新沪科版七年级第1章有理数专题汇编【举一反三系列】

沪科版七年级上册数学第1章有理数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（）A.204×10 3B.20.4×10 4C.2.04×10 5D.2.04×10 62、a、b为有理数，且a＞0，b＜0，｜b｜＞a，则a、b、－a、－b的大小顺序是（）A.b＜－a＜a＜－bB.–a＜b＜a＜－bC.–b＜a＜－a＜b D.–a＜a＜－b＜b3、若M=4x2-5x+11，N=3x2-5x+10，则M和N的大小关系是（）A.M＞NB.M=NC.M＜ND.无法确定4、下列各数中，最小的数为（）A.﹣3B.﹣2C.0D.25、下列计算不正确的是（）A.﹣8+8=16B.﹣8﹣（﹣8）=0C.8﹣（﹣8）=16D.8+8=166、用加法运算律转化式子（－9）+8.75+（－1）正确的是（）．A.（－9）＋（－8.75）＋1B.（－9）＋（－1）＋（－8.75）C.（－9）＋（－1）＋8.75D.（－8.75）＋(9＋1)7、如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为，，，则下列结论中，正确的有（）① ② ③ ④A.1个B.2个C.3个D.4个8、计算1÷（－1）+0÷（－4）×（－1）+1的结果是（）A.-1B.-4C.0D.-69、若|x+3|+（y﹣2）2=0，则x+y的值是（）A.-1B.-5C.5D.110、在|﹣2|，﹣|0|，（﹣2）5，﹣|﹣2|，﹣（﹣2）这5个数中负数共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、下列说法正确的有（）①0是绝对值最小的有理数；②－a是负数；③任一个有理数的绝对值都是正数；④数轴上原点两侧的数互为相反数.A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b和2，AB=BC，若|a|＞2，|b|＜2，那么原点的位置应该在（）A.点A在左边B.点B和点C之间且靠近点CC.点B和点C之间且靠近点BD.点C的右边13、若|3m-5|+(n+3)2=0，则6m-(n+2)=（）A.6B.9C.0D.1114、若|a|=8，|b|=5，且a+b>0，那么a-b的值是（）A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-1315、下列数轴的画法正确的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、下列说法正确的有________(填序号)①倒数等于它本身的数只有；②0既不是正数，又不是负数；③正数和负数统称有理数；④相反数等于它本身的数是不存在的；⑤互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；⑥数轴上的点只能表示有理数；⑦若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数.17、－3的绝对值是________．18、如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是________．19、已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+|a-1|=________。

可编辑修改精选全文完整版2019年沪科版7（上）有理数——数轴、相反数、绝对值【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．要点二、有理数的分类（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】1．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数．2．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】1.数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为2.（1）如果a ＝－13，那么－a ＝______；(2) 如果 －a ＝－5.4，那么a ＝______；(3) 如果－x ＝－6，那么x ＝______；(4) －x ＝9，那么x ＝______.3. －4的倒数的相反数是（ ）A ．－4B ．4C ．－D ． 4.填空：(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 155-是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数；（6）a 和 互为相反数.（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．5. 已知21m -与172m -互为相反数，求m 的值.6．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较41411.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|2．若|a ﹣1|=1﹣a ，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a ≤1C. a ＜1D. a ＞13. 若a ＞3，则|6﹣2a|= （用含a 的代数式表示）．4. 如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．5.化简||||x x x +的结果是 . 6. 比大小：（1） －0.3 31- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--．7. 若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．8. 已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.9. 已知|a －2|＋|b －3|＝0，求a －b 的值.10. 已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【练习】1、下列说法中，错误的个数有（ ）.①绝对值是它本身的数有两个：0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的相反数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、在－(－2.5)，3，0，－5，－0.25，中正整数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在数轴上表示－2的点离开原点的距离等于( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．44、有理数a 在数轴上的位置如图所示：化简1+a 的结果是（ ）12-A 、b a +B 、1+-aC 、1-aD 、1--a5、若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a |＞|b |C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b |6、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，则x 2＋5(a ＋b )－8c d ＝______. 7、若实数a ，b 满足|3a －1|＋(b －2)2＝0，则a b ＝______.8、（1）当x ＝______时，|x －3|＋1有最小值为_______；（2）当x ＝______时，2－|x －1|有最大值为________.9、已知|a|＝4，|b|＝2，且ab ＜0，则a ＋b ＝_________.10、若|m －n|＝n －m ，且|m|＝4，|n|＝3，则m ＋n ＝_________.11、若x =8-，则=x ；若8-=-x ，则x = .12、若a a -=-，则=a .13、13=-x ，则=x .14、如果a ＜0，b ＞0且|a|＜|b|，则a ＋b 0.15、已知|x ＋2|＋(2y －3)²＝0，求x ＋2y 的值.【思考题】求的最小值．。

本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回顾和总结,熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法,反思有理数的概念和有理数的运算,培养学生应用数学知识的意识,训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习,渗透数形结合的思想、辩证唯物主义思想,使学生学会如何归纳知识,反思自己的学习过程.【教学重点】回顾本章知识,构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、释疑解惑,加深理解1.理解基本概念要注意的一些问题：（1）对于正数与负数,不能简单地理解为：带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数,因为字母a代表任何一个有理数,当a是0时,-a是0,当a是负数时,-a是正数;引入负数后,数的范围扩大为有理数,除π和与π有关的数外,其他的数都是有理数.（2）数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.故而可以用数轴来比较数的大小.（3）求相反数的方法：直接在数字前加负号;如果是式子,先把整个式子括起来,再在括号前加负号;在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等.0的相反数是0.（4）正数的绝对值是它本身;如果a＞0,那么｜a｜=a;一个负数的绝对值是它的相反数;如果a＜0,那么｜a｜=-a;0的绝对值是0,如果a=0,那么｜a｜=0.2.有理数的运算的说明：（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算.（2）进行有理数的混合运算时,应注意：一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算;二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法,在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体,画出数轴、观察数轴,从中进行体验,有助于解决问题.三、典例精析,复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发,先向右移动2个单位,再向左移动5个单位,这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位,求田螺表示的数.【分析】先画出数轴,如图所示：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位,此时蜗牛表示的数为2,第二次向左移动5个单位,这时蜗牛表示的数为-3,又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位,根据距离的概念和绝对值的知识,田螺在数轴上位置在点P或P1,即表示的数是-4.5或-1.5.【答案】-4.5或-1.5例2若数a在数轴上的对应点如图所示,请化简｜a+1｜和｜a-1｜.【分析】对于绝对值的化简,分析出a+1,a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原点右侧,所以a为正数.所以a+1为正数,即｜a+1｜=a+1.因为a的对应点在0和1之间,所以a为小于1的正数.所以a-1＜0.解：因为a＞0,所以a+1＞0.所以｜a+1｜=a+1.因为0＜a＜1,所以a-1＜0.所以｜a-1｜=-（a-1）=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时,一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题,恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级（1）班第一组学生的体重.以体重50kg为标准（超出部分为正,不足部分为负）：求：（1）这组同学中,哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？（2）这组同学的平均体重是多少？【分析】（1）求哪个同学的身体最重,即求哪个同学的体重超出50kg的最多;（2）超出50kg部分的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：（1）因为-6＜-4＜1＜3＜5＜7所以小天同学的身体最重,小丽同学的身体最轻.（2）这组同学的平均体重为：50+［（-6）+(-4)+1+3+5+7］÷6=50+6÷6=51(kg)【分析】一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁琐,但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1,且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数,每一个分母中因数之差等于分子,故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在,这5个例题层次递进,对本章重要知识点进行有效复习和巩固,强化学生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练,巩固提高1.在数轴上的点A、B位置如图所示,则线段AB的长度为（）A.-3B.5C.6D.73.（1）12的绝对值是_______,绝对值是12的是_______,绝对值等于它本身的数是_______.（2）绝对值小于3的整数有_______个;绝对值不大于3的整数有_______个,分别是______________________.4.粮库3天内进出库的吨数如下:（“+”表示进库,“-”表示出库）+26、-32、-15、+34、-38、-20.（1）经过这3天,库里的粮食是增多还是减少了.（2）经过这3天,仓库管理员结算发现库里还存480吨粮,那么3天前库里存粮多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元,那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如图所示形式,它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm,要在模型表面涂油漆,如果除去部分不涂外,该油漆的成本为5元/cm2,求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共同回顾本章主要知识点,教师适时予以评讲,阐明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题,可根据需要适当增减.【答案】1.D 2.C3.（2）57-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+（-32）+（-15）+34+（-38）+（-20）=-45答：经过这3天,库里的粮食是减少了45吨.（2）480-（-45）=525答：3天前库里存粮525吨.（3）（26+32+15+34+38+20）×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×4＋（42-22）＝64＋12＝76（cm2）棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×4＋（22-12）＝16＋3＝19（cm2）棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×5＝5（cm2）所以,总涂漆的面积为:76＋19＋5＝100（cm2）总费用为5×100＝500（元）答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动,课堂小结本堂课你能系统地回顾本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比较数的大小吗？你能熟练地进行有理数的混合运算吗？【教学说明】教师引导学生回顾本章知识,尽可能让学生自主交流与反思,对于学生的困惑与疑问,教师应予以补充和点评.1.布置作业:从教材第52页“复习题”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节复习是首先通过知识框图整体把握,引导学生对本章知识点进行梳理,构建本章知识体系,通过典型例题探究加深学生对主要思想方法的理解,掌握常用解题方法.在教学中,关注学生是否认真思考,相互交流与合作,以及学生对问题的理解情况,使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系.通过典型例题强化有理数的运算,训练学生的计算能力和分析解决问题的能力,从而提高他们应用数学的意识.。

沪科版七年级上册数学第1章有理数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组数中，互为相反数的一组是（）A.-（-5）和|−5|B.-|5| 和-5C.(−5) 和−5D.(−5) 和−52、若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（）A.一定是负数B.一定不是负数C.一定是正数D.N的取值与x、y的取值有关3、我县某天的最高气温为5℃，最低气温为零下2℃，则计算温差列式正确是（）A.（+5）﹣（+2）B.（+5）+（﹣2）C.（+5）+（+2）D.（+5）﹣（﹣2）4、武汉某体育场面积达258000平方米，数据258000用科学记数法表示应为（）A.25.8×10 4B.2.58×10 5C.25.8×10 5D.2.58×10 65、一个数的相反数大于它本身，这个数是（）A.正数B.负数C.0D.非负数6、若数轴上，点A表示－1，AB距离是3，点C与点B互为相反数，则点C表示（）A. B. C.-4或2 D.4或-27、如果+ =0，那么的值为 ( )A.1B.-1C.7D.78、有2020个有理数相乘，如果积为，那么这2020个数中（）A.全部为B.只有一个为C.至少有一个为D.有两个数互为相反数9、下列说法错误的是( ).A.如果，那么B.如果是正数，那么是负数 C.如果是大于1的数，那么是小于－1的数 D.一个数的相反数不是正数就是负数10、下列等式成立的是（）.A. +B.－a－a=0C.D.－a－=011、把235 000 000这个数用科学记数法表示得（）A.2.35×10 9B.2.35×10 8C.2.35×10 7D.2.35×10 612、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )A.﹣2a+bB.2a﹣bC.﹣bD.b13、在3.14，，，0，0.12个数中，是有理数的几个（）A.2B.3C.4D.514、已知下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若、互为相反数，、互为倒数，则= ________。

上海市七年级第一学期数学专题01 有理数章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 有理数与数轴上点的对应关系】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．【例1】（2019秋•通州区期末）点A，B，C和原点O在数轴上，点A，B，C对应的有理数为a，b，c．若a b c++<，那么以下符合题意的是()+>，0a bab<，0A．B．C．D．【分析】根据有理数的乘法法则、加法法则由ab＜0，a+b＞0，a+b+c＜0可知c＜0，b＜0＜a，|a|＞|b|或c＜0，a＜0＜b，|a|＜|b|，再观察数轴即可求解．【答案】解：∵ab＜0，a+b＞0，a+b+c＜0，∴c＜0，b＜0＜a，|a|＞|b|或c＜0，a＜0＜b，|a|＜|b|，观察数轴可知符合题意的是．故选：B．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．【变式1-1】（2018秋•南平期末）点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P表示的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果0bc<，0>，那么表示数c的点为(+>，ab acb c)A．点M B．点N C．点P D．点O【分析】bc＜0，说明b，c异号；b+c＞0说明正数绝对值大于负数绝对值，故P对应正数，M对应负数，N对应数a．【答案】解：∵bc＜0，∴b，c异号；∵b+c＞0，所以M表示b，c中的负数，P表示其中的正数，所以M表示数c．故选：A．【点睛】本题借助数轴考查有理数的四则运算．根据乘法和加法法则确定字母符号是解答的关键．【变式1-2】（2018秋•江干区期末）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1)cm，刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.4cm”对应数轴上的数为()A．5.4 B． 2.4--D． 1.6-C． 2.6【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．【答案】解：刻度尺上5.4cm对应数轴上的点距离数轴上原点（刻度尺上表示3的点）的距离为2.4，且该点在原点的左侧，故刻度尺上“5.4cm”对应数轴上的数为﹣2.4，故选：B．【点睛】本题主要考查数轴，解决此题的关键是掌握数轴上点的表示方法是关键．【变式1-3】（2019•枣庄校级期中）点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =． 若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．(1)a -+B ．(1)a --C ．1a +D ．1a -【分析】根据题意和数轴可以用含a 的式子表示出点B 表示的数，本题得以解决．【答案】解：∵O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ，点C 所表示的数为a ，∴点A 表示的数为a ﹣1，∴点B 表示的数为：﹣（a ﹣1），故选：B ．【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点2 有理数大小比较】【方法点拨】（1）有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴 上右边点表示的数总比左边点表示的数大.【例2】若0a >，0b <且||a b <，则下列关系式中正确的是( )A ．b a a b ->>->B ．b a b a >>->-C ．b a b a ->>>-D ．a b a b >>->- 【分析】根据题意，运用取特殊值的方法，比较其大小．【答案】解：已知a ＞0，b ＜0，a ＜|b |．所以取a ＝1，b ＝﹣2，则﹣a ＝﹣1，﹣b ＝2．因为2＞1＞﹣1＞﹣2，所以﹣b ＞a ＞﹣a ＞﹣b ．故选：A ．【点睛】本题也可以结合数轴比较有理数的大小，注意培养数形结合的数学思想．【变式2-1】（2018秋•中山市期末）已知数a 在数轴上的位置如图所示，则a 、a -、1a 、1a -大小关系正确 的是( )A ．11a a a a -<-<<B ．11a a a a <<-<-C ．11a a a a -<-<<D ．11a a a a<<-<- 【分析】根据图示，可得：﹣1＜a ＜0，据此判定出a 、﹣a 、、﹣大小关系即可．【答案】解：∵﹣1＜a ＜0，∴＜﹣1，0＜﹣a ＜1，﹣＞1， ∴＜a．故选：D ．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．【变式2-2】（2018秋•靖远县期末）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，在a -，b a -，a b +，0中， 最大的是( )A ．a -B ．0C ．a b +D ．b a - 【分析】根据数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，可得a 、b 的大小，根据有理数的运算，可得答案．【答案】解：由数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴0＜﹣a ＜1，b ﹣a ＞2，a +b ＞1，∴0＜﹣a ＜a +b ＜b ﹣a ，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴，利用数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，得出a 、b 的大小是解题关键．【变式2-3】（2018秋•靖江市校级月考）若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[4.3]4=，若[1]m π=+，[ 2.1]n =-，则在此规定下9[]4m n +的值为( ) A ．0 B ．1- C ．2- D ．3-【分析】先根据[a ]的规定求出m ，n ，代入计算求出m +，再根据[a ]的规定解答． 【答案】解：∵m ＝[π+1]＝4，n ＝[﹣2.1]＝﹣3，∴m +＝4+×（﹣3）＝4﹣6.75＝﹣2.75， ∴[m +]＝﹣3．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，新定义，读懂题目信息并理解规定是解题的关键．【考点3 利用数轴判断有理数运算结果的符号】【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【例3】（2018秋•盐田区校级期中）数a ，b 对应的点如图所示，给出结论：①0a b +<；②0a b -<； ③0ab >；④22a b >，其中正确的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据数轴确定a ，b 的符号，绝对值的大小，根据有理数的加法法则，减法法则，乘法法则，乘方法则计算，判断即可．【答案】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，|a |＞|b |，则a +b ＜0，①正确；a ﹣b ＜0，②正确；ab ＜0，③错误；a 2＞b 2，④正确；故选：C ．【点睛】本题考查的是实数与数轴，掌握数轴的概念，有理数的混合运算法则是解题的关键．【变式3-1】（2018秋•硚口区月考）有理数m 、n 在数轴上的位置如图所示， 下列结论：①0m n +<；②0n m ->；③11m n>；④20m n ->，其中正确的个数是( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【分析】根据数轴得出m ＜0＜n ，|m |＜|n |，再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可．【答案】解：由数轴知m ＜0＜n ，|m |＜|n |，∴①m +n ＜0，②n ﹣m ＜0，③＞，④2m ﹣n ＞0，共有3个正确的．故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减、乘除法则，数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．【变式3-2】（2018秋•黄陂区月考）如图，A 、B 、C 三点在数轴上所表示的数分别为a 、b 、c ，根据图中各点位置，下列各式正确的是( )A ．(1)(1)0a b -->B ．(1)(1)0c b -->C ．(1)(1)0a b ++<D ．(1)(1)0c b ++<【分析】根据数轴得出c ＜﹣1＜0＜a ＜1＜b ，求出a ﹣1＜0，b ﹣1＞0，c ﹣1＜0，a +1＞0，b +1＞0，c +1＜0，再根据有理数的运算法则判断即可．【答案】解：∵从数轴可知：c ＜﹣1＜0＜a ＜1＜b ，∴a ﹣1＜0，b ﹣1＞0，c ﹣1＜0，a +1＞0，b +1＞0，c +1＜0，∴（a ﹣1）（b ﹣1）＜0，（c ﹣1）（b ﹣1）＜0，（a +1）（b +1）＞0，（c +1）（b +1）＜0，∴只有选项D 正确；选项A 、B 、C 都错误，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的运算法则，能根据数轴得出c ＜﹣1＜0＜a ＜1＜b 是解此题的关键．【变式3-3】有理数a 、b 在数轴上分别对应的点为M 、N ，则下列式子结果为负数的个数是( )①a b +；②a b -；③a b -+；④a b --；⑤ab ；⑥a b ；⑦a b ab +；⑧33a b ；⑨33b a -． A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【分析】根据数轴上点的位置得出a ，b 的范围，即可做出判断．【答案】解：根据题意得：a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，则①a +b ＜0，是负数；②a ﹣b ＜0，是负数；③﹣a +b ＞0，是正数；④﹣a ﹣b ＞0，是正数；⑤ab ＜0，是负数；⑥＜0，是负数；⑦＞0，是正数；⑧a 3b 3＜0，是负数；⑨b 3﹣a 3＞0，是正数．则结果为负数的个数是5个．故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．【考点4 绝对值与偶次乘方的非负性】【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．【例4】（2019春•密山市期末）如果ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足关系式2(260)|18||30|0a b b c +-+-+-=，则ABC ∆的周长是 ．【分析】首先根据非负数的性质即可列出方程组求得a ，b ，c 的值，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断．【答案】解：根据题意得：解得：△ABC 的周长是：24+18+30＝72．故答案是：72．【点睛】本题考查了非负数的性质以及勾股定理的逆定理，能够正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．【变式4-1】（2018秋•太湖县期末）已知|4|a +和2(3)b -互为相反数，那么3a b +等于 ．【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分析得出答案．【答案】解：∵|a +4|和（b ﹣3）2互为相反数，∴a +4＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝﹣4，b ＝3，∴a +3b ＝﹣4+9＝5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【变式4-2】（2019•沙坪坝区校级模拟）已知2|1|(2019)a b +=--，则b a = ．【分析】对原式进行移项，可得|a +1|+（b ﹣2019）2＝0根据绝对值、偶次方的非负性，求出a ．、b 的值，即解【答案】解：原式移项，|a +1|+（b ﹣2019）2＝0，得a +1＝0，b ﹣2019＝0，解得a ＝﹣1，b ＝2019∴a b ＝（﹣1）2019＝﹣1故答案为﹣1【点睛】此题主要考查绝对值、偶次方的非负性性质，解题的关键，两非负数之和为零，那各项均为零．【变式4-3】||5x -+有最 值是 ，此时x 是 ；212(1)3x --有最 值是 ，此时x 是 ．【分析】根据|a |≥0、a 2≥0进行解答即可．【答案】解：﹣|x |+5有最大值是5，此时x 是0；2（x ﹣1）2﹣有最小值是﹣，此时x 是1，故答案为：大；5；0；小；﹣；1．【点睛】本题考查的是偶次方和绝对值的非负性，掌握|a |≥0、a 2≥0是解题的关键．【考点5 新定义运算】【方法点拨】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规 的有理数混合运算算式进行计算.【例5】（2019秋•仙桃校级期中）定义新运算“⊕”如下，当a b …时，a b ab a =+⊕，当a b <时，a b ab a =-⊕；则32()()43--⊕的值为 ． 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【答案】解：由﹣＜﹣，利用题中的新定义得：（﹣）⊕（﹣）＝+＝，故答案为：．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-1】如果对于有理数a ，b 定义运算※如下：a ※(0)ab b a b a b =+≠+，则(2)-※[(1)-※1()]2-= ． 【分析】根据题中所给出的新运算法则，把对应的数值代入对应的式子计算即可．注意：先算出括号内的数值后再计算括号外的数．【答案】解：∵a ※b ＝（a +b ≠0），∴（﹣2）※[（﹣1）※（﹣）]＝（﹣2）※＝（﹣2）※（﹣3） ＝＝﹣． 故答案为：﹣．【点睛】考查了有理数的混合运算，对于新定义运算的题型关键是要准确的找到运算符号对应的代数式，准确的把数值代入对应的位置．对于有括号的代数式一定要根据运算顺序先算括号内的数．【变式5-2】（2019•福田区三模）对于m ，()n n m …我们定义运算(1)(2)(3)((1))m n A n n n n n m =---⋯--，37765210A =⨯⨯=，请你计算24A = ．【分析】将n ＝4，m ＝2代入公式求解可得．【答案】解：A 42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．【变式5-3】（2018秋•翠屏区期中）定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取26n =，第三次“F 运算”的结果是11．则：若449n =，则第449次“F 运算”的结果是 ．【分析】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【答案】解：本题提供的“F 运算”，需要对正整数n 分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n ＝449为奇数应先进行F ①运算，即3×449+5＝1352（偶数），需再进行F ②运算，即1352÷23＝169（奇数），再进行F ①运算，得到3×169+5＝512（偶数），再进行F ②运算，即512÷29＝1（奇数），再进行F ①运算，得到3×1+5＝8（偶数），再进行F ②运算，即8÷23＝1，再进行F ①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F 运算”，得到的结果为8．故答案为：8．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．【考点6 有理数的混合运算】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减， 有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.【例6】（2018秋•松桃县期末）计算．（1）2213()(8)(2)9-⨯-+-÷- （2）235()(12)346--⨯- 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加法；（2）根据乘法分配律简便计算．【答案】解：（1）﹣32×（﹣）+（﹣8）÷（﹣2）2＝﹣9×（﹣）+（﹣8）÷4＝1﹣2＝﹣1；（2）（）×（﹣12）＝×（﹣12）﹣×（﹣12）﹣×（﹣12）＝﹣8+9+10＝11．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式6-1】（2018秋•南关区校级期末）计算： （1）5723()(48)6824+-⨯-（2）3231(5)()32(2)(1)54-⨯-+÷-⨯-【分析】（1）根据乘法分配律简便计算；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【答案】解：（1）（+﹣）×（﹣48）＝×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）＝﹣40﹣42+46 ＝﹣36；（2）（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×＝（﹣125）×（﹣）+32÷4×＝75+8×＝75﹣10 ＝65．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【变式6-2】（2018秋•雁塔区校级期末）计算： （1）328(3)(2)24(2)--⨯--÷-； （2）35132(1)()138--⨯-⨯-【分析】（1）根据有理数的乘除法和减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘法和减法可以解答本题．【答案】解：（1）8﹣（﹣3）×（﹣2）3﹣24÷（﹣2）2 ＝8﹣（﹣3）×（﹣8）﹣24÷4 ＝8﹣24﹣6＝﹣22； （2）﹣3﹣23×（﹣1）×（﹣） ＝﹣3﹣8×（﹣）×（﹣）＝﹣3﹣＝﹣． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式6-3】（2018秋•蔡甸区期末）计算： （1）322121[2(1)]3()(1)233⨯-+-÷-÷-（2）3229213()42()433-÷⨯-+-⨯-【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【答案】解：（1）原式＝×（﹣2﹣1）÷9﹣×（﹣） ＝×（﹣3）×+ ＝﹣+ ＝；（2）原式＝﹣27××+4﹣4×（﹣） ＝﹣+4+＝﹣4+4 ＝0．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【考点7 有理数混合运算的实际应用】【例7】（2018秋•静宁县期末）下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．星期一二三四五六（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．本周水位最高的为周五，周一：+0.2，周二：+0.2+0.8＝+1，周三：+1﹣0.4＝+0.6，周四：+0.6+0.2＝+0.8，周五：+0.8+0.3＝1.1m，故本周五水位最高高于警戒水位1.1m；（2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m，故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m．【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．【变式7-1】（2018秋•槐荫区期中）上海世博会第一天(5月1日）的进园人数为20.3万人，以后的6天里每天的进园数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，（单位：万人）①5月2日的进园人数是多少？②5月1日5-月7日这7天内的进园人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少？③求出这7天进园的总人数．【分析】①根据5月1日游客的人数，利用表格即可得出5月2日的人数；②根据5月1日游客的人数，利用表格即可得出每天的人数，即可做出判断；③求出7天的人数和即可．【答案】解：①根据题意得：20.3+1.2＝21.5（万人），则5月2日进园人数为21.5万人；②根据题意得：7天的人数分别为：20.3，21.5，13.1，14.5，8.2，10.9，14.8， 则5月2日人数最多，5日人数最少，相差21.5﹣8.2＝13.3（万人）； ③根据 题意得：20.3+21.5+13.1+14.5+8.2+10.9+14.8＝103.3（万人）， 则这7天进园总人数为103.3万人．【点睛】此题考查了有理数加减混合运算的应用，以及有理数的大小比较，弄清题意是解本题的关键． 【变式7-2】（2018秋•沂水县期中）甲、乙两商场上半年经营情况如下( “+”表示盈利，“-”表示亏本，以百万为单位）月份 一 二 三 四 五 六 甲商场 0.8+ 0.6+ 0.4- 0.1- 0.1+ 0.2+ 乙商场1.3+1.5+0.6-0.1-0.4+0.1-（1）三月份乙商场比甲商场多亏损多少元？ （2）六月份甲商场比乙商场多盈利多少元？（3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利或亏损多少元？ 【分析】（1）找出三月份甲乙两商场的收益，相减即可得到结果； （2）找出六月份甲乙两商场的收益，相减即可得到结果； （3）求出甲乙两商场平均每月的收益，即可得到结果．【答案】解：（1）根据题意得：﹣0.6﹣（﹣0.4）＝﹣0.6+0.4＝﹣0.2（百万元）， 则三月份乙商场比甲商场多亏损0.2百万元；（2）根据题意得：0.2﹣（﹣0.1）＝0.2+0.1＝0.3（百万元）， 则六月份甲商场比乙商场多盈利0.3百万元；（3）根据题意得：×（0.8+0.6﹣0.4﹣0.1+0.1+0.2）＝0.2（百万元）； ×（1.3+1.5﹣0.6﹣0.1+0.4﹣0.1）＝0.4（百万元），则甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利0.2百万元、0.4百万元．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，以及正数与负数，弄清题意是解本题的关键．【变式7-3】（2019秋•来宾期末）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值（单位：克） 6- 2- 0 1 3 4袋数1 4 3 4 5 3（1）若标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？ （2）若该种食品的合格标准为4505g ±，求该食品的抽样检测的合格率．【分析】（1）总质量＝标准质量×抽取的袋数+超过（或短缺的）质量，把相关数值代入计算即可； （2）找到所给数值中，绝对值小于或等于5的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【答案】解：（1）总质量为＝450×20+（﹣6）+（﹣2）×4+1×4+3×5+4×3 ＝9000﹣6﹣8+4+15+12 ＝9017（克）； （2）合格的有19袋， ∴食品的合格率为＝95%．【点睛】考查有理数的相关计算；掌握正数与负数相对于基数的意义是解决本题的关键；根据绝对值的意义得到合格产品的数量是解决本题的易错点． 【考点8 有理数的化简求值】【例8】（2019春•白塔区校级月考）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 是绝对值等于3，求22018()()m cd a b m cd +++⨯+的值．【分析】利用倒数，相反数的性质，以及绝对值的代数意义求出a +b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可求出值．【答案】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值等于3， ∴a +b ＝0，cd ＝1，|m |＝3，当m ＝﹣3时，m 2+（cd +a +b ）×m +（cd ）2018＝（﹣3）2+（1+0）×（﹣3）+12018＝9+1×（﹣3）+1＝9+（﹣3）+1＝7；当m ＝3时，∴m 2+（cd +a +b ）×m +（cd ）2018＝13【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2018秋•广陵区校级期中）若有理数x ，y 满足||2y =，264x =，且||x y x y -=-，求x y +的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分析得出答案．【答案】解：∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y≥0，∵|y|＝2，x2＝64，∴y＝±2，x＝±8，∴当x＝8时，y＝±2，x＝﹣8时，不合题意，故x+y＝10或6．【点睛】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确分类讨论是解题关键．【变式8-2】（2019秋•天津月考）已知三个非零的有理数a、b、c，记||||||a b ca b c++的最大值为x，最小值为y，求(4)x y÷-的值．【分析】根据绝对值的意义得到＝1或﹣1，＝1或﹣1，＝1或﹣1，然后分类讨论：当a、b、c都是正数；当a、b、c只有两个正数；当a、b、c只有一个正数；当a、b、c都是负数．【答案】解：∵a、b、c是三个非零有理数，∴＝1＝1或﹣1，═1或﹣1，＝1或﹣1，当a、b、c都是正数，原式＝1+1+1＝3；当a、b、c只有两个正数，原式＝1+1﹣1＝1；当a、b、c只有一个正数，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；当a、b、c都是负数，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．∴x＝3，y＝﹣3，∴x÷（﹣4y）＝3÷12＝．【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了分类讨论思想的运用．【变式8-3】（2019秋•河北月考）三个有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，其中数a，b互为相反数，试求解以下问题：（1）判断a，b，c的正负性；（2）化简：||2||a b a b-++．【分析】（1）根据数轴可以判断a，b，c的正负，本题得以解决；（2）根据数轴可以将绝对值符号去掉，从而可以解答本题． 【答案】解；（1）由题意和数轴可得， a ＜c ＜0＜b ，即a 是负数，c 是负数，b 是正数； （2）∵a ＜c ＜0＜b ， ∴|a ﹣b |+2a +|b | ＝b ﹣a +2a +b ＝2b +a ＝b +（b +a ） ＝b +0 ＝b ．【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【考点9 有理数乘方的意义】【例9】（2018秋•奉化区期中）阅读下列各式：222()a b a b ⨯=⨯，333()a b a b ⨯=⨯，444555()()a b a b a b a b ⨯=⨯⨯=⨯⋯⋯回答下列三个问题：（1）猜想：()na b ⨯= ．（2）请用我们学过的知识说明上式成立的理由． （3）请计算：201920182017(0.125)24-⨯⨯【分析】（1）根据材料中的各数的值找出规律即可解答； （2）利用同底数幂的乘法定义进行证明；（3）根据（2）中的规律计算出所求代数式的值即可． 【答案】解：（1）猜想：（a ×b ）n ＝a n ×b n ． 故答案是：a n ×b n ． （2）理由：（3）【点睛】本题考查的是有理数乘方的法则，解答此题的关键是根据材料中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答．【变式9-1】（2019•柳州模拟）阅读材料，求值：2342015+++++⋯+．122222解：设2342015S=+++++⋯+，将等式两边同时乘以2得：122222234201520162222222S=++++⋯++将下式减去上式得2016S S-=-221即23420152016S=+++++⋯+=-12222221请你仿照此法计算：（1）2310++++⋯+12222（2）234133333n+++++⋯+（其中n为正整数）【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+210的值；（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+32+33+34+…+3n的值．【答案】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+211将下式减去上式，得2S﹣S＝211﹣1即S ＝1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1； （2）设S ＝1+3+32+33+34+…+3n ， 将等式两边同时乘以3，得 3S ＝3+32+33+34+…+3n +1， 将下式减去上式，得 3S ﹣S ＝3n +1﹣1 即2S ＝3n +1﹣1得S ＝1+3+32+33+34+…+3n ＝．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．【变式9-2】（2018秋•高新区期中）阅读理解：根据乘方的意义，可得：23522(22)(222)2⨯=⨯⨯⨯⨯=．请你试一试，完成以下题目：①34()()a a a a a a a a a ==g g g gg g g ； ②归纳、概括：m n a a =g ；③如果4m x =，9n x =，运用以上的结论，计算：m n x += ． 【分析】①直接利用已知计算得出答案； ②利用①中所求进而得出答案；③利用②中所求，将原式变形进而得出答案． 【答案】解：①a 3•a 4＝（a •a •a ）•（a •a •a •a ）＝a 7； ②归纳、概括：a m •a n ＝a m +n ；③如果x m ＝4，x n ＝9，运用以上的结论，计算：x m +n ＝x m •x n ＝4×9＝36． 故答案为：a 7，a m +n ，36．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出运算规律是解题关键． 【变式9-3】（2018秋•长葛市期中）材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n n a a a a ⋅⋯{个记为．如328=，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8（即2log 83)=．一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=． 问题：（1）计算以下各对数的值：2log 4= ，2log 16= ，2log 64= ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为 2log 4、2log 16、2log 64之间又满足怎样的关系式：（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log log a a M N += (a o >且1a ≠，0M >，0)N >． 【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）由特殊到一般，得出结论：log a M +log a N ＝log a MN ． 【答案】解：（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6， 故答案为：2、4、6；（2）4×16＝64，log 24+log 216＝log 264， 故答案为：4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）log a M +log a N ＝log a MN ， 故答案为：MN ．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 【考点10 有关数轴的综合应用】【例10】（2018秋•灌云县期中）已知在纸面上有一数轴如图1，根据给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A ，B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． （2）请问A ，B 两点之间的距离是多少？（3）在数轴上画出与点A 的距离为2的点（用不同于A ，B 的其它字母表示），并写出这些点表示的数． （4）折叠纸面．若在数轴上1-表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上M 、N 两点之间的距离为2018(M 在N 的左侧），且M 、N 两点经折叠后重合，求M 、N 两点表示的数是多少？（5）如图2，半径为2的圆周上有一点Q落在数轴上A点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点Q所处的位置的点在数轴上所表示的数．【分析】（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数；（2）A、B两点间的距离可看做两点表示的数的绝对值的和；（3）与点A距离为2的点，即A左右两边距离两个单位长度的点，也就是表示﹣1和3的点；（4）①根据中心对称列式计算即可得解；②根据中点的定义求出MN的一半，然后分别列式计算即可得解；（5）先求出圆的周长，再根据右移加即可得出结论．【答案】解：（1）两点表示的数为：A：1，B：﹣2.5；（2）A、B两点之间的距离为1+2.5＝3.5．（3）在数轴上画出与点A的距离为2的点分别为3和﹣1，即数轴中C和D．（4）①（﹣1+5）÷2＝2，2﹣（10﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6；②∵M、N两点之间的距离为2018，∴MN＝×2018＝1009，对折点为2，∴点M为2﹣1009＝﹣1007，点N为2+1009＝1011．（5）将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点Q所处的位置的点在数轴上所表示的数为4π+1．【点睛】本题主要考查数轴，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，中心对称，注意所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．【变式10-1】（2018秋•江阴市校级月考）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．①在点M和点N中间，数所表示的点是【M，N】的好点；②在数轴上，数和数所表示的点都是【N，M】的好点；（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【分析】（1）①设所求数为x，根据好点的定义列出方程x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），解方程即可；②根据好点的定义即可得到结论；（3）根据好点的定义可知分四种情况：①P为【A，B】的好点；②A为【B，P】的好点；③P为【B，A】的好点；④A为【P，B】的好点．⑤B为【A，P】的好点，设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值．【答案】解：（1）①设所求数为x，由题意得x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）解得x＝2，②在数轴上，数0和数﹣8所表示的点都是【N，M】的好点，故答案为：2，0或﹣8；（3）设点P表示的数为y，分四种情况：①P为【A，B】的好点．由题意，得y﹣（﹣20）＝2（40﹣y），解得y＝20，t＝（40﹣20）÷2＝10（秒）；②A为【B，P】的好点．由题意，得40﹣（﹣20）＝2[y﹣（﹣20）]，解得y＝10，t＝（40﹣10）÷2＝15（秒）；③P为【B，A】的好点．由题意，得40﹣y＝2[y﹣（﹣20）]，解得y＝0，t＝（40﹣0）÷2＝20（秒）；④A为【P，B】的好点由题意得y﹣（﹣20）＝2[40﹣（﹣20）]解得y＝100（舍）．⑤B为【A，P】的好点30＝2t，t＝15．综上可知，当t为10秒、15秒或20秒，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式10-2】（2019秋•莒县期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为||AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，===-，当A、B两点都不在原点时，||||||||AB OB b a b。

沪科版七年级上册数学第1章有理数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、的结果为( )A.-6B.-9C.9D.62、下列计算结果为负数的是（）A.(－3)＋(－4)B.(－3)－(－4)C.(－3)´(－4)D.(－3) －43、近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确是（）A.0.65×10 8B.6.5×10 7C.6.5×10 8D.65×10 64、下列计算正确的是（）A.﹣2 2=4B.C.（﹣3）﹣1×3=1D.（﹣1）2016=20165、已知，则的值等于（）A.1B.－1C.－3D.不能确定6、如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（）A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数7、若0＜x＜1，则2x， 2-x， 0.2x的大小关系是( )A.0.2 x>2 x＞2 -xB.2 -x＞0.2 x＞2 xC.2 x＞2 -x＞0.2 xD.2 x ＞0.2 x＞2 -x8、小亮用天平称得一个罐头的质量为 2.026 kg，用四舍五入法将 2.026 精确到 0.01 的近似值为( )A.2B.2.0C.2.02D.2.039、下列运算中，结果为负数的是（）A. B. C. D.10、已知|a|=5，|b|=2，且a+b＜0，则ab的值是（）A.10B.-10C.10或-10D.-3或-711、若方程的两个根互为相反数，则等于（）A.－２B.２C.±２D.４12、-4的相反数是（）．A. B.4 C. D.13、相反数是（）.A. B. C. D.14、离太阳最远的冥王星和海王星是非常寒冷的世界。

冥王星的背阴面温度低至－253°C，向阳面也只有－223°C.冥王星背阴面的温度比向阳面的温度低（）A.-30°CB.30°CC.-476°CD.476 °C15、如果，那么2x-y的值为（）A.1B.-1C.-7D.7二、填空题(共10题，共计30分)16、用科学记数法表示38万米是________米.17、盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为________.18、全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是________．19、观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是________．20、在等式的两个方格中分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式成立，则第一个方格内的数是________.21、当x＝________时，代数式2－3x与5x+7的值互为相反数．22、在数轴上，大于﹣2且小于4的整数的和为________ ，积为________23、如图所示，、、表示有理数，将、、用“＞”连接起来________ .24、清明时节，正是赏楼进行时.今年清明小长假期间，盐城大洋湾景区共迎接游客近300000人次.把300000用科学记数法表示为________.25、的倒数的相反数是________ 。

有理数乘方及混合运算一．知识要点：1．有理数乘方：符号法则：负数的奇次幂得负，偶次幂得正．熟记1－20平方数和1－10立方数．2．混合运算目标：（1）有序性：注意运算顺序．（2）特殊性：注意符号处理．（3）灵活性：注意简便运算．（4）准确性：突出计算质量．二．重难点分析：1．重点：混合运算成功率，并有规范过程．2．难点：混合运算与实际应用．三．精选例题：【乘方的意义】1．填表2．平方等于25的数是 ，立方等于-27的数是 ．3．=n 21- ，=+121-n ，()=n 21- ，()=+121-n ．【含乘方的运算】4．计算：（1）－10＋8÷(－2)2－（－4）×（－3） （2）3＋50÷22×（－54）－2（3）－14÷(－5)2×（－35）＋18.0- （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯7111274314）（--÷(－2)3（5）－0.25÷(－21)4×(－1)23×(－10)3 （6）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯）（325.222--÷[]））（234--【利用偶次幂的非负性求值】4．已知有理数x 、y 分别满足|x |=5，y 2=4，且x y ＜0，求x ﹣y 的值．5．若|x ﹣2|+（3y +2）2=0，求y x +的值．6．已知|2x +1|与（y ﹣2）2互为相反数，求（x y +2y ﹣4）2017的值．【乘方规律题】7．观察下列各组依次排列的数，按此规律写出第2015个数．（1）1，2，－3，－4，5，6，－7，－8，…， （第2015个数），…（2）1，31- ，51，71-，91，111-，131，151-，…， （第2015个数），… （3）0，3，8，15，24，…， ，（第2015个数），…8．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：（1）经过第3次捏合后，可以拉出 根细面条；（2）到第 次捏合后可拉出32根细面条．9．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？10．有一种细菌每20分钟分裂一次，每次都是一个细胞分裂成两个细胞，如图，回答以下问题：（1）一个细胞分裂1小时变成 个细胞；（2）一个细胞分裂2小时变成 个细胞；（3）一个细胞分裂n 小时变成 个细胞．【乘方意义巧算题】11．计算：（1）10110022- （2） 201520148)125.0(⨯-12．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014 ①，将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015 ②将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）。

沪科版七年级上册数学第1章有理数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知|x|=3，y=2，而且x＜y，则x﹣y=（）A.1B.﹣5C.1或﹣5D.52、下列四个数中的负数是（）A.﹣2 2B.C.（﹣2）2D.|﹣2|3、p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若|r﹣p|=7，|p﹣s|=12，|q﹣s|=9，则|q﹣r|等于（）A.3B.4C.5D.64、不小于-4的非正整数有（）A.5个B.4个C.3个D.2个5、－(－2)＝A.－2B.2C.±2D.46、如图，数轴上的点A,B,C分别表示有理数a,b,c，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.7、下列说法正确的是（）①0是绝对值最小的有理数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数比较，绝对值大的反而小A.①②B.①③C.①②③D.①②③④8、下列说法正确的个数有（）①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a≠b，则a2≠b2；③若a＞b，则a2＞b2；④a2＞a.A.0个B.1个C.2个D.3个9、在有理数（﹣1）2、、﹣|﹣2|、（﹣2）3中负数有（）个．A.4B.3C.2D.110、下列各数中比﹣1小的数是（）A.-2B.-1C.0D.111、已知|x|=4，|y|=5且x＞y，则2x-y的值为（）A.-13B.+13C.-3 或+13D.+3或-1312、有理数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.13、如果，那么内应填的数是（）A.2020B.C.D.202014、下列各数中比1大的数是（）A.2B.0C.-1D.-315、《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（）A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7℃二、填空题(共10题，共计30分)16、若|a|=20160，则a=________．17、-2.5的相反数是________ ，若=4，x=________ ．18、数轴上有A，B，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.已知点A表示数-10，点B表示数5，若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则点P表示的数为________.19、把数字486109446保留到千位并用科学记数法表示为________.20、﹣6的绝对值是________。