第2章变分法第二章变分法变分法（variationalcalculus）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节和泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1设?为一函数的子集，若对于每一个函数x(t)??，都存有一个实数j与之对应，则表示j就是定义在?上的和泛函，记作j(x(t))。
?称作j的允许函数子集，x(t)??称作宗量。
例1对于xy平面上过定点a(x1,y1)和b(x2,y2)的每一条光滑曲线y(x)，拖x轴转动得一旋转体，旋转体的侧面积就是曲线y(x)的和泛函2(x))dx，j(y(x))??2?y(x)(1?yx1x2容许函数集合可表示为{y(x)y(x)?c1[x1,x2],y(x1)?y1,y(x2)?y2}.第一章中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也表示麦耶（mayer）型性能指标j(x)??(x(t1),t1)，2）分数型性能指标还表示拉格郎日（lagrange）型性能指标t1?(t))dt，j(x)??f0(t,x(t),xt03）混合型性能指标也叫包尔查（bolza）型性能指标(t))dt，j(x)??(x(t1),t1)??f0(t,x(t),xt0t1它们都就是和泛函，并且它们之间可以相互转变。
9引入代莱函数x0(t)，它就是如下微分方程初值问题的求解0(t)f0(t,x(t),x(t)),xx0(t0)0.则拉格郎日（lagrange）型性能指标就化为t1(t))dt，?(x(t1),t1)?x0(t1)??f0(t,x(t),xt0变成麦耶（mayer）型性能指标。
引入函数(t))f0(t,x(t),x我们有d?(t)??t(x(t),t)，?(x(t),t)??x(x(t),t)xdtt1?(t))dt，?(x(t1),t1)??(x(t0),t0)??f 0(t,x(t),xt0其中?(x(t0),t0)就是未知常数，可以换成，这样就将麦耶（mayer）型性能指标转变为拉格郎日（lagrange）型性能指标。
