----. 当32-=m 时，|m －1|＝1－m ，所以原式＝1(1)1m m m ----＝（m －1）－（－1）＝m.【课堂操练】1．若2)3(-x 有意义，则x 的取值范围是 ．答案：x 为任意实数解：因为不论x 取任何实数，总有（x －3）2≥0，因此2)3(-x 总有意义.2x 的取值范围是 ． 答案：x ≥32-且x ≠0 解：由2x ＋3≥0且x ≠0得x ≥32-且x ≠0.311x +有意义，则x 的取值范围是 ． 答案：x ≥32-且x ≠－1 解：由2x ＋3≥0且x ＋1≠0得x ≥32-且x ≠－1. 4．化简：= ，= ，=-2)7( ， =2)32(．1，7，29. 5．若=2m 7，则=m ．答案：±76=，则a 的范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜0 C ．0＜a ≤1 D ．a ＞0答案：D7m 的最小值是________．答案：58．已知n n 的最小值是________．答案：21n 最小应是21.9．若24-的整数部分为x ，小数部分为y ，则xy 2=________．答案：32解：因为12，所以2＜43，故x ＝2，y ＝3－（4 1.所以x y 23210．设()()12223+-=x ，估算x 的取值正确的是 （ ）A ．x ＜1B ．1＜x ＜2C ．2＜x ＜3D ．x ＞3答案：A解：因为()()12223+-=x 1＜1，所以选A. 11．把下列各式分母有理化：（1； （2答案：解：（1＝14b ；（2＝2.（3（422．答案：解：（31-.（42222＝(+)()2()a b a b a b --.12．计算（1）485127189+- ；答案：解：（1）485127189+- ＝9×7×5×＝＝(2) )459(43332-⨯；答案：解：（2）)459(43332-⨯＝2(93-⨯(-＝-(3) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-126312817；答案：解：（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-126312817＝173⎛⎛--⨯ ⎝⎝(4) 2484554+-+；答案：解：（4）2484554+-+＝＝（5）2332326--；答案：解：（5）2332326--＝＝（6）；答案：解：（6）＝3⨯＝＝60.(7) y xx y xy x 3135⋅÷ ．答案：解：（7）y xx y xy x 3135⋅÷＝5【课后练习】1．下列计算中，正确的是 （ ）AB=C=D=答案：C==＝=所以C 对. 2．若12-=x ，则122++x x = ． 答案：2解：由12-=x得x ＋1122++x x ＝（x ＋1）22＝2.3．()()=-⋅+20082008873873 ；()()=-⋅+20082007103103 ．答案：13解：()()()()(2008200820082220082008200888[88][8](6364)(1)1.⋅=⋅=-=-=-=((((((200720082007200733[33]3(910)33.⋅-=+⋅⋅-=-⋅=4．已知223,223-=+=b a ，则22ab b a - = ．答案：解： 因为ab ＝(3+-＝1，a －b ＝(3(3+--＝所以22ab b a -＝ab(a －b) ＝45．计算：（1）答案：解：（1）＝12⎛÷ ⎝⎭＝⎛÷ ⎝⎭＝4312+.（2）()()23522453+- ；答案：解：（2）()()23522453+-＝3024+＝6（3）21418122-+- ； 答案：解：（3）21418122-+-＝1)4212+⨯-＝1)+＝2+（4）3)154276485(÷+-；答案：解：（4）3)154276485(÷+-＝(56⨯⨯＝＝2+（5）x x x x3)1246(÷- ；答案：解：（5）x x x x 3)1246(÷-＝(622x x ⨯-⋅÷＝÷＝1.3（6）21)2()12(18---+++ ；答案：解：（6）21)2()12(18---+++21(2)+-＝114+＝3.4（7）a a a 836212739⋅-+；答案：解：（7）aa a 836212739⋅-+＝73⨯⋅＝＝＝（8）((-22；答案：解：（8）((-22＝(((([][]+⋅-==-（9）2322215324⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-； 答案：解：（9）2322215324⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-＝2⎛ ⎝＝（10）3511289504921894÷-⨯ ； 答案：解：（10）3511289504921894÷-⨯＝142＝21104- （11）()()()2132321321--+-；答案：解：（11）()()()2132321321--+-＝(222211]--- ＝（12）()()632632---+．答案：解：（12）()()632632---+＝＝22-＝(83--＝5-6．(1)若y ，求x y的值． 答案：解：（1）因为2－x ≥0、x －2≥0且它们互为相反数，故2－x ＝0，所以x ＝2、y ＝5.所以x y ＝2.5(2)，求a 2004+b 2004的值．答案：解：（2,==00所以a ＝－1，b ＝1.所以a 2004+b 2004＝（－1）2004+12004＝2.7．已知a 、b 为实数，且=b +4，求a 、b 的值.答案：解：由已知得a －5≥0、10－2a ≥0，解得a ＝5，代入已知得b ＋4＝0，所以b ＝－4.8x y --=23130，求y x +的值．答案：解：由已知得x －2＝0，,--=23130x y 所以x ＝2，y ＝－3.所以x ＋y ＝2＋(－3) ＝－1.9．化简求值：（1）已知：132-=x ，求12+-x x 的值．答案：解：（1）因为1x ==，所以x －1＝所以12+-x x ＝（x －1）2 ＋x 2 3（2）已知23,23-=+=b a ，求33ab b a -的值．答案：解：（2）因为ab ＝＝1，a ＋b ＝+＝a －b ＝-＝所以33ab b a -＝ab(a ＋b) (a －b) ＝1×10．若1995-+=a a ，求a -21995的值．答案：解：由已知得a －2000≥0，故a ≥2000.所以已知可变形为1995a a -=，1995=，两边同时平方变形得a -21995＝2000.11．在实数范围内分解下列因式:（1）x -23 ； （2）x -224 ；答案：解：（1）x -23＝（x （x .（2）x -224＝2（x （x .(3) x -44 ； （4）x -225．答案：解：（3）x -44＝（x 2＋2）（x 2－2）＝（x 2＋2）（x（x－. （4）x -225）22.12．解方程：（1）()()1715-=+x x ； 答案：解：（1）()()1715-=+x x=x =x =6x =（2）401251020+=+x x ．答案：解：（2）401251020+=+x x ,=+=x =3x =-13．已知Rt △ABC 中，AC =422+， 斜边AB =224+，求△ABC 的面积．答案：解：BCBC ==14求此三角形的面积．答案：解：三角形的面积为=15．如果正方形的边长为a ，它的面积与长为96cm 、宽为12cm 的矩形的面积相等，求a 的值．答案：解：据已知得a 2＝96×12，所以).a cm ==答：a的值是cm.。