双偶数阶幻方的 V字型对称交换法

奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。

六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。

这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。

（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。

我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。

而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

偶阶幻方的解法（文档4篇）以下是网友分享的关于偶阶幻方的解法的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

第1篇偶阶幻方的填法第一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B C D A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u 即在调用子函数的时候分别如下面传递参数: A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n) 所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置。

上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系) 第二种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。

先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t) 如果不在，则填上i。

（4的倍数幻方，4，8，12可以。

6、10是不行的。

这样才有一般填法，4的方法是先画好格，连接对角线，这样有8格也就是一半的格子被斜线划过，然后从头到尾，数格子，没有斜线的格子就填上数的数，那么第一排就是1不填，2填，3填，4不填，第二排就是5填，6不填，7不填，8填三四排一样，然后从尾到头数，填划了斜线的格子，就成4介幻方；8阶就是对角线画斜线外，相邻边的中点相连再画4条线，形状就如4个4阶幻方；12阶就是三等分点，画9个如四阶的。

双偶数阶幻方的对角块中心对称交换法
范贤荣2016.5.30
所谓双偶数（即4m式）幻方，就是阶数N能被4整除的幻方，比如4阶、8阶、12阶、16阶……。

下面介绍的是对角块中心对称交换法，适用于所有4m式偶阶幻方。

所谓对角块，最低阶的双偶数阶幻方4阶幻方，其对角线即1、6、11、16和4、7、10、13两条。

这时候，不叫对角块，只叫对角线，因为，它只占1个方格。

增加到8阶，对角线好象变粗了。

如1、2、9、10到55、56、63、64，就变成“对角块”了，开始它占2个方格。

再增加到12阶，“对角块”又变粗了，占3个方格。

16阶，占4个方格。

20阶，就将是5个方格。

以后，必将是如此类推。

我们用红色作为标记。

该法是对角块中心对称交换法。

具体的交换法有两种：一是“对角块上的中心对称交换法”，二是“对角块外的中心对称交换法”。

对角块（红区）示例：
20阶方阵对角块（红区）
一、对角块上的中心对称交换法(红区交换) 如4阶
如8阶
二、对角块外的中心对称交换法（黄区交换）如4阶
如8阶
如12阶
如16阶
如20阶
幻方。

偶数阶幻方的解法
偶数阶幻方是指由奇数个数字构成的正方形矩阵，其中每行、每列和对角线上的数字之和都相等。

下面是一种经典的解法：
1. 填充数字：将1填充到幻方的左上角的第一行中间位置，然后顺序填充2、3、4等数字到右上角、右下角和左下角的位置，直到填满所有的空格。

填充的顺序是从上到下、从右到左。

2. 调整数字：将填充的数字中最大的数字和最小的数字交换，然后将次大的数字和次小的数字交换，以此类推。

这一步的目的是保证幻方的对角线上的数字之和仍然相等。

3. 调整行：从第二行开始，将前一行的最后一个数字放到当前行的第一个位置，然后将剩下的数字依次右移一位。

这一步的目的是保证幻方的每行的数字之和相等。

4. 调整列：从第二列开始，将前一列的最后一个数字放到当前列的第一个位置，然后将剩下的数字依次下移一位。

这一步的目的是保证幻方的每列的数字之和相等。

5. 完成：重复步骤3和步骤4，直到幻方的每行和每列的数字
之和都相等。

最后得到的矩阵就是一个解法。

需要注意的是，对于偶数阶幻方，不同的填充和调整顺序可能会得到不同的解法。

上述的步骤只是其中一种可能的解法。

A幻方常规解法汇总目前填写幻方的方法，主要分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。

A象限的其它行则标出最左边的k格。

将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

的数进行交换，就形成幻方。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。

这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。

例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。

【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。

先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。

幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法;是把幻方分成了三类;即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方..下面按这三类幻方;列出最常用解法考试用;不求强大;只求有效..奇数阶幻方罗伯法奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法..填写的方法是：把1或最小的数放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n－1个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行;仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列;仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列;那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入;那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内..例;用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方对称交换法所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方;即4K阶幻方..在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中;如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和即 n×n＋1;我们称它们为一对互补数 ..如在三阶幻方中;每一对和为 10 的数;是一对互补数；在四阶幻方中;每一对和为 17 的数;是一对互补数 ..双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易;方阵分为两个正方形;外大内小;然后把大正方形的四个对角上的数字对换;小正方形四个对角上的数字对换即1;164;13互换6;117;10互换即可..对于n=4k阶幻方;我们先把数字按顺序填写..写好后;按4×4把它划分成k×k个方阵..因为n是4的倍数;一定能用4×4的小方阵分割..然后把每个小方阵的对角线;象制作4阶幻方的方法一样;对角线上的数字换成互补的数字;就构成幻方..以8阶幻方为例：1 先把数字按顺序填..然后;按4×4把它分割成4块如图2 每个小方阵对角线上的数字如左上角小方阵部分;换成和它互补的数..单偶数阶幻方象限对称交换法以n=10为例;10＝4×2＋2;这时k=21把方阵分为A;B;C;D四个象限;这样每一个象限肯定是奇数阶..用罗伯法;依次在A象限;D象限;B象限;C象限按奇数阶幻方的填法填数..2在A象限的中间行、中间格开始;按自左向右的方向;标出k格..A象限的其它行则标出最左边的k格..将这些格;和C象限相对位置上的数;互换位置..3在B象限任一行的中间格;自右向左;标出k-1列..注：6阶幻方由于k-1=0;所以不用再作B、D象限的数据交换; 将B象限标出的这些数;和D象限相对位置上的数进行交换;就形成幻方..下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2;这时k＝1。

没法，组合数学还考幻方构造。

这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4×4把它划分成k×k 个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。

奇数阶幻方的方法：首先把1放在最上一行的正中间的方格，然后把下一个整数放置在右上方，如果到达最上一行，下一个整数放在最后一行，就好像它在第一行的上面，如果到达最有端，则下一个整数放在最左端，就好像好像他的最右端一样。

当到达方格中填上数时，下一个整数就放在刚填1到9走一下，就可以明白它的构造方法。

偶阶幻方分为单偶阶和双偶阶：1双偶阶幻方（对称交换）n为偶数，且能被4整除（n=4,8,12….）先说明一个定义，互补：如果两个数字和，等于幻方的最大数和最和最小数的和，即n*n+1，称互补。

先看看四阶幻这里，n*n+1=4*4+1=17;把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……..换成后就是四阶幻方。

对于n=4m阶的幻方，我们先把把数字按顺序填写。

写好后，按4*4把它划分成m*m各方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4*4的方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，像制作成四阶幻方地方法一样，对角线上的数字换成互补数字，就构成幻方。

Array2单偶阶幻方（不能被四整除的是单偶阶幻方）如6阶、10阶、14阶…将n阶单偶阶幻方表示为4m+2，将其等分成四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1的奇阶幻方。

A CD BA用1到（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方，B用（2m+1）^2+1到2*（2m+1）^2填写成2m+1 阶幻方，C用2*（2m+1）^2+1到3*（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方，D用3*（2m+1）^2 到4*（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方。

【注：^是平方的意思】六阶幻方如下：在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是对角线格即可）也就是说在A中间一行取包裹中心格在内的第m个小格，其它行左侧边缘取m个小格，将其与D中对应得方格交换；B与C任取m-1列进行交换6阶幻方就是4*1+2，那么m就是1在A中间一行取中心格1个小格，将其与D中相应方格进行交换，B与C接近右侧m-1列进行交换（6阶幻方m-1=0故不用交换）。

幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。

这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法〔考试用，不求强大，只求有效！〕。

奇数阶幻方〔罗伯法〕奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1〔或最小的数〕放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方〔对称交换法〕所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数〞定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和〔即n×n＋1〕，我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4内外四个角对角上互补的数相易，换，小正方形四个对角上的数字对换〕即〔1，16〕〔4，13〕互换〔6，11〕〔7，10〕互换即可。

对于n=4k4把它划分成k×k个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。

然后，按4×4把它分割成4块〔如图〕(2)单偶数阶幻方〔象限对称交换法〕以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2〔1〕把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。

偶数阶幻方偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方1. 双偶阶幻方（对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。

这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法）n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。

以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。

用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。

A象限的其它行则标出最左边的k格。

将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。

(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。

下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。

3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。

这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。

一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。

【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。

先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。

再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。

①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。

这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。

②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。

第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。

为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。

同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。

③再观察上图C的第一、第四行。

第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。

为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“”、“”，又叫“”。

1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。

填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻洛书，一个3阶幻方”。

中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：。