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6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
升初三数学讲义 实数课前小测1、求下列各数的平方根（1）610； （2）2)494(-； （3）810000；（4）224041-； （5）2)25610(2、求下列各式的值：（1（2）（3）（4） （5） ．【知识要点】1. 实数（1）无理数概念：无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.14159261.414213=，1.010010001…，都是无理数。
（2）实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2. 平方根（1）平方根及算术平方根的概念平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。
即若x 2=a (a ≥0)，则x 就称为a的平方根，记作a ≥0）算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。
因此，0的算术平方根为00=。
（2）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②零有一个平方根，它是零本身； ③负数没有平方根。
（3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。
（4）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a a a =2)(（ ）3. 立方根（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根（也称作a 的三次方根）。
即：若3x a =，则x 称为aa 是被开方数，3是根指数。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。
【典型例题】例1填表变式练习：（1）4的算术平方根是____________； 541是___________的算术平方根；7是__________的算术平方根（2）81的算术平方根是 ，16的平方根是 ，2)4(-的平方根是例2（1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。
数学知识点平方根和立方根的应用平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们在实际应用中具有广泛的用途和重要的意义。
本文将介绍平方根和立方根的定义、性质以及在各个领域的应用。
一、平方根的定义和性质平方根是指一个数的平方等于给定数的正数根。
以数a的平方根为例，即为满足下式的正数x：x² = a其中，x表示数a的平方根。
根据平方根的定义，我们可以得到以下性质：1. 平方根的非负性：平方根必须是非负的，即x ≥ 0，因为平方根是给定数的正数根。
2. 平方根的唯一性：一个数的平方根是唯一的。
例如，对于任何非负数a，只存在一个非负数x使得x² = a成立。
3. 平方根的性质：平方根具有某些特定的性质，如分布率和奇偶性。
具体的性质可以通过数学理论证明得到。
二、平方根的应用平方根在科学、工程和日常生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用例子：1. 几何学：平方根被广泛运用于计算几何图形的边长、对角线长度等。
例如，在矩形中，对角线的长度可以通过两条边的平方和的平方根来计算。
2. 物理学：在运动物体的速度、加速度等物理量的计算中，平方根起到重要作用。
例如，在自由落体运动中，可通过初始速度和加速度的平方和的平方根计算物体的最终速度。
3. 统计学：平方根常用于统计学中的标准差计算。
标准差是衡量数据离散程度的指标，其计算涉及多次平方根的运算。
4. 金融学：在金融学中，平方根被用于计算波动率，即衡量价格或收益率的变动幅度。
波动率的计算需要对不同时间段的收益率进行平方、求和和平方根等操作。
三、立方根的定义和性质立方根是指一个数的立方等于给定数的根。
以数a的立方根为例，即为满足下式的数x：x³ = a其中，x表示数a的立方根。
立方根的性质如下：1. 唯一性：一个数的立方根是唯一的，与平方根相似。
2. 正负性：立方根既可以是正数，也可以是负数。
因为一个数的立方和一个数的相反数的立方恰好相等。
3. 运算法则：立方根具有一些运算法则，例如，两个数的立方根的和等于这两个数的立方和的立方根。
平⽅根与⽴⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？ ±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？ 2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的概念：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2； 2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：⑴0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a)0(2≤-=a a a， )0()(2≥=a a a6、什么叫做⽴⽅根？⼀般地，如果⼀个数的⽴⽅等于a ，那么这个数就叫做a 的⽴⽅根，也称为三次⽅根。
即如果a x =3,那么x 就叫做a 的⽴⽅根。
记为3a ，读作“三次根号a ”.7、⽴⽅根的概念：正数的⽴⽅根是正数，负数的⽴⽅根是负数，0的⽴⽅根是0本⾝。
互为相反数的两个数的⽴⽅根也互为相反数。
求⼀个数的⽴⽅根的运算叫做开⽴⽅。
1.平⽅根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的，我们把称为算术平⽅根,记为。
规定，0的算术平⽅根为。
（2）⼀个的平⽅根有2个，它们互为；只有1个平⽅根，它是0本⾝; 没有平⽅根。
（3）两个公式：（a ）2＝（）；=2a2.⽴⽅根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的，记为；2）⼀个正数的⽴⽅根有个，0的个⽴⽅根为，负数有个⽴⽅根。
第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x 为何值时，x x +-1有意义。
例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。
例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。
请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
