人教A版高中数学必修四《简单的三角恒等变换》学案

数学 3.2简单的三角恒等变换(2)教案 新人教A 版必修4（一）导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asi n(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx，y=cosx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例思路1例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt△OBC 中,BC =cosα,BC=sinα,在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α. 所以AB=OB-OA=cos α33-sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63.点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asi n(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx -6π)-2cos 22x ω,x∈R (其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx )-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k∈Z ),解得 kπ-6π≤x≤kπ+3π(k∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例 1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π].点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22,当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos 2C B +-cos 2CB -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt△BAD 中,m AB =cos 2B ,在Rt△B AC 中,a AB=sinC, ∴mcos2B=asinC.图2同理,ncos 2C=asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn,∴cos 2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81. 积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2CB -)=-1,若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(c os 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1,∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π,∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tanβ=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34.从而tan(2α-β)=tan［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=. 又∵tanα=tan［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等. 变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ①3sinαcosα=sin2β， ②①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cosαcos2β-sinαsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.（四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.（五）作业。

3.2 简单的三角恒等变换问题导学 一、求值问题活动与探究1已知sin α＝－817且π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值．迁移与应用若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．35 B ．45 C ．74 D ．341．解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式或变换所求式．2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．二、三角函数式的化简活动与探究2已知π＜α＜3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α．迁移与应用化简sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α得( )A ．sin 2αB ．cos 2αC ．sin αD ．cos α(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角； ②降幂或升幂．三、三角恒等变换的综合应用活动与探究3已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12．(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等．解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．当堂检测1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2＝( )A ．105B ．－105C ．155D ．－1552．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( )A ．45B ．－43C ．－23D ．43．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－35，则tan α2等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－124．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．5．化简：sin 22x ＋2cos 2x cos 2x ＝________．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．1－cos α2±1－cos α2 1＋cos α2 ±1＋cos α2 1－cos α1＋cos α±1－cos α1＋cos α预习交流1 提示：符号由α2所在象限决定．2．a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α·a a 2＋b 2＋cos α·b a 2＋b 2 sin(α＋φ) a a 2＋b 2 b a 2＋b 2预习交流2 提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角α2成二倍关系，解答本题可根据半角公式求值．解：∵sin α＝－817，π＜α＜32π，∴cos α＝－1517．又π2＜α2＜34π， ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋15172＝41717，cos α2＝－1＋cos α2＝－1－15172＝－1717， tan α2＝sin α2cos α2＝－4． 迁移与应用 D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34． 活动与探究2 思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化简．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0．∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2．迁移与应用 A 解析：4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos 2⎝⎛⎭⎫π4－αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α，原式＝sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α．活动与探究3 思路分析：(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解：(1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4． 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22． (2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35． ∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin 2α＝1825．∴sin 2α＝725．迁移与应用 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π．(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3．于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1．【当堂检测】1．D 解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2．∴sin θ2＜0．由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－1－cos θ2＝－⎝⎛⎭⎫1＋15×12＝－155． 2．B 解析：由f (tan x )＝tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ，知f (x )＝2x1－x 2，∴f (2)＝2×21－22＝－43．3．A 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝1＋cos α2＝55．∴tan α2＝sinα2cos α2＝2．4．－19 解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A 2，sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19． 5．2cos 2x 解析：原式＝4sin 2x cos 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝2cos 2x (2sin 2x ＋cos 2x )＝2cos 2x (2sin 2x ＋1－2sin 2x )＝2cos 2x ．。

3.2 简单的三角恒等变换自主学习知识梳理1．半角公式(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2＝________； (3)T α2：tan α2＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．自主探究1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2.2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.对点讲练知识点一 半角公式的应用例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2的值．回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.知识点二 利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．回顾归纳 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．知识点三 三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2确定)进而研究函数f (x )性质． 如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为( ) A ．－105 B.105C ．－155 D.1553．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4二、填空题6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题9．已知向量a ＝(sin(π2＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32，求角A 的值．10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．§3.2 简单的三角恒等变换答案知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 自主探究1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2② 由①②得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 对点讲练例1 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 又5π4<θ2<3π2. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2.变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213. ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又∵π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ， 解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得y ＝f (x )的单调增区间是 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1.例3 解 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<5π6， 所以当2α＋π6＝π2， 即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 变式训练3 解如图所示，连OC ， 设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12 ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12(m 2)． 课时作业1．C 2.C3．C [由题可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .]4．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.] 5．B [f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12.∴T ＝π.] 6. 3解析 (1)y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y 有最大值 3. 7．－π6解析 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.∴φ＝－π6. 8．π解析 由a ＋1＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝－3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴T ＝π. 9．解 (1)由题意知，f (x )＝sin x cos x ＋32＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)＋32 2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 最小正周期为π，单调增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f (A )＝32，∴sin(2A ＋π3)＝0， 又∵A ∈(0，π)，∴π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π或2π， ∴A ＝π3或5π6. 10．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b ＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵a >0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝4b －a ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.。

简单的三角恒等变换教学设计（第1课时）一、教学内容与学情分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）中第三章的第二节“简单三角恒等变换”（第一课时）．本节课主要研究如何让利用已有的三角函数公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何让选择共识，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

二、教学目标1．知识和技能目标（1）掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点2．过程和方法目标（1）能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力；（3）由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。

3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．三、教学重难点1．教学重点：（1）半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练（2）三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中体会三角变换的特点2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力四、教法选择1．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；2．根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．五、学法指导对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．六、教学过程设计本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．（一）、创设情境，铺垫导入1、复习回顾（1）三角函数的和（差）角公式（2）三角函数的倍角公式2、问题引入问题1：α与2α有什么关系？ 问题2：化简：（1） = _______ （2）1 -= _________（3）= _________（二）合作学习，探索新知例题1.试cos 表示、、教师活动：引导学生联想关于余弦的二倍角公式，将公式中的 替换成 。

3.2 简单的三角恒等变换（1）（学案）一、学习目标1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．二、自主学习1.温故知新两角和与差的正弦()sin αβ±= 两角和与差的余弦()cos αβ±= 两角和与差的正切()tan αβ±=二倍角公式sin 2α=cos 2α= tan 2α=三、合作探究例1. 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.【思路探究】 解答本题先求cos θ，而后确定θ2的范围，最后应用半角公式化简．【自主解答】 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π.∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2. 归纳总结：1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．例2. 求证：x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x1＋cos x.【思路探究】 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变换．【自主解答】 右边＝cos 2x 2－sin 2x 2x 2＋cos x 22－2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝cos x 2－sin x 2sin x 2＋cos x 2－sinx 2cos x 2＝cos 2x 2－sin 2x 2－2sin x 2cosx 2cos x 2x 2＋cosx 2＝x －sin x 2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2＝x －sin x1＋sin x ＋cos x ＝左边．∴原等式成立．归纳总结：1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．四、学以致用1.已知sin θ＝－45，且π<θ<32π，求cos θ2和tan θ2.2.求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan 2α.五、自主小测1．tan 15°＋1tan 15°等于( )A ．2B ．2＋ 3C ．4 D.4332．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝59，那么sin 2θ等于( )A.223 B ．－223 C.23 D ．－235．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π67．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．8．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．参考答案1．C2．A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝－132＋11＋－13＝103.] 3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78∴T ＝2π4＝π2.]4．A [∵sin 4 θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59，∴sin 2 2θ＝89.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝223.]5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．] 6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝23π.] 7．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x .∴T ＝π.8．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－ 2.。

高中数学 3-2简单的三角恒等变换（1）学案【自主学习】仔细阅读课本P140页的例2和P141页的例4，回答以下问题。

1.认真预习课本P140页的例2（1），用到了我们之前学过的哪几个公式？你还有其它证明方法吗？2.观察例2（1）和（2）在结构形式上有何相同点？你能用例2(1)的结论证明（2）吗？试一试。

3.在前面的学习中我们已经学习了函数()ϕ+=wx A y cos 的周期、单调性、最值的方法，回顾一下。

【典型例题】 求证[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅2. 2sin 2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-3.如图，在一块半径为R 的半圆形铁板上截取一个内接矩形ABCD ，使其一边CD 落在圆的直径上，问怎样截取，才可以使矩形ABCD 的面积最大？并求出这个矩形的面积【对应测试】1. 若44ππ≤≤-x ，则x x x f sin cos )(2+=的最小值为（ ） A 212- B 212+- C 1- D 221-2. 证明（1）[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅（2）[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅3.证明（1）2cos 2cos2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ （2）2sin 2sin2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-4.已知sin （βα+）=21，sin （βα-）=31求证：sin αcos β=5cos αsin β求证：tan α=5tan β5.求函数f(x)=sin( 3π+4x)+cos(4x-6π)的最小正周期和递减区间。

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四3.2简单的三角恒等变换1学案【学习目标】1. 掌握三角恒等变换的方法；2. 会利用三角恒等变换解决三角函数问题。

【重点、难点】利用三角恒等变换解决三角函数问题。

自主学习案【知识梳理】1．辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

【预习自测】1．函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值 ，最小值 。

2．函数x x x f 2cos 2sin )(-=的最小正周期是3．要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A.向右平移6π个单位; B.向右平移12π个单位; C.向左平移6π个单位; D.向左平移12π个单位 【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1. 已知函数f(x)=sin(x+π6)+sin(x －π6)+cosx+a 的最大值为1。

（1）求常数a 的值。

（2）求使f(x)≥0成立的x 的取值集合。

变式：已知函数22()cos sin cos 2222x x x x f x =+-，求（1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在区间]2,6[ππ-上的值域。

例2．已知函数f(x)=cos 4x －2sinxcosx －sin 4x（1）求f(x)的最小正周期。

（2）当x ∈[0,π2]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x 的集合。

例3．如图3.2-1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大的面积。

【当堂检测】1．函数x x x x f cos sin sin )(2+=可化为（ ）A 、x x f 2sin 2)(=B 、21)42sin(2)(++=πx x f C 、)42sin(22)(π-=x x f D 、21)42sin(22)(+-=πx x f 2.函数x x x f cos sin )(+=的最小正周期是（ ） ππππ224D C B A3. 函数)sin (cos cos x x x y +=的最大值为 。

3．2 简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式． [难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一 降幂公式与半角公式[填一填][答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？ 提示：符号由α2所在象限决定．2．已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝－255，cos θ2＝－55，tan θ2＝2.解析：∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35， ∵5π4<θ2<3π2， ∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55.tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2(或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝451－35＝2)．知识点二 常见的三角恒等变换[填一填]1．a sin α＋b cos α ＝a 2＋b 2(sin α·a a 2＋b 2＋cos α·ba 2＋b2) ＝a 2＋b 2sin(α＋φ)．(其中令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2)2．sin 2α＝1－cos2α2，cos 2α＝1＋cos2α2，sin αcos α＝12sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的φ值？提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在的象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．4．填空：(1)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. (2)3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6. (3)sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3.类型一 半角公式的应用[例1] (1)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B ．1－a 2 C ．－1＋a 2D ．－1－a 2(2)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.[解析] (1)由题知，5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则54π<θ4<32π，则sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.故选D.(2)∵sin(π－α)＝－53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴sin α＝－53，cos α＝－23，又∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.[★★答案★★](1)D(2)－66已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.[变式训练1]已知α∈(－π2，0)，cosα＝45，则tanα2＝(D) A．3B．－3C.13D．－13解析：因为α∈(－π2，0)，且cosα＝45，所以α2∈(－π4，0)，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13，故选D.类型二三角恒等式的化简与证明[例2]已知π<α<3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sinα2＋cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2＋⎝⎛⎭⎪⎫sinα2－cosα222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinα2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. [变式训练2] 化简sin4α4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得( A )A ．sin2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α解析：∵4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α. 类型三 三角恒等变换的应用命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合[例3] 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析] 由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．[★★答案★★] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z )讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则函数的值域为[－1,1]，对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z )．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x －32cos x －12sin x＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3则函数f (x )的值域是[－1,1]．令x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝56π＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝56π＋k π(k ∈Z)． 命题视角2：三角恒等变换与平面向量的结合[例4] 在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R .(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标； (2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．[解] (1)由题意得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62. (2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4.因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. 所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值， |AB →|2＝2－2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型，这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．[变式训练4] 已知A ，B ，C 是△ABC 三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m·n ＝1，则角A ＝( D )A.π2B.π6C.π4D.π3 解析：∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1，∴2⎝⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.命题视角3：三角恒等变换的实际应用[例5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[分析] 在△AOB 中利用∠AOB 表示OA ，AB 的长→ 表示矩形面积：2OA ·AB →得到面积与角间的函数关系→ 通过求函数的最值得到面积的最值 [解]画图如图所示，设∠AOB ＝θ(θ∈(0，π2))，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，即S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.∵θ∈(0，π2)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时，A ，D 距离O 点都为22a .解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.[变式训练5] 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解：如图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( D ) A ．－105 B.105 C ．－155 D ．155 解析：∵π2<α<π，∴π4<α2<π2， ∵cos α＝－15，∴sin α2＝1－cos α2＝155.2．下列各式中，值为12的是( B ) A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230° D ．1＋cos60°2解析：A 中，原式＝12sin30°＝14； B 中，原式＝cos π3＝12；C 中，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32； D 中，原式＝cos30°＝32，故选B.3．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12. 4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝179.解析：∵(cos α＋sin α)2＝19，∴sin αcos α＝－49， 而sin α>0，∴cos α<0.∴cos α－sin α＝－(cos α＋sin α)2－4sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－13×⎝⎛⎭⎪⎫－173＝179. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明：∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tanα21＋tan2α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tanα2＋11＋tan2α2＋2tanα2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋122tanα2＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边．∴等式成立．——本课须掌握的三大问题1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba(或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．3．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法． 本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间． 分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x =+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋（Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍板书设计：教学后记:。

3．2 简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：Cos(α+β)= Cos(α-β)=sin(α+β)= sin(α-β)=tan(α+β)= tan(α-β)=sin2α= tan2α=cos2α=2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2）请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．三、反思、总结、归纳：sin α/2= cos α/2= tan α/2=sin αcos β= cos αsin β=cos αcos β= sin αsin β=sin θ+sin φ= sin θ-sin φ=cos θ+cos φ= cos θ-cos φ=四、当堂检测：课本p143 习题3.2 A 组1、（3）（7）2、（1）B 组2课后练习与提高一、选择题：1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32 B ．－31 C ．31 D ．322．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2B ．－3πC ．3πD ．3π2二、填空题4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．5．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题6．已知f （x ）=－21+2sin 225sin xx ，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；（2）求f （x ）的最小值．课后练习参考答案：一、选择题：1．C 2． B 3． D二、填空题：4．41 5．－97 三、解答题6．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sin x x x x x x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x －1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89．。