D_九年级数学上册第23章旋转年单元综合测试题(含解析)

人教版九年级上册数学第23章旋转单元测试卷一．选择题1．已知A点坐标为（2，3），则点A关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．如图，在△ABC中，将△ABC绕着点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，若∠B′C′B＝52°，则∠C的度数为（）A．74°B．66°C．64°D．76°3．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（）A．5B．5C．5D．4．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，∠CAB＝68°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠BAB′的度数为（）A．34°B．36°C．44°D．46°6．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（）A．旋转前和旋转后的图形全等B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等C．图形上的每一个点旋转的角度都相同D．图形上可能存在不动的点7．如图△ABO的顶点分别是A（3，1），B（0，2），O（0，0），点C，D分别为BO，BA 的中点，连AC，OD交于点G，过点A作AP⊥OD交OD的延长线于点P．若△APO绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点P的坐标是（）A．（2，1）B．（2，2）C．（1，2）D．A（1，1）8．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝12，E为边AD的中点，点F为边CD上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EH，若点H恰好在线段BF上，则CF的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.59．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（）A．B．C．D．10．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）。

人教版数学九年级上册第23章旋转综合测试卷（时间90分钟，满分120分）题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个3. 如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( )A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度4. 在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )A．(3，－3) B．(－3，3)C．(3，3)或(－3，－3) D．(3，－3)或(－3，3)5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( )A．55°B．60°C．65°D．70°6．如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处( )7. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )A．10°B．20°C．50°D．70°8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是( )A．32°B．64°C．77°D．87°9. 如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为( )A．3 B. 3C．3－ 3 D．3－3 210．在如图所示的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 已知点A的坐标为(－1，3)，将点A绕坐标原点顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为_______．12．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是_________．13.如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1C1，掌握∠BAC1的度数是__________．15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为____.16. 如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP 并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为_________.17．如图所示，已知抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称．若抛物线C1的解析式为y＝34(x＋2)2－1，那么抛物线C2的解析式为____________________．18．如图所示，将图形①以点O为旋转中心，每次旋转90°，则第2019次旋转后的是图形(在下列各图中选填正确图形的序号即可)．三．解答题（共9小题，66分）19．(6分) 如图，把△AOB绕点O逆时针旋转40°可得到△A′OB′.(1)画出旋转后的图形；(2)指出旋转角的度数并找出一组对应边．20．(6分) 如图，已知△ACE，△ABF都是等腰直角三角形，且∠BAF＝∠CAE＝90°.那么你能利用旋转的知识说明FC＝BE吗？21．(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)．(1)请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2.(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．22．(6分) 如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．(1)在图①中画出一个面积最小的▱PAQB.(2)在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．23．(6分)直角坐标系内的点P(x2－3x，4)与另一点Q(x－8，y)关于原点对称，试求2020(2x－y)的值．24．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0, 3)，点B在第一象限，∠OAB的平分线交x轴于点P，把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD，连接DP．求：DP的长．25．(8分) ) 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.(1)求点P与点P′之间的距离；(2)求∠APB的大小．26．(10分) 如图，已知点A(2, 3)和直线y=x，(1)点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点(0, 0)的对称点为点C；写出点B、C的坐标；(2)若点D是点B关于原点(0, 0)的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．27．(10分) 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．参考答案：1-5DDADC 6-10BBCCD 11. (3，1) 12. (0，1)13．(2，10)或(－2，0) 14. 105° 15. 15° 16. 9－5 317. y ＝－34(x －2)2＋118. ④19. 解：(1)如图所示(2)旋转角∠AOA′＝∠BOB′＝40°，OA ，OA′或OB ，OB′或AB ，A′B′是一组对应边 20. 解：∵AE ，AB 绕A 点顺时针旋转90°分别与AC ，AF 重合， ∴△AFC 可看作是△ABE 绕A 点顺时针旋转90°得到的，∴FC ＝BE 21. 解：(1)①②如图所示(2)连接B 1B 2，C 1C 2得到对称中心M 的坐标为(2，1) 22. 解：(1)如图①所示(2)如图②所示23. 解：由题意得y＝－4，x2－3x＝8－x，解得x1＝4，x2＝－2. 当x＝4，y＝－4时，2020(2x－y)＝2020×(2×4＋4)＝24240；当x＝－2，y＝－4时，2020(2x－y)＝2014×(－4＋4)＝0.24.解：∵△AOB是等边三角形，∴∠OAB=60∘，∵△AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，∴旋转角=∠OAB=∠PAD=60∘，AD=AP，∴△APD是等边三角形，∴DP=AP，∠PAD=60∘，∵A的坐标是(0, 3)，∠OAB的平分线交x轴于点P，∴∠OAP=30∘，AP=√(√3)2+32=2√3，∴DP=AP=2√3，25．解：(1)由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△P′AP是等边三角形，∴PP′＝6；(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，∴P′B2＝P′P2＋PB2，∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.26.解：(1)∵A(2, 3)，∴点A关于直线y=x的对称点B(3, 2)，点A关于原点(0, 0)的对称点C(−2, −3)；(2)∵B(3, 2)，∴点B关于原点(0, 0)的对称点D(−3, −2)，∵点B与点D关于O对称，∴BO=DO，∵点A与点C关于O对称，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点(0, 0)的对称点为点C，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．27. 解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN(ASA)．∴AM＝AN(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。

人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》综合测试卷（含答案）班级 座号 姓名 成绩一、选择题（每小题4分，共40分）1. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．下列图形中不能由一个图形通过旋转而构成的是( )A. B . C. D.2.将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )3.在平面直角坐标系中，点.(4,3)A -关于原点对称点的坐标为（ ） A. .(4,3)A --B. .(4,3)A -C. .(4,3)A -D. .(4,3)A4.将△AOB 绕点O 旋转180°得到△DOE ，则下列作图正确的是（ ）A. B. C. D.5.如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ） A 、120° B 、90° C 、60° D 、30°6.将如图所示的正五角星绕其中心旋转，要使旋转后与它自身重合，则至少应旋转（ ）．A ．36°B ．60°C ．72°D ．180°7.若点A 的坐标为（6，3），O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）A 、（3，﹣6）B 、（﹣3，6）C 、（﹣3，﹣6）D 、（3，6） 8. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（ ） A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°9.如图，在正方形ABCD 中有一点P ，把⊿ABP 绕点B 旋转到⊿CQB ，连接PQ ，则⊿PBQ 的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10. 如图，设P 到等边三角形ABC 两顶点A 、B 的距离分别 为2、3，则PC 所能达到的最大值为（ ）A ．5B ．13C ．5D ．6 二、填空题(每题4分，共24分）11.如图，将ABC △绕点A 顺时针旋转60︒得到AED △， 若线段3AB =，则BE = .12.如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ， 连接BB'，若∠A′B′B =20°，则∠A 的度数是 ．13将点A （-3，2）绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为 . 14.若点(2,2)M a -与(2,)N a -关于原点对称，则______．15.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是_________16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-3，0），B （0，4），对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O 最远距离的坐标是(21,0),第2020个三角形离原点O 最远距离的坐标是 .•第5题图第6题图第8题图第9题图第16题图第15题图第12题图第10题图第11题图三、解答题（共86）17.在平面直角坐标系中，已知点A（4，1），B（2，0），C（3，1）．请在如图的坐标系上上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形.18.如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．C1；（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；19.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．20.如图，△ABC中，AD是中线．（1）画出将△ACD关于点D成中心对称的△EBD（2）如果AB=7，AC=5，若中线AD长为整数，求AD的最大值21.如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．（1）将△AED绕点按逆时针方向旋转°，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是°．（2）若AD=3，BD=4，求△ADE与△BDF的面积之和．22.如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．23.已知△ABC中，△ACB=135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE．（1）求证：△ACD为等腰直角三角形；（2）若BC=1，AC=2，求四边形ACED的面积．24.建立模型：(1)如图 1,已知△ABC,AC=BC,△C=90△,顶点C 在直线 l 上。

2024-2025学年人教新版九年级上册数学《第23章旋转》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．如图，若点M是等边△ABC的边BC上一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连接MN，则下列结论：①∠BMN＝30°；②MN＝AM；③BN∥AM，其中正确的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，1）5．我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，三个完全相同的四边形组成的图案绕点O旋转可以和原图形重合，则旋转角可以是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．8．李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了60°，那么李明回家的时间是（）A．9点整B．9点半C．10点整D．10点半9．如图，已知点A（﹣1，0），B（0，2），A与A′关于y轴对称，连结A′B，现将线段A′B以A′点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B′的坐标为（）A．（3，1）B．（2，1）C．（4，1）D．（3，2）10．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N二．填空题（共10小题，满分30分）11．在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有个．12．在平面直角坐标系中，若点A（a，3）与点B（﹣1，b）于原点对称，则a+b＝．13．时钟从下午3时到晚上9时，时针沿顺时针方向旋转了度．14．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP ＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，已知A（﹣1，3），B（﹣4，4），C（﹣2，1）．（1）画△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；（2）若第二象限存在点D，使点A、B、C、D构成平行四边形，则D的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中有一个航空母舰的简图．若将该图案各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得到的新图案是由原图案向平移3个单位长度得到的．17．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为．18．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度α°（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α最小是度．19．如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线C1为抛物线的一部分，顶点为A，曲线C2与曲线C1关于直线y＝﹣x对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为．20．如图，O是△ABC内的点，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BOC＝130°，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ADC，连接OD．设∠AOB为α，当△COD为等腰三角形时，α为．三．解答题（共6小题，满分60分）21．如图，这是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求BB'的长．22．已知点M（3m﹣2，2m+1），解答下列问题：（1）若点M与（﹣7，﹣7）关于原点对称，求点m的值；（2）若点N（3，9），且直线MN平行于x轴，求点M的坐标．23．如图，在五边形ABCDE中，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠ABC＝α，AE+CD＝DE．（1）将△ABE绕点B顺时针旋转α，画出旋转后的△BCM，并证明D、C、M三点在一条直线上；（2）求证：△EBD≌△MBD．24．如图3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．25．如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC边上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ACD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果∠ABC＝30°，BC＝2，求菱形ABCD的面积．26．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°；（1）请说明∠EAB＝∠FAC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C二．填空题（共10小题）11．【答案】见试题解答内容12．【答案】﹣2．13．【答案】180．14．【答案】．15．【答案】（1）见解答．（2）（﹣5，2）或（﹣3，6）．16．【答案】左．17．【答案】见试题解答内容18．【答案】60．19．【答案】（﹣2，0）．20．【答案】85°或115°或145°．三．解答题（共6小题）21．【答案】4．22．【答案】（1）m＝3；（2）M（10，9）．23．【答案】（1）画图见解析，证明见解析；（2）见解析．24．【答案】见解析．25．【答案】（1）略；（2）2．26．【答案】见试题解答内容。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元复习与检测（含答案）一、选择题1、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转75°,得到△AB'C',过点B'作B'D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为( )A.2B.3C.2D.32、下列说法中,正确的有( )①线段两端点关于它的中点对称;②菱形的一组对边关于对角线的交点对称;③成中心对称的两个图形一定全等;④如果两个图形全等,那么这两个图形一定关于某点成中心对称;⑤如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形成中心对称.( )A.2个B.3个C.4个D.5个3、在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等腰三角形B.平行四边形C.直角梯形D.圆4、一个正多边形绕它的中心旋转45°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形( )A.是轴对称图形,但不是中心对称图形B.是中心对称图形,但不是轴对称图形C.既是轴对称图形,又是中心对称图形D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形5、如图是由五个形状、大小相同的正方形组成的图形,如果去掉其中一个正方形,使得剩下的图形是一个中心对称图形,那么不同的方法有( )A.1种B.2种C.3种D.4种6、如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个7、平面直角坐标系内,把一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘以-1,则以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=x对称8、如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称,下列说法不正确的是( )A.S△ACB=S△A'B'C'B.AB=A'B'C.AB∥A'B',A'C'∥AC,BC∥B'C'D.S△A'B'O=S△ACO9、如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的顶点A在x轴上,顶点B在第一象限,若OA=2,则点B关于原点的对称点坐标为( )A.(1,)B.(,1)C.(-1,-)D.(-,-1)10、在平面直角坐标系中,把一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘-1,则以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=x对称二、填空题11、如图,在△ABC中,AC=BC=8,∠C=90°,点D为BC的中点,将△ABC绕点D逆时针旋转45°,得到△A'B'C',B'C'与AB交于点E,则S四边形ACDE= .12、在一次数学社团活动上,小明设计了一个社团标识,如图所示,正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,且DE⊥EF,AD=50,DE比EF长25,那么EF的长是.13、下列图形:角、线段、等边三角形、长方形、平行四边形、圆,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有.14、如图,已知矩形ABCD,AB在y轴上,AB=2,BC=3,点A的坐标为(0,1),在AD边上有一点E(1,1),过点E的直线平分矩形ABCD的面积,则此直线的解析式为.15、四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,则点C与点关于点E对称,△ADE与△FCE成对称;若AB=AD+BC,则△ABF 是三角形,BE是△ABF的(将你认为正确的结论填上一个即可).16、已知a<0,则点P(-a2,-a+1)关于原点的对称点P'在第象限.17、如图,P为正方形ABCD内的一点,PC=1,将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,则PE= .18、如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC 绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中,DF的最小值是.19、已知平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为(0,-1)、(0,2)、(3,0),若从四个点M(3,3)、N(3,-3)、P(-3,1)、Q(-3,0)中选一个,分别与点A、B、C一起作为顶点组成四边形,则组成的四边形是中心对称图形的个数为( )A.4B.3C.2D.120、在平面直角坐标系中,规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°,再作出旋转后的点关于原点的对称点,称为一次变换.已知点A的坐标为(-1,0),则点A经过连续2 019次这样的变换后得到的点A2 019的坐标是.三、解答题21、如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上的一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,求AP的长.22、如图,线段AC、BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E、F关于点O对称.求证:BF=DE.23、如图,方格纸中有三个点A,B,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的格点上.(1)在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;(2)在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形;(3)在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.24、如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.25、如图,在正方形网格上有A、B、O三点,用(3,3)表示A点的位置,用(1,1)表示B点的位置,O点也在网格格点上.(1)作出点B关于直线OA的对称点C,写出点C的坐标(不写作法,但要在图中标出字母);(2)作出△ABC关于点O的中心对称图形△A'B'C',写出A'、B'、C'三点的坐标(不写作法,但要标出字母);(3)若网格上的最小正方形边长为1,求出△A'B'C'的面积.参考答案一、1、答案 D 在等腰直角△ABC中,AB===6,由旋转的性质知AB'=AB=6,∠BAB'=75°.在直角△B'AD中,∠B'AD=180°-∠BAC-∠BAB'=180°-45°-75°=60°,则AD=6×=3.故选D.2、答案 B ①正确;②正确;③正确;两个图形全等,这两个图形不一定关于某点成中心对称,但关于某点中心对称的两个图形一定全等,故④错误;如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形位似,但不一定全等,故这两个三角形不一定成中心对称,故⑤错误.故选B.3、答案 D 由轴对称图形与中心对称图形的概念知,圆既是轴对称图形又是中心对称图形.故选D.4、答案 C ∵一个正多边形绕它的中心旋转45°后,能与原正多边形第一次重合,又∵360°÷45°=8,∴这个正多边形是正八边形.正八边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选C.5、答案 B 去掉一个正方形,得到中心对称图形的情况如下图所示,共2种方法.故选B.6、答案 C ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=DA=DC,∠D=∠BAD=90°,∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF,∴①②正确.∵△ABF 绕对角线的交点,顺时针旋转90°可得△DAE,∴△ABF与△DAE不成中心对称,故③错误.故选C.7、答案 C 一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘以-1,则新图形的各顶点的横、纵坐标与原图形的相应顶点的横、纵坐标互为相反数,∴以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形关于坐标原点对称.故选C.8、答案y=x-1解析∵抛物线y=-x2的顶点为(0,0),抛物线y=x2-2的顶点为(0,-2),∴点A的坐标为(0,-1).把y=0代入y=x2-2,得x2-2=0,解得x=±,∴点B的坐标为(,0).设直线AB的解析式为y=kx+b,把(0,-1)和(,0)代入可得解得∴直线AB的解析式为y=x-1.9、答案C如图,过点B作BC⊥x轴于C,∵△OAB是等边三角形,OA=2,∴OC=OA=×2=1,OB=OA=2,由勾股定理得BC=-=-=,∴点B的坐标为(1,),∴点B关于原点的对称点坐标为(-1,-).故选C.10、答案 C ∵一个三角形的各顶点的横、纵坐标都乘-1,∴以这三个新坐标为顶点的三角形与原三角形关于坐标原点对称.故选C.二、11、答案4+2解析如图,连接MN,过N作NH⊥OA于H,∵线段PM绕P点逆时针旋转90°,M点恰好落在OB上的N点,∴∠MPN=90°,PN=PM=,∴△PMN为等腰直角三角形,∴MN===2,在Rt△OHN中,∵∠NOH=30°,ON=8,∴NH=ON=4,OH=-=-=4.在Rt△MNH中,∵NH=4,MN=2,∴MH=-=2,∴OM=OH+MH=4+2.12、答案10解析连接BD,与EF交于点O,∵正方形ABCD与折线D-E-F-B构成了中心对称图形,∴OE=EF,OD=BD.∵AD=50,∴BD==50,∴OD=25.设EF=2x,则OE=x,DE=2x+25,在Rt△DOE中,x2+(2x+25)2=(25)2,解得x=5或x=-25(舍去),则EF=5×2=10.13.答案线段、长方形、圆解析由轴对称图形和中心对称图形的概念可知,线段、长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形.14、答案y=-2x+3解析易知矩形是中心对称图形,且对称中心是对角线的交点.由题意可得矩形ABCD的对角线交于点F(1.5,0),∵过对称中心的直线把矩形分成面积相等的两个图形,∴直线EF平分矩形ABCD的面积.设直线EF的解析式为y=kx+b,则解得∴直线EF的解析式为y=-2x+3.15、答案D;中心;等腰;高(或中线或角平分线)16、答案四解析∵点P(-a2,-a+1)关于原点的对称点为P',∴P'(a2,a-1),∵a<0,∴a-1<0,a2>0,∴P'在第四象限.17、答案解析∵△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,∴其旋转中心是点C,旋转角度是90°,∴∠PCE=90°,EC=PC,∵PC=1,∴EC=PC=1,∴△CPE是等腰直角三角形,∴PE===.18、答案 1.5解析如图,取AC的中点G,连接EG,∵旋转角为60°,∴∠ECD+∠DCF=60°.又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°,∴∠DCF=∠GCE.∵AD是等边△ABC的对称轴,∴CD=BC,∴CD=CG.又∵CE旋转到CF,∴CE=CF,∴△DCF≌△GCE,∴DF=EG,根据垂线段最短知EG⊥AD时,EG最短,即DF最短,此时,∵∠CAD=×60°=30°,AG=AC=×6=3,∴EG=AG=×3=1.5,∴DF=1.5.19、答案 B 如图所示,组成的四边形有4个,其中四边形BACM、四边形BANC和四边形ACBP 都是平行四边形,都是中心对称图形.故选B.20、答案-解析由题意知第一次变换后的坐标为,第二次变换后的坐标为(0,-1),第三次变换后的坐标为-,第四次变换后的坐标为(1,0),第五次变换后的坐标为--,第六次变换后的坐标为(0,1),第七次变换后的坐标为-,第八次变换后的坐标为(-1,0),回到变换前A的位置,说明8次变换为一个循环.因为2 019÷8=252……3,所以把点A经过连续2 019次这样的变换后得到的点A2 019的坐标是-.三、21、解析如图,∵AC=9,AO=3,∴CO=6.∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°.∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,且点D恰好落在BC上,∴OD=OP,∠POD=60°.∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°,∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°,∴∠2=∠3.在△AOP和△CDO中,∴△AOP≌△CDO,∴AP=CO=6.即AP的长为6.22、证明如图,连接AD、BC,∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,∵点E、F关于点O对称,∴OF=OE,在△BOF和△DOE中,∴△BOF≌△DOE(SAS),∴BF=DE.23.解析(1)如图甲所示.(2)如图乙所示.(3)如图丙所示.24、解析(1)如图所示.(2)如图所示.(3)点P的坐标为(2,0).25、解析(1)如图所示:点C即为所求,C(5,1).(2)如图所示:△A'B'C'即为所求,A'(3,-3),B'(5,-1),C'(1,-1).(3)△A'B'C'的面积S△A'B'C'=×4×2=4.。

第二十三章旋转单元综合测试一．选择题1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．5D．62．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（）A．25°B．15°C．65°D．40°3．如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是（）A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC4．如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（）A．50°B．55°C．60°D．65°5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，将△ABC绕点C（0，）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（a，﹣b+2）C．（﹣a，﹣b+）D．（﹣a，﹣b+2）7．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．B．C．D．（0，﹣4）8．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝8，BD＝7，则△AED的周长是（）A．15B．14C．13D．129．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．2D．410．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B为x轴正半轴上一点，将△AOB绕其一顶点旋转180°，连接其余四个顶点得到一个四边形，若该四边形是一个轴对称图形，则满足条件的点有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图，四角星的顶点是一个正方形的四个顶点，将这个四角星绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小是度．12．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D 在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF⊥AB，那么n的值是．13．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为°．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为．15．已知点A（x﹣2，3）与B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则xy的值是．16．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是．17．已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是．18．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为．（用含a，b的代数式表示）19．在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则项点A的对应点A2020的坐标是．三．解答题20．在平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣1），请解答下列问题：（1）若点P在第三象限，则a的取值范围为；（2）若点P在y轴上，则a的值为；（3）当a＝2时，点P关于y轴对称的点的坐标为点P关于原点对称的点的坐标为．21．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．22．如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数．23．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D 关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．24．如图，正△ABC与正△A1B1C1关于某点中心对称，已知A，A1，B三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点C，C1的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．参考答案1．解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝4，∴BE＝4．故选：B．2．解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，∴∠AOC＝65°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝65°，故选：C．3．解：将△ADE绕点D顺时针旋转，得到△CDB，∴∠ADE＝∠CDB，AD＝CD，AE＝BC，故A、B、D选项正确；∵∠B＝∠E，但∠B不一定等于∠BDC，∴BD不一定平行于AE，故C选项错误；故选：C．4．解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，∴∠AB1B＝（180°﹣50°）＝65°．故选：D．5．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．6．解：将点A的坐标为（a，b）向下平移个单位，得到对应点坐标为（a，b），再将其绕原点旋转180°可得对称点坐标为（﹣a，﹣b+），然后再向上平移个单位可得点A'的坐标为（﹣a，﹣b+2），故选：D．7．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故选：C．8．解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝DE＝7，∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝8+7＝15，故选：A．9．解：如图，连接BE，∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD＝BD，∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠A＝45°，AE＝AD＝2，AD＝DE＝BD，∴∠AEB＝90°，∴∠A＝∠ABE＝45°，∴AE＝BE＝2，∴EC＝＝＝1，∴AC＝AE+EC＝3，故选：B．10．解：观察图象可知，满足条件的点B有5个．故选：A．11．解：该图形被平分成四部分，旋转90°的整数倍，就可以与自身重合，故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为90°．故答案为：90．12．解：如图1，延长EF交AB于H，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝135°，∴n＝135；如图2，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACE＝45°，∴n＝360﹣45＝315，∵0＜n＜180，∴n＝315不合题意舍去，故答案为：135．13．解：∵AB∥CC'，∴∠ABC+∠C′CB＝180°，而∠B＝90°，∴∠C′CB＝90°，∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，即旋转角为100°．故答案为100．14．解：如图，连接BM．∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．∴∠F AB＝∠MAE，∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠F AE＝∠MAB．∴△F AE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝4．∵DM＝1，∴CM＝3．∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，∴EF＝5，故答案为：5．15．解：∵点A（x﹣2，3）与B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，3+y﹣5＝0，解得：x＝﹣1，y＝2，则xy的值是：﹣2．故答案为：﹣2．16．解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝＝2，故答案为2．17．解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，，解得：a＜2．∴故答案为：a＜2．18．解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．故答案为（a+b）．19．解：将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；此时，点A1的坐标为（2，﹣1）；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；此时，点A2的坐标为（﹣1，2）；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；此时，点A3的坐标为（﹣2，1）；再将△OA3B3绕点O顺时针旋转90°得△OA4B4；此时，点A4的坐标为（1，2）；∴每旋转4次一个循环，∵2020÷4＝505，∴第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标与点A4的坐标相同，为（1，2）；故答案为：（1，2）．20．解：（1）∵点P（a，﹣1），点P在第三象限，∴a＜0；故答案为：a＜0；（2）∵点P（a，﹣1），点P在y轴上，∴a＝0；故答案为：0；（3）当a＝2时，点P（a，﹣1）的坐标为：（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣1），点P关于原点对称的点的坐标为：（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，﹣1），（﹣2，1）．21．（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD＝BE，∠EBD＝120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，∴∠DBC＝∠ABE，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣45°＝105°．22．解：由旋转可知：△ABC≌△ADE，∵∠D＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∠EAD＝∠CAB，∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠CAB＝（120°﹣10°）÷2＝55°，∴∠F AB＝∠CAB+∠CAD＝55°+10°＝65°，∵∠DFB是△ABF的外角，∴∠DFB＝∠B+∠F AB，∴∠DFB＝25°+65°＝90°．23．解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，解得a＝1，b＝﹣1，∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，∴点D（﹣3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：．24．解：（1）∵A，A1，B三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），所以对称中心的坐标为（0，2.5）；（2）等边三角形的边长为4﹣2＝2，所以点C的坐标为（，3），点C1的坐标（，2）．25．解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，BC＝CE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE与BD平行且相等；（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE，∵△ABC的面积为5cm2，∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2；（3）∠ACB＝60°时，四边形ABDE为矩形．理由如下：∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AD＝2AC，BE＝2BC，∴AD＝BE，∴四边形ABDE为矩形．。

第23章 旋转单元测试（附解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________总分120分，考试时间120分钟一、单选题(共10个小题，每小题3分，共30分)1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．平面直角坐标系内一点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，－3）D ．（2，3）4．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．()42,22-C ．()42,2-D ．()26,22- 5．如图，在钝角△ABC 中，35BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转70︒得到ADE ，点B ，C 的对应点分别为D ，E ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC AED ∠=∠B ．AC DE = C ．AD BE AC += D ．AE 平分BED ∠ 6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()5,1-，将OA 绕原点按逆时针方向旋转90︒得OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．()5,1-B ．()1,5--C ．()5,1--D ．()1,5-7．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．25B ．342-C ．4D ．341+9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，2AC BC ==将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（ ）A 6B ．22C 3D 210．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB ∠等于（ ）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°二、填空题(共10个小题，每小题3分，共30分)11．如图所示，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 按顺时针方向旋转能与△CBP '重合，若PB ＝3，则PP '＝__________12．若点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，则a ＋b ＝_________． 13．对于下列图形：①等边三角形； ②矩形； ③平行四边形； ④菱形； ⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_________________．（填写图形的相应编号） 14．若点P （a ，2）点Q （﹣4，b ）关于原点对称，则点M （a ，b ）在第___象限．15．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转角等于___________度．16．如图，在矩形ABCD 中，23AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120︒得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．17．如图，△ABC 边长为1的正三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，则AMN 的周长为__________．18．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，30BAC ∠=，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．19．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为__________．20．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA 2PB =22=PC ABC 的边长为________．三、解答题(共6个小题，每小题10分，共60分)21．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，以C 为旋转中心，旋转一定角度后成△A ′B ′C ，此时B ′落在斜边AB 上，试确定∠ACA ′，∠BB ′C 的度数．22．四边形ABCD 各顶点坐标分别为(5,0)A ，(2,3)B -，(1,0)C -，(1,5)D --，作出与四边形ABCD 关于原点对称的图形．23．如图，在同一平面内，△BEC绕点B逆时针旋转60°得到△BAD，且AB⊥BC，BE＝CE．连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．24．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，BFC△绕着点B按逆时针方向旋转90︒后与△重合．BEA(1)如图①，若正方形ABCD的边长为2，1BE=，3FC=AE∥BF．(2)如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合)，试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转单元检测（含答案）一、单选题1．下面说法正确的是（）A．全等的两个图形成中心对称B．能够完全重合的两个图形成中心对称C．旋转后能重合的两个图形成中心对称D．旋转180°后能重合的两个图形成中心对称2．下列图案中，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3．如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形．△ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是（）A．（﹣y，﹣x）B．（﹣x，﹣y）C．（﹣x，y）D．（x，﹣y）4．将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（1，﹣2）5．如图所示，ABC V 中，5AC =，中线7AD =，EDC V 是由ADB V 旋转180o 所得，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1<AB<29B ．4<AB<24C ．5<AB<19D ．9<AB<196．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．△ABD ＝△EB ．△CBE ＝△C C ．AD △BC D ．AD ＝BC 7．下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．正方形B ．等边三角形C ．圆D ．平行四边形8．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到△COD ，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠的度数是（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30°9．如图所示，△ABC 与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )A ．AB=A′B′，BC=B′C′B ．AB△A′B′，BC△B′C′C ．S △ABC =S △A′B′C′D ．△ABC△△A′OC′10．如图，在Rt 直角△ABC 中，△B ＝45°，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，直角△MDN 绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：△△DEF 是等腰直角三角形；△AE ＝CF ；△△BDE△△ADF ；△BE+CF ＝EF ，其中正确结论是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题 11．如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角()0180αα<<︒得到格点111A B C ∆，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α=_____度．12．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转的到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若△CAE=90°，AB=1，则BD=_________．13．如图，直线443y x =+与x 轴轴分别交于A ，B 两点，把AOB ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得到''AO B ∆，则点'B 的坐标是______.14．如图所示，一段抛物线：()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ； 将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直到13C .若()37,P m 在第13段抛物线13C 上，则m =______.三、解答题15．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A 、(5,1)B 、(4,4)C .（1）按下列要求作图：△将ABC ∆向左平移5个单位得到111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；△将ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90°后得到222A B C ∆，并写出点2B 的坐标；（2）111A B C ∆与222A B C ∆重合部分的面积为 （直接写出答案）.16．如图，在平面直角坐标系网格中，△ABC 的顶点都在格点上，点C 坐标(0，﹣1)．(1)作出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；(2)把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，得△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C ，并写出点A 2的坐标；(3)直接写出△A 2B 2C 的面积．17．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）判断AB与CD的关系并证明；（2）求直线EC的解析式．18．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由答案1．D2．D3．B4．C 。

C．(－2，－3) D．(－2，－4)9．如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为( )A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是_______．12．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_____________．三．解答题（共6小题，66分）19．(8分) 直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y 的值．20．(8分) 如图，已知四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．21．(8分) 如图，四边形ABCD绕某一点旋转后得四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别对应点E，F，G，H.(1)请在图中画出旋转中心点O的位置；(2)说出旋转方向和旋转角．22．(10分) 直角坐标系内的点P(x2－3x，4)与另一点Q(x－8，y)关于原点对称，试求2019(2x－y)的值．23．(8分) 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F.若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；BE. BE。

人教版九年级数学（上）第二十三章《旋转》检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列图形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是2.将大写字母E绕点P按顺时针方向旋转90°得到的图形是3.下列说法中,正确的有①平行四边形是中心对称图形;②两个全等三角形一定成中心对称;③中心对称图形的对称中心是连接两对称点的线段的中点;④一个图形若是轴对称图形,则一定不是中心对称图形;⑤一个图形若是中心对称图形,则一定不是轴对称图形.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,已知点O是六边形ABCDEF的中心,图中所有的三角形都是等边三角形,则下列说法正确的是A.△ODE绕点O顺时针旋转60°得到△OBCB.△ODE绕点O逆时针旋转120°得到△OABC.△ODE绕点F顺时针旋转60°得到△OABD.△ODE绕点C逆时针旋转90°得△OAB5.在直角坐标系中,将点(-2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度,得到的点的坐标是A.(4,-3)B.(-4,3)C.(0,-3)D.(0,3)6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,△ABC绕着点B逆时针旋转90°到△A'BC'的位置,则AA'的长为A.10√2B.10C.20D.5√27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为A.30,2B.60,2D.60,√3C.60,√328.如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为A.(-a,-b)B.(-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b+2)9.有两个完全重合的直尺,将其中一个始终保持不动,另一个直尺绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,…,则第10次旋转后得到的图形与图①~④中相同的是A.图①B.图②C.图③D.图④10.Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点.下列结论:①(BE+CF )=√22BC ;②S △AEF ≤14S △ABC ;③S 四边形AEDF =AD ·EF ;④AD ≥EF ;⑤AD 与EF 可能互相平分,其中正确结论的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.已知a<0,则点P (-a 2,-a+1)关于原点的对称点P'在第 四 象限.12.如图所示,把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转,使得点A 落在CB 延长线上的点E 处,则∠BDC= 15° .13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt △AB'C'可以看作是由Rt △ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C 的长为 3√7 .14.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=6√3,BC 的中点为D ,将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ,EF 的中点为G ,连接DG 在旋转过程中,DG 的最大值是 9 .三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为点E.试确定旋转后的四边形.解:如图所示,四边形EB'C'D'即为四边形ABCD绕点O旋转后的四边形.AB,请你用旋转的16.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上一点,且AF=12方法说明线段BE和DF之间的关系.AB,∴AE=AF,解:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°,∵E是AD的中点,AF=12∴△DFA≌△BEA,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF,∴BE=DF,BE⊥DF.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,A,B,C三点在格点上.(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.答案图解:(1)如图,C 1(-3,2). (2)如图,C 2(-3,-2).18.已知点P (x+1,2x-1)关于原点的对称点在第一象限,试化简:|x-3|-|1-x|. 解:∵点P (x+1,2x-1)关于原点的对称点P'的坐标为(-x-1,-2x+1),点P'在第一象限,∴{-x -1>0,-2x +1>0,∴x<-1,∴|x-3|-|1-x|=-x+3-1+x=2.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在等边△ABC 中,AC=9,点O 在AC 上,且AO=3,点P 是AB 上的一动点,连接OP ,将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ,要使点D 恰好落在BC 上,求AP 的长. 解:如图,∵AC=9,AO=3,∴OC=6,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,∴OD=OP,∠POD=60°,∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°,∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°,∴∠2=∠3,在△AOP和△CDO中,{∠A=∠C,∠2=∠3, OP=OD,∴△AOP≌△CDO,∴AP=CO=6.20.在平面直角坐标系中,O为原点,B(0,6),A(8,0),以点B为旋转中心把△ABO逆时针旋转,得△A'BO',点O,A旋转后的对应点为O',A',记旋转角为β.(1)如图1,若β=90°,求AA'的长;(2)如图2,若β=120°,求点O'的坐标.解:(1)∵β=90°,∴∠A'BA=90°,∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6,根据勾股定理得,AB=√OA 2+OB 2=√82+62=10, 由旋转的性质得,A'B=AB=10,在Rt △A'BA 中,根据勾股定理得,AA'=√AB 2+A 'B 2=√102+102=10√2. (2)如图,过点O'作O'C ⊥y 轴于点C , 由旋转的性质得,O'B=OB=6,∵β=120°,∴∠OBO'=120°,∴∠O'BC=180°-120°=60°, ∴BC=12O'B=12×6=3,CO'=√O 'B 2-BC 2=√62-32=3√3,∴OC=OB+BC=6+3=9,∴点O'的坐标为(3√3,9).六、(本题满分12分)21.如图,在等腰△ABC 中,∠CAB=90°,P 是△ABC 内一点,PA=1,PB=3,PC=√7,将△APB 绕点A 逆时针旋转后与△AQC 重合.求: (1)线段PQ 的长; (2)∠APC 的度数.解:(1)∵△APB 绕点A 旋转与△AQC 重合,∴AQ=AP=1,∠QAP=∠CAB=90°, ∴在Rt △APQ 中,PQ=√AQ 2+AP 2=√2.(2)∵∠QAP=90°,AQ=AP,∴∠APQ=45°.∵△APB绕点A旋转与△AQC重合,∴CQ=BP=3.在△CPQ中,PQ=√2,CQ=3,CP=√7,∴CP2+PQ2=CQ2,∴∠CPQ=90°,∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°.七、(本题满分12分)22.如图,▱ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=√5,对角线BD,AC交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC,AD于点E,F.(1)试说明在旋转过程中,AF与CE总保持相等;(2)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能请说明理由;如果能,求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度.解:(1)在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2,在△AOF和△COE中,{∠1=∠2,OA=OC,∠3=∠4,∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE.(2)由题意,∠AOF=90°(如图1),又∵AB ⊥AC ,∴∠BAO=90°,∴∠BAO=∠AOF ,∴AB ∥EF ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,即AF ∥BE , ∵AB ∥EF ,AF ∥BE ,∴四边形ABEF 是平行四边形.(3)当EF ⊥BD 时,四边形BEDF 是菱形(如图2).由(1)知,AF=CE ,∵▱ABCD ,∴AD=BC ,AD ∥BC ,∴DF ∥BE ,DF=BE ,∴四边形BEDF 是平行四边形,又∵EF ⊥BD ,∴▱BEDF 是菱形,∵AB ⊥AC ,∴在△ABC 中,∠BAC=90°,∴BC 2=AB 2+AC 2, ∵AB=1,BC=√5,∴AC=√BC 2-AB 2=√(√5)2-12=2, ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=12AC=12×2=1, ∵在△AOB 中,AB=AO=1,∠BAO=90°, ∴∠1=45°,∵EF ⊥BD ,∴∠BOF=90°,∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°,即旋转角为45°. 八、(本题满分14分)23.如图1,在正方形ABCD 中,点M ,N 分别在AD ,CD 上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN. (1)如图2,在梯形ABCD 中,BC ∥AD ,AB=BC=CD ,点M ,N 分别在AD ,CD 上,若∠MBN=12∠ABC ,试探究线段MN ,AM ,CN 有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.(2)如图3,在四边形ABCD 中,AB=BC ,∠ABC+∠ADC=180°,点M ,N 分别在DA ,CD 的延长线上,若∠MBN=12∠ABC ,试探究线段MN ,AM ,CN 又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.解:(1)MN=AM+CN.理由如下:如图2,∵BC ∥AD ,AB=BC=CD ,∴梯形ABCD 是等腰梯形,∴∠A+∠BCD=180°,把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合,则△ABM ≌△CBM',∴AM=CM',BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠M'BC ,∴∠BCM'+∠BCD=180°,∴点M',C ,N 三点共线,∵∠MBN=12∠ABC ,∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC ,∴∠MBN=∠M'BN ,在△BMN 和△BM'N 中,{BM =BM ',∠MBN =∠M 'BN ,BN =BN , ∴△BMN ≌△BM'N (SAS),∴MN=M'N ,又∵M'N=CM'+CN=AM+CN ,∴MN=AM+CN.(2)MN=CN-AM.。