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2020年高考押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝∅C．∁U B⊆A D．∁U A⊆B2．已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆3．设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b＝2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A．①②B．②③C．③④D．③5．已知定义在R上的偶函数f（x）＝e|x|sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，设x0为f（x）的极大值点，则cosωx0＝（）A．B．C．D．6．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．设向量，，满足，，，若，则＝（）A．3B．4C．5D．68．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．5B．6C．8D．139．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．45B．63C．81D．9310．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象，只需将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．x∈[]时，函数f（x）的最小值为﹣D．函数f（x）在[]上单调递增12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为（）A．3πB．3πC．2D．2π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）＝4x﹣e x在点（0，f（0））处的切线方程为．14．在等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝8，则数列{a n}的前n项和S n＝．15．在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮．已知某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是．16．已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为A，再反向延长交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若b＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．19．已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，k OA•k OB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．20．已知x＝1是函数f（x）＝ax2+﹣xlnx的极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．（参考数据：ln2≈0.69，其中e为自然对数的底数）21．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）＝+log2图象上任意两点，M为线段AB 的中点．已知点M的横坐标为．若S n＝f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n＝，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．23. 选修4-5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．（1）证明：ab+bc+ca≤；（2）若不等式++≥t恒成立，求t的最大值．2020年高考数学（理科）押题预测卷01（新课标Ⅰ卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．【解答】解：由B中的不等式解得：﹣2＜x＜1，即B＝{x|﹣2＜x＜1}，∵A＝{x|x≥1}，全集U＝R，∴A∪B＝{x|x＞﹣2}；A∩B＝∅；∁U B＝{x|x≤﹣2或x≥1}；∁U A＝{x|x＜1}，故选：B．2．【解答】解：设Z（x，y），A（0，1），B（0，﹣1），则|z﹣i|+|z+i|＝3的几何意义为|ZA|+|ZB|＝3＞|AB|，即Z的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选：D．3．【解答】解：∵0＜a＝0.50.4＜0.50＝1，b＝log0.40.3＞log0.40.4＝1，c＝log80.4＜log81＝0，∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．故选：C．4．【解答】解：若a＝，b＝，则a+b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝1，b＝1，则a+b＝2，故②推不出“a，b中至少有一个大于1”；若a＝﹣2，b＝﹣3，则a2+b2＞2，故④推不出“a，b中至少有一个大于1”；对于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1．综上所述：能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是③，故选：D．5．【解答】解：依题意，函数y＝sin（ωx+φ）为偶函数，又0＜φ＜π，故，由图象可知，，可得ω＝2，∴f（x）＝e|x|cos2x，由函数f（x）为偶函数，故只需考虑x≥0的情况，当x≥0时，f（x）＝e x cos2x，f′（x）＝e x（cos2x﹣2sin2x）＝，当时，f（x）有极大值，故．故选：B．6．【解答】解：由题意可得＝（88+87+85+92+93+95）＝90，设被污损的数字为x，则＝（85+86+88+90+99+x）＝89+，满足题意时，＞．即：90＞89+，解得x＜6，即x可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p＝．故选：C．7．【解答】解：∵，∴设，且，∴（x+1，y+b）＝（0，0），∴x＝﹣1，y＝﹣b，∴，且，，∴，∴b2＝1，∴．故选：B．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i＝0，S＝1，P＝0满足条件i＜4，执行循环体，i＝1，t＝1，S＝1，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝2，t＝1，S＝2，P＝1满足条件i＜4，执行循环体，i＝3，t＝2，S＝3，P＝2满足条件i＜4，执行循环体，i＝4，t＝3，S＝5，P＝3此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为5．故选：A．9．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝9，S5＝30，∴，解得a1＝0，d＝3，∴a7+a8+a9＝a1+6d+a1+7d+a1+8d＝63．故选：B．10．【解答】解：根据题意，如图：△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；故选：D．11．【解答】解：由题意知A＝，＝，得T＝π，即＝π得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴﹣×2+φ＝kπ，得φ＝kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝sin（2x+）＝cos[﹣（2x+）]＝cos（﹣2x+）＝cos（2x﹣），y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到y＝cos[2（x﹣）]＝cos（2x﹣），故A正确，由2x+＝kπ+得x＝+，则当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，即x＝时，不是对称轴，故B错误，∵x∈[]，∴2x+∈[﹣，]，则当2x+＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，故C错误，当x∈[]，∴2x+∈[，]，此时f（x）不是单调函数，故D错误，故正确的是A，故选：A．12．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥AC，∵E为AB1上任意一点，BC1⊥CE，∴AC⊥BC1，则AC⊥平面BB1C1C，可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补形为正方体，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径R＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积为．故选：B．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：∵f（0）＝﹣1，f'（x）＝4﹣e x，∴f'（0）＝4﹣1＝3，由点斜式可得切线方程为：3x﹣y﹣1＝0．故答案为：3x﹣y﹣1＝0．14．【解答】解：∵a2＝1，a5＝8∴a5＝a2q3，即q3＝＝8，即q＝2，首项a1＝，则数列{a n}的前n项和S n＝＝2n﹣1﹣，故答案为：2n﹣1﹣．15．【解答】解：某同学投篮一次命中的概率是，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响．该同学恰好投3次就通过测试是指该同学前两次投篮投中一次，且第三次投中，则该同学恰好投3次就通过测试的概率是：P＝＝．故答案为：．16．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣，设A（m，），B（n，﹣），∵，即，∴2（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）＝n﹣c，﹣，∴m＝，n＝，∴A（，）．由F A⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．【解答】解：（1）由正弦定理及已知，化边为角得．∵A+B+C＝π，∴sin A＝sin（B+C），代入得，∴．∵0＜C＜π，∴，又∵0＜B＜π，∴．（2）∵，∴ac＝4．由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，∴（a+c）2＝b2+3ac＝16，∴a+c＝4，∴△ABC的周长为6．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），＝（1，1，0），＝（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos＜＞＝＝．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．19．【解答】解：（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．20．【解答】解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a＝；此，设g（x）＝f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．又所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极大值点x＝1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）＝，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）＝0；当2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯一的极小值点x0．又∵e5＜2.725＜149，；∴则即；∵ln，∴g（）＜0；所以，且满足；所以＝；故函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．21．【解答】解：（Ⅰ）M为线段AB的中点，设M（x，y），由（x1+x2）＝x＝，可得x1+x2＝1，f（x1）+f（x2）＝1+log2+log2＝1+log2＝1+log21＝1，又S n＝f（）+f（）+…+f（），S n＝f（）+f（）+…+f（），可得2S n＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]＝1+1+…+1＝n﹣1，则S n＝（n∈N*，且n≥2）；（Ⅱ）当n＝1时，T1＜λ（S2+1），即＜（+1）λ，解得λ＞；当n≥2时，a n＝＝＝4（﹣），T n＝a1+a2+a3+…+a n＝+4（﹣+﹣+…+﹣）＝+4（﹣）＝，由T n＜λ（S n+1+1），可得＜λ，即为λ＞＝＝，由n+≥2＝4，当且仅当n＝2时，取得等号．则≤＝，即有λ＞．则实数λ的取值范围是（，+∞）．22. 选修4-4：坐标系与参数方程【解答】解：（1）直线C1的参数方程为（其中t为参数），消去t可得．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；（2）将直线C1的参数方程代入x2＝3y，得，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t 1t2＝﹣18，∴．23. 选修4-5：不等式选讲【解答】（1）证明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a＝b＝c取得等号）由题设可得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤；（2）解：+++a+b+c＝+b++c++a≥2a+2b+2c，故++≥a+b+c＝1，当且仅当a＝b＝c＝取得等号）．不等式++≥t恒成立，所以t的最大值为1．。
……外…………○…………装……学校:___________姓名：_……内…………○…………装……2020年高考数学(理科)金榜押题卷 新课标全国卷（一）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第1卷一、选择题1.已知集合2{|40},{|11}B x A x x x x =-≤-≤=<，则A B =U ( ) A ．[]1,1-B ．[)1,4-C ．(]0,1D ．()0,42.命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”,的否定为（ ） A.对任意R x ∈,都有20x <B.不存在R x ∈,使得20x <C.存在0R x ∈,使得200x ≥D.存在0R x ∈,使得 200x <3.已知复数3i12iz +=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.执行如图的程序框图，输出的c 的值为( )A.5B.4C.-5D.-45.已知底面边长为2的正四棱锥S ABCD -的各顶点均在球O 的表面上，若球O 的表面积为25π2，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为( )试卷第2页，总16页○…………外…………○…○…………线…※题※※○…………内…………○…○…………线…A.1 B.2 C.2或126.图1是某宾馆地毯上的图案,它是一个轴对称图形.可从中抽象出一个正八边形,且在该正八边形中有一个边长和该正八边形的边长相等的正方形,如图2所示.若向图2的正八边形中任意地投掷一个点,则该点落在正方形内的概率是( )A.B.C.D.7.已知函数()cos2f x x =，将函数()sin 2g x x =的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到的函数图象与()f x 的图象重合，则m 的最小值为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（ ） A ．23nn a =B ．13n n a -=C ．312n n S -=D ．213n n S -=9.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()221,0126,1x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨--+>⎪⎩若关于x 的方程()()20()f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ,有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A.(4)9,B.(94)--,C.[]4,9D.[]94--,10.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π11.已知点()0,2R ，曲线()()24:0C ypx p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N 两点，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( ) A.8B.6C.4D.212.已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( ) A.(],1-∞- B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13.设向量()(),1,1,2a m b ==,且222a b a b +=+r r r r ,则m =__________.14.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是___________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为________．16.若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .三、解答题17.在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，若222222a cb a bc +-+-.. (1)求B .(2)若1b =，求ABC △面积的最大值.18.如图,在四棱锥P ABCD -中, //AB CD ,且90BAP CDP ∠=∠=︒.试卷第4页，总16页………○…………………○……※※请※※不………○…………………○……(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=︒,求二面角A PB C --的余弦值. 19.焦点在x 轴上的椭圆2222:1x y C a b +=经过点(，椭圆C ．1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M 为2OF 的中点（O 为坐标原点），过M 且平行于OP 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在实数λ，使得2||||OP MA MB λ=⋅；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，,A B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．“方程22162x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“26m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．执行如图的程序框图，若输出的6n=，则输入整数p的最大值是()A ．15B ．16C ．31D ．323．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特(Benoit.Mandelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第13行的实心圆点的个数是()A ．55个B ．89个C ．144个D ．233个 4．设，则（） A ．2 B ． C ． D ．5．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（） A ．2 B ．12C ．2D ．26．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．37．已知函数()22x x f x -=，则函数()x f 的零点的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=， 则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A ．12,23n n n n a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； B ．21,31n n n n a b n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭C ．11,13n n n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭D ．32,21n n n n a b n n ++==++ 9．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择,C D 两个观测点，且在,C D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得120BCD ︒∠=，,C D 两地相距500m ，则电视塔AB 的高度是（）A ．21002mB ．400mC ．2003mD ．500m10．设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数2ln [ln ]1,0()(1),0x x x x f x e ax x ⎧-->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()1f x =有且只有5个解，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(,)e -∞-C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-11．若平面向量,,a b c v v v 满足2a =v ，4b =v ，4a b ⋅=v v ，3c a b -+=v v v c b -v v 的最大值为（）A 733B 733C ．2133D ．13312．如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0，0)，O 2(2，0)，O 3(4，0)，O 4(0，2)，O 5(2，2)，O 6(4，2)．记集合M ＝{⊙O i ｜i ＝1，2，3，4，5，6}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是A ．50B ．54C ．58D ．60二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国理科数学高考试题最新预测考试卷新课标Ⅰ卷理科数学（含解析）（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若221i iz =++，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<<I B ．{|2}A B x x =<I C ．{|02}A B x x =<<UD ．{|12}A B x x =-<<U3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A ．1637B ．949C ．937D ．3115．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%60y m-+=过双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FA FO=（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B1C D17．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]-ππ的图象大致为A BC D8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为A ．B ．C ．5D 10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C D 11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12α-=_________.15．已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则{}n a 的前200项和200S =_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a bB c-=. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）. （1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-u u u r u u u r，求C 的方程；（2）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过（1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望. 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()e xxf x a=-. （1）若()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的最大值； （2）若01a <<，求证：2ln ()af x a+≥. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-. （1）求不等式|4|()x f x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249a b c ++≥.新课标Ⅰ卷理科数学预测试题 全解全析1．B 【解析】因为221i 2i 13i 1i iz =+=--=-+，所以z 的虚部是3-.故选B ． 2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}AB x x =-<<U ,故选D ．3．C 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．C 【解析】由题图得，3,4AB BG CI ===，根据题意得5DI =.五边形AGFID 的面积为112534343722AGFID S =+⨯⨯+⨯⨯=五边形，正方形ABCD 的面积为9，因此，所求概率为937P =.故选C ．5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选D ． 6．B 【解析】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE ，所以双曲线C 的离心率为1e=.故选B ．7．A 【解析】因为(0)1f=，所以排除C、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．8．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．9．B 【解析】延长1C P 与BC 交于点E ，则点E 为BC 中点，连接AE ，取11A D 中点F ，连接AF ，1C F ，则四边形1AEC F 就是正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面,四边形1AEC F 的菱形，连接1,AC EF ，所以1AC EF ⊥，且1AC EF ==，所以四边形1AEC F 的面积为故选B ．10．D 【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PF Q △中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==.故选D ． 11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．12．D 【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D.13． 【解析】因为单位向量,a b 的夹角为2π3，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|-a b ==14．【解析】因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++1(()3=-=. 15．100323⨯-（写为100101223+-也得分） 【解析】由11a =，12n n n a a +=得，22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-＝，所以{}n a 的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则1001001001011002001(12)2(12)2233231212S ⨯-⨯-=+=+-=⨯---.16．27π4【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,,所以容器体积的最小值为2327ππ()3=24⨯⨯.17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为22cos a bB c-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=，化简得222a b c ab +-=， 可得222122a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）又因为(0,)C ∈π，所以π3C =.（6分）（2）因为1sin 2ABC S ab C ===△，所以6ab =，（8分）则a b +≥（当且仅当a b ==时，取等号）.（9分）由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b =时，取等号），解得c （11分）所以a b c ++≥a b c ===， 所以ABC △的周长的最小值为.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF 因为2AB AD ==，BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）因为tanABACBBC∠==，所以30ACB ACD∠=∠=︒，所以60BCD∠=︒，（2分）因为tanABAFBBF∠===，所以60AFB∠=︒，所以AF CD∥，（3分）因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD.（4分）又EF PC∥，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.（5分）因为AF EF F=I，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD，所以AE∥平面PCD.（6分）（2）因为PAB△是等边三角形，2AB=，所以2PB=.又因为4PC=，BC=，所以222PC PB BC=+，所以BC PB⊥.又BC⊥AB，,AB PB⊂平面PAB，AB PB B=I，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD.（7分）以B点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-，则C，(0,2,0)A，P，所以BC=u u u r，BP=u u u r，2,0)AC=-u u u r，(0,AP=-u u u r.（8分）设111(,,)x y z=m为平面BPC的法向量，则BCBP⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rmm，即111y⎧==⎪⎨⎪⎩，令11z=-，可得1)=-m.（9分）设222(,,)x y z=n为平面APC的法向量，则ACAP⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rnn，即222220yy-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z=，可得=n.（10分）所以,cos=m n，则ns,i==m n所以二面角A PC B--.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】设1122(,),(,)A x yB x y.（1）由题意知(,0)2pF，221212(,),(,)22y yA yB yp p.设直线l的方程为()2px ty t=+∈R，（1分）由222y pxpx ty⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p--=，则222440p t p∆=+>，由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p+==-，（3分）所以22212122344y yOA OB y y pp⋅=+=-u u u r u u u r.（4分）由12OA OB⋅=-u u u r u u u r，得23124p-=-，解得4p=.（5分）所以抛物线C的方程为28y x=.（6分）（2）设直线l的方程为(,0)x ny m n m=+∈≠R，（7分）由22y pxx ny m⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm--=，由根与系数的关系可得122y y pm=-，（9分）所以2221212121222(2)2044y y pmOA OB x x y y y y pmp p-⋅=+=+=-=u u u r u u u r，解得2m p=.（11分）所以直线l的方程为2()x ny p n=+∈R，所以0OA OB⋅=u u u r u u u r时，直线l过定点(2,0)p.（12分）20．（本小题满分12分）分）设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27Bξ，（5分）则1010720()C ()()2727kk k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分） ②由上可得一件手工艺品质量为所以X 的分布列为21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()e (0)x f x x ax'=->，（1分） 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1()e 0xf x ax'=-≤恒成立， 即1e x x a≥恒成立，只需max 1(e )x x a ≥.（3分）令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x x t x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '>. 所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以212e a≥，解得2102e a <≤.（4分）所以实数a 的最大值为212e .（5分） （2）ln ()e (0)xx f x x a =->，1()e x f x ax'=-. 令1()e (0)xg x x ax =->，则21()e x g x ax'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.（7分）又因为11()e 10a g a=->，当x 从正方向趋近于0时，1ax趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0xg x ax =-<，所以存在01(0,)x a∈，使0001()e 0x g x ax =-=， 即01e x ax =，000ln()ln ln x ax a x =-=--，（9分） 所以对任意0(0,)x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .（10分）由于01e x ax =，00ln ln x x a -=+，则0000000ln ln 11ln ln 2ln ()e xx x a x a a af x a ax a ax a a a a a+=-=+=++≥=+== 2ln aa+，当且仅当001x ax a ==，即01x =时取等号，所以当01a <<时，2ln ()af x a+≥．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分） 直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=sin cos 60θρθ--=，由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分） 圆心到直线l751122=-=， 点(2,0)到直线l4=，（9分） 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为52.（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，（3分）所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（5分） （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，（7分） 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.（10分）。
2020年高考押题预测卷03【新课标Ⅰ卷】理科数学·参考答案13．1414．15．175016．()11,00,2⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）【解析】（1）由4n n S a =-，得114S a =-，解得12a =而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=，∴112n n a a +=，可见数列{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列． ∴12112()()22n n n a --=⨯=.（6分） （2）∵21112log 2(2)===---n n b a n n ，∴21111()(2)22n n b b n n n n +==-++故数列{}2n n b b +的前n 项和111111111111(1)()()()()()23243546112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++ 31113()42124n n =-+<++。
（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为GAD ∆是等边三角形，点P 为线段CD 的中点，故,AP GD ⊥因为,AD CD GD CD ⊥⊥，且AD GD D ⋂=，故CD ⊥平面GAD ，又AP ⊂平面GAD ， 故,CD AP ⊥又CD GD D ⋂=，故AP ⊥平面GCD .（5分）()2取AD 的中点O ，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作平行于AB 的直线为y 轴，OG 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD =，则(()3,1,2,0G C -，故(1,2,3GC =-- 设()(),2,301GE GC λλλλλ==--<<，故(),233E λλλ=-又()()()1,2,0,1,0,0,1,2,0B D C --故()1,233DE λλλ=-，()2,2,0BD =--.（8分）设(,,)m x y z =为平面BDE 的法向量，则·0·0m DE m BD ⎧=⎨=⎩故())12330x y z x y λλλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，故1,33y z λ=-=-故1,33m λ⎛=- -⎝为平面BDE 的一个法向量.由()1可知，332AP ⎛=-⎝⎭为平面DEC 的一个法向量， 故7cos ,7m AP =， ()()()()223132217313231λλλλ--+-=-+-，令311t λλ-=-23227323tt -+=+214130,113t t t -+==或，解得1728λ=或，经检验知12λ=，此时点E 为线段GC 的中点.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响.（4分）（2）①，对编号为6的数据：6570.816975.9 2.3e =-⨯+=-，对编号为7的数据：7500.815875.90.5e =-⨯+=-，对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=，完成残差表如下所示：()2222222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2ni ii y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()2212121.2110.91226==-=-=-≈-∑∑Ni i i ni i y y R y y. 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91.（8分） ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496==-⨯=∑i ii x y，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii i i x y x ybx x==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =， ∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b +=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=.（5分）（2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；（6分） 当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意. ∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则12x x +=，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.（9分）由221,1,4y x kx y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+.又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22212211a x ax f x x x x--+'=-+=-. （i ）若1a ≤，则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时，()0f x '= （ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a ==+当(()20,x a a a ∈++∞时，()0f x '<；当(x a a ∈时，()0f x '>，所以，当1a ≤时，()f x 单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当1a >时，()f x 单调递减区间为(()0,,aa+∞；单调递增区间为(a a .（5分） （2）由（1）知：1a >且12122,1x x a x x +==. 又()12g x b cx x '=--，∴()12121222x x g b c x x x x +⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭， 由()()120g x g x ==得()()22112122lnx b x x c x x x =-+-，∴()()()()()121222121112121212121212222122ln ln 21x x x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭'=-=----=-=- ⎪++⎝⎭+. 令12(0,1)x t x =∈，∴2(1)ln 1t y t t -=-+， ∴22(1)0(1)t y t t --'=<+，所以y 在()0,1上单调递减. 由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，（10分） ∵122x x a +=，∴()222222211221212112212212(2)242x x x x x xa x x x x x x a x x x x ++=+=++===++，∴2122119422,2x x a t x x t ⎡⎫=++=++∈+∞⎪⎢⎣⎭， 又∵1a >，故实数a的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos 22ρθθθθθ⎫=⋅+⋅-=+⎪⎪⎭，24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（5分）（Ⅱ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α，所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.（10分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 【解析】（Ⅰ）因为()()()()2222222210343425a b ab a b =+≤++=+所以224a b +≥，当且仅当34a b =，即6585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或6585a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取等号，即22a b +的最小值为4.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知2232x x a b +--≤+对任意的,a b R ∈恒成立324x x ⇔+--≤354x <-⎧⇔⎨-≤⎩，或-32214x x ≤<⎧⎨+≤⎩，或254x ≥⎧⎨≤⎩ 3x ⇔<-，或33-322x x ≤≤⇔≤ 所以实数x 的取值范围为3-.2，⎛⎤∞ ⎥⎝⎦（10分）。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，113||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．610,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．62]C ．231]2- D ．31]2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．43．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：33331123537911413151719==+=++=+++…，根据上述规律，317的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A ．71B ．75C ．83D ．884．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（） A ．-3B ．-1C ．1D ．35．在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（） A ．1a ≥B ．112a << C ．12a ≥D ．12a >7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为()km.A ．85B ．415C ．215D ．258．有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（） A ．15B ．16C ．17D ．189．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当()201,x f x x ≤≤=，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（）A ．0B ．0或12-C ．14-或12-D ．0或14-10．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥,AD DC ⊥．若,AB a AD b ==u u u v u u u v v v ，则AC BD ⋅u u u v u u u v=（）A ．22a b -vvB ．22b a -v vC ．22a b +v vD ．a b ⋅v v11．设U 为全集，M ,P 是U 的两个子集，且P P M C U =I )(，则=P M I A ．MB ．PC ．P C UD ．φ12．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事琐：L答題谊■先将自己的魅名、准君证号、常场牛准确的填写在蓉總1＜匕并认異核卑条形娼上的姓名.准弟说号、璐场号、座位号及科目，在规定位霍贴上条形码口L选搾题的作答：哲小疑选出答案后.请用用2B铅笙把答题卡上对应愿目的答峯标号涂黑。
如果需宴改动，用像皮拯擦干净后.勇选涂其他響案标号”写在本U^.L无效乜3. 斗选择題的作磐：用照色签宁笙直按特柱蓉題东上对应的苕趣区域內,写和本试卷丄无效。
4. 本试題卷共23题，全屣满分150分，考试吋问为120分《札5一君试结束后，将本试卷和薯鎚和一井收回。
、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）2 21•己知椭圆C:笃爲1（a b 0）的左、右焦点分别为Fl, F2，点P X」，Q为，在a b椭圆C上，其中为＞0，y i 0,若|PQ| 2OF? , |至|丿3，则椭圆C的离心率的取值范围PF〔 3为（）6 1A. 0, 2B. （0, 6 2]C.严八3 1]D. （0, G 1]2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,贝U输出T的值为3. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示:13123 3 533 7 9 1134 13 15 17 19根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（）A. 71B. 75C. 83D. 884. 设i是虚数单位，若复数a1°a R是纯虚数，则a的值为（）3 iA.-3B. -1C. 1D. 3A. C. 3 D. 45.在四面体ABCD中,的取值范围是（）BCD为等边三角形，ADB -，二面角B AD C的大小为，则C. c n°，3D.66 •设函数f x ax 2 2x 2，对于满足1 x 4的一切x 值都有f x 0，则实数a 的取值范围为（）A ^_5.38.有两个等差数列2, 6, 10,-, 190和2, 8, 14,-, 200,由这两个等差数列的公共项 按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）12. 如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、1 27.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 A. a 1B.C. 1 1 aD. a -22B,但不能到达，现在岸边取相距 4km 的C, D 两 点，测得/ ACB= 75°,/ BCD= 45°, 内），则两目标A , B 间的距离为（）/ ADG 30/ ADB= 45° (A , B , C, D 在同一平面D. 2.5A. 15B. 16C. 17D. 18 9.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R, f x 2x ，当0 x 1, f x x 2，若直线y x a 与函数f x 的图像在0,2 内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ()A. 01 B. 0或2C.D. AB BC, AD2DC . 若 AB亠 1 0或—4V uuuv vuuv uuv 八 a, AD b ，则 AC BD ()B. D. bV 2 v v a ba 211.设U 为全集，MP 是U 的两个子集，且 (C U M) P P ，则 M PA. MB. PC. C U PD.ABCD 中, C . V2b 2黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A. 120 种B. 240 种C. 144 种D. 288 种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅰ卷】理科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DCABCBCCAACB1.D 【解析】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð，()[)1,U A B ∴=+∞I ð.故选D . 2.C 【解析】()2cos()f x x ωθ=+Q 为奇函数，()00f ∴=，得到,2k k Z πθπ=+∈，∴p 是q 的充要条件.故选：C3.A 【解析】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A .4.B 【解析】当0x <时，()321132f x x x =-，()2f x x x '=- ()0,0x f x ∴'Q ，()f x 单调递增，且0x →时，()0f x →，∴()0f x <当0x ≥时，()xf x e =单调递增，且()()01f x f ≥=因此可得()f x 单调递增，()()232f x f x ∴->可转化为232x x ->解得31x -<<，故选B 项.5.C 【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=，故选C ．6. B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7.C 【解析】()*3x nn N x x∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n x x ---+===L ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以222252552a a x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 8. C 【解析】函数()2322cos 132cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值，由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选C ． 9.A 【解析】3a =，1a =不满足，a 是奇数满足，10a =，2i =，10a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，5a =，3i =， 5a =，1a =不满足，a 是奇数满足，16a =，4i =，16a =，1a =不满足，a 是奇数不满足，8a =，5i =，。
