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天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,2}，T ={2,3}，则(∁U S)∩T 等于( )A. {2}B. {3}C. {4}D. {2,3，4} 2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0=x 0−1”的否定是( )A. ∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x −1B. ∀x ∉(0,+∞)，ln x =x −1C. ∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0≠x 0−1D. ∃x 0∉(0,+∞)，ln x 0=x 0−1 3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =−lgx 2C. y =2xD. y =4. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 3+S 5>2S 4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 设a =1−20.2，b =1og 3103，c =lg4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 过点A(−1,0)，斜率为k 的直线，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k 的值为( )A. ±√33B. √33C. ±√3D. √37. 函数y =sin πx 6−√3cosπx 6(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. −1−√3B. −1C. 0D. 2−√38. 已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=( ) A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：39. 四边形ABCD 中，BC =1，AC =2，∠ABC =90°，∠ADC =90°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3] 二、填空题（本大题共6小题） 10. 复数2+i1−2i 的共轭复数是______．11. 曲线y =x2x−1在点(1,1)处的切线方程为______．12. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 13. 设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24−x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为______；渐近线方程为______． 14. 已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x ______时，x +y 的最小值是______．15. 对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a(a −b)3,a ≤b b(b −a)3,a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，若函数g(x)=f(x)−mx 2(m ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是______；x 1x 2x 3的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，△ABC的面积为2√2．(Ⅰ)求a 及sin C 的值； (Ⅱ)求cos(2A −π6)的值．17. 如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，AA 1=AB =2BC =2，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A −BD −A 1的余弦值； (Ⅲ)求点B 1到平面A 1BD 的距离．18. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ． (i)当k >0，m ≠0时，射线OE 交直线x =−3于点D(−3,n)(O 为坐标原点)，求k 2+n 2的最小值；(i)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．19. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令c n =log 2a n 3，证明：1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1<1(n ∈N ∗,n ≥2)；(Ⅲ)求∑b2i (√33)b i+1ni=1(n ∈N ∗)．20. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)≤x 2对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当a =1时，设g(x)=xe −f(x)−x −1(e 为自然对数的底).若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x 1，x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2)，证明：g(λ1x 1+λ2x 2)<λ1g(x 1)+λ2g(x 2).答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，集合S={1,2}，T={2,3}，∴C U S={3,4}，∴(∁U S)∩T={3}．故选：B．先求出C U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.函数为奇函数，不满足条件．B.函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y=−lgx2=−2lgx为减函数，不满足条件．C.y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D.f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，故选：C．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．本题考查充要性，以及数列，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵20.2>20=1，∴a<0，>log33=1，∴b>1，∵log3103∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴|2k|√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=sinπx6−√3cosπx6=2(12sinπx6−√32cosπx6)=2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．故选：D．化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y=−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=1√5，可得|FM|：|MN||=1：√5故选：C求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√3,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵∠ADC =90°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0， ∴(x −√32)2+(y −12)2=1，∴设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32+cosθ,12+sinθ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3cosθ+sinθ−1=2sin(θ−π3)−1， ∵−1≤sin(θ−π3)≤1，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−3,1]． 故选：C ．根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)，从而可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据条件可得出AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin(θ−π3)−1，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题． 10.【答案】−i【解析】解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i 的共轭复数是−i ．故答案为：−i ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11.【答案】x +y −2=0 【解析】解：y =x2x−1的导数，，而切点的坐标为(1,1)，∴曲线y =x2x−1在在x =1处的切线方程为x +y −2=0．故答案为：x +y −2=0根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】24π【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，所以2R=√4+4+16=√24=2√6，解得R=√6，所以表面积为S=4πR2=4π×6=24π．故答案为：24π．根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．13.【答案】x23−y212=1；y=±2x【解析】解：与y24−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24−x2=m，(m≠0)，∵双曲线C经过点(2,2)，∴m=224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y24−x2=−3，即x23−y212=1，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：x23−y212=1，y=±2x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】=129【解析】解：正数x，y满足x+y 2xy=3，∴x=y23y−1>0，可得y>13，∴x+y=y23y−1+y=4y2−y3y−1，令t=3y−1则y=1+t3且t>0，x+y=t(t+1)29t −3t9(t+1)，=4t2+5t+19t =19(4t+1t+5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t=1t 即t=12，此时x=y=12取最小值9，故答案为=：12，9．由已知可得，x=y 23y−1>0，可得y>13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】(0,14)(1−√316,0)【解析】解：当2x −1≤x −1时，即x ≤0，f(x)=(2x −1)x 3，当2x −1>x −1时，即x >0，f(x)=−(x −1)x 3，所以f(x)={(2x −1)x 3,x ≤0−(x −1)x 3,x >0，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，即k(x)={(2x −1)x,x ≤0−(x −1)x x >0与函数y =m 有三个交点，作出k(x)的图象，如图，所以0<m <14，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=1，所以0<x 2x 3<(x 2+x 32)2=14由{(2x −1)x =14x <0解得x ═1−√34，所以1−√34<x 1<0， 所以1−√316<x 1x 2x 3<0．故答案分别为(0,14)和(1−√316,0).首先根据定义求出函数的解析式，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，∴sinA =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =bc 2⋅2√23=√23bc =2√2，∴bc =6，∴b =3，c =2，∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA =csinC ，即2√23=2sinC ，∴sinC =4√29．(Ⅱ)∴sin2A =2sinAcosA =√29，cos2A =2cos 2A −1=−79，故cos(2A −π6)=cos2Acos π6+sin2Asin π6=−79⋅√32+√29⋅12=√2−7√318．【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．(Ⅱ)利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(2A −π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(1,0,0),C 1(0,2,0),B 1(1,2,0),A(0,0,√3)，A 1(0,2,√3)， ∵DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D(0,12,0)，(Ⅰ)证明：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,−√3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +12y =0，令z =√3，则m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ ，即AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +12b =0，令c =√3，则n ⃗ =(3,6,√3)，又平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|−3−12+3√1+4+3√9+36+3|=√64，即二面角A −BD −A 1的余弦值为√64；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+3=2√2，∴点B 1到平面A 1BD 的距离为√2．【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标， (Ⅰ)求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面A 1BD 的法向量，验证它们平行即可得证； (Ⅱ)求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，由此得解． 本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解(Ⅰ)，设椭圆的右焦点(c,0)，c >0，由题意得：b =1，3=|c+2√2|√2，a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=1， 所以椭圆的方程：x 23+y 2=1；(Ⅱ)i)设M(x,y)，，将直线与椭圆联立整理得：(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0，△=36k 2m 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)>0，即m 2<1+3k 2， 且，，所以MN 的中点E(−3km1+3k 2,m1+3k 2)，所以射线OE ：y =−13k x ，与直线x =−3的交点(−3,1k )，所以n =1k ，所以n 2+k 2=k 2+1k 2≥2，当且仅当k 2=1，k >0， 所以k =1时n 2+k 2有最小值2．ii)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，则AE ⊥MN ，所以k AE =−1kMN，即m1+3k 2+1−3km 1+3k 2=−1k ，∴2m =1+3k 2，∴2m >m 2，解得0<m <2，所以m 取值范围(0,2)．【解析】(Ⅰ)由题意得b 值及右焦点到直线的距离得c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(Ⅱ)i)直线MN 与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE 求出n 的值，再求n 2+k 2，用均值不等式求出最小值；ii)由题意知EA ⊥MN ，斜率互为负倒数得m 与k 之间的关系，再与判别式大于零联立得m 的范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，由a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4，可得b 1+d =3q ，b 1+4d =3q 2+3，b 1+7d =3q 3，解得q =2，d =3，b 1=3，则a n =3⋅2n−1，b n =3+3(n −1)=3n ； (Ⅱ)证明：c n =log 2a n 3=log 22n−1=n −1，1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1=11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1；(Ⅲ)由2n(33)b =(33)3(n+1)=2n3n ， 可设T n =∑2i 3b n=23+49+627+⋯+2n3n ， 13T n =29+427+681+⋯+2n 3n+1，相减可得23T n =23+29+227+⋯+23n −2n3n+1 =2⋅13(1−13n )1−13−2n 3n+1，化简可得∑2i (33)b n=32−2n+32⋅3n．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式； (Ⅱ)由对数的运算性质求得c n =n −1，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；(Ⅲ)由2n3b =33(n+1)=2n3n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)>0解得0<x<1a ，令f′(x)<0解得x>1a，故此时函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减；(Ⅱ)f(x)≤x2对x∈(0,+∞)恒成立，即为对任意的x∈(0,+∞)，都有a≥lnxx−x，设F(x)=lnxx −x(x>0)，则F′(x)=1−lnxx2−1=1−lnx−x2x2，令G(x)=1−lnx−x2(x>0)，则G′(x)=−1x−2x<0，∴G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(1)=0，∴当x∈(0,1)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，∴F(x)max=F(1)=−1，∴实数a的取值范围为[−1,+∞)．(Ⅲ)证明：当a=1时，g(x)=xe−(lnx−x)−x−1=xe x−lnx−x−1=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，不妨设0<x1<x2，下先证：存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，构造函数H(x)=g(x)−g(x1)−g(x2)−g(x1)x2−x1(x−x1)，显然H(x1)=H(x2)，且H′(x)=g′(x)−g(x2)−g(x1)x2−x1，则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x1,x2)，使得H′(ξ)=g′(ξ)−g(x2)−g(x1)x2−x1=0，即存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，又g′(x)=e x−1为增函数，∴g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)>g′(x1)(x2−x1)，即g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，设x3=λ1x1+λ2x2(λ1+λ2=0)，则x1−x3=(1−λ1)x1−λ2x2，x2−x3=(1−λ2)x2−λ1x1，∴g(x1)>g(x3)+g′(x3)(x1−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ1)x1−λ2x2]①，g(x2)>g(x3)+g′(x3)(x2−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ2)x2−λ1x1]②，由①×λ1+②×λ2得，λ1g(x1)+λ2g(x2)>g(x3)=g(λ1x1+λ2x2)，即g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2).【解析】(Ⅰ)求导，分a≤0及a>0解不等式即可得到单调性；(Ⅱ)依题意，问题可转化为a≥lnxx−x对任意x∈(0,+∞)恒成立，进而转化为求函数的最值问题；(Ⅲ)先证存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，结合g′(x)=e x−1为增函数，可得结论g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，令x3=λ1x1+λ2x2，再利用所证结论即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。
收敛收敛收敛 =-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4 则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、 ；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解： -==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。
天津市南开区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市南开区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 设全集U={1,2,3,4}，集合S={1,2}，T={2,3}，则等于（）A. {2}B. {3}C. {4}D. {2,3,4}【答案解析】 B【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 C试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3 下列函数中为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】分析各选项中函数单调性以及在区间(0,+∞)上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数定义域为(0,+∞)，该函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；对于B选项，函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上为减函数；对于C选项，函数为非奇非偶函数，且在区间(0,+∞)上为增函数；对于D选项，函数偶函数，且在区间(0,+∞)上为增函数.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.4 “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“”是“”的必要不充分条件. 【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”.当，则，由不等式的性质得，，即“”“”.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5 cos480°等于（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】利用诱导公式可计算出的值.【详解】由诱导公式得. 故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6 设，，，则a、b、c的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.【详解】对数函数在上为减函数，则；指数函数为减函数，则，即；指数函数为增函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题.7 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案解析】 B【分析】将函数变形为，利用平移规律可得出正确选项.【详解】，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8 如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入－支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：（1）图2的建议是：减少支出，提高票价；（2）图2的建议是：减少支出，票价不变；（3）图3的建议是：减少支出，提高票价；（4）图3的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（）A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（4）D. （2）（3）【答案解析】 C【分析】根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.【详解】根据题意和图2知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.故选：C.【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9 已知三个函数，，的零点依次为a、b、c，则（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案解析】 C【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值. 【详解】令，得出，令，得出，则函数与函数、交点的横坐标分别为、.函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，如下图所示：联立，得，则点，由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，由题意得，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为{3,19}的“孪生函数”共有 ( )A. 15个B. 12个C. 9个D. 8个【答案解析】 C试题分析：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=-1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C．考点：1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．11 已知幂函数的图象过点，则f(x)=____________．【答案解析】【分析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入求出参数即可．【详解】解：设幂函数的解析式为因为函数过点所以解得故答案为【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．12 设，使不等式成立的x的取值范围为___________.【答案解析】【分析】解不等式即可得出实数的取值范围.【详解】解不等式，即，即，解得.因此，使不等式成立的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.13 若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______．【答案解析】 [－1,1)【分析】求出函数在区间上的值域为，从而可得出函数在区间上单调递减，且有，得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】当时，，即函数在区间上的值域为.由于函数的值域为，则函数在区间上单调递减，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14 △ABC中，，，则cosC=_____．【答案解析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此考点：正余弦定理15 已知，，且，则的最大值是_______．【答案解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得出的最小值，由此可得出的最大值.【详解】，，且，，当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.16 求值：（1）；（2）已知，，求的值．【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出，结合可求出所求代数式的值. 【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.17 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且时，. （1）求，的值；（2）若，求a的值．【答案解析】（1），；（2）、或【分析】（1）根据奇函数的定义得出的值，求出的值，利用奇偶性的定义求出，再结合奇偶性的定义与函数的解析式可计算出的值；（2）求出函数在区间上的值域为，在区间上的值域为，可得出当时，，然后分和两种情况解方程，即可求出实数的值.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，，，，，因此，；（2）当时，则，则有，此时.当时，，当且仅当时取到最小值，即.所以，当时，①当时，由，解得或；②当时，由，解得.综上，、或.【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.18 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、．（1）求的值；（2）求的值．【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数的定义得出的值，利用同角三角函数的平方关系求出，由此可得出的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正切公式求出的值，求出的取值范围，可得出的值.【详解】（1）由三角函数的定义可得，为锐角，则，，由二倍角正切公式得；（2）由三角函数的定义可得，为锐角，，，，，，，因此，.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于中等题.19 已知函数．（1）求f(x)的最小正周期和对称中心；（2）求f(x)的单调递减区间；（3）当时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值．【答案解析】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）；（3）当时，函数取最小值为．【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；（3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；（2）解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（3）当时，，当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20 已知二次函数，，f(x)的最小值为－1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设.（i）若g(x)在[－1,1]上是减函数，求实数的取值范围；（ii）若g(x)在(－1,1)内恰有一个零点，求实数的取值范围．【答案解析】（1）；（2）（i）；（ii）. 【分析】（1）可设，可知该函数图象的对称轴方程为，由题意得出，可求出的值，即可得出函数的解析式；（2）可得出.（i）分、、三种情况讨论，在时，将参数代入函数的解析式进行验证，在、两种情况下，结合单调性得出二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，由此可得出关于的不等式，解出即可；（ii）对实数的值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理，可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.【详解】（1），且函数的最小值为．设，则该函数图象的对称轴方程为，，，；（2）.（i）①当时，在上是减函数，满足要求；②当时，对称轴方程为：．i）当时，，所以，解得；ii）当时，，所以，解得．综上，，因此，实数的取值范围是；（ii）①当时，函数在上是减函数，，，故时，，，此时，函数在区间内无零点；当时，，，在区间内有且只有一个零点；②当时，对称轴方程为：，若函数在内恰有一个零点，则有，即，解得或，又，所以.综上有：或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
2019-2020学年天津市南开区数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-，若a b +与a b -垂直，则x =（ ） A ．-1 B ．1 C ．土1 D ．0【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到22a b =，之后利用相应的公式得到x 所满足的条件，从而求得结果.详解：根据a b +与a b -垂直，可得()()0a b a b +⋅-=， 即22a b =，所以有2144x +=+，解得1x =±，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果. 2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（） A ．35B ．25C ．23D ．310【答案】B 【解析】 【分析】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球}，事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯=，事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯=，然后即可求出答案.【详解】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球}事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯= 事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯= 所以()()()82205n A B P B A n A ⋂===故选：B 【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.4．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为511，则输入n 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将所有的算法循环步骤列举出来，得出5i =不满足条件，6i =满足条件，可得出n 的取值范围，从而可得出正确的选项. 【详解】110133S =+=⨯，112i =+=； 2i n =>不满足，执行第二次循环，1123355S =+=⨯，213i =+=； 3i n=>不满足，执行第三次循环，2135577S =+=⨯，314i =+=； 4i n =>不满足，执行第四次循环，3147799S =+=⨯，415i =+=； 5i n =>不满足，执行第五次循环，415991111S =+=⨯，516i =+=； 6i n =>满足，跳出循环体，输出S 的值为511，所以，n 的取值范围是56n ≤<.因此，输入的n 的值为5，故选C.【点睛】本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()2f 21x log x =+-，则()6f -=（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()6f 的值，再由函数()y f x =的奇偶性得出()()66f f -=-可得出结果． 【详解】由题意可得()()26log 6212f =+-=，由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以，()()662f f -=-=-，故选C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题．6．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72 D ．120【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.7．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种【答案】C 【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C. 8．若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】D 【解析】分析：先求()f x '，再求函数的单调增区间.详解：由题得2242242(2)()22x x x x f x x x x x----=--==' 令220,2 1.x x x x -->∴><-或因为x>0，所以x>2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.9．某样本平均数为a ，总体平均数为m ，那么（ ） A ．a m = B ．a m >C ．a m <D ．a 是m 的估计值【答案】D 【解析】 【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值. 【详解】解：样本平均数为a ，总体平均数为m ， 统计学中，利用样本数据估计总体数据， ∴样本平均数a 是总体平均数m 的估计值. 故选：D . 【点睛】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.10．一工厂生产某种产品的生产量x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的部分数据如表所示：x2 34 56y2.23.85.56.57.0从所得的散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归方程为 1.23y x a =+，则a =（ ） A ． 2.15- B ． 1.15-C ．0.08D ．2.15【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据计算出x 和y ，再将点(),x y 的坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.5755y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，则有1.2345a ⨯+=，解得0.08a =，故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 11．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人B ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝ (a n －1＋)(n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公【答案】B 【解析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．A 选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；B 选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；C 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；D 选项“在数列中，，，通过计算由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．故错． 综上得，B 选项正确 故选B ．12．下列命题中真命题的个数是（ ）①若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为64； ②“平面向量a ，b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；③命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”；④若p ：1x ≤，q ：11x<，则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于①，由方差的性质得：则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为2221664s =⨯=，故正确；对于②，逆命题为平面向量a ，b 满足0a b ⋅>，则向量a ，b 夹角为锐角，是假命题，故错误；对于③，命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“0x R ∃∈，320010x x -+>”，正确；对于④，:1p x ⌝>，:10q x x ><或，∴p ⌝是q 的充分不必要条件，故正确. 故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大. 二、填空题：本题共4小题13．已知命题“若21x >，则1x >”，在其逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据原命题和逆否命题真假性相同可得到逆否命题的真假；写出命题的否命题和逆命题可得到其真假性. 【详解】易知命题“若21x >，则1x >”为假命题，故其逆否命题也为假命题；逆命题为“若1x >，则21x >”是真命题；否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，也为真命题. 故答案为2. 【点睛】这个题目考查了命题的逆否命题和逆命题，和否命题的书写以及真假的判断，否命题既否条件又否结论，命题的否定是只否结论.14．复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将复数化简，再求虚部即可 【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1故答案为1 【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题 15．若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由复数除法求得复数z ，再求得复数实部． 【详解】 由题意可得13(3)3iz i i i+==--=-，所以z 的实部为3，填3. 【点睛】本题主要考查复数的除法以及复数的实部辨析，属于简单题.16．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
