《概率论与数理统计》期末试题一及答案

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。

事件表达式A B 的意思是 ( ） ） 事件A 与事件B 同时发生 (B ） 事件A 发生但事件B 不发生） 事件B 发生但事件A 不发生 （D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )） 是不可能事件 (B ） 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 （ ） A) 自由度为1的χ2分布 （B ） 自由度为2的χ2分布 ） 自由度为1的F 分布 （D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（ ） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4） （C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5， 所以有X +Y ~N (0，5)。

样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2， 则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

)B =________________.3个,恰好抽到),(8ak ==(24)P X -<= 乙企业生产的50件产品中有四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.120.10.2Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、136、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N -二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ======== .................. 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知 340391()21224x f x dx kxdx dx k +∞-∞⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰故16k =. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩.......................................................................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭....................................................................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知 01.0.20.10.10.a +++++= 故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p ........................................................................................................................ 6分120.40.6Y p .................................................................................................................................. 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰................................................................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ........................................................................................................ 12分一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

《概率论与数理统计》期末考试题一. 填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.1p(AB)0.3,)B (p ,5.0)A (p ===，则=)B -A (p 0.4 、=)B A (p 0.7 、=)B A (p 1/3 ,)(B A P ⋅= 0.3 。

2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 .3、设随机变量X 服从参数为6的泊松分布，则{}=≥1X p 1- 6-e4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 B （10，0. 6） 分布，=+)(Y X E 6 。

5、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有则=a _0.3_，X 的数学期=)(X E ___0.5_______，Y X 与的相关系数=xy ρ___0.1_______。

第 1页共 4 页6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：3p ；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：3)1(1p --；7、（1）若随机变量X )3,1(~U ，则{}=20〈〈X p 0.5；=)(2X E _13/3， =+)12(X D 3/4 ．（2）若随机变量X ~)4 ,1(N 且8413.0)1(=Φ则=<<-}31{X P 0.6826 ，(~,12N Y X Y 则+= 3 ， 16 ）。

8、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)=1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=+)2(Y X E 5 ，=+)2(Y X D 17 。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________.答案：0.3解：P(A?B)?0.3即0.3?P(A)?P(B)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)所以P(AB)?0.1P(?)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.答案：1?1e6解答：P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??????2?? 由P(X?1)?4P(X?2) 知e??e?2?e2 即2????1?0 解得??1，故P(X?3)?1?1e 623．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________.答案：0?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?y?)yX)Xy? ?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?0，即FY(y)?FX故10?y?4,fY(y)?FY?(y)?fX? 0,其它.?另解在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?所以0?y?4,fY(y)?fX? ?0,其它.?24．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.答案：??2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4解答：P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故??2P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)?1?e?4.5．设总体X的概率密度为???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1. ?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.答案：???11nlnxi?ni?1?1解答：似然函数为L(x1,?,xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1,?,xn)?i?1nlnL?nln(??1)??n?lnxi?1ni解似然方程得?的极大似然估计为dlnLn???lnxi?0 d???1i?12?? ?11n?lnxini?1?1.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若P(C)?1，则AC与BC也独立.（B）若P(C)?1，则A?C与B也独立.（C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.（D）若C?B，则A与C也独立. （）答案：（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图可见A与C不独立.2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为（A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.（C）2??(2). （D）1?2?(2). （）答案：（A）解答：X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1??1]?2?[1 ? 应选（A）.3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （） 3答案：（B）解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）?0 D(X?Y)?DX?DY+2cov （x，y）应选（B）.4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P111169183??若X,Y独立，则?,?的值为（A）??29,??19. （A）??129,??9.（C）??16,??16 （D）??518,??118.4 ）（答案：（A）解答：若X,Y独立则有??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) 1121 ?(????)(??)?(??) 393921 ???，??99 故应选（A）.5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量.（C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （）答案：（A）解答：EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’B?‘任取一产品确是合格品’则（1）P(A)?P(B)P(A|B)?P()P(A|)?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857.（2）P(B|A)?四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.5 P(AB)0.9?0.95??0.9977. P(A)0.857解：X的概率分布为P(X?k)?C3()()k25k353?kk?0,1,2,3.X即X的分布函数为P02712515412523612538 125x?0,?0,?27?,0?x?1,?125??81,1?x?2, F(x)???125?117 2?x?3,?125,?x?3.?1,?26EX?3??,552318DX?3???.5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度.（1）(X,Y)的概率密度为?2,(x,y)?Df(x,y)??0,其它.?fX(x)?（2）利用公式fZ(z)? 其中f(x,z?x)????????????2?2x,0?x?1f(x,y)dy??0,其它??f(x,z?x)dx?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??0,其它??0,其它.当z?0或z?1时fZ(z)?0 0?z?1时fZ(z)?2?z0dx?2x0?2zz6故Z的概率密度为??2z,0?z?1,fZ(z)????0,其它.Z的分布函数为fZ(z)??z??z?0?0,?0,z?0,?z??fZ(y)dy???2ydy,0?z?1??z2,0?z?1, 0??1,z?1.?z?1??1,或利用分布函数法?z?0,?0,?FZ(z)?P(Z?z z1,)?P(X?Y?)z,y0??????2dxd?D1?1,z?1.??0,?2, ??z?1,?z?0,0?z?1, z?1.?2z,?0,0?z?1,其它.fZ(z)?FZ?(z)??六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?1）P{X,Y)?D}?222.??f(x,y)dxdyD???2??4D?x2?y28dxdy? 18?r282??2?21e?r28rdrd??（2）EZ?E? ?21e?r28d(?)??e 82??e?e；1?18?12 ?? ??r28 ????1e?04 ???1e8??x2?y28dxdy?18???2???0re?rdrd??r28r2dr7??rer2?8????0??0e?r28dr??????r28dr?.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值?10，样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:?2?0.1（显著性水平为0.05）.（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132,解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为(?t?/2(n?222?0.05(16)?26.296,?0.05(15)?24.996,?0.025(15)?27.488. ?t?/2(n??10,s?0.4,n?16,??0.05,t0.025(15)?2.132所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）2 （2）H0:?2?0.1的拒绝域为?2???(n?1).15S22?15?1.6?24，?0.05 ??(15)?24.996 0.12 因为?2?24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.2《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分共18分)891011121314151617《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B）专业、班级：姓名：学号：181920212223242526272829共8页30。

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)(1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P =(2)某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A) 0.05 （B ） 0.06 (C) 0.07 （D ） 0.08(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则(A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ(C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a 成立的是（A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)二维随机变量(X ,Y )服从二维正态分布，则X +Y 与X -Y 不相关的充要条件为（A ）EY EX = (B)2222][][EY EY EX EX -=-(C)22EY EX = (D) 2222][][EY EY EX EX +=+二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P 0.1(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f ,则使)()(a X P a X P <=>的常数a = 421(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P 0.35(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从)51,1(N ，如果随机变量X -aY +2满足条件 ])2[()2(2+-=+-aY X E aY X D ，则a = 20 _.(5) 已知X ～),(p n B ,且8)(=X E ,8.4)(=X D , 则n = 3三、解答题 （共65分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？解：A 为事件“生产的产品是次品”，B 1为事件“产品是甲厂生产的”，B 2为事件“产品是乙厂生产的”，B 3为事件“产品是丙厂生产的”易见的一个划分是Ω321,,B B B(1) 由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131=⨯+⨯+⨯===∑∑==i i i i i B A P B P AB P A P(2) 由Bayes 公式有：2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<--= ，　其它040,20),6(),(y x y x k y x f 求：（1）常数k （2）)4(≤+Y X P2380345.0%4%35)()()()()(31222=⨯==∑=i ii B P B A P B P B A P A B P解：（1）由于1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f ，所以1)6(4020=--⎰⎰dy y x k dx ，可得241=k （2）98)16621(241)6(2412204020=+-=--⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx x3、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y 求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.解： ⎰∞-=xdt t f x F )()( 当t x t e dt e x F x 2121)(,0==<⎰∞-------------------------------------------------------------------------------------3分 当t x t t e dt e dt e x F x --∞--=+=≥⎰⎰211][21)(,0004、（8分）设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<<=其他，,0;40,8)(x x x f X求：随机变量1-=X e Y 的概率密度函数.解：1-=X e Y 的分布函数).(y F Y⎰+∞-=+≤=≤-=≤=)1ln()())1ln(()1()()(y X X Y dx x f y X P y e P y Y P y F=⎪⎩⎪⎨⎧≤--<≤+<.1,1;10),1(ln 161;0,0442y e e y y y 于是Y 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<++==.,0;10,)1(8)1ln()()(4其他e y y y y F dy d y f Y Y5、（8分）设随机变量X 的概率密度为：∞<<∞-=-x e x f x 21)(，求:X 的分布函数．解：由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()( ， 又因为X 与Y 相互独立，所以⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()( 当10<<z 时，;1)()()(0)(z z x z Y X Z e dx e dx x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰ 当0≤z 时，;0)()()(=-=⎰+∞∞-dx x z f x f z f Y X Z 当1≥z 时，);1()()()(10)(-==-=---+∞∞-⎰⎰e e dx e dx x z f x f z f z x z Y X Z 所以 ;1)1(10100)()()(⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=-=--∞+∞-⎰z e e z e z dx x z f x f z f z z Y X Z6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：（1）因为)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立，所以1,1++=+-=Y X V Y X U 都服从正态分布，11)1(=+-=+-=E EY EX Y X E EU2)1(=+=+-=DY DX Y X D DU所以 )2,1(~N U ，所以 4241)(u U e u f -=π同理 11)1(=++=++=E EY EX Y X E EV 2)1(=+=++=DY DX Y X D DU所以 )2,1(~N V ，所以 4241)(u V e u f -=π（2）)12()1)(1(22++-=+++-=X Y X E Y X Y X E EUV12))(()(122222+++-+=++-=EX EY DY EX DX EX EY EX 1=7、 所以0=-=DV DU EUEV EUV UV ρ7、(10分)设)1,0(~),1,0(~N Y N X ，且相互独立1,1+-=++=Y X V Y X U ，求:（1）分别求U,V 的概率密度函数；（2）U,V 的相关系数UV ρ； 、（3）解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k k⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,2;2,0;1,5;0,10)(X X X X X g Y)(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(50万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k。

n-1 n-1 n《概率论与数理统计》第一学期期末试卷一．判断题（10 分，每题 2 分）1.在古典概型的随机试验中，P( A) = 0 当且仅当A 是不可能事件 ( )2.连续型随机变量的密度函数f (x) 与其分布函数F (x) 相互唯一确定 ( )3.若随机变量X 与Y 独立，且都服从p = 0.1的 (0，1) 分布，则X =Y ( )4.设X 为离散型随机变量, 且存在正数k使得P( X >k ) = 0 ，则X 的数学期望E( X ) 未必存在( )5.在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15 分，每题 3 分）1.设每次试验成功的概率为p (0 <p < 1) ，重复进行试验直到第n 次才取得r (1 ≤r ≤n) 次成功的概率为.(a) (c) C r -1 p r (1 -p)n-r ；(b)C r -1 p r -1 (1 -p)n-r +1 ；(d)C r p r (1 -p)n-r ；p r (1 -p)n-r .2.离散型随机变量X 的分布函数为F (x) ，则P( X =xk) = .(ａ) (ｃ) P(xk -1≤X ≤xk) ；(ｂ)P(xk -1<X <xk +1) ；(ｄ)F (xk +1) -F (xk -1) ；F (xk) -F (xk -1) .3.设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y = max ( X , 2003) 的分布函数.(ａ) 是连续函数；(ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数；(ｄ) 至少有两个间断点.4.设随机变量( X , Y ) 的方差D( X ) = 4 , D(Y ) = 1, 相关系数ρXY= 0.6 , 则n ⎩方差 D ( 3X - 2Y ) = .(ａ) 40；(ｂ) 34；(ｃ) 25.6； (ｄ) 17.625. 设( X 1 , X 2 , , X ) 为总体 N( 1, 2 ) 的一个样本， X 为样本均值，则下列结论中正确的是.X - 1 1 n 2(ａ)2 / ~ t ( n ) ；(ｂ)n∑( X i - 1) i =1 ~ F ( n , 1) ；X - 1 1n22(ｃ)2 / n~ N ( 0, 1) ；(ｄ)∑( X i- 1) i =1~ χ ( n ) .二. 填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为 f (x ) ，则随机变量Y = 3e X 的概率密度函数为 f Y ( y ) =3. 设 X 为总体 X ~ N ( 3 , 4) 中抽取的样本( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )的均值, 则P (-1 < X < 5) ＝.4. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为⎧1, y < x , 0 < x < 1;f (x , y ) = ⎨ 0 , 其 他则条件密度函数为,当时 , f Y X ( y x ) =5. 设 X ~ t ( m ) ,则随机变量Y = X 2 服从的分布为( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间 X 样本均值和方差分别为 X ~ N (μ, σ2 ) （单位：秒），取n = 16 的样本，得 = 15, S 2 = 0.36 ，则μ的置信度为 95%的单侧 置信区间上限为7. 设 X 的分布律为4 41 2X 1 2 3 Pθ22θ(1 -θ)(1 -θ)2已知一个样本值(x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1, 2 , 1) ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40 分，每题 8 分）1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2. 设随机变量 X 与Y 相互独立， X ， Y 分别服从参数为λ,μ(λ≠ μ) 的指数分布，试求Z = 3X + 2Y 的密度函数 f Z (z ) .3. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为λ= 1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率.4. 总体 X ~ N (μ,σ2 ) ， ( X , X , , X n ) 为总体 X 的一个样本.求常数 k , 使k ∑ i =1X i - X 为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力 X ~ N (μ, σ2 )（单位：kg）. 已知σ = 8 kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值 x = 575.2 kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ α= 5 % ）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N (μ, 0.0482 ) . 某日抽取5 个样品，测得其纤度为:1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 α= 10 % 作假设检验.四. 证明题（7 分）nY设随机变量 X ,Y , Z 相互独立且服从同一贝努利分布 B (1, p ) . 试证明随机变量 X + Y 与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表χ2 分布数值表t 分布数值表参 考 答 案一. 判断题（10 分，每题 2 分）是 非 非 非 是 .二. 选择题（15 分，每题 3 分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ；2. ⎧ 1 f ( y ) = ⎨ y ⎩f [ln(y / 3)]) 0 y > 0 y ≤ 0 ； 3.0.9772 ； ⎧1/(2x ) - x < y < x4. 当0 < x < 1 时 f Y X ( y x ) = ⎨ ；⎩ 0其 他5. F (1, m )6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. A被查后认为是合格品的事件， B抽查的产品为合格品的事件. (2 分)P ( A ) = P (B )P ( A B ) + P (B )P ( A B ) = 0.96 ⨯ 0.98 + 0.04 ⨯ 0.05 = 0.9428 ， (4 分)P (B A ) = P (B )P ( A B ) / P ( A ) = 0.9408/ 0.9428 = 0.998.(2 分)⎧ λe- λx2.f X (x ) = ⎨x > 0 ⎧ μe - μy f Y ( y ) = ⎨ y > 0(1 分)⎩ 0其他⎩ 0其他z ≤ 0 时， F Z (z ) = 0 ，从而 f Z (z ) = 0 ；(1 分)t 0.025 (15) = 2.1315 t 0.05 (15) = 1.7531 t 0.025 (16) = 2.1199 t 0.05 (16) = 1.7459(5) = 1.145 0.95 χ2(5) = 11.071 0.05 χ2(4) = 0.711 0.95 χ2(4) = 9.488 0.05 χ2Φ(0.28) = 0.6103Φ(1.96) = 0.975Φ(2.0) = 0.9772Φ(2.5) = 0.9938+∞ 2⎰-∞ ⎨ ⎨ ∑ | z ZZ z ≤ 0 时， f Z (z ) =1f X (x ) f Y [(z - 3x ) / 2]dx(2 分)= 1 z / 3λμe -λx -μ[( z - x ) / 2] dx =λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 )(2 分)2 ⎰3μ- 2λ所以⎧ λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 ),z > 0f (z ) = ⎪3μ- 2λ [⎩⎪ 0, ⎧ λμ(e-λz / 2- e-μz / 3),z ≤ 0z > 0f (z ) = ⎪ 2μ- 3λ](2 分)⎩⎪ 0,z ≤ 03. 设 X i 为第 i 周的销售量, i = 1, 2 , , 52X i ~ P (1 )(1 分)则一年的销售量为 52Y =X i， E (Y ) = 52 ,i =1D (Y ) = 52 .(2 分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为⎛ - 2 Y - 52 18 ⎫ ⎛ 18 ⎫ ⎛ 2 ⎫(4 分)P (50 < Y < 70) = P < 52 < ⎪ ≈ Φ 52 52 ⎪ + Φ 52 ⎪ - 152 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= Φ(2.50) + Φ(0.28) - 1 = 0.9938 + 0.6103 - 1 = 0.6041.(1 分)4. 注意到X - X =1(- X in1 - X2 + (n -1) X i - - X n )E ( X i - X ) = 0 , ⎛D ( X n - 1 - X ) = n - 1σ2i n2 ⎫(2分) X i - X ~ N 0, σ ⎪ ⎝ n ⎭ - z 2 n -1 2(1分)E (| X - X |) = ⎰ 2 σn dz -∞= 2⎰ - z 2 2 n -1σ2e n dz (3分)⎛ n⎫ ⎛ n ⎫ 令E k ∑| X i - X |⎪ = k ∑E | X i - X |⎪σ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭+∞ i +∞σ/ nX 0 1 PqpX + Y 0 1 2Pq 22 pqp 20 0 1 1σ 22 0 0 5. (1) 要检验的假设为检验用的统计量 H 0 : μ= 570 , U =X - μ0H 1 : μ≠ 570~ N ( 0,1) ， (1 分)拒绝域为U ≥ z α(n -1) = z 0.025 = 1.96 .(2 分)2U 0 = 0.65= 2.06 > 1.96 ，落在拒绝域内，故拒绝原假设 H 0 ，即不能认为平均折断力为 570 kg .571 - 569.2[ U 0 == 0.2 = 0.632 < 1.96 , 落在拒绝域外，故接受原假设 H 0 ，即可以认为平均折断力为 571 kg . ] (1 分)(2) 要检验的假设为H :σ2 = 0.0482 , [ H :σ2 = 0.792 , H :σ2 ≠ 0.0482H :σ2 ≠ 0.792] (1 分)5∑( X i -X ) 2检验用的统计量 χ2= i =1~ χ2 (n - 1) ，拒绝域为χ2 > χ2 (n - 1) = χ2(4) = 9.488 或α0.05χ2 < χ2 (n -1) = χ2(4) = 0.711(2 分)x = 1.41 1-α[ x = 1.49 ]0.95χ2 = 0.0362 / 0.0023 = 15.739 > 9.488 ,落在拒绝域内，[ χ2= 0.0538 / 0.6241 = 0.086 < 0.711 ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .(1 分)五、证明题 (7 分)由题设知(2 分)P ( X + Y = 0 , Z = 0) = q 3 = P ( X + Y = 0)P (Z = 0) ； P ( X + Y = 0 , Z = 1) = pq 2 = P ( X + Y = 0)P (Z = 1) ； P ( X + Y = 1, Z = 0) = 2 pq 2 = P ( X + Y = 1)P (Z = 0) ；10 10P( X +Y = 1, Z = 1) = 2 pq 2 =P( X +Y = 1)P(Z = 1) ；P( X +Y = 2 , Z = 0) =pq 2 =P( X +Y = 2)P(Z = 0) ；P( X +Y = 2 , Z = 1) =p 3 =P( X +Y = 2)P(Z = 1) .所以X +Y 与Z 相互独立. (5 分)。

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。

概率论与数理统计期末考试试卷答案数理统计练习⼀、填空题1、设 A 、 B 为随机事件，且 P (A)=0.5 ， P (B)=0.6 ，P (B A)=0.8 ，则 P (A+B)=__ 0.7 __ 。

80 22、某射⼿对⽬标独⽴射击四次，⾄少命中⼀次的概率为 80 ，则此射⼿的命中率 2 。

81 33、设随机变量 X 服从[0 ， 2] 上均匀分布，则 D(X) 1/3 。

[E(X)]24、设随机变量 X 服从参数为的泊松( Poisson )分布，且已知 E[(X 1)(X 2)] ＝1，则 ___1 。

5、⼀次试验的成功率为 p ，进⾏ 100 次独⽴重复试验，当 p 1/2 _______ 时，成功次数的⽅差的值最⼤，最⼤值为 25 。

6、(X ，Y )服从⼆维正态分布 N( 1, 2, 12, 22, )，则 X 的边缘分布为 N( 1, 12)7、已知随机向量( X ，Y )的联合密度函数3 xy 2, 0 x 2,0 y 1，则f (x, y ) 20, 其他8、随机变量 X 的数学期望 EX ，⽅差 DX2，k 、b 为常数，则有 E(kX b)=22D(kX b)=k 2 2。

9、若随机变量 X ～N ( －2，4)，Y ～N (3 ，9)，且 X 与 Y 相互独⽴。

设 Z ＝2X －Y ＋5，则 Z ～ N(-2, 25) 。

10、 ?1, ?2是常数的两个⽆偏估计量，若 D(?1) D( ?2 ) ，则称 ?1⽐ ?2有效。

1、设 A 、 B 为随机事件，且 P ( A )=0.4, P ( B )=0.3, P ( A ∪ B )=0.6 ，则 P ( AB )=_0.3__ 。

2、设 X B (2, p )，Y B (3, p )，且 P {X ≥ 1}= 5 ，则 P {Y ≥ 1}= 19 。

9 273、设随机变量 X 服从参数为 2的泊松分布，且 Y =3X -2, 则E ( Y )=44、设随机变量 X 服从 [0,2] 上的均匀分布， Y =2X +1，则 D (Y )= 4/35、设随机变量 X 的概率密度是：2f (x) 3x 0 x 1，且 P X 0 .784 ，则 =0.6 。