高二数学期中复习检测题2

天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。

2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为()A. −2B. 2C. 1D. −12.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<<B. a<<<bC. a<<b<D. <a<<b3.设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的()条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.当时，复数在复平面内对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值6.已知函数，则的值为()A. B. C. D.7.设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)=2，且f′(2)=−4，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程是()x+2A. y=−2x+2B. y=−4x+2C. y=4x+2D. y=−128.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行程序框图，若输入的a为2，2，5，x与n均为2，则输出的s等于()A. 34B. 17C. 12D. 79.执行如图所示的程序框图，输出的a值为()A. 3B. 5C. 7D. 910.过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为(c,0)，则的最大面积是()A. AbB. bcC. AcD.11.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是：“γx∈R，均有x2+x+1<0”C. 在△ABC中，“A>B”是“cos2A<cos2B”的充要条件D. “x≠2或y≠1”是“x+y≠3”的非充分非必要条件12.已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为()．A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x−√x，则f′(1)=______ ．14.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示______？(如图)15.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：十六进制0123456789A B C D E F十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则用十六进制表示：B×C=______ ．16.在下图所示的三角形数阵中，用a i,j(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N∗),已知a i,1=a i,i=1−1(i∈N∗),且当i≥3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即a i,j= 2i−1a i−1,j−1+a i−1,j(2≤j≤i−1),若a m,2>100,则正整数m的最小值为______________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.选做题22.(本小题满分10分)如图设为圆的内接三角形，为圆的弦，且，过点作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。

2020-2021学年福州市闽侯二中高二(下)期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1,2，4}，B={2,3，4}，则A∪B=()A. {2,4}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {(1,2，3，4)}2.若复数z满足(1+i)z=(3+i)i，则|z|=()A. √2B. √3C. √5D. √63.用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3“时，下列假设正确的是()A. a3<b3B. a3<b3或a3=b3C. a3<b3且a3=b3D. a3>b34.函数f(x)=ln(4−x)x−2的定义域是()A. (−∞,4)B. (2,4)C. (0,2)∪(2,4)D. (−∞,2)∪(2,4)5.下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()A. 推理正确B. 推理形式不正确C. 大前提错误D. 小前提错误6.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N∗)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数中是一阶整点函数的是()①f(x)=x+1x (x>0)②g(x)=x3③ℎ(x)=(13)x④φ(x)=lnx．A. ①②③④B. ①③④C. ④D. ①④8.已知函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在区间[2,+∞)上递增，则实数a的取值范围是()A. (−∞,4)B. (−4,4)C. (−4,4]D. [−4,+∞)9.为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为()A. 0.24B. 0.38C. 0.62D. 0.7610.下列函数是奇函数的是()A. y=x3B. y=2x2−3C. y=x 12D. y=x−2，x∈[0,1]11.定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(−3)=0，则不等式xf(x)<0的解集为()A. (−3,0)∪(0,3)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−3,3)12.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+1)=−f(x)对任意实数x恒成立，且x∈[0,2]时，f(x)=(x−1)2.那么函数y=f(x)−sinx在区间[0,10]上的零点个数有()个．A. 6B. 7C. 8D. 9二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收2.93.3 3.64.4a5.2 5.9入yy关于t的线性回归方程为y∧=0.5t+2.3，则a的值为______．14. 仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中有 个 小方格．15. 设函数f(x)=x 2+mx +m +3，g(x)=mx −m ，若存在整数x 0满足{f(x 0)<0g(x 0)<0，则实数m 的取值范围是______．16. 函数y =√x −1+13−x 的定义域是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数(用代数形式表示)．18. 已知集合A ={x|x 2−2x −8≤0}，集合B ={x|x 2−(2m −3)x +m 2−3m ≤0,m ∈R}，(Ⅰ)若A ∩B =[2,4]，求实数m 的值；(Ⅱ)设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．19. 已知直线l 的参数方程为{x =2+ty =√3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.(参考公式cos 2θ−sin 2θ=cos2θ)(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．20. (本小题满分12分)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为(1)求频率分布直方图中的值；(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；(3)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在上的概率．21. 为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析．下面是该生前5次考试的成绩． 数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283 附b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b x −．R 2=1−∑(n i=1y i −y i )2∑(n i=1y i −y −)2．(1)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程；(2)我们常用R 2来刻画回归的效果，其中R 2越接近于1，表示回归效果越好．求R 2．(3)已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？22. 在直角坐标系xOy 中，直线l ：{x =√55ty =1+2√55t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ−4cosθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点P(0,1)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求|PM|⋅|PN|的值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A={1,2，4}，B={2,3，4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选：C．由集合的并集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的并集的求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算、共轭复数、复数的模，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．解：∵(1+i)z=(3+i)i，(1−i)(1+i)z=(3i−1)(1−i)，∴2z=4i+2，∴z=1+2i．∴|z|=√5．故选C．3.答案：B解析：解：由于命题“a3>b3”的否定为“a3<b3或a3=b3”，故用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，应假设a3<b3或a3=b3，故选：B．用反证法证明数学命题“如果a>b，那么a3>b3”时，应假设它的否定“a3<b3或a3=b3”.本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“a3>b3”的否定为“a3< b3或a3=b3”，是解题4.答案：D解析：解：由{4−x >0x −2≠0，解得x <4且x ≠2．∴函数f(x)=ln(4−x)x−2的定义域是(−∞,2)∪(2,4)．故选：D ．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：凡自然数都是整数，而4是自然数，所以4是整数． 大前提：“凡自然数都是整数”是正确的， 小前提：“4是自然数”也是正确的， 结论：“4是整数”是正确的， ∴这个推理是正确的， 故选：A ．要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．6.答案：D解析：试题分析：，其对应的点落在第四象限。

余姚中学2023学年第二学期期中检测高二数学试卷答案一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）2.命题“2,460x x x ∃∈-+<R ”的否定为（）A ．2,460x x x ∃∈-+<RB ．2,460x x x ∃∈-+≥R C ．2,460x x x ∀∈-+<R D ．2,460x x x ∀∈-+≥R 【答案】D【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可；【详解】根据全称命题或者特称命题的否定，所以2,460x x x ∃∈-+<R 的否定为2,460x x x ∀∈-+≥R ，故选：D.3.若2:01xp x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．12x -≤≤B ．1x >C ．2x >D ．25x <≤【答案】B 【分析】解不等式201xx -+≤得1x <-或2x ≥，选出其必要不充分条件即可.【详解】p ：201xx -+≤，即(2)(1)0x x -+≤且1x ≠-，解得1x <-或2x ≥，所以p ：1x <-或2x ≥，对于A ，12x -≤≤是p 的既不充分也不必要条件；对于B ，1x >即1x <-或1x >，是p 的必要不充分条件；对于C ，2x >即<2x -或2x >，是p 的充分不必要条件；对于D ，25x <≤是p 的充分不必要条件；故选：B.4．函数()2sin 2log y x x =⋅的图象大致是（）A ．B．C．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D 的正误；利用在(0,)π之间的函数零点的个数即可判断A,B 的正误.【详解】设()2()sin 2log f x y x x ==⋅，则()2()sin 2log ()f x x x f x -=-⋅-=-，故()2()sin 2log f x x x =⋅为奇函数，故C,D 错误；而令()2sin 2log 0y x x =⋅=时，在(0,)π之间的函数零点有1,2π两个，故B 错误，故选：A5.已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（）A ．3B ．9C ．4D ．8解析：,a b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭44159a a b a b a +=+++≥+=+，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立.故选：B6.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()131,0212,23x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦恰有4个不相等的实数根，则实数m 的值是（）A ．23-B ．23C ．0D ．23±解析：由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以讨论0x ≥情况如下：作(),0y f x x =≥图像如下图所示，关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦，解得()2f x =或()f x m =，由于2y =与(),R y f x x =∈图像有一个公共点，则()y f x =图像与y m =图像有三个公共点，如图所示，23m =，同理，0x ＜时，23m =-，所以实数m 的值是23±.故选：D 7.若关于x 的不等式2ln e x x ax b ++ 恒成立,则实数a 的取值范围是()A.1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.[1,e]解析:注意到不等式中间是直线方程,故临界情况是两条公切线,a 介于两条公切线之间;设切点分别为()()2112,2ln ,,xx x x e +,则()2222211112211ln 1ln 11x x x x x e y x x x x x e x y e x x e e ⎧⎧==++⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=-=-+⎩⎩消元得到:()()()()222222222111101101,0x x x x e x e x x x e x -+=-⇒-+-=⇔--=⇒=而2x a e e ==或1,结合前面的分析:[1,]a e ∈故选：D8.设函数(),()f x f x '的定义域均为R ,且函数(21),(2)f x f x -'-均为偶函数.若当[1,2]x ∈时,()f x '=34ax +,则(90)f '的值为()A.-42B.-35C.-28D.-21解析：(21)f x -为偶函数,则2(21)(21)(1)(1)x xf x f x f x f x =--=-−−−→--=-,两边同时求导(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x -'--='-⇒'-+'--=可得()f x '关于(1,0)-对称；由(2)f x '-为偶函数，可得()f x '关于2x =-对称；立马就知道了周期T 4=,那么由(1)(3)0,()f f f x '-='='关于2x =对称;则(3)(1)0f f '='=,而(1)404f a a '=+=⇒=-故(90)(2242)(2)8428f f f a '='⨯+='=+=-故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.若110a b<<，则下列不等式正确的是（）A.0a b +> B.11a b ab <+ C.11a b a b->- D.22ln ln a b>答案：BC10.“[]x ”表示不大于x 的最大整数,例如:[3.8]3,[ 1.4]2,[4]4=-=--=-.下列关于[]x 的性质的叙述中,正确的是（）A.[][][]x y x y -- B.若[]1[]y x ,则||1x y -<C.若函数()f n 的解析式为()*f n n N =∈,则()6412080n f n ==∑D.23202422223333M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦被3除余数为1答案：ACD分析：对于A ，由定义[]x “”表示不大于x 的最大整数可知，[][][],x y x y +≤+故[][][]-x x y y ≤+，用x y -代换x ，即得[][][]x y x y -≤-，故A 正确.对于B,不妨设1,2y x =-=，满足[][]112y x =≤，但此时31x y -=>，故B 错误。

高二数学期中复习题及答案Revised by Petrel at 2021高二数学期中复习检测题2班级 姓名一.选择题1、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 （ ）2、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9 D ．a =﹣1 b =23、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．锐角三角形4、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（ ）A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第六项 （ ）5、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为 （ ）A ．41.1B ．51.1C ．610(1.11)⨯-D ． 511(1.11)⨯- 6．满足2,6,45===a C A 的△ABC 的个数为m ，则a m 的值为 （ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定7．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，a 1=3，前三项和为21，则a 3 + a 4 + a 5 =（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．1898．在△ABC 中，若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ，则cos B 等于 （ ）A ．41 B ．43C ．42D ．329．正数a 、b 的等差中项是21，且βαβα++=+=则,1,1bb a a 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610. 在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个正数之和为A. 227 B. 445 C. 225 D. 447（ ）11. 等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008 （ ）12. 已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则 312215S S S -+的值是A. 76- B. 76 C. 46 D. 13 （ ） 二.填空题13．写出命题：“至少有一个实数x ,使23+x =0”的否定 。

2020-2021学年临夏州临夏中学高二(下)期中数学复习卷2一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 在线性回归模型中，分别选择了甲，乙，丙，丁四个不同的模型，它们的相关指数R 2分别为0.46，0.85，0.72，0.93，其中回归效果最好的模型是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2. 设某校男生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ,y i )(i =1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.95x −98.83，则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系；B. 回归直线过样本点的中心(x −,y −)C. 若该校某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为62.67kgD. 若该校某男生身高增加1cm ，则其体重估计增加0.95kg3. 已知复数z =bi4+3i ，其中，i 为虚数单位，且|z|=5，则b =( )A. ±25B. ±1C. ±3D. ±54. 已知集合A ={x||2x −1|≤3}，B ={x|log 0.5x ≥a}，且B ⊊A ，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥−1B. a ≥1C. a ≤−1D. a ≤15. 如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次>的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5.则根据统计图，则下列说法错误的是( )A. 3球以下(含3球)的人数为10B. 4球以下(含4球)的人数为17C. 5球以下(含5球)的人数无法确定D. 5球的人数和6球的人数一样多6. 为了表示散点图中n 个点与某一条直线在整体上的接近程度，我们常用下面四个量中的( )A. ∑(n i=1y i −ŷi ) B. ∑(n i=1ŷi −y i ) C. ∑(n i=1y i −y ̂i )2 D. ∑(n i=1ŷi −y i )2 7. 已知a =2，b =12516，c =log 47，则下列不等式关系成立的是( )A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b8.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是()A. 假设三内角都不大于B. 假设三内角都大于C. 假设三内角至多有一个大于D. 假设三内角至多有两个大于9.如图是计算1+13+15+⋯+131的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是()①①A. n=n+2，i>16？B. n=n+2，i≥16？C. n=n+1，i>16？D. n=n+1，i≥16？10.观察图中各正方形图案，每条边上有a n个圆点，第a n个图案中圆点的个数是a n，按此规律推断出所有圆点总和S n与n的关系式为()A. S n=2n2−2nB. S n=2n2C. S n=4n2−3nD. S n=2n2+2n二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）11.已知复数(是虚数单位)，则．12.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是______．13.已知|z|=√5，且z的实部为√3，则z的虚部是______．14.某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知骑自行车上学的学生有26人，则采用其他方式上学的学生人数为______ 人．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.设计求1+3+5+7+⋯+31的算法，并画出相应的程序框图．16.已知x>0，y>0，证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy．17.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单数就会增加，如表是某餐饮店从外卖数据中抽取的 5 天的日平均气温与外卖订单数．(Ⅰ)经过数据分析，一天内平均气温x(℃)与该店外卖订单数y(份)成线性相关关系，试建立y关于x的回归方程，并预测平均气温为−12℃时该店的外卖订单数(结果四舍五入保留整数)(Ⅱ)天气预报预测未来一周内(七天)，有 3 天日平均气温不高于−10℃，若把这 7 天的预测数据当成真实数据，则从这 7 天中任意选取 2 天，求恰有 1 天外卖订单数不低于 160 份的概率．附注：回归方程ŷ=b̂x+â中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b̂=ni=1i−t)(y i−y)∑(ni=1t−t)2，â=y−b̂t．18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案与解析】1.答案：D解析：解：根据题意，在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，4个选项中，D选项的相关指数R2值最大；故选：D．根据题意，由相关指数R2的意义，分析选项选出相关指数R2最大一项，即可得答案．本题考查线性回归模型拟合效果的分析，注意相关指数R2的意义，属于基础题．2.答案：C解析：解：由y关于x的回归方程y=0.95x−98.83知，b̂=0.95>0，∴y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心(x−,y−)，B正确；计算x=170时，ŷ=0.95×170−98.83=62.67kg，则若该校某男生身高为170cm，则估计体重为62.67kg，C错误；若该校某男生身高增加1 cm，则其体重估计增加0.95kg，D正确．故选：C．由y关于x的回归方程，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．3.答案：A解析：本题考查复数的运算和复数的模，属于基础题．由复数的运算法则化简复数z，再根据|z|=5求解b的值．解：由z=bi4+3i =bi(4−3i)(4+3i)(4−3i)=325b+4b25i，即|z|=√b225=5，得b=±25．故选：A．解析：解：∵集合A ={x||2x −1|≤3}={x|−3≤2x −1≤3}={x|−2≤2x ≤4}={x|x ≤2} B ={x|log 0.5x ≥a}={x|0<x ≤2−a }， ∵B ⊊A ， ∴0<2−a ≤2， ∴−a ≤1， ∴a ≥−1， 故选：A结合指数的运算性质解绝对值不等式|2x −1|≤3可求出集合A ，解对数不等式求出集合B ，进而根据集合的真包含的定义构造关于实数a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，指数函数的单调性的应用，绝对值不等式和集合的包含关系，难度中档．5.答案：D解析：解：该班学生投篮成绩的中位数是5， 由某班35名学生的投篮成绩的统计图得：在A 中，3球以下(含3球)的人数为2+3+5=10，故A 正确； 在B 中，4球以下(含4球)的人数为：35−18=17，故B 正确； 在C 中，5球以下(含5球)的人数无法确定，故C 正确； 在D 中，5球的人数和6球的人数不一定一样多，故D 错误． 故选：D ．据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：解：利用残差的平方和来描述散点图中的点与某一条直线在整体上的接近程度， 残差指的是数据真实值与估计值之间的差，为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，表示它常用∑(n i=1y i −ŷi )2来描述．根据残差描述散点图中的点与某一条直线在整体上的接近程度， 常用∑(n i=1y i −y ̂i )2来描述图中n 个点与这条直线在整体上的接近程度． 本题考查了残差与线性回归方程的应用问题，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查了比较大小，属于基础题．由a =2，b >2，c =log 47<log 416=2，即可判断． 解：∵a =2， b =12516=53×16=√5>√4=2=a ，c =log 47<log 416=2=a ， ∴b >a >c ， 故选D ．8.答案：B解析：试题分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n 个”的否定：“至少有n +1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”.解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选B 考点：反证法点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定9.答案：A解析：解：①的意图为表示各项的分母， 而分母来看相差2，∴n =n +2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31共16项，∴i>16故选：A．首先分析，要计算1+13+15+⋯+131的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．10.答案：A解析：解：观察各个正方形图案可知各圆点的个数为：4，8，12，16，…归纳为：圆点个数为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n−1项和，即S n=(n−1)×4+(n−1)(n−2)2×4=2n2−2n．故选A．先观察给出的正方形图案，将各圆点的个数列出来，探讨规律，将其转化为特殊的数列，再用求和公式求解．本题主要考查归纳推理，归纳其规律，体现了特殊到一般的思想方法，比较基础．11.答案：解析：试题分析：．考点：复数运算．12.答案：91解析：先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列=2n2− n所以s n=n+n(n−1)×42∴s7=2×72−7=91故答案为：9113.答案：±√2解析：解：设z=√3+bi，b∈R．则√3+b2=√5，解得b=±√2．∴z的虚部为±√2．故答案为：±√2．设z=√3+bi，b∈R.可得√3+b2=√5，解得b．本题考查了复数的模的计算公式、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：由图可知骑车上学的学生占本班学生上学方式的52%，又知步行上学的学生有26人，∴本班学生总数：26÷52%=50人，由图可知采用其他方式上学的学生占本班学生上学方式的1−40%−52%=8%，∴采用其他方式上学的学生人数为50×8%=4人．故答案为：4．根据题意先求出本班的总人数，然后再根据采用其他方式上学的学生占的比例求出采用其他方式上学的学生人数．本题考查了扇形统计图，解题时观察扇形图的特点，从扇形图上正确求出各部分数量和总数量之间的关系是解题的关键．15.答案：解：第一步：S=0；第二步：i=1；第三步：S=S+i；第四步：i=i+2；第五步：若i不大于31，返回执行第三步，否则执行第六步；第六步：输出S值．程序框图如图：解析：由已知中程序的功能为用循环结构计算1+3+5+7+⋯+31的值，为累加运算，确定循环前和循环体中各语句，即可得到相应的程序框图．本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，其中熟练掌握利用循环进行累加和累乘运算的方法，是解答本题的关键．16.答案：证明：由均值不等式可得1+x +y 2≥3√xy 23，1+x 2+y ≥3√x 2y 3 分别当且仅当x =y 2=1，x 2=y =1时等号成立，∴两式相乘可得(1+x +y 2)(1+x 2+y)≥9xy ．当且仅当x =y =1时等号成立，解析：由均值不等式可得1+x +y 2≥3√xy 23，1+x 2+y ≥3√x 2y 3，两式相乘可得结论． 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．17.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据，计算t =15×(−2−4−6−8−10)=−6， y =15×(50+85+115+140+160)=110，∴∑(5i=1t i −t)(y i −y)=4×(−60)+2×(−25)+0×5+(−2)×30+(−4)×50=−550；∑(5i=1t i −t)2=42+22+02+(−2)2+(−4)2=40；∴b ̂=n i=1i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2=−55040=−554， a ̂=y −b ̂t =110+554×(−6)=552； ∴线性回归方程为ŷ=−554x +552， x =−12时，y ̂=−554×(−12)+552≈193，预测平均气温为−12℃时该店的外卖订单数为193；(Ⅱ)根据题意知，随机变量ξ～(2,47)， 则P(ξ=1)=C 21⋅47×(1−47)=2449， 故所求的概率为2449．解析：(Ⅰ)根据表中数据计算t 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算x =−12时y ̂的值即可；(Ⅱ)根据题意知随机变量ξ～(2,47)，计算P(ξ=1)的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了二项分布的概率计算问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由表中数据得K 2的观测值K 2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20=509≈5.556>5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x 、y 分钟，则基本事件满足的区域为{5≤x ≤76≤y ≤8(如图所示)设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x >y ，∴由几何概型P(A)=12×1×12×2=18即乙比甲先解答完的概率为18；(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C 82=28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C 62=15种；恰有一人被抽到有C 21⋅C 61=12种；两人都被抽到有C 22=1种，∴X 可能取值为0，1，2，P(X =0)=1528，P(X =1)=1228=37，P(X =2)=128X 的分布列为：∴EX =0×1528+1×1228+2×128=12．解析：(1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；(2)利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；(3)确定X 的可能值有0，1，2.依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．。