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龙文教育一对一个性化辅导教案学生李卓杰学校禺山年级高二理次数第8次科目数学教师麦家丰日期4-24时段10-12课题导数的单调性与极值教学重点1函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．教学难点函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值．教学目标1掌握单调性与导数的关系、取极值的条件，学会求函数的极最值。
教学步骤及教学内容一、课前热身：1、课前交流，了解学生在校学习动态；2复习回顾二、内容讲解：1、知识梳理函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2、考点突破利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、课堂小结：四、作业布置：管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：教案最后一页课堂小结1、学生作业的完成情况：○好○较好○一般○差2、学生对上节课知识的复习情况：○好○较好○一般○差3、学生本节课的学习状态：○好○较好○一般○差4、学生对本节课知识在校学习情况：○好○较好○一般○差5、学生对本节课知识的掌握情况：○好○较好○一般○差6、学生本堂课的学习习惯和方法：○好○较好○一般○差备注：家长签字：日期：年月日导数的单调性与极值复习回顾3已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
4在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边,且274sincos 222B C A +-= ()1求角A 的度数；()2若3, 3.a b c =+=求,b c 的值5已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．6若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．A.π6B.π4C.3π4D.5π67已知数列{}n a 的前n 项和公式是244n S n n =-+，求它的通项公式n a8设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),求{a n }.9已知数列{}n a 的前n 项和公式是51n n S =-，求它的通项公式n a .7、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =g ，则313233310log log log log a a a a ++++L 等于（ ） A.8 B.10 C.12 D.32log 5+8、若实数,,a b c 成等比数列，则函数2()f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.不确定9已知数列{}n a 是等差数列,34n n b a =+，证明数列{}n b 是等差数列10 已知数列{}n a 中，12a =-且1n n a S +=，(1)求证{}n a 是等比数列；(2)求通项公式.11数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T导数的单调性与极值【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性【例题】已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值【例题】 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．。
高中数学一对一冲刺课程专题简介第一讲集合第二讲函数概念与基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点)§2.1函数及其表示§2.2函数的基本性质§2.3一次函数和二次函数§2.4指数与指数函数§2.5对数与对数函数§2.6幂函数§2.7函数的图象§2.8函数的值域和最值§2.9函数的应用第三讲立体几何初步(基础理论,重难点,高考考点)§3.1空间几何体的结构、三视图和直观图§3.2空间几何体的表面积和体积§3.3点、线、面的位置关系§3.4直线、平面平行的判定与性质§3.5直线、平面垂直的判定与性质第四讲平面解析几何初步(基础理论,重难点,高考考点)§4.1直线方程和两条直线的位置关系§4.2圆的方程§4.3直线与圆、圆与圆的位置关系第五讲算法初步与框图(基础理论,重难点,高考考点)第六讲基本初等函数(基础理论,重难点,高考考点)§6.1三角函数的概念§6.2三角函数的图象和性质§6.3三角函数的最值与综合应用§6.4三角恒等变换§6.5解三角形第七讲平面向量(基础理论,重难点,高考考点)§7.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积§7.2向量的数量积和运算律、向量的应用第八讲数列(基础理论,重难点,高考考点)§8.1数列的概念及其表示§8.2等差数列及其前n项和§8.3等比数列的综合应用§8.4数列的综合应用第九讲不等式(基础理论,重难点,高考考点)§9.1不等关系与不等式§9.2一元二次不等式及其解法§9.3简单的线性规划§9.4基本不等式§9.5不等式的综合应用第十讲计数原理(基础理论,重难点,高考考点)§10.1排列与组合§10.2二项式定理第十一讲概率与统计(基础理论,重难点,高考考点)§11.1古典概型与几何概型§11.2概率§11.3统计与统计案例第十二讲常用逻辑用语(基础理论,重难点,高考考点)§12.1逻辑联结词与四种命题§12.2全称量词与存在量词§12.3充分条件和必要条件第十三讲圆锥曲线与方程(基础理论,重难点,高考考点)§13.1椭圆§13.2双曲线§13.3抛物线§13.4直线和圆锥曲线的位置关系§13.5求曲线方程§13.6圆锥曲线的综合问题第十四讲空间向量和立体几何(基础理论,重难点,高考考点)§14.1空间中的角§14.2空间向量在立体几何中的应用第十五讲导数及其应用(基础理论,重难点,高考考点)§15.1导数与积分§15.2导数的应用第十六讲推理与证明(基础理论,重难点,高考考点)§16.1合情推理与演绎推理§16.2直接证明和间接证明§16.3数学归纳法第十七讲数系的扩充与复数的引入(基础理论,重难点,高考考点)第十八讲几何证明选讲(基础理论,重难点,高考考点)第十九讲坐标系与参数方程(基础理论,重难点,高考考点)第二十讲不等式选讲(基础理论,重难点,高考考点)。
一对一个性化辅导教师授课学案学生姓名年级高三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课授课时间审核人本次课课题导数1教学目标授课内容教学内容1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为),(tfs=则物体从t到tt∆+这段时间内的平均速度ttfttfttv∆-∆+=∆)()(),(；一般的，函数)(xf在区间],[21xx上的平均变化率为2121()()f x f xx x--。
2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。
我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。
当平均速度ttfttfttv∆-∆+=∆)()(),(中的t∆无限趋近于0 时，平均速度ttfttfttv∆-∆+=∆)()(),(的极限称为在时刻t的瞬时速度)(tv，记作v=ts∆∆=()()(0)f t t f ttt+∆-∆→∆。
求瞬时速度的步骤为：(1)设物体的运动方程为)(tfs=；(2)先求时间改变量t∆和位置改变量);()(tfttfs-∆+=∆(3)再求平均速度ttfttftsttv∆-∆+=∆∆=∆)()(),((4)后求瞬时速度：瞬时速度v=ts∆∆=()()(0)f t t f ttt+∆-∆→∆.3. 求函数)(xfy=的导数的一般方法：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy-∆+=∆．（2）求平均变化率xxfxxfxy∆-∆+=∆∆)()(．（3）取极限，得导数/y＝()f x'=(0)yxx∆∆→∆．4.)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-;1.根据导数定义求函数)(x f y =的导数步骤： ⑴计算xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ⑵()()()(0)(0)y f x x f x f x x x x x∆+∆-'=∆→=∆→∆∆； 2．基本初等函数的求导公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数)1)'(-=a a ax x ；()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x=11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 xx 1)(ln =' x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=3.导数的运算法则[]()'()'cf x cf x =[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±[]()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭4．复合函数求导步骤若)(u f y =的定义域为E ，函数)(x u ϕ=的定义域为D,值域为W,若φ≠E W ，当)(x u ϕ=的值域落在)(u f y =的定义域内时则称)]([x f y ϕ=是由中间变量u 复合成的复合函数，y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数，即形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
学思教育学科教师辅导讲义对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为A.ln(1)y x =+B.ln(1)y x =-C. ln(1)y x =-+D. ln(1)y x =-- [考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥， 即：1ln(1)x e y x y =+⇒=+，所以1()ln(1)f x x -=+.例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P ,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4.例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=.又2324282324x x x x x +-+=++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.例11．(2006年山东卷)设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间.[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表x1(1,)a -1a 1(,)a+∞ '()f x — 0 + ()f x极小值从上表可知当1(1,)x a∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a-上单调递减.当1(,)x a∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a-上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.随堂练习1．（2006年北京卷）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所1. ．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值22．函数xe x xf -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0。
23个函数与导函数类型专题ln()x1f xx1x=++，若x0>，且x1≠，ln()x kf xx1x>+-，求k的取值范围.解析：⑴将不等式化成()(*)k>=<模式由ln()x kf xx1x>+-得：ln lnx1x kx1x x1x+>++-，化简得：ln22x xk1x1<--①⑵构建含变量的新函数()g x构建函数：ln()22x xg xx1=-（x0>，且x1≠）其导函数由'''2u u v uvv v-⎛⎫=⎪⎝⎭求得：'()(ln ln)()22222g x x x x x1x1=----即：'()[()()ln]()22222g x x1x1xx1=--+-()ln()222222x1x1xx1x1⎛⎫+-=-⎪⎪-+⎝⎭②⑶确定()g x的增减性先求()g x的极值点，由'()0g x0=得：ln22x1x0x1--=+即：ln22x1xx1-=+③由基本不等式ln x x1≤-代入上式得：22x1x1x1-≤-+故：202x1x10x1---≥+即：()()021x110x1--≥+由于211x1≤+，即2110x1-≥+，故：0x10-≥，即0x1≥在0x x1≥≥时，由于22x11x1-<+有界，而ln x0>无界故：ln 22x 1x 0x 1--<+即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减； 那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()lim ln x 0x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：ln (ln )'(ln )limlimlim()22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤.()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤ 解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-==②⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1-的符号决定.当10->，即：x<'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当10-<，即：x>'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当10-=，即：x=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x=的两侧即：α<，β>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论证毕.由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅ 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅ 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=-当：2β=，1α=时，ln 2a 3=当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当1a 0x -=，即1x a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a. ()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+<若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a >.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③考虑到基本不等式ln111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a-<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1< 结合ln1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a> 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a <（因x 0>） 设：C 11x x a =+于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a -=故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+--ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a-=---⋅⋅++--ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥ ⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+--将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+->证毕.知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值.解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()Af 0B e== 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+① ⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ②⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y ='()h y 0=，()h y 达到极大值.此时，()h y 的极大值为：(2eh 12=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.解析：⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当12k x 1=+，即m 1x x 12k==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k =---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k+-=+=即：2k 1=，即：1k 2=， 此时m 1x 12k=-，即：m 12k 1x 1==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2=由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤.由③式可看出x 0=时，()g x 0=由()g x 0=得：ln()2x x 1k x -+=，令ln()()2x x 1K x x -+=我们只要求出ln()()2x x 1K x x -+=在极值点的值就好.用洛必达法则：ln()lim ()lim lim 2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2xx →+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=.()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.解析：⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ①其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：()()'()()P P P y x f x f x x x =+-③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得： '()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一，所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一. b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P P x x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =-⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标.⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ① 函数()axf x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ②⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立.则：()()21ax ax ax 21e e g x ae x x -=-- ③导函数：'()2ax g x a e = ④⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x ae x x -=--()[()]121axa x x 2121e a x x e 1x x -=--+-()[()]121axa x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x ae x x -=--()[()]212ax a x x 2121e a xx 1e x x -=--+-()[()]212ax a x x 1221e e a xx 1x x -=----⑥⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号.即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在.由④式得：'()2ax g x ae 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0=由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae 0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈ ⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故：在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=；在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=；在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a x x -∈-()ln()f x x11=++.证明：当0x 2<<时，()9x f x x 6<+证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9x g xx 11x 6=++-+ ① 导函数'()()2154g x x 1x 6=+++ ② 即：'()()()2254g x 2x 1x 6+=-++ ③函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x2<<时，()g x 0<，则()9x fx x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有(*)≤即：(*)≥ 或(*)≤. （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)≥和(*)≤的两种选项，所以采用化掉.由均值不等式：22211x 2⋅≤+=+得：x 12≤+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：x 6+= ⑤令t =，（1t <<则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231t 2-±=由于1t <<21t 2= 所以有：1t 1=，21t 2=，即：1x 0=，321x 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由于))(=3311122288⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭)(11136444-⨯>=> 所以2x 3>⑷ 由单调性证明不等式由①式()ln()9x g x x 11x 6=++-+得： ()g 00=，()ln ln 93g 34142036⨯=+-=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9x f x x 6<+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.a 0>，n 为正整数，抛物线n2a yx 2=-+与x 轴正半轴相交于点A .设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：()()33f n 1n f n 1n 1-≥++. 证明：⑴ 先求A点的坐标(,)A x 0将A x x =，A y y 0==代入抛物线n2a y x 2=-+得：A x =⑵ 求过A 点的切线方程抛物线的导数为：'y 2x =- ①故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-即：()2A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n由②式，当x 0=时，()y f n =.故：()22nA f n 2x 2a === ③⑷ 分析待证不等式()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++， 即：()32111f n 1n 1-≥-++，即：()321f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：a ≥④⑸ 数值分析由④式当n 1=时，a 3≥；当n 2=时，2a 17≥，即a≥当n 3=时，3a 55≥，即a ≥（2553025=，3174913=）因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31a 2n1n ≥+ ⑤⑹ 构建新函数()g n构建函数：()ln()31g n 2n 1n =+，求()g n 的最大值.求导得：ln()'()23326n n 2n 12n 1g n n ⋅-++=当'()g n 0=时，即：ln()3336n 2n 12n 1=++， 即：ln()33332n 12n 1-=++ ⑥令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 33t t-= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3t 33t=-<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<代入④式a ≥ a ≥=⑧ ⑻ 证明结论满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.证毕.ln ()x x 1f x e +=，'()f x 为()f x 的导数.设()()'()2g x x x f x =+，证明：对任意x 0>，()2g x 1e -<+解析：⑴ 求函数()g x 的解析式函数ln ()x x 1f x e +=的导函数为：'()(ln )(ln )x x 2x x 1111f x e e x 1x 1x xe e =-+=--[] ① 函数()()'()2g x x xf x =+得：()()(ln )(ln )x x x 1x 1x 1g x x 11x x x x e e++=--=-- ② ⑵ 构造新函数()h x由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）得:x 1x 1e +≤ 代入②式得：()ln g x 1x x x <-- （x 0>） 令：()ln h x 1x x x =-- ③则上式为：()()g x h x < ④⑶ 分析()h x 的单调性，并求其极值由③式得()h x 导函数为：'()(ln )h x 2x =-+ ⑤ 当2x e ->，即ln 2x 0+>时，'()h x 0<，()h x 单调递减； 当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增； 当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值. ()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得： ()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥ ⑷ 证明结论故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+证毕.,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M . 解析：⑴ 构建新函数()h x函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①函数()g x 的导数为：'()g x 2x b =+ ②构建函数：()'()'()()()2h x f x g x 3x a 2x b ==++ ③则已知条件化为：在开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，等价于()h x 0≥ ④⑵ 确定b 的取值范围已知a 0<，若b 0>，则区间(,)I a b =；故：此时区间I 包括x 0=点.由①②式得：'()f 0a =，'()g 0b =，所以()'()'()h 0f 0g 0ab 0==<不满足④式，即：b 0>不成立.⑶ 确定x 的取值范围由于a 0<，b 0≤，x 0≤，即：2x b 0+≤要满足④式，在2x b 0+≠时，则必须有：'()f x 0≤，即：23x a 0+≤，即：2a x 3≤-，即：[x ∈，结合(,)x 0∈-∞得：[)x 0∈ ⑤ ⑷ 确定a b -的最大值M .由于区间I 是以,a b 为端点，a 0<，b 0≤，而[)x 0∈所以若b 0=，则a =，所以：a 0-=>， 即：2a a 3=-，故：1a 3=- ，代入⑤式得：[,)1x 03∈- 故：(,)(,)1I a b 03==- ⑥故：a b -的最大值M知函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+ （[,]0θπ∈），若x 0≥时()f x 0≤，求θ的最小值. 解析：⑴ 求出函数的导函数由函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+得： 导函数为：[(sin )()(sin )]'()()2112x 1x x 1x f x 1x 1x θθ++-+=-++ [()sin ]()2x12x 1x θ=-++ ①依题意，若x 0≥时，()f x 0≤所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.⑵ 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：'()f x 0=所以当在x 0≥区间'()f x 0≤时，函数()f x 在x 0≥区间单调递减 故满足()f x 0≤的条件. 于是：'()[()sin ]()2xf x 12x 01x θ=-+≤+由于x 0≥，()21x 0+>，所以()sin 12x 0θ-+≤，即：sin 12x θ≥+ 故：sin 11202x θ≥≥++，即：sin 12θ≥ 求三角函数定义域得：sin 1θ≤，故：sin [,]112θ∈.()ln()x f x e x λ=-+.当()f x 0≥时，求λ的取值范围.解析：⑴ 分析题意设()x g x e =，()ln()h x x λ=+，则()()()f x g x h x =-()f x 0≥的意思，就是()y g x =的图象在()y h x =的图象之上 设在0x x =处，()y g x =与()y h x =的图象相切，此时，设λ值为0λ只要0λλ≤，()y g x =的图象永在()y h x =的图象之上.⑵ 由0x x =点的关系来建模由于0x 点在曲线()y g x =上，故：0x 0y e = ①同时0x 点在曲线()y h x =上，故：ln()00y x λ=+ ②它们在0x x =图象相切，故：'()'()00g x h x =即：ln()001x x λλ+=+ ③ 由①②式得：ln()0x 0e x λ=+ ④⑶ 解超越方程③式方程③是一个超越方程，令01t x λ=+（t 0>），即：01x tλ+=代入③得：ln t t -=或ln t t =- ⑤由ln t t =-得：t 0>（因ln t 定义域），则：ln t t 0=-<，即：t 1< 故：(,)t 01∈ ⑥由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）或ln x 1x -≥（仅当x 1=时取等号）代入⑤式可得：ln t t t 1-=≤-，即：2t 1≥，即：[,)1t 2∈+∞ ⑦ 由⑥⑦得：(,)1t 12∈ ⑧ .056714329⑷ 解出极值点的λ 由④式得：ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=，即：ln 0x t t ==- 即：001x t x λ=-=-+ ⑨ 故：()2001x 22x λ=-+=+≥，所以：当0x x =时，02λ≥ 由⑴的分析，本题答案是：0λλ≤，即2λ≤（严格来说，解超越方程得=.0x t 056714329=--，.0233λ，本题答案是.233λ<）()()22f x 1a x ax =+-，其中a 0>，求()f x 0>时x 的取值范围. 解析：()y f x =的图象是开口向下的抛物线，于是()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当()f x 0=时，1x 0=，221a x 2a +=≥，即：(,)21a x 0a+∈，即：(,)x 02∈故：x 的取值范围是(,)x 02∈a 0>，函数()x a f x x a-=+.若函数()y f x =在x 0>区间的图像上存在两点,A B ，在A 点和B 点处的切线相互垂直，求a 的取值范围. 解析：去绝对值号⑴ 对x a >，()x a f x x a -=+，其导数：'()()22a f x 0x a =>+ 即：在x a >区间，函数()f x 单调递增；⑵ 对(,)x 0a ∈，()x a f x x a -=-+，其导数：'()()22a f x 0x a =-<+ 即：在(,)x 0a ∈区间，函数()f x 单调递减；⑶ 对x a =，()()f x f a 0==，函数()f x 达到极小值0.若A 点和B 点处的切线相互垂直，即：'()'()A B f x f x 1=- ① 则A 点和B 点分居于两个不同的单调区域.设(,)A x 0a ∈，则(,)B x a ∈+∞，于是①式就是：()()22A B 2a2a1x a x a ⋅=++，即：()()A B 2a 1x a x a =++ 即：()()A B x a x a 2a ++= ②⑷ 解析②式得⑤式 由②式得：A B 2a x a x a+=+ ③ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈，代入③式得：B 2a a 2a x a <<+，即：B 1112x a<<+，即：()B 1x a 2<+< ④ 因为B x a >，所以B x a 2a +>，结合④式得：B 2a x a 2<+< 即：2a 2<，故：a 1< ⑤⑸ 解析③式得⑦式因为B x a >，所以B x a 2a +>，即：B 2a 1x a<+， 代入③式得：A B 2a x a 1x a+=<+，即：A x a 1+< ⑥ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈代入⑥式得：2a 1<，即：1a 2< ⑦()()1f x a 12x 2=--，a 为常数且a 0>. 若条件1：0x 满足(())00f f x x =；条件2：()00f x x ≠. 则满足这2个条件，称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点,12x x ，试确定a 的取值范围. 解析：⑴ 函数去绝对值号得出()1f x 和()2f x当1x 2<时，11x x 22-=-，()()1f x a 12x 2ax 2=--= 记：()1f x 2ax = ①当1x 2≥时，11x x 22-=-，()()=()1f x a 12x 2a 1x 2=--- 记：()=()2f x 2a 1x - ②条件1：(())00f f x x = ③条件2：()00f x x ≠ ④⑵ 在1x 2<及12ax 2<时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2<时，复合函数仍用①式：(())()11010f f x 2af x = 故：()100f x 2ax =，(())21100f f x 4a x =条件1：2004a x x =，即：24a 1=，即：1a 2=； 条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠.⑶ 在1x 2<及12ax 2≥时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2≥时，函数用②式：(())[()]21010f f x 2a 1f x =- 故：()100f x 2ax =，(())()2100f f x 2a 12ax =-条件1：()002a 12ax x -=，即：022ax 14a =+；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠. 则：022a 1x 214a =≠+ ⑤ ⑷ 在1x 2<及12ax 2≥时解析⑤式 将条件1：022a x 14a =+代入012ax 2≥得：224a 1214a≥+即：228a 14a ≥+，即：24a 1≥，即：1a 2≥⑥ 将022ax 14a =+代入01x 2<得：22a 1214a<+ 即：24a 14a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10-> 故：1a 2≠ ⑦结合⑥式和⑦式及a 0>所以，⑤式022ax 14a =+为一个二阶周期点，记为：122ax 14a =+⑸ 在1x 2≥及()12a 1x 2-<时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-<时，应用①式得：(())()12020f f x 2af x = 故：()()200f x 2a 1x =-，(())()()2120200f f x 2af x 4a 1x ==- 条件1：()2004a 1x x -=，即：2024a x 14a =+；条件2：()002a 1x x -≠，即：02a x 12a≠+. 则：222a 4a 12a 14a ≠++，即：22a 4a ≠，即： a 0≠且1a 2≠ i>将2024a x 14a =+代入()012a 1x 2-<得：()224a 12a 1214a -<+ 即：()214a 114a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10->即：1a 2≠ ii> 将2024a x 14a =+代入01x 2≥得：224a 1214a >+ 即：228a 14a >+，即：24a 1>，即：1a 2>结合i>和ii>及a 0>所以，2024a x 14a =+为另一个二阶周期点，记为：2224a x 14a =+⑹ 在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-≥时，应用②式得：(())[()]22020f f x 2a 1f x =- 即：(())[()]2222000f f x 2a 12a 1x 2a 4a 4a x =--=-+ ⑧条件1：22002a 4a 4a x x -+=，即：()022a 12a x 14a -=- 当12a 0-≠时，上式即：02a x 12a=+ 条件2：()002a 1x x -≠，即： 02a x 12a ≠+()()2x f x 1x e -=+，()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析：⑴ 解读题意由于[,]x 01∈，所以有n x x ≤（n N +∈）.故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于()()2x f x 1x e -=+，()f 01=，'()[()]()2x 2x f x 121x e 12x e --=-+=-+()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，()g 01=，'()cos sin 23x g x a 2x 2x x 2=++- 构建函数：()()()h x f x g x =-⑵ 将函数()f x 化为幂函数形式构建函数：()1f x 1Ax =+，满足条件1：()()1f x f x ≤ ①构建函数：()()()21f x f x f x =-，条件1成为：()2f x 0≤ ②则：()()()21f 0f 0f 00=-=导函数：'()'()'()()2x 21f x f x f x A 12x e -=-=++ ③要满足[,]x 01∈时()2f x 0≤，必须是：'()2f x 0≤故由③式：()2x A 12x e -≤-+ ④⑶ 解析④式因为④式，记()()2x 0h x 12x e -=-+，则：'()[()]2x 2x 0h x 2212x e 2xe --=--+= 当x 0≥时，()0h x 是x 的单调递增函数.故：()()00h x h 01≥=-，则由④式：A 1≤-；且：()()200h x h 13e -≤=-，则由④式：2A 3e -≤-.由于213e --<-，所以满足[,]x 01∈区间时，A 1≤-取A 的最大值，A 1=-⑷ 构建函数()1g x 化解cos x由于cos x 是偶函数，且cos sin ()()222x x x x 12121222=-≤-⋅=- 函数()g x 在()h x 中的不等号方向是：()h x 0≥，即：()g x 0-≥，即：()g x 0≤ 应构建函数()cos 1g x x ≥，且()1g x 也是偶函数.构建函数：()21g x 1Bx =-，满足条件2：()cos 1g x x ≥⑸ 构建函数()()cos 31g x g x x =-构建函数：()()cos 31g x g x x =-，条件2成为：()3g x 0≥则：()()cos 31g 0g 000=-=，导函数：'()'()sin 31g x g x x =+ ⑤要满足[,]x 01∈时()3g x 0≥，必须是：'()3g x 0≥故由⑤式：'()sin sin 1g x x 2Bx x 0+=-+≥，则：sin x B 2x ≤⑥ 当x 0→时，sin lim x 0x 1B 2x2→≤= 当x 1=时，由⑥式得：sin .1B 0422≤取满足⑥式得B 的最大值，sin (.)1B 0422== ⑹ 构建函数：()2g x 构建函数：()()321x g x ax 12xg x 2=+++ 即： ()()()()3232x 1g x ax 12x 1Bx 1a 2x 2B x 22=+++-=+++- 因为()cos 1g x x ≥，则：()()2g x g x ≥⑺ 构建函数()1h x ，求a 的范围构建函数：()()()112h x f x g x =-若()1h x 0≥，因为()()()()()()121h x f x g x f x g x h x =-≥-=，所以()h x 0≥ 于是：()()[()()]311h x 1x 1a 2x 2B x 2=--+++-()()31a 3x 2B x 2=-++- 要使12B 02-≥，则1B 4≥，故：sin [,]11B 42∈ 此时，()()()()311h x a 3x 2B x a 3x 2=-++-≥-+ 若要()1h x 0≥，即：()a 3x 0-+≥，则：a 30+≤，即(,]a 3∈-∞-所以，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，实数a 的取值范围(,]a 3∈-∞-.()()ln ()2x 2x a x 0f x xx 0⎧++<⎪=⎨⎪>⎩，其中a 是实数. 设(,())11A x f x ，(,())22B x f x 为该函数图像上的两点，且12x x <.若函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.解析：函数的导函数为：()'()()2x 2x 0f x 1x 0x⎧+<⎪=⎨>⎪⎩如果图像在点,A B 处的切线重合，则点,A B 分处于两个不同区间.因12x x <，故A 点在1x 0<区间，B 点在2x 0>区间.⑴ 设过A 点的切线方程为：'()()111y y f x x x =+- ①则：2111y x 2x a =++ ②'()11f x 2x 2=+ ③将②③式代入①式得：()()21111y x 2x a 2x 2x x =++++-即：()211y 2x 1x x a =+-+ ④⑵ 设过B 点的切线方程为：'()()222y y f x x x =+- ⑤则：ln 22y x = ⑥， '()221f x x =⑦ 将⑥⑦式代入⑤式得：ln ()2221y x x x x =+⋅-，即：ln 221y x x 1x =+- ⑧ ⑶即：()ln 1221212x 1x x a x 1⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩由1x 0<,2x 0>得：()1212x 10x +=>，即：1x 1>-，故：(,)1x 10∈- 由()1212x 1x +=得：()211x 2x 1=+，即：21x 2>，故：(,)21x 2∈+∞ 由ln 212x a x 1-+=-得：ln 221a x 1x =-+ ⑨ ⑷ 求a 的取值范围由⑨式可知，a 随1x ，2x 单调递增则a 有最小值，当1x 0→，21x 2→时，a →最小值. 故：(,)ln ln 1211a a x 0x 102122>===-+=--，即：ln a 21>--()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．若()f x 在(,)1+∞上是单调减函数，且()g x 在(,)1+∞上有最小值，求a 的取值范围.解析：函数()f x 的导函数为：'()1f x a x=- ① 函数()g x 的导函数为：'()x g x e a =- ②⑴ 由()f x 在(,)1+∞上是单调减函数得：'()f x 0≤ (,)x 1∈+∞代入①式得：1a 0x-≤，即：1a x ≥ 考虑到(,)x 1∈+∞，故：a 1>，即：(,)a 1∈+∞⑵ 由()g x 在(,)1+∞上有最小值，是最值点为0x x =则：'()0g x 0=，(,)0x 1∈+∞代入②式得：0x e a 0-=，即：0x a e =，即：ln 0x a =考虑到(,)0x 1∈+∞，故：a e >，即：(,)a e ∈+∞()()x 2f x x 1e kx =-- (其中k R ∈).当(,]1k 12∈时,求函数()f x 在[,]0k 上的最大值M .解析：函数()f x 的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数'()f x 0=的地方.⑴ 在区间端点x 0=处函数值为：()()02f 001e k 01=--=- ①⑵ 在区间端点x k =处函数值为：()()k 3f k k 1e k =-- ②因为：k e k 1≥+，所以：()()()323f k k 1k 1k k 1k ≥-+-=--即：()()232f k k k 1k 1k 1≥--=--因为：(,]1k 12∈，所以：()()2f k k 1k 11≥--≥- 即：()()f k f 01≥=- ③⑶ 在极值点0x x =处当()f x 取极值0x x =时，其导数'()0f x 0=即：'()()00x x 0000f x x e 2kx x e 2k =-=-则：0x 0=和0x e 2k 0-=，即：ln()0x 2k =故：0x 0=时，或ln()0x 2k =，函数的极值点.⑷ 当0x 0=时，()()0f x f 01==-函数值与①式相同.⑸ 当ln()0x 2k =时()()0x 2000f x x 1e kx =--[ln()ln ()]2k 22k 22k =--[ln()]()ln ()200002k 12k k 2k =-⋅-⋅[ln()ln ()]2000k 22k 22k =--令：()[ln()ln ()]2g k k 22k 22k =--则其导函数为：ln()'()[ln()ln ()][]2222k g k 22k 22k k k k=--+- 即：'()ln ()2g k 2k 0=-≤故：()g k 是随k 单调递减函数，其最大值为()()11g 2122=-=- 即：()0f x 的最大值是 ()0f x 1=- ④⑹ 通过这所有情况的对比，③式表明②式()()k 3f k k 1e k =--为最大值.当1k 2→时，()().1f k 0949728→-+-()()3211f x x ax a 1x 132=-+-+在区间(,)14内为减函数，在区间(,)6+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.解析：由导函数的正负来判定函数的增减.函数()f x 的导函数为：'()()2f x x ax a 1=-+- ① ⑴ 若导函数'()f x 在区间(,)14内为负值，则()f x 在该区间为减函数.故：当(,)x 14∈时，'()()2f x x ax a 10=-+-<则：'()f x 为开口向上的二次函数，其两个零点分别是1x 1≤和2x 4≥ 于是化为解二次方程：()2x ax a 10-+-=由韦达定理得：12x x a +=，12x x a 1=-即：12a x x 5=+≥ ②故当：12a x x 5=+≥时，()f x 在(,)x 14∈区间为减函数. ⑵ 若导函数'()f x 在区间(,)6+∞内为正值，则()f x 在该区间为增函数.故：当(,)x 6∈+∞时，'()()2f x x ax a 10=-+-> 则：当x 6=时， '()f x 0≥，即：'()()2f 666a a 10=-+-≥ 故：()266a a 10-+-≥，即：355a 0-≥，即：a 7≤ ③()22x a f x x 2-=+在区间[,]11-上是增函数，实数a 的值组成的集合A . 设关于x 的方程()1f x x=的两个非零实根为,12x x . 若存在实数m ，使得不等式212m tm 1x x ++≥-对任意a A ∈及[,]t 11∈-恒成立，求m 的取值范围. 解析：⑴ 函数与其导函数函数：()22x af x x 2-=+ ①其导函数：'()[()()]()2221f x 2x 22x 2x a x 2=+--+ ()()2222x ax 2x 2=-+++ ② ⑵ 分析()f x 增减性得出A()f x 在区间[,]11-上是增函数，即：'()f x 0≥，[,]x 11∈- A> 当x 0=时，'()()()2222f 00a 021002=-+⋅+=>+ ③ B> 当x 0<时，即[,)x 10∈-，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x ≤- ④ 记：()12g x x x =-，则：'()122g x 10x =+> 即：2x x-是随x 单调递增的，即：()()()112g x g 1111≥-=--=- 故由④式得：a 1≤ ⑤C> 当x 0>时，即(,]x 01∈，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x ≥- ⑥ 记：()22g x x x =-，则：'()222g x 10x =+> 即：2x x -是随x 单调递增的，即：()()222g x g 1111≥=-=- 故由⑥式得：a 1≥- ⑦综合⑤⑦式得：[,]a 11∈- ⑧⑶ 解关于x 的方程()1f x x =关于x 的方程()1f x x =，即：22x a 1xx 2-=+ （x 0≠） 即：222x ax x 2-=+，即：2x ax 20-+= ⑨ 设两个非零实根为,12x x ，则由韦达定理得：12x x a +=，12x x 2⋅=-于是：12x x -== ⑩ ⑷ 解析不等式212m tm 1x x ++≥-将⑩代入不等式得：2m tm 1++≥2m tm 10++-构建函数：()2h m m tm 1=++则()h m 是开口向上的抛物线，其解为,12m m ，于是不等式的解为1m m ≤和1m m ≥则方程2m tm 10++-=的解为：1m =，2m =⑸ 分析,12m m1m = 因为字母t 的前面是负号，则t 越大1m 越小；根号项前面是负号, 则a 越大1m 越小;故：1m 的最小值出现在t 1=，a 1=处，即：1m 2≤-同样，2m ==因为字母t 的前面是负号，则t 越小2m 越大；根号项前面是正号, 则a 越大2m 越大;故：2m 的最大值出现在t 1=-，a 1=-处，即：2m 2≥ ⑹ 给出m 的取值范围由⑷得()h m 是开口向上的抛物线，其解为,12m m于是不等式的解为1m m ≤和2m m ≥。
个性化课程辅导教案学员姓名性别男年级高三授课时间课时3课时教研老师教学课题数列教学目标1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．重点难点并能解决简单的实际问题教学内容第六章数列数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列第1课时数列的概念1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，a n…，简记为{a n}，其中a n是数列{a n}的第项．2．数列的通项公式一个数列{a n}的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n＝f(n)来表示，我们就把这基础过关知识网络个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n －2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2)⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n≥2)例4. 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）．(1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1 (1)．典型例题1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．第2课时 等差数列1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d ⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a, b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例1. 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1．⑴ 求证：数列{b n }是等差数列．⑵ 求数列{a n }的通项公式．典型例题 基础过关归纳小结变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和例3. 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{nS n}前n 项和。
导数【考纲要求】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.【知识点精讲】1． 导数的概念：00000/)()(lim )()(lim lim )(0x x x f x f x x f x x f x y x f x x o x o x --=∆-∆+=∆∆=→→∆→∆ 2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率x y ∆∆；（3）求极限x y x ∆∆→∆0lim 。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。
过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；[()]'()Cu x Cu x '=；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数 y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).1．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法① 如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；② 如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤① 求f ′(x )；② 求方程f ′(x )＝0的根；③ 检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1、【2012高考北京理18】（本小题共13分）已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值.2、【2012·安徽卷】设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．3、【2012·广东卷】设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．4. 【2012·押题卷】设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间5. 【2012·广东文】19．（本小题满分14分）设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。
ap一对一微积分
数学是一门非常重要的学科，它不仅对提高人的智力有重要作用，而且对各个行业的发展也有重要的贡献。
其中，微积分是数学的一个重要分支，也被称为“数学之母”，其中包括研究函数的微分和积分。
AP一对一微积分的内容，主要包括求导数，高阶导数，泰勒公式，不定积分，定积分，参数方程，相似几何，微分方程等。
首先，在求导数方面，需要学习基本的导数与微分规则，包括常用函数的导数，以及基本的函数变化规律。
同时学习复合函数、逆函数的求导，以及微积分里常用的分部积分方法。
其次，学习高阶导数，要掌握偏导数与全导数的求法，以及多元函数的求导和变量变换的微积分应用。
接着，学习泰勒公式，要掌握运用泰勒公式，通过考虑前几项的展开式，进行函数展开或估算。
其次，要学习不定积分，掌握不定积分的求法，以及参数曲线的极限的求法。
随后要学习定积分，掌握定积分的求法，以及曲线与曲面积分的求法，以及积分变换等。
其次，要学习参数方程，要掌握椭圆、抛物线、极坐标方程的参数求解方法。
然后，要学习相似几何，要掌握定点向量、线段、平行线段、三角形的相似几何的求解方法，以及面积和体积的相似几何求解方法。
最后，要学习微分方程，这主要包括常系数线性方程组、非线性方程组、理想液体压强模型方程以及摄动微分方程。
AP一对一微积分的学习，以理论为基础，以实践为准则。
要系统地学习和掌握微积分各个部分的知识，并且要不断地练习，力求把AP一对一微积分的知识运用到实践中去。
在完成上述知识的学习之后，就可以用微积分的方法来解决实际的问题，有效地提高自己的数学水平了。
