库仑定律 7-1 把总电荷电量为Q 的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，
使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M ＝l024kg ，月球的质量m =l022
kg 。（1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q 的值。 解：（1）设Q 分成q 1、q 2两部分，根据题意有 2
221r Mm
G r q q k
=，其中041πε=k
即 2221q k q GMm q q Q +=
+=。求极值，令0'=Q ，得 0122=-k
q GMm
C 1069.5132⨯==
∴k GMm q ，C 1069.51321⨯==k q GMm q ，C 1014.11421⨯=+=q q Q （2）21q m q M =Θ
，k GMm q q =21 k
GMm m q mq Mq ==∴2122 解得C 1032.6122
2⨯==k
Gm q ， C 1015.51421⨯==m Mq q ，C 1021.51421⨯=+=∴q q Q 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q （Q ＞0）放在三角形
的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大
解：Q 到顶点的距离为 l r 33=
，Q 与-q 的相互吸引力为 20141r
qQ F πε=， 两个-q 间的相互排斥力为 2
2
0241l q F πε=
据题意有 10
230cos 2F F =，即 2
022041300cos 41
2r
qQ
l q πεπε=⨯，解得：q Q 33= 电场强度
7-3 如图7-3所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+，则杆上距原点x 处的线元
d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何q 0受的总电场力为何（2）若电荷线密度=kx ，k 为正常数，求P 点的电场强度。
解：（1）线元d x 所带电量为x q d d λ=，它对q 0的电场力为
200200)(d 41
)(d 41
d x a l x q x a l q q F -+=-+=
λπεπε
q 0受的总电场力 )(4)(d 400020
0a l a l q x a l x
q F l
+=-+=
⎰πελπελ
00>q 时，其方向水平向右；00q 0 图7-3
a l
P O x q
-q
-q
-l
l r
Q r
r
（2）在x 处取线元d x ，其上的电量x kx x q d d d ==λ，它在P 点的电场强度为
2
020)(d 41)(d 41
d x a l x
kx x a l q E P -+=-+=
πεπε
)ln (4)(d 40020a
l a
a l k x a l x x k
E l
P ++=-+=
∴⎰πεπε 方向沿x 轴正向。 7-4一半径为R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q ，下半段均匀带电量-q ，如图
7-4所示，求半
圆中心处电场强度。 解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在O 点电场强度沿x 轴的分量之和为零。取长为d l
的线元，其上所带电量为
θπ
θππλd 2d 2d 2
1d d q R R q l R q l q ===
=，20d 41d R q E πε=∴ 方向如图
y 方向的分量 θεπθ
θπεcos 2d cos d 41
d 20220R q R q E y -=-
=
j R q
j R q E ϖϖ
ϖ
2
0220
2
02d cos 22επθθεππ
-
=⨯
-=∴⎰
7-5一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为 ，求球心处电场强度。 解：沿半球面的对称轴建立x 轴，坐标原点为球心O 。
在球面上取半径为r 、宽为d l 的环带，如图，其面积为
θππd 2d 2d R r l r S ⋅==，所带电荷 θπσσd 2d d R r S q ⋅⋅==
d q 在O 处产生的电场强度为，2
3
2202
3220)(d 2)(d 41d r x xr R r x q
x E +=
+=
θ
εσπε θsin R r =Θ，θcos R x = θθθεσ
d cos sin 2d 0
=
∴E 因为球面上所有环带在O 处产生的电场强度方向相同，i i E ϖ
ϖϖ0
20
4d cos sin 2εσθθθεσ
π
==
∴⎰
7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为 ，平板中部有一半径为R 的圆孔, 如图7-6所示。求圆孔
中心轴线上的场强分布。（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个
完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。
无穷大平板的电场为 n e E ϖ
ϖ0
12εσ= 图7-4
+
+ +
+
R
图7-6
R
P
x
R O
r
