2016-2017年北京市丰台区高三上学期数学期末试卷与解析PDF(文科)

丰台区 2016~2017 学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01（本试卷满分共 150 分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效．4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损．第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A x Zx 2x 1 0，B 2 1，，那么A B 等于（ ） A ． 2 1 0 1， ，， B ． 2 1 0， ，C ．2 1，D ．12．如果a b0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）abA ． a bB ． 1a b 1C ．1212D ．ln aln b3．如果平面向量a 2 0， ，b 1 1，，那么下列结论中正确的是（ ）A ．a bB ．a b2 2C ．a b bD ．a b ∥4．已知直线m ，n 和平面，如果n，那么“m n ”是“m”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在等比数列a n 中，a 1 3，a a a 1239，则a 4a a 56等于（ ） A ．9B ．72C ．9 或72D ．9 或726．如果函数 f xsinx 3cosx 的两个相邻零点间的距离为2 ，那么 f1f2f3 f 9的值为（ ） A ．1B ． 1CD ． 37．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷 （guĭ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1 分（ 1 寸=10 分）． 135.0125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5 66.5 55.6 45.7 35.8 25.9蛰的晷影长应为（ ） A ．72.4 寸B ．81.4 寸C ．82.0 寸D ．91.6 寸8．对于任何集合S ，用S 表示集合S 中的元素个数，用n S 表示集合S 的子集个数．若集合A B ，满足条件：A 2017，且n A n B n AB ，则 A B 等于（ ） A ．2017B ．2016C ．2015D ．2014 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 2i9．设i 虚数单位，则复数 __________．1i 10．设椭圆C ：2x2y21a 0的左、右焦点分别为F F 1，2，点P 在椭圆C 上，如果 PF 1PF 2 10， a那么椭圆C 的离心率为___________．6 11．在1x x2的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．x y2 0≤ ， 12．若x y ，满足2x y2 0≥ ，即z2x y的最大值为__________．y ≥0，13．如图，边长为 2 的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点 B 与y 轴上的定点 P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x 轴上时，再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△ABC 1 1 1 时，顶点 B 运动轨迹的长度为_____________；在滚动过程中，OB OP 的最大值为____________．14．已知 f x 为偶函数，且 x ≥0 时， f xxx（x表示不超过 x 的最大整数）．设g x f xkx k kR，当k 1时，函数g x有___________个零点；若函数g x有三个不同的零点，则k 的取值范围是__________．三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共 13 分） （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边 AB 的长．16．（本小题共 14 分）如图所示的多面体中，面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PDCQ 平面 ABCD ，PD DC E F G，，，分别为棱BC AD P A ， ， 的中点．如图，在 ABC △ 中， D 是 BC 上的点，2 3 CD AC AD， ， sinB ．（Ⅰ）求证：EG∥平面PDCQ；617．（本小题共14 分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：30 名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2 名，求这2 名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2 名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18．（本小题共13 分）已知函数f x xe x 与函数g x 1 x2 ax的图象在点0 0，处有相同的切线．2（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设h x f x bg x b R，求函数h x在 1 2，上的最小值．19．（本小题共13分）已知抛物线C：y2 2px p0的焦点为F ，且经过点A 1 2，，过点F 的直线与抛物线C交于P Q，两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；p（Ⅱ）O为坐标原点，直线OP OQ，与直线x分别交于S T，两点，试判断FS FT是否为定2 值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（Ⅱ）已知二面角PBFC P ABCD的体积．20．（本小题共 13 分）已知无穷数列c n满足 c n11 1 2c n ． （Ⅰ）若c，写出数列c n的前 5 项；（Ⅱ）对于任意0≤c 1≤1，是否存在实数M ，使数列c n中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当c 1为有理数，且c 1≥0时，若数列c n自某项后是周期数列，写出c 1的最大值．（直接写出结果，无需证明）（考生务必交答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。

丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考2017．05 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(50)±, 10 11．π612．2- 13．①②③④ 14．1(2；4π3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）由已知，得1237a a a ++=，且等比数列{}n a 的公比2q =，所以111247a a a ++=，解得11a =， ……………………1分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=。

……………………2分 由此解得22a =，48a =， ……………………4分 则25b =， ……………………5分又13b =，则等差数列{}n b 的公差2d =， ……………………6分 所以12(1)21n b b n n =+-=+。

……………………7分（Ⅱ）因为211(21)(21)2121n n n n =--+-+， ……………………9分 所以1111111(1)()()()335572121n S n n =-+-+-++--+， ……………………11分1121n =-+221nn =+， 故数列2(21)n n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n S 221n n =+。

……………………13分 16. （本小题共13分）解：（Ⅰ）()sin cos f x x x = ……………………2分sin 2=2x ……………………3分π=sin(2)32x ++……………………5分 ()f x 的最小正周期为π 。

……………………7分（Ⅱ）由πππ2π22π()232k x k k -+≤+≤+∈Z 求得， ……………………9分5ππππ()1212k x k k -+≤≤+∈Z ，……………………12分 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -++∈Z , …………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为BC //AD ， 12BC AD =， E 为线段AD 的中点，所以AE //BC 且AE BC =， 所以四边形ABCE 为平行四边形，……………………2分 所以CE //AB ， ……………………3分 又有AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ． ……………………5分（Ⅱ）因为E ，F 分别为线段AD ，PD 中点，所以EF //PA ， ……………………6分又因为PD ⊥平面PAB ，PA AB ⊂,平面PAB ，所以PD ⊥AB ，PD PA ⊥；所以PD EF ⊥， ……………………8分 又CE //AB ，所以PD CE ⊥ ……………………9分因为EFCE E =，所以PD ⊥平面CEF ．……………………11分 （III ）结论：14D CEF P ABD V V --=． ……………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）第五段抽取的编号是086号； ……………………3分（Ⅱ）记：“2人成绩均是语文成绩高于英语成绩”为事件A ，这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a ，b ，c ，另2人记为1，2.在5人中随机取2人共有：（a ，b ）（a ，c ）（a ，1）（a ，2）（b ，c ）（b ，1）（b ，2） （c ，1）（c ，2）（1，2）10种取法；其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩共3种.FEB CDPA由古典概型公式得：3()10m P A n == 所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为310； ……………………9分 （III ）根据折线图可以估计该校高二年级语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.其他结论合理即可得分． ……………………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆C ：22143x y +=得：24a =，23b =，222431c a b =-=-=所以1c =， 椭圆C 的离心率为12c a =.……………………4分 （Ⅱ）因为1c =，所以点F （1,0），当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程：1x =，A ，B 两点关于x 轴对称， 点P （4,0）在x 轴上，所以直线P A 与直线PB 关于x 轴对称， 所以， 点O 到直线P A 与直线的距离PB 相等，所以，以坐标原点O 为圆心与P A 相切的圆，必与直线PB 相切…………………6分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程：(1)y k x =-，11()A x y ，，22()B x y ，由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得：2222(34)84120k x k x k +-+-= 2122834k x x k +=+， 212241234k x x k -⋅=+.……………………8分1111(1)44PA y k x k x x -==--，2222(1)44PB y k x k x x -==--.……………………10分 1212121212(1)(1)[25()8]44(4)(4)PA PB k x k x k x x x x k k x x x x --⋅-+++=+=----221282440(8)34340(4)(4)k k k k k x x --+++==--.……………………12分 所以，APO BPO ∠=∠，于是点O 到直线P A 与直线的距离PB 相等，故以坐标原点O 为圆心与P A 相切的圆，必与直线PB 相切.……………………14分 （也可以用点O 到直线P A 与直线的距离PB 的距离相等来证明）20．（本小题共13分）解：()f x 的定义域为(0)+∞,． ………………………1分（Ⅰ）当1a =时，ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=， ………………………2分(1)0f =，(1)1f '=， ………………………3分所以，所求切线方程为1y x =-． ………………………4分（Ⅱ）因为0,0a x >>，所以.()f x<.a <， ………………………5分令()g x=，则()g x '=， ………………………6分由()0g x '=得，2e x =，所以，2(0e )∀∈,，()0g x '>，2(e )x ∀∈+∞,，()0g x '<， ………………………7分 所以()g x 的单调增区间是2(0e ),，单调减区间是2(e )+∞,， ………………………8分所以22()(e )eg x g ≤=，所以2e a >. ………………………9分（III ）()1f x <⇔ln 0x ax -<， ………………………10分令()ln h x x ax =-，1()axh x x-'=， 所以，1(0)a ∀∈,，()0h x '>，1()x a∀∈+∞,，()0h x '<，所以()h x '的单调增区间是1(0)a ,，单调减区间是1()a+∞,， ………………………11分因为(1)h a =-，所以，当1a ≥时，存在0=1x ，使得当(1)x ∈+∞,，恒有()0h x <，即()1f x <， …………12分当01a <<时，由（Ⅱ）知，ln xx <ln x <，所以()ln h x x ax ax =-<，=0ax 得，x =0h <.1a <0x )x ∈+∞，恒有()0h x <，即()1f x <.综合上所述，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习(一)数学(文科)2017. 03(本试卷满分共150分，考试时间120分钟) 注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3•请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4•请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如果集合A」..x Z - 2 空x：：:1^, B-—1,0,1｝，那么A B =(A)〈-2, -1,0,r ( B)〈-1,0,1? (C) \0,v( D)〈-1,0?2. 在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线(A) (-3,4)(D) (0, -3)3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i值是(A ) 3(C) 54. 设命题p：一[0,二),e x -1，则一p 是(A)X。

订0, ：：) , e x0：：1(B)~x[0,：：) , e x：：1(C)X0[0,：：) , e x°-1(D)-x[0,：：) ,e x.13x+2y • 5=0同一侧的点是(B) (-3, -2) ( C ) (-3, -4) / 输/。

丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01高三数学〔文科〕第一部分 〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

0.5()log (1)f x x =-的定义域为〔A 〕(1,)-+∞ 〔B 〕(1,)+∞ 〔C 〕(0,)+∞ 〔D 〕(,0)-∞ 【考点】函数的定义域与值域 【试题解析】要使函数有意义，需满足：所以函数的定义域为：。

【答案】B2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限 【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】所以复数对应的点为〔3,1〕，位于第一象限。

【答案】A3．“1x =”是“210x -=”的〔A 〕充分必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分而不必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】 假设，则成立； 反过来，假设，不一定成立，还可能所以“”是“”的充分而不必要条件。

【答案】C(3,-4)a =，(,)b x y =，假设a //b ，则- 2 - 〔A 〕340x y -= 〔B 〕340x y += 〔C 〕430x y += 〔D 〕430x y -= 【考点】平面向量坐标运算 【试题解析】 假设，则【答案】CO ：221x y +=，直线l 过点〔-2，0〕，假设直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为 〔A 〕33±〔B 〕3± 〔C 〕2± 〔D 〕1±【考点】直线与圆的位置关系 【试题解析】因为直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， 所以直线为圆的切线。

由题知，切线的斜率一定存在，设切线为：，所以 解得：。

【答案】A6. 函数()=sin2cos 2f x x x -的一个单调递增区间是 〔A 〕3[,]44ππ-〔B 〕3[,]44ππ- 〔C 〕3[,]88ππ- 〔D 〕3[,]88ππ-【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】由得：当k=0时，。

高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、 选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C. 3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为233，所以球面的表面积为243)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ， 输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

丰台区第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.12； 11. 3； 12． （写给3分）； 13．2； 14．5,16 12n m+ (第一个空2分,第二个空3分)三．解答题15．（本题共13分）设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足AB B =,求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）A=2{|230}x x x -->,={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或， ….…………………..……4分 B {|4}y a y a =-≤≤-. ..……………………………………………….…...7分（Ⅱ）∵A B B =，∴B A ⊆．..….…………………………………………… 9分∴41a -<-或3a ->，∴实数a 的取值范围是{a |5a >或3a <-}．….………………..…………………..13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角α和角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3c o s 5α=， 12s i n 13β=，……………………………………………………2分∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ……………………………………3分 ∵β的终边在第二象限，∴ 5c o s 13β=- ． ………………………………4分∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|32=，……………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………11分 ∴9224OA OB -⋅=． ∴18OA OB ⋅=-． ……………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-，………………10分 ∴OA OB ⋅=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-．…………………………………13分17．（本题共13分）如图三棱柱111C B A ABC —中，⊥1AA 平面ABC ，AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点. (Ⅰ)求证：MN //平面 BCC 1B 1;(Ⅱ)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1. 解：(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点，∴MN ∥BC 1．........................................................4分∵11111,?MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面， ∴MN ∥平面BCC 1B 1．.................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面， BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．...................................................................................................... 9分又∵AB ⊥BC ，1AA AB A =，∴11BC A ABB ⊥平面．....................................................................................... 12分 ∵1BC A BC ⊂平面，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1．............................................................................... 13分18．（本题共14分）已知函数2()()(0)xf x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为-1，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]xxxf x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．…2分令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同． 又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ………………………………………6分 ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f ee--=--=． ……………….…14分 19．（本题共13分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m=54AC =时，求椭圆12,C C 的方程； （Ⅱ）若OC AN ⊥，求m 的值．解：设C 1的方程为2221x y a+=,C 2的方程为2221x y b +=（1,01a b ><<）． …..2分∵C 1 ,C 2的离心率相同，∴22211a b a-=-,∴1ab =，………………………………..……………………3分 ∴C 2的方程为2221a x y +=．当m=2时，A (2a -,C 1(2a ．………………………………….……5分 又∵54AC =, ∴15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ……………………………...………..6分∴C 1 ,C 2的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． …………………………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-．……………….……………9分 ∵OC ⊥AN ，0OC AN ⋅=（*）． ……………………………............................................…10分∵OC =），AN =（,-1-m)， 代入（*）并整理得2m 2+m-1=0， ………………………………………………12分∴m=12或m=-1(舍负) ， ∴m=12． ……………………………………………………………………13分20．（本题共14分）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形. （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令4,iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值;若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）∵∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， ∴直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，112x y ==，得A 1（2，2），1(4,0)B ． ….…….…….…......3分（Ⅱ）根据1n n n B A B -∆和11n n n B A B ++∆分别是以n A 和1n A +为直角顶点的等腰直角三角形可 得，11n n nn n n a x y a x y ++=+⎧⎨=-⎩ ，即11n n n n x y x y +++=- ．（*）…….………………………..5分∵n A 和1n A +均在曲线2:2(0)C y x y =≥上，∴22112,2n n n n y x y x ++==，∴2211,22n n n n y y x x ++==，代入（*）式得22112()n n n n y y y y ++-=+，∴12n n y y +-=(*n N ∈)．………………… …………………………..…..….…..7分 ∴数列{}n y 是以12y =为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为2n y n =(*n N ∈) ． …………....…………………………...……..8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2222nn y x n ==， ….……………………………………………9分 ∴2(1)n n n a x y n n =+=+，……………………..……………………………….…10分 ∴422(1)(1)i b i i i i ==++，12iy i i c -==， ∴12221223(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111112(1)2231n n -+-++-+ =12(1)1n -+，…………….……..11分2111(1)11112211222212nn in ni c=-=+++==--∑． …………………….……12分 欲使11nni i i i b c ==<∑∑，只需12(1)1n -+<112n -， 只需1112n n n -<-+， ………………………………………………….…………13分*110(),012n n n N n -≥∈-<+ ， ∴不存在正整数N ，使n≥N 时，11n niii i b c ==<∑∑成立．…………………….14分。

丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（一）数 学（文科）2017. 03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 如果集合{}21A x x =∈-≤<Z ，{}101B =-,,，那么A B = （A ）{}2101--,,, （B ）{}101-,, （C ）{}01, （D ）{}10,-2. 在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3+250x y +=同一侧的点是 （A ）(34)-,（B ）(32)--,（C ）(34)--,（D ）(03)-,3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）64. 设命题p ：[0)x ∀∈+∞,，e 1x ≥，则p ⌝是 （A ）0[0)x ∃∉+∞,，0e 1x <（B ）[0)x ∀∉+∞,，e 1x < （C ）0[0)x ∃∈+∞,，0e 1x <（D ）[0)x ∀∈+∞,，e 1x <5.如果 1.20.3212()2log 2a b c ===,,（A ）c b a >> （B ）c a b >> （C ）a b c >>（D ）a c b >>6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（A）（B ）（C ）（D ）7. 已知函数π()sin()3f x x ω=-，点()A m n ,，(π)B m n +,(||1)n ≠都在曲线()y f x =上，且线段AB 与曲线()y f x =有五个公共点，则ω的值是 （A ）4（B ）2（C ）12（D ）148. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 （A ）乙，丁（B ）甲，丙（C ）甲，丁（D ）乙，丙第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．正视图侧视图．正视图侧视图．Ｄ．俯视图侧视图侧视图俯视图．9. 在复平面内，复数12i z =-对应的点到原点的距离是 ． 10. 抛物线22y x =的准线方程是 ．11. 设(00)a b M a b +=>>,，M 为常数，且ab 的最大值为2，则M 等于 . 12. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，=90ADC ∠︒，=2AD ，==1BC CD ，P 是AB 的中点，则DP AB uu u r uu u rg = ． 13. 已知点(10)A ,，(30)B ,，若直线1y kx =+上存在点P ，满足PA PB ⊥，则k 的取值范围是 ．14.已知函数(2)()1()1 1.x a a x x f x a x --≤⎧⎪=->,,,（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3C π=，4c =. （Ⅰ）若3sin 4A =，求a ； （Ⅱ）若ABC △的面积等于a ，b .16.（本小题共13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，118a =，设2log n n b a =，且417b =． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是以-2为公差的等差数列； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.17.（本小题共14分）如图1，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，得到三棱锥D ABC -(如图2)，且DA BC ^，点E 为侧棱DC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在， 求DF 的长；若不存在，请说明理由.18.（本小题共13分）某校学生营养餐由A 和B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A 公司满意度评分的频率分布直方图和B 公司满意度评分的频数分布表：图1图2A公司B公司（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．19.（本小题共14分）已知(01)P,是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线P A与直线4x=交于点M，是否存在点A，使得12ABP ABMS S∆∆=？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题共13分）已知函数1()e xxf x+=，A1()x m,，B2()x m,是曲线()y f x=上两个不同的点.（Ⅰ）求()f x的单调区间，并写出实数m的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x+>.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期一模练习高三数学（文科）参考答案及评分参考2017．03一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．910． 12x =- 11．12．1- 13．4[0]3-, 14．[11]-,；(0)-∞,. 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a cA C =可知：34a =，从而求得a = ……………………6分（Ⅱ）由ABC ∆的面积等于1sin 2ABC S ab C ∆=== 从而16ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得，2216=a b ab +-②，联立①②得4a b ==. ……………………13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n n b b +-=212log log n n a a +-12log n na a +==2log q ， 因此数列{}nb 是等差数列. 又11211log 3b a ==，417b =， 又等差数列{}n b 的公差11427b b d -==-， 即252n b n =-.即数列{}n b 是以-2为公差的等差数列. ……………………6分（Ⅱ）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1()2n n b b S +=(23252)2n n+-=(24)n n =-2(12)144n =--+，于是当12n =时，nS 有最大值，最大值为144. ……………………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，有AD BC AC ==，又因为E 为侧棱DC 的中点，所以AE CD ⊥； 又因为AC BC ⊥，AD BC ⊥，且AC AD A = ，所以BC ⊥平面ACD . 又因为AE ⊂平面ACD ，所以AE BC ⊥； 因为BC CD C = ，所以AE ⊥平面BCD ， 又因为AE ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B． ……………………5分（Ⅱ）解：因为E ABC B ACE V V --=，BC ⊥平面ACD ，所以BC 是三棱锥的高，故13B ACE ACE V BC S -∆=⨯⨯，又因为=1BC ，CD ,AE =，所以11111=22224ACE S AE CD ∆=⨯⨯，所以有11=312B ACE ACE V BC S -∆=⨯⨯ ……………………9分（Ⅲ）解：取AB 中点O ，连接CO 并延长至点F ，使CO OF =，连接AF ，DF ，BF .因为BC AC =，所以射线CO 是角ACB ∠的角分线.FOADECB又因为点E 是的CD 中点，所以OE ∥DF ， 因为OE ⊂平面ABE ， DF ⊄平面ABE ，所以DF ∥平面ABE . 因为AB 、FC 互相平分，故四边形ACBF 为平行四边形，有BC ∥AF . 又因为DA BC ⊥，所以有AF AD ⊥， 又因为1A F A D==，故DF ……………………14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设A 公司调查的40份问卷的中位数为x则有0.015100.025100.03700.5x ⨯⨯⨯-++=（） 解得：73.3x ≈ 所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 ……………………4分（Ⅱ）满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A 公司，设为1234a a a a ,,,，2份评价B 公司，设为12b b ,.从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：12()a a ,，13()a a ,，14()a a ,，11()a b ,，12()a b ,，23()a a ,，24()a a ,，21()a b ,，22()a b ,，34()a a ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,，共有15种.其中2份问卷都评价A 公司的有以下6种：12()a a ,，13()a a ,，14()a a ,，23()a a ,，24()a a ,，34()a a ,.设两份问卷均是评价A公司为事件C ，则有62()155P C ==. ……………………9分 （Ⅲ）由所给两个公司的调查满意度得分知：A 公司得分的中位数低于B 公司得分的中位数，A 公司得分集中在[)70,80这组，而B 公司得分集中在[)70,80和[)80,90两个组，A 公司得分的平均数数低于B 公司得分的平均数，A 公司得分比较分散，而B 公司得分相对集中，即A 公司得分的方差高于B 公司得分的方差. ……………………13分（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.） 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>过点P （0,1）可得b =1，又点P到两焦点距离和为a =，所以椭圆C的方程2212xy +=. ……………………4分（Ⅱ）设A （m ,n ），依题意得：直线P A 的斜率存在， 则直线P A 的方程为：11n y x m-=+ ，令x =4，441n y m -=+，即M 4441n m -+⎛⎫⎪⎝⎭,， 又12ABP ABM S S ∆∆=等价于13PAPM=且点A 在y 轴的右侧，从而143A PM Px x m x x =-=-， 因为点A 在y 轴的右侧，所以143m = ， 解得 43m =,由点A 在椭圆上，解得：13n =±,于是存在点A （43，13±），使得12ABP ABM S S ∆∆=. ……………………14分20．（本小题共13分）解： ()f x 的定义域为R .(Ⅰ)()e x xf x '=-，由()0f x '=得，0x =，由()0f x '>得，0x <，由()0f x '<得，0x >，所以()f x 的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）. m 的取值范围是(. ……………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，1(1,0)x ∈-，要证210x x >->，只需证21()()f x f x <-因为12()()f x f x m ==，所以只需证11()()f x f x <-， 只需证111111e e x x x x -+-+<，只需证1211(1)e 10x x x -++<(1(1,0)x ∈-) 令2()(1)e 10x h x x x =-++<，则2()(21)e 1x h x x '=-+， 因为2(())4e 0x h x x ''=<，所以()h x '在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h ''>=， 所以()h x 在(1,0)-上单调递增，所以()(0)0h x h <=， 所以21e 01x x x ++>-，故120x x +> ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

DCBA丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}- 2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是 （A ）a b < （B ）11a b> （C ）11()()22a b > （D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b （D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9 （B ）72 （C ）9或72 （D ） 9或-72 6．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为（A ）1 （B ）-1 （C（D）7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于 （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+ 则=2z x y -的最大值为 ． 13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B =（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长. 16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点. CBP GF DE Q A（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角PBF CP ABCD 的体积． 17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如右表所示。

北京丰台区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（文科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．如果集合{}21A x Z x =∈-≤<，{}101B =-， ， ，那么A B =（ ）A ．{}2101--， ， ，B ．{}101-， ，C ．{}01，D ．{}10-，2．在平面直角坐标系xOy 中，与原点位于直线3250x y ++=同一侧的点是（ ） A ．()34-，B ．()32--，C ．()34--，D ．()03-，3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．64．设命题[):01xp x e ∀∈+∞≥，，，则p ⌝是（ ） A ．[)0001xx e ∃∉+∞<，，B ．[)01xx e ∀∉+∞<，，C ．[)0001xx e ∃∈+∞<，，D ．[)01xx e ∀∈+∞<，，5．如果0.31.22122log 2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，， ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，点()A m n ，，()B m n π+，（1n ≠）都在曲线()y f x =上，且线段AB 与曲线()y f x =有五个公共点，则()x ω的值是（ ） A ．4B ．2C ．12D ．148．某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1234， ， ， 四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（ ） A ．乙，丁B ．甲，丙C ．甲，丁D ．乙，丙二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数12z i =-对应的点到原点的距离是_________． 10．抛物线22y x =准线方程是_________．11．设()00a b M a b M +=>>，，为常数，且ab 的最大值为2，则M 等于_________．12．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=，21AD BC CD ===，，P 是AB 的中点，则DP AB ⋅=_________．13．已知点()()1030A B ， ，， ，若直线1y kx =+上存在点P ，满足PA PB ⊥，则k 的取值范围是_________．14．已知函数()()()2111x a a x x f x a x --≤⎧⎪=->，，（1）若[]004a x =∈，， ，则()f x 的值域是_________； （2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A B C ，，对应的边长分别是a b c ，，，且43C c π==，．（Ⅰ）若3sin 4A =，求a ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积等于a b ，．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，118a =，设2log n n b a =，且417b =． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是以2-为公差的等差数列； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值．如图1，平行四边形ABCD 中，1AC BC BC AC ⊥==，，现将DAC ∆沿AC 折起，得到三棱锥D ABC -（如图2），且DA BC ⊥，点E 为侧棱DC 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得//DF 平面ABE ？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由（Ⅰ）根据B公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；，两家公司做出评价．（Ⅲ）请从统计角度，对A B已知()01P ， 是椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>上一点，点P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A B ，是椭圆C 上异于点P 的两点，直线PA 与直线4x =交于点M ，是否存在点A ，使得12ABP ABM S S ∆∆=？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．已知函数()()()121xx f x A x m B x m e +=，，，，是曲线()y f x =上两个不同的点． （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>．2017年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：D．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，与原点位于直线3x+2y+5=0同一侧的点是（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣4）D．（0，﹣3）【解答】解：当x=0，y=0时，0+0+5＞0，对于A：当x=﹣3，y=4时，﹣9+8+5＞0，故满足，对于B：当x=﹣3，y=﹣2时，﹣9﹣4+5＜0，故不满足，对于C：x=﹣3，y=﹣4，﹣9﹣8+5＜0，故不满足，对于D：x=﹣3，y=﹣2时，0﹣6+5＜0，故不满足，故选：A3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，不满足退出循环的条件，i=2；再次执行循环体后，S=6，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，S=14，不满足退出循环的条件，i=4；再次执行循环体后，S=30，满足退出循环的条件，故输出的i值为4，故选：B．4．（5分）设命题p：∀x∈[0，+∞），e x≥1，则￢p是（）A．∃x0∉[0，+∞），＜B．∀x∉[0，+∞），e x＜1C．∃x0∈[0，+∞），＜D．∀x∈[0，+∞），e x＜1【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p：∃x0∈[0，+∞），＜．故选：C5．（5分）如果，，，那么（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：a=21.2＞2，＜1，c=2=log23∈（1，2）．∴a＞c＞b．故选：D．6．（5分）由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图的画法，可得俯视图、侧视图，故选D．7．（5分）已知函数，点A（m，n），B（m+π，n）（|n|≠1）都在曲线y=f（x）上，且线段AB与曲线y=f（x）有五个公共点，则ω的值是（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：由题意，2T=π，∴T=，∴ω=4，故选A．8．（5分）某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（）A．乙，丁B．甲，丙C．甲，丁D．乙，丙【解答】解：根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误，则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点到原点的距离是．【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d==．故答案：．10．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣11．（5分）设a+b=M（a＞0，b＞0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于2．【解答】解：∵a+b=M（a＞0，b＞0），由基本不等式可得，ab≤（）2=，∵ab的最大值为2，∴=2，M＞0，∴M=2故答案为：．12．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则=﹣1．【解答】解：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，可得△BCD为等腰直角三角形，则BD=，且P是AB的中点，可得=（+），=（+）•（﹣）=（2﹣2）=[（）2﹣22]=﹣1．故答案为：﹣1．13．（5分）已知点A（1，0），B（3，0），若直线y=kx+1上存在点P，满足P A⊥PB，则k的取值范围是，．【解答】解：以AB为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，∵直线y=kx+1上存在点P，满足P A⊥PB，∴△=（2k﹣4）2﹣16（1+k2）≥0，化为：3k2+4k≤0．解得0，则k的取值范围是，．故答案为：，．14．（5分）已知函数，，＞（1）若a=0，x∈[0，4]，则f（x）的值域是[﹣1，1]；（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，，＞，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∵f（0）=0，f（1）=﹣1，f（4）=1，∴f（x）在[0，1]上的值域是[﹣1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，∴f（x）在[0，4]上的值域是[﹣1，1]．（2）当x≤1时，令f（x）=0得x=2a或x=a，当x＞1时，令f（x）=0得=1﹣a，∴x=（1﹣a）2（1﹣a＞1），∵f（x）恰好有三个解，，解得a＜0．∴＞＞故答案为：[﹣1，1]；（﹣∞，0）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，c=4．（Ⅰ）若，求a；（Ⅱ）若△ABC的面积等于，求a，b．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知：，从而求得…（6分）（Ⅱ）由△ABC的面积等于，可知△ ，从而ab=16①，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得，16=a2+b2﹣ab②，联立①②得a=b=4．…（13分）16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a11=8，设b n=log2a n，且b4=17．（Ⅰ）求证：数列{b n}是以﹣2为公差的等差数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为S n，求S n的最大值．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）证明：设等比数列{a n}的公比为q，则b n+1﹣b n=log2a n+1﹣log2a n==log2q，因此数列{b n}是等差数列．又b11=log2a11=3，b4=17，又等差数列{b n}的公差，即b n=25﹣2n．即数列{b n}是以﹣2为公差的等差数列．…（6分）（Ⅱ）设等差数列{b n}的前n项和为S n，则n==（24﹣n）n=﹣（n﹣12）2+144，于是当n=12时，S n有最大值，最大值为144．…（13分）17．（14分）如图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=AC=1，现将△DAC沿AC折起，得到三棱锥D ﹣ABC（如图2），且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DBC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF∥平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，有AD=BC=AC，又因为E为侧棱DC的中点，所以AE⊥CD；又因为AC⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD．又因为AE⊂平面ACD，所以AE⊥BC；因为BC∩CD=C，所以AE⊥平面BCD，又因为AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD．…（5分）（Ⅱ）解：因为V E﹣ABC=V B﹣ACE，BC⊥平面ACD，所以BC是三棱锥的高，故△ ，又因为BC=1，，，所以△ ，所以有△ …（9分）（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．因为BC=AC，所以射线CO是角∠ACB的角分线．又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，因为OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，所以DF∥平面ABE．因为AB、FC互相平分，故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF．又因为DA⊥BC，所以有AF⊥AD，又因为AF=AD=1，故．…（14分）18．（13分）某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送．学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分．根据收集的80份问卷的评分，得到如图A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表B公司满意度评分的频数分布表：（Ⅰ）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数；（Ⅱ）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率；（Ⅲ）请从统计角度，对A、B两家公司做出评价．【解答】解：（Ⅰ）设A公司调查的40份问卷的中位数为x，则有0.015×10+0.025×10+0.03×（x﹣70）=0.5解得：x≈73.3所以，估计该公司满意度得分的中位数为73.3 …（4分）（Ⅱ）满意度高于9（0分）的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为a1，a2，a3，a4，2份评价B公司，设为b1，b2．从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共有15种．其中2份问卷都评价A公司的有以下6种：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）．设两份问卷均是评价A公司为事件C，则有．…（9分）（Ⅲ）由所给两个公司的调查满意度得分知：A公司得分的中位数低于B公司得分的中位数，A公司得分集中在[70，80）这组，而B公司得分集中在[70，80）和[80，90）两个组，A公司得分的平均数数低于B公司得分的平均数，A公司得分比较分散，而B公司得分相对集中，即A公司得分的方差高于B公司得分的方差．…（13分）19．（14分）已知P（0，1）是椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线P A与直线x=4交于点M，是否存在点A，使得S△ABP=△ ？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）由椭圆C：＞＞过点P（0，1）可得b=1，又点P到两焦点距离和为所以椭圆C的方程．…（4分）（Ⅱ）设A（m，n），依题意得：直线P A的斜率存在，则直线P A的方程为：，令x=4，，即M，，又△ △ 等价于且点A在y轴的右侧，从而，因为点A在y轴的右侧，所以，解得，由点A在椭圆上，解得：，于是存在点A（，），使得△ △ ．…（14分）20．（13分）已知函数，A（x1，m），B（x2，m）是曲线y=f（x）上两个不同的点．（Ⅰ）求f（x）的单调区间，并写出实数m的取值范围；（Ⅱ）证明：x1+x2＞0．【解答】解：f（x）的定义域为R．（Ⅰ），由f'（x）=0得，x=0，由f'（x）＞0得，x＜0，由f'（x）＜0得，x＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞），m的取值范围是（0，1）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1∈（﹣1，0），要证x2＞﹣x1＞0，只需证f（x2）＜f（﹣x1）因为f（x1）=f（x2）=m，所以只需证f（x1）＜f（﹣x1），只需证＜，只需证＜（x1∈（﹣1，0））令h（x）=（x﹣1）e2x+x+1＜0，则h'（x）=（2x﹣1）e2x+1，因为（h'（x））'=4xe2x＜0，所以h'（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以h'（x）＞h'（0）=0，所以h（x）在（﹣1，0）上单调递增，所以h（x）＜h（0）=0，所以＞，故x1+x2＞0…（13分）。