对一道概率统计例题的研究性学习
作者：杨斯瀚侯宇阳代慧玲左倩魏代俊
来源：《教育教学论坛》2015年第30期
摘要：研究性学习是创新知识的重要途径，是培养大学生创新能力的重要举措。
本文以《概率论与数理统计》教学中一个例题为例证，通过教师的引导、学生自主探索，逐步深入研究，展现了研究性学习的过程，体现出研究性学习的乐趣和重要意义。
关键词：概率统计；研究性学习；教育教学
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）30-0170-02
一、引言
古语有云：读书不知味，不如束高阁。
蠹鱼尔何如，终日食糟粕[1]。
所谓学习，不是一味地去囫囵吞枣，而是在读书中发现问题、研究问题、思考问题，从而推陈出新，创造新的方法和知识。
另一方面，创新教育是高等教育的核心，研究性学习则是培养创新型人才的重要途径，大学生已具备一定的基础知识和自学能力，因此，高等教育是最适宜而且最需要开展研究性学习的场所[2-4]。
高等教育所提倡的研究性学习，是从自身的学习生活、社会生活中选择和确定研究专题或者遇到的疑难问题，以类似科学研究的方式主动获取知识、运用知识，解决问题的过程。
研究性学习的过程是一次次不断更新知识、追求真理的过程，同时，与现代课堂教学理念所倡导的师生平等、教学相长如出一辙。
研究性学习中，老师和学生各自要定位好自己的角色，教学要以学生为主体，老师要做好引导者，在引导中既不缺失也不越位，对有些问题“点到即止”，对总结性分析又要讲解透彻。
学生要做好行动者，不仅要以参与者的身份对问题进行研究学习，更重要的是要学会提出问题、探究问题的外延知识。
许多学者对研究性学习的理论体系做了详尽的研究，相比较而言，研究性学习的具体案例能更加感性、直观地展现研究性学习的魅力，但这类研究还相对缺乏，本文以概率论与数理统计教学实践中一道《概率论与数理统计》教材例题的学习为例，在学习中发现疑问，由老师逐步引导，学生们展开探究性学习，以学生为主体从发现问题到提出质疑并深入探索，培养了学生的创新精神，展现了研究性学习过程，让学生们体会到研究性学习的乐趣和意义。
二、一道例题的研究性学习
1.提出问题。
问题的发现或者课题的选定是研究性学习的基础，但是问题的发现需要老师和学生都保持一种好奇心和质疑精神，特别是老师对于学生有些看似“奇怪”的问题应该鼓励和提倡，要以认真的态度帮助学习分析问题，更重要的是老师要在教学中给予学生质疑的权利和潜移默化的影响。
在《概率论与数理统计》教学实践中，《概率论与数理统计》作为工科、管
理等学科的基础课程，在各项专业课程的学习中都起到了十分重要的作用。
在学习离散型随机变量及分布的内容时，机械工业出版社的教材《概率论与数理统计》（范玉妹等编，第二版）第78页，有这样一道习题：某射手参加射击比赛，共有4发子弹，设该射手的命中率为p，各次射击是相互独立的。
试求：该射手直至命中目标为止时的射击次数的分布律。
学生在做这道习题的时候给出了各种形式的解答，教材对应的全程学习指导（范玉妹等，《概率论与数理统计全程学习指导》机械工业出版社（第二版）第42页）则给出了这样的解答：
解：以X表示射手的设计次数：X的可能取值为：1，2，3，4.
P（X=1）=p；P（X=2）=p（1-p）；
P（X=3）=p（1-p）■；P（X=2）=p（1-p）■
则X的分布律为：
课堂上，有部分同学认为这样的解答有问题，与他们思考解答的不一致，但基于对教材参考答案的权威性的认同，只有极个别的学生向老师提出了质疑，教师首先从敢于质疑“权威”这样的精神层面对提出质疑的同学进行了肯定，并希望这种精神能被其他同学所学习，这种精神能够带到今后的学习生活中去，然后教师针对这个具体问题提出了两个问题让全体同学思考：
（1）该问题的解答是否满足概率的完备性？（2）如果不满足，存在什么问题？经过简单的计算，同学们很快发现解答结果不满足完备性，因为有下式的结论：
p+p（1-p）+p（1-p）■+p（1-p）■≥1 （1）
要满足（1）当且仅当p=1，这意味着射手是百分之百的命中率，虽然不排出这种情况的存在，但是p≠1这种情况也是显然存在的，故这样的解答是明显不对的。
那么，存在什么问题呢？课堂上教师并未给出正确解答，而是让学生课后查阅资料，思考问题应该的解答，并鼓励学生研究问题所包含的其他知识。
2.问题的初步探究。
问题提出以后，学生自主的学习研究是必需的一个过程，这个过程可以是学生之间的课后讨论、利用网络资源的查阅求证等等，无论哪种途径，都是要让学生经过思考、经过探索。
在本例中，经过课后查阅资料学习和讨论，同学们不但给出了问题的正确解答，并且是从两个不同的思维角度给予了分析：
思维一：关注最后一次的射击情况，即考虑第四次是否击中。
解：在考虑第四次是否击中时，则会出现两种情况：
（1）当前三次不中，第四次击中时，则第四次此时会出现概率为（1-p）3p。
（2）同时也有另外一种情况，即第四次无法击中，但由于只有四发子弹而不得不终止试验，则此时的概率为（1-p）4。
两种情况都有可能，但两种可能性在最终的结果中只可能出现其中一种，不可能同时发生，即两事件是互不相容的。
所以根据互不相容事件的加法原理，当X=4时有p={X=4}=（1-p）3p+（1-p）4，其分布律为：
思维二：不考虑第四次是否击中。
解：从另一个角度思考，也可考虑为总共只有四发子弹所以第四次射中或者不中都将停止试验，也就是说第四发子弹不用考虑，发生第四次即为前三次均为击中目标，所以所求概率为p{X=4}=（1-p）3，其分布律为：
两种分析过后，教师引导学生对两者进行比较分析，作简单运算就可发现，从实质上来说，这两种情况在数值上是完全一样的，因为
P■=（1-p）■p+（1-p）■=（1-p）■[p+1-p]=（1-p）■ （2）
但是由于两者是从不同角度出发而得到的结论，教师对于两种方法都给予了充分的肯定，并指出两种方法在思维角度的异同，体现了研究学习过程中不同思维的异曲同工的效果，这也让同学们在学习中体会到了不同思维方法所带来的乐趣。
3.举一反三。
某一个具体问题的解答并不是研究性学习的结束，其实研究性学习的重要特点就是让学生通过某一个问题的探讨去研究这个知识的外延，从而获得新的知识和技能，这个过程中，教师要充分发挥引导、启发作用。
在本例教学实践中，得出这个例题的正确解答之后，研究性学习并未结束，而是要举一反三，教师继续鼓励同学们思考：若子弹数量不限制，则分布律又会如何呢？学生们经过思考讨论、查阅资料，又总结出几何分布的相关知识。
几何分布的定义[5]：试验每次成功的概率为p，在多重独立试验概型中，试验进行到第一次成功为止，则试验次数的概率分布为下式：
P（X=k）=p（1-p）■，（k=1，2，3…）？摇（3）
然后，教师继续引导，以问题的形式让学生继续思考：如果是试验到第r次成功为止呢？学生又总结出巴斯卡分布相关知识。
巴斯卡分布的定义[5]：试验每次成功的概率为p，在多重独立试验概型中，试验进行到第r次成功为止，则试验次数的概率分布为下式：
P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=r，r+1，…）（4）
由上两式比较得知，当r=1时，（4）式等于（3）式，即几何分布是巴斯卡分布的一个特例。
三、总结
本例题从射击问题出发，以学生质疑教材给出的解答开始，教师鼓励学生主动探索研究，逐步给出了不同思维方法下的正确解答，并且学生自主地总结出几何分布和巴斯卡分布的概念。
本例题的解答并不是一个很复杂的问题，但通过研究性学习，学生自主地探索、讨论，对比、论证等多种方式不断深入研究，让学生有了很大的成就感，培养了学生的创新研究意识；教师通过不断设问，逐步引导学生思考，也实践了以学生为主体的教学方法，真正做到了教学相长，让学生自主地完成了相关知识的学习。
参考文献：
[1]袁枚.随园诗话[M].线装书局，2008.
[2]张胤.研究者——学习者：高校研究性学习之课程与教学体系的构建[J].辽宁教育研究，2004，（7）：63-65.
[3]郑光礼.对一道课本典型例题的质疑[J].课程教育研究，2013，（16）：150.
[4]杨汛，魏代俊，等.提倡质疑问难启迪思维创新——对一道教材例题的探究[J].课程教育研究，2014，（6）：167.
[5]邓集贤，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009.。
