云南师大附中2015届高考适应性月考卷七理数试卷及答案

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. √4C. √9D. √162. 下列各式中，正确的是（）A. a + b = b + aB. a - b = b - aC. a × b = b × aD. a ÷ b = b ÷ a3. 下列各数中，正数是（）A. -2B. 0C. 1D. -14. 下列各式中，等式成立的是（）A. a² = b²B. a³ = b³C. a⁴ = b⁴D. a⁵ = b⁵5. 下列各式中，不是同类项的是（）A. 2x²B. 3x²C. 4x³D. 5x²二、填空题（每题5分，共25分）6. 2的平方根是______，3的立方根是______。

7. 下列各数中，绝对值最小的是______。

8. 下列各数中，整数部分是-2的是______。

9. 下列各数中，小数部分是0.5的是______。

10. 下列各数中，有理数的是______。

三、解答题（共50分）11. （10分）已知a = -3，b = 4，求a² - b²。

12. （10分）化简下列各式：（1）a² + b² + 2ab（2）a² - b² + 2ab（3）a² + b² - 2ab13. （10分）已知x = 2，y = -3，求x² - y² + 2xy。

14. （10分）下列各式中，判断对错，并说明理由：（1）a² + b² = (a + b)²（2）a² - b² = (a - b)²（3）a² + b² = (a + b)² - 2ab15. （10分）已知a = 2，b = -3，求下列各式的值：（1）a² + b²（2）a³ - b³（3）a⁴ - b⁴答案：一、选择题1. C2. A3. C4. C5. C二、填空题6. √2，√37. -18. -39. 0.510. -2，3，4三、解答题11. a² - b² = (-3)² - 4² = 9 - 16 = -712. （1）a² + b² + 2ab = (a + b)²（2）a² - b² + 2ab = (a + b)² - 4ab（3）a² + b² - 2ab = (a - b)²13. x² - y² + 2xy = 2² - (-3)² + 2 × 2 × (-3) = 4 - 9 - 12 = -1714. （1）错误，a² + b² ≠ (a + b)²（2）正确，a² - b² = (a - b)²（3）错误，a² + b² ≠ (a + b)² - 2ab15. （1）a² + b² = 2² + (-3)² = 4 + 9 = 13（2）a³ - b³ = 2³ - (-3)³ = 8 - (-27) = 35（3）a⁴ - b⁴ = 2⁴ - (-3)⁴ = 16 - 81 = -65。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，故选B.2．123i 32(6)i 12i 55z b b b z -+-==+-，当605b -=时，12z z 是实数，6b ∴=，故选A. 3．A 中否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”；B 中否定应为“210x x x ∀∈+-，≥R ”；C 中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D 正确，故选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)+⋅，λλ(34)3380=++=，λλ，解得311=-λ，故选C. 5．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选C.6．3πsin cos cos 26y x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故其对称轴为π2π6x k k -=∈，Z ，ππ212k x ∴=+， k ∈Z ，当0k =时，π12x =，故选A. 7．对于①，已知其正确；由正态分布的概念的对称性可得(10)(01)P P -<<=<<=ξξ 11(1)22P m ->=-ξ，故②正确；随机变量2K 的观测值k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，故选C. 8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一部分，体积为442π3V =⨯⨯+⨯ 1π2324π2+⨯⨯=+，故选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，所以3201512a a ==-，故选B ．10．1122()2cos ()()2()2f x x g x x x f x g x -''''==+，，≤，≥，故函数()2sin f x x =([0π])x ∈，上点P 的坐标必为(00)，，函数()13x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上点Q 的坐标必为813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故直线PQ 的斜率为83，故选C ． 11．由题意可知22222m c m n a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，则22n b =，椭圆的方程可化为22221x y c b +=．由0AP PQ ⋅=知AP 与渐近线垂直．不妨设P 在第一象限，则直线AP 的方程为()a y x c b=--，与渐近线b y x a =联立可解得P 的坐标为2a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．又点P 在椭圆上，代入椭圆方程可得42421a a c c +=，即42111e e +=，整理得4210e e --=，所以2e ，故选D ． 12．1121212212()(()()),()()()()()()(()())22f x f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x -⎧+=+=⎨<⎩≥1113e ((,0][3,)),e ((0,3)),x x x x -+⎧∈-∞+∞⎪=⎨⎪∈⎩又当[]x a b ∈，时，1212()()0g x g x x x ->-恒成立，故()g x 在[]x a b ∈，时是增函数，结合图象可知()g x 在[0)x ∈+∞，时是增函数，又[15]a b ∈-，，，故b a -的最大值在05a b ==，时取得，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a =，所以54b=，19959()9362b b S b +===. 14．ππ00sin d (cos )cos πcos02a x x x ==-=-+=⎰，二项式6⎛ ⎝展开式的通项公式为663166C (1)2C rr r r r r r r T x ---+⎛=⋅=- ⎝．令30r -=，得3r =，此时展开式中常数项为363346(1)2C 160T -=-⨯=-．15．函数(1)y f x =+的图象关于点(10)-，成中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(00)，成中心对称，即()y f x =为奇函数．不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，可化为222(2)(2)(2)f x x f y y f y y ---=-≤，又定义在R 上的函数()y f x =是减函数，2222x x y y ∴--≥，由14x ≤≤得22(22)014x y x y x ⎧---⎨⎩≥，≤≤，故()(2)014x y x y x -+-⎧⎨⎩≥，≤≤，即02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≥，≤≤或02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≤≤，作出可行域，又(12)()M N x y ，，，，故2OM ON x y ⋅=+，利用线性规划知识可求得OM ON ⋅的取值范围为[012]，.16．如图1，设P ABCD -的外接球的球心为G ，A B C D ，，，在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O上，点P 也在球上，GP GA R ∴==，棱长为1，22OA ∴=，设11O P x O G y ==，，则1OG y =-，在1Rt GO P △中，有222R x y =+①，在Rt GOA △中，三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）【注：本题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-”改为“且sin 2m n C ⋅=”，改后答案如下：】解：（Ⅰ）sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+，…………………………………………………………………………………（2分）在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………（4分）又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………（7分）1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………（9分）由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-， 得2c =．………………………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率为4032841005++=， 芯片乙为合格品的概率为4029631004++=，…………………………………………（3分） 随机变量X 的所有可能取值为90453015-,，，.433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=， 所以随机变量X 的分布列为………………………………………………………………………………………（7分）则X 的数学期望3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．…………………（8分）（Ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得5010(5)140n n --≥， 解得196n ≥，所以4n =或5n =．……………………………………………………（10分）设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则454531381()C 444128P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………（12分）19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，取AB 的中点H ，连接PH HC ，． PAB △是正三角形，且H 为AB 的中点，2AB =，PH AB ∴⊥，且3PH =…………………………………………………（2分） 底面ABCD 是矩形，22AB BC ==，123HC ∴=+. 又6PC =222PC PH CH ∴=+，PH HC ∴⊥．………………………………………………………（4分）AB HC H =，PH ∴⊥平面ABCD .PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图2所示，以H 为原点建立空间直角坐标系H xyz -， 则(100)(100)A B -，，，，，，(003)P ，，，(120)D ，，．……………………………（7分）设(01)AE AP =<<λλ，则(203)BE BA AE =+=-，，λλ，(220)BD =，，， 设()n x y z =，，为平面EBD 的法向量， 由0,()(220)=0,0,()(203)=0,n BD x y z n BE x y z ⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，λλ 220,(2)30,x x z ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩λλ令2z =-λ，得(362)n =--，，λλλ.易知(003)HP =，，为平面ABD 的一个法向量.………………………………………（9分）二面角E BD A --的大小为45︒， 22332cos45cos 210443n HP n HP n HP -⋅∴︒=〈〉===⋅-+⨯，λλλ. ………………………（10分）又由01<<λ，得12=λ，1AE EP ∴=∶．……………………………………………（12分） 由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 则816433A B A B m x x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………（3分）因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-， 整理得：4()320A B A B x x x x +++=， 将(*)代入上式可解得：28m =. 所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意可设椭圆S 的方程为：2221(7)28x y a a +=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，， 由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………（8分） 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x y a-=，…………………（9分）所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的部分. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………（12分）21.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()[(1)]()f x g x a g x '''=+--λλλλ，………………………………………（1分）令()0f x '>，得[(1)]()g x a g x ''+->λλ，(1)x a x ∴+->λλ，即(1)()0x a --<λ，解得x a <， ………………………………………………………（3分）故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，……………………………………（4分）∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值. ()f x 的极大值为()[(1)]()()()(1)e a f a g a a g a g a g a =+--=-=-⋅λλλλλ．………（6分）（Ⅱ）证明：e 1e 11x x x x x----=，又当0x >时，令()e 1x t x x =--，则()e 10x t x '=->， 故()(0)0t x t >=，因此原不等式化为e 1x x a x--<，即e (1)10x a x -+-<，…………（8分）令()e (1)1x h x a x =-+-，则()e (1)x h x a '=-+，由()0h x '=，得e 1x a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0h x '<；当ln(1)x a >+时，()0h x '>，故当ln(1)x a =+时，()h x 取得最小值[ln(1)](1)ln(1)h a a a a +=-++，……………（10分） 令()ln(1)01a s a a a a=-+>+，， 则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0h a a a a +=-++<.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立. ……………………………………（12分）22.（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠，又P ∠为公共角，PAB PCA ∴△∽△，AB PA AC PC∴=， 所以，AB PC AC PA ⋅=⋅. ………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，2PA PB PC ∴=⋅，4540PC BC ∴==，，又222901600CAB AC AB BC ∠=︒∴+==，， 又由（Ⅰ）知13AB PA AC PC ==，AC AB ∴==，连接EC ，CAE EAB ∠=∠，ACE ADB △∽△， AB AD AE AC∴=，480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………（10分）变形得213sin =+ρθ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ， 所以2211OA OB +222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ（定值）． ……………………………………………………（7分）1222222129(13sin )(13cos )139sin cos 4sin 24AOB S ===+++++△ρρθθθθθ， 易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………（10分）24.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥，因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立， 故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当1a =时，若1()()g x f x m=+的定义域为R ，则()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解， 又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时取等号，3m ∴>-．………………………………………………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（七）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(2)(12)A B =+∞=，，，，所以A B =∅，故选D ． 2．“⇒”0a =不成立，所以“a b >”是“320a a b ->”的必要不充分条件，故选B ． 3．(i 1)i z -=，i 11i i 122z ∴==--，z ∴=C ．4．画出图形如图1阴影部分，可知其可行域为等腰直角三角形，可知其面积为1，故选C ．5．该几何体是由一个倒立三棱锥和半个圆锥组合而成且三棱锥的底面是边长为4的等边三角形，1132V =⋅⋅ 11434π32π23⋅⋅+⋅⋅⋅=，故选D ． 6．12F PF ∠最大时，P 为该椭圆上、下顶点，12sin 2F PF c e a ∠==，21212cos 12sin 2F PF F PF ∠∠=- 14=，12sin 2F PF ∠=，e ∴=，故选A ． 7．2222212342015S =-+-++2(12)(12)(34)(34)(20132014)(20132014)2015=-++-+++-++ 2(12014)201420152+⋅=-20151008=⋅， 10082015S ∴=，故选B ． 8．||||1a b ==，2222()1()1x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相加得2223x y +=，sin cos x y ααα- )ϕ+，sin cos x y αα∴-D ． 图19．由题可知24C 2C 5n n -=-，解得8n =，3828C ()rr r x -⎛ ⎝若为常数项，解得6r =，所以常数项为−28，故选C ．10．22ln (0)ax x ax x x +>≤，即2ln a x a x +≤，令()2ln g x a x a x =+-，2()1a g x x'=-则，当0a < 时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上单调递减，0lim ()x g x →=+∞，不满足；当0a =时，0x -<，满足；当0a >时，()g x 在2x a =处取得最大值，(2)0g a ≤，解得a ，综上：0a ≤，故选A ． 11．设()P x y ，1|12MP MP MN +⋅=，代入整理得22 1 (3y x y -=，以(30)，为圆心，r 为半径作圆，与该曲线相切时的r 即为P 到(30)，的最小距离，2222213(3)y x x y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，联立得2246120 x x r -+-=，2=3644(12)0r r ∆-⋅⋅-=⇒=，P 到(30)，的最小，故选A ． 12．由21011101()102a a aa --≤整理得2211020a a +≤，由于{}n a 是等差数列，1019()102a a S +⋅== 1015(3)a a -，令1a =x ，10a y =，可求得目标函数3z y x =-的最大值为S ∴的最大值为A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．2|2|(2)5a b a b +=+=．14．由题意[14]x y ∈，，，作出不等式组141452x y y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，≥≤≤≤≤所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率521551d 215ln 2213318x x P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=⨯⎰． 15．655922230x x a a ⎧>⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩，，，解得925x <<． 16．11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，11116224f f ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0)0f =，(1)1f ∴=，111(1)322f f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，11119234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 在[01]，上为非减函数，111976f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤≤，1174f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，111672f f ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知sin cos sin B A C =⋅， 由正弦定理和余弦定理可得2222b c a b c bc+-=⋅， 整理得222b a c +=，90C ∴∠=︒，………………………………………………………（3分）a b c 、、成等差数列，2b a c ∴=+，534cos 354b c a B b c a ⎧=⎪⎪∴==⎨⎪=⎪⎩，，．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）以C 为坐标原点，CA 为y 轴正方向，CB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，设4b m =，则(00)C ，，(04)A m ，，(30)B m ，，43G m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，AG =，53m CG ==，222cos 2GC GA AC AGC GC GA +-∴∠==⋅⋅．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件A 为“这位同学参加面试至少得10分”，111153()1()1333254P A P A =-=-⋅⋅⋅=．…………………………………………………（6分） （Ⅱ）X 可取0，10，20，30，40，11111(0)333254P X ==⋅⋅⋅=， 2313211117(10)C 3323254P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222133121211181(20)C C 332332543P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2323121212010(30)C 332325427P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32184(40)325427P X ⎛⎫==⋅== ⎪⎝⎭， X 的分布列为：∴71104()10203040255432727E X =⋅+⋅+⋅+⋅=．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：DC CB DC CA CA CB C ⊥⊥=，，，DC ABC ∴⊥平面，DC CBED ⊂平面，ABC CBED ∴⊥平面平面．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：22232CB AC AB CB AC AB ==∴=+，，， 90BAC BA AC ∴∠=︒⊥，即，又//FA DC ，由（Ⅰ）可得FA AB FA CA ⊥⊥，，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AF 为z 轴建立 如图2所示的空间直角坐标系，(002)F ，，，00)B ，，423E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，00M ⎫⎪⎪⎝⎭，， 2423EB ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭，，500MB ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，(502)FB =-，，， 设平面FEB 的法向量为()m a b c =，，，00FB m EB m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，解得1m ⎛= ⎝⎭，， 设平面EBM 的法向量为()n x y z =，，，00MB n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，解得(032)n =-，，， 设F EB M --的二面角为θ，则cos ||||m n m n θ⋅===．……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2F 为线段1AF 的中点，1(0)F c -，，2(0)(30)F c A ，，，， 图223c c ∴=-，1c ∴=，122c e a b a ==∴=，， ∴椭圆Γ的方程为22143x y +=．………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设11()P x y ，，直线l y kx m =+：，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+-=，2243m k =+，12434km x k -=+，122433434km m y k m k k -=+=++， 11111x k y +=，12111x k y -=， 1121211118833x k kk kk k y k -+=⋅=⋅=-．……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1()2(0)g x x x x'=-+>， ()gx x =在处取得极大值，极大值为12g =-+⎝⎭．……………………（4分）（Ⅱ）1[01]x ∀∈，，2(01]x ∀∈，都有12()()f x g x ≥成立，即1min 2max ()()f x g x ≥，1[01]x ∈，，122111sin 0330e 10x x x x -+-≥，≥，≥，1()0f x ∴≥， 且当10x =时，1()0f x =，1min ()0f x ∴=，2max ()0g x ∴≤对2(01]x ∀∈，成立即可，当21x =时，该不等式成立，解得0a ≤，又2()2a g x ax x'=+， 当0a =时，上式恒成立，当20a -<<时，()01g x ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦在上单调递增，在上单调递减，222max ()02a g x g a ∴==-+， 解得2e 20a a -⇒-<<≥，当2a -≤时，()(01]g x 在，上单调递增，2max ()(1)02g x g a a ==⇒-≤≤， 综上，解得0a ≤．………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图3，AP 为⊙O 1的直径，90ABP ∴∠=︒，90CBP ∴∠=︒，同理90PCD ∠=︒， AC 为⊙O 2的切线，BCP CDP ∴∠=∠， BPC CPD ∴△∽△．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：如图3，取AB 中点为E ，连接1O E ，2O C ，则1O E AB ⊥，2O C AC ⊥，21AO C AO E ∴△∽△，1122AO O E AO O C ∴=，145O E ∴=，AE ∴=AB ∴=．…………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】图3解：（Ⅰ）由正弦定理2sin a r A=，可知该三角形的外接圆半径r ，等边三角形重心与外心重合，∴该三角形外接圆2C 的极坐标方程为ρ=．………………………………………（5分）（Ⅱ）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)4x y -+-=，曲线2C 的普通方程为223x y +=， 上述两个方程作差，可得AB 所在的直线方程为4470x y +-=，(00)，到直线AB 的距离d ==，⊙C 2所以||AB =10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）可知当0x ≤时无解，当0x >时，()2f x x ≤可转化为不等式2312x x x --≤≤， 解得115x ≤≤，满足0x >，所以解集为115⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………………………………（5分）（Ⅱ）x ∀∈R ，()|2|f x x -≤恒成立，即x ∀∈R ，|1||2|ax x --≤恒成立， 将|1||2|ax x --≤两边同时平方得2222144a x ax x x -+-+≤， 整理得22(1)(42)30a x a x -+--≤，当1a =±时均不成立，若x ∀∈R ，22(1)(42)30a x a x -+--≤恒成立， 即22210(42)12(1)0a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-⎪⎩，≤，解得1.2a =………………………………………（10分）。

理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2015届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．易得{|41}M x x =-<<，{210}M N =--，，，故选C ．2．221i 1iz =-+=-+-，故选D． 3．(1)(24)x =-∵，，，，且，a =b ab 420x --=∴，2x =-，(12)10-⋅∴，，a =a b =，故选D ．4．437C2802a a ==由，得，故选C ．5．因为23112a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得q =或0q =<（舍去），所以2256343434()a a a a q q a a a a ++==++ =，故选C ． 6．150=0+2=2=21+2=4i S i =>⨯不成立，，；45022424412i S i =>=+==⨯+=不成立，，； 1250426212630i S i =>=+==⨯+=不成立，，；3050628230868i S i =>=+==⨯+=不成立，，；68508i S =>=成立，，故选B ．7．01ln ln (01)ln 102x x y a a y a x a y a =''==-+==，，切点为，，切线方程为，∴，故选A ． 8．由三视图还原出几何图形如图1，其中正视图由SBC 面看入，SD ABCD AB ⊥平面，与DC 平行， 2433AB DC AD SD ====，，，，理科数学参考答案·第2页（共9页）11(24)33932V =⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．9．作出不等式组表示的区域如图2阴影部分所示，由图可知，(00)z ax by a b =+>>，过点(1,1)A 时取最大值，所以4a b +=，242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，00(04]a b ab >>∈∵，，∴，，故选B ．10．由于P 为抛物线26y x =-上一个动点，Q 为圆221(6)4x y +-=上一个动点， 那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值可结合抛物线的定义，P 到y 轴距离为P 到焦点距离减去32，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和32，即为，故选B ． 11．取ABC △外接圆圆心F ，连接AD 的中点即球心O 与F ，由球的性质可知OF 与平面ABC垂直，AB BD =，在Rt AOF △中，1AO =，AF =OF =又2AD OA =，故D 到平面ABC的距离2h OF ==13A BCD D ABC V V --==213=，故选A ． 12．()2e sin (222)()0()(222x f x x x k k f x f x x k k ''=∈π+ππ+π<∈π+ππ∵，∴，时，，递减，，3)+π时，()0()f x f x '>，递增，故当22x k =π+π时，()f x 取极小值，其极小值为22(22)e k f k π+ππ+π=-，02015x π又≤≤，所以()f x 的各极小值之和242014e e eS πππ=----=2π2014π2πe (1e )1e---，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2理科数学参考答案·第3页（共9页）13．2sin23α=∵，21cos(π)cos 12sin 29ααα⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭∴．14．23223255A A A 1A 5P ⋅⋅==． 15．()f x ∵是R 上的奇函数，()2c o s 0f x x'=+>，则()f x 在定义域内为增函数，(3)()0f m x f x -+<∴可变形为(3)()f mx f x -<-，3mx x -<-∴，将其看作关于m 的一次函数()3[2,2]g m x m x m =⋅-+∈-，，可得当[2,2]m ∈-时，()0g m <恒成立，若0x ≥，(2)0g <，若0x <，(2)0g -<，解得31x -<<．16．令1e 1b a =>，则ex x y a b ==，1eelog log log a b a y x x x ===，即这两个函数互为反函数且为增函数，故其有两个交点等价于log b y x =与y x =有两个交点，即函数()log b f x x x =-有两个零点．由max 1()(log e )()(log e)b b f x x f x f x '=-⇒=(log e)01e b f a ⇒>⇒<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin cos C A A C ， 因为sin 0A ≠，解得tan (0),3C C C π∈π=，∴． ……………………（4分） （Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B AB A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A=． ……………………………………………（6分） 若cos 0A =，则2A π=，tan 3cb b π==，，12ABC S bc ==△ ………（7分）若cos0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得13a b ==，． …………………（9分） 1sin 2ABC S ab C ==△． ……………………………………………（11分）理科数学参考答案·第4页（共9页）综上，ABC △． ……………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题条件知，PQ AD BQ AD ⊥⊥，， PQ BQ Q =，所以AD PQB ⊥平面，AD PAD ⊂∵平面， PQB PAD ⊥∴平面平面． …………………………………（4分）（Ⅱ）解：PA PD Q AD PQ AD =⊥∵，为中点，∴．PAD ABCD PAD ABCD AD PQ ABCD ⊥=⊥∵平面平面，平面平面，∴平面．如图3所示，以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，…………………………………………………（5分）则(000)(100)(00Q A P ，，，，，，，，(00)(20)B C -，，(00)QB =，设(01)PM PC λλ=≤≤，(2))QM QP PM QP PC λλλ=+=+=--，……………………………………………………………………………………（6分） 设()n x y z =，，是平面MBQ 的一个法向量， 则00QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，得3(1)01n λ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭，， ………………………………………（7分） 又(001)m=，，是平面BQC 的一个法向量， 1cos 2m n m n m n⋅〈〉===⋅∴，， 1013λλ=∵≤≤，∴，13PM PC =∴， …………………………………………（9分） 图3理科数学参考答案·第5页（共9页）PQ =∵∴M 到平面ABCD，122BQC S =⨯△，1233M BCQ V -==． …………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列． 设此数列为{}n a ，则易知1(1070)4010302202n n n n a a n S +==+==，，∴，解得11()n =-舍去或4n =，所以此决赛共比赛了4场． 则前3场的比分必为1∶2，且第4场比赛为领先的球队获胜，其概率为31313C 28⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）随机变量X 可取的值为345S S S ，，，即150，220，300．又311(150)224P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，31313(220)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，42413(300)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭． …………………………………………………………………………（9分）分布列如下：………………………………………………………………………（10分）所以X 的数学期望为133()=150+220+300232.5488E X ⨯⨯⨯=万元． ……………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，234c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，所以2234a c =，又点0)是抛物线的焦点，23c =∴．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………………………………（4分）理科数学参考答案·第6页（共9页）（Ⅱ）因为ON OA OB =+，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，l 与椭圆交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，由22223(14)2432014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，． 由222(24)128(14)02k k k ∆=-+>⇒>． …………………………………………（6分）12122224321414k x x x x k k +=-=++，． …………………………………………（7分） 12121322OAB S OD x x x x =-=-△∵，1223||OANBOABSS x x ==-==△∴= …………………………………………（9分） 令22k t -=，则22k t =+(0)t >由上式知，2OANBS===∴，当且仅当94t =，即2174k =时取等号，k =∴当时，平行四边形OANB 的面积最大值为2． 此时直线l的方程为3y =+． ……………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x px =-+的定义域为(0)+∞，，1()pxf x x-'=，00p x >>∵，， 10x p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，时，()0()f x f x '>，单调递增，理科数学参考答案·第7页（共9页）1x p ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x '<，单调递减， ()f x ∴在1x p=处取得极大值11ln f p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此极大值也是最大值，所以要使()0f x ≤恒成立，只需11ln 0f p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，1p ∴≥，∴p 的取值范围为[1)+∞，． ………………………………………………………（5分） （Ⅱ）令1p =，由（Ⅰ）知，ln 10x x -+≤，ln 1x x -∴≤，()31ln (31)3(1)ln g x ax x a a x x '=----=--， ……………………………………（6分）则()3(1)(1)(31)(1)g x a x x a x '---=--≥，当310a -≥即13a ≥时，由[1)x ∈+∞，得()0g x '≥恒成立，()g x 在[1)+∞，上单调递增，()(1)0g x g =≥符合题意，所以13a ≥；……………（7分）当0a ≤时，由[1)x ∈+∞，得()0g x '≤恒成立，()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤，显然不成立，0a ≤舍去； ……………………………………（8分）当103a <<时，由ln 1x x -≤，得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x-≥， 则11()3(1)1(31)x g x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为103a <<，所以113a>． ……………………………………………（10分） 113x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，()0g x '≤恒成立， ()g x 在113a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，()(1)0g x g =≤，显然不成立，103a <<舍去．综上可得：13a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）如图4，连接BE ，则BE EC ⊥，理科数学参考答案·第8页（共9页）又D 是BC 的中点，所以DE BD =． 又OE OB OD OD ==，，所以ODE ODB △≌△， 所以90OBD OED ∠=∠=︒．故D E O B ，，，四点共圆． …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图4，延长DO 交圆于点H ，2()DE DM DH DM DO OH DM DO =⋅=⋅+=⋅+∵DM OH ⋅， 21122DE DM AC DMAB ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即22DE DM AC DM AB =⋅+⋅， ,2BCDE DC ==∵ ∴22DC DM AC DM AB =⋅+⋅． ……………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=(01)y ≤≤，又cos sin x y ρθρθ==，， 所以半圆C 的极坐标方程是2cos 02ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，． …………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθθ=⎧⎪⎨π=⎪⎩解得111,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 设22()ρθ，为点Q的极坐标，则有2222(sin ),3ρθθθ⎧+=⎪⎨π=⎪⎩解得225,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． …………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为a b c ，，为正实数，由均值不等式可得333111a b c ++≥，即3331113a b c abc++≥，所以3331113abc abc a b c abc++++≥，而3abc abc +=≥333111abc a b c+++≥．当且仅当a b c ===时，取等号． ……………………………………………（5分）图4理科数学参考答案·第9页（共9页）（Ⅱ）111A B C ++≥39π3A B C =++≥，πππ9A B C++∴≥， 当且仅当π3A B C ===时，取等号． ……………………………………………（10分）。

高中物理学习材料唐玲收集整理云南师大附中2015届高考适应性月考卷（七）理综物理云南师大附中2015届高考适应性月考卷（七）理科综合参考答案物理部分第Ⅰ卷（选择题，共48分）选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，14~18题只有一个选项正确；19~21题有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选的得0分。

）题号 14 15 16 17 18 19 20 21 答案BCCADCDBCACD【解析】14．A 对B 的压力和B 对A 的支持力是一对相互作用力，故A 错。

以B 为研究对象，A 对B 的压力与B 所受重力之和大小等于桌面对B 的支持力，故C 、D 错。

15．+q 和-q 的两点电荷在O 点产生的合场强方向水平向右，大小等于其中一个点电荷在O 点产生的场强的大小。

要使O 点处电场强度为零，则应在C 点处放一个电荷量Q =-q 的点电荷或在D 点处放一个电荷量Q q =+的点电荷，故C 正确。

16．0~1s 内，磁感应强度均匀增大，根据楞次定律和法拉第电磁感应定律可知，电流为逆时针（为负值），大小为定值，故A 、B 错。

4~5s 内磁感应强度不变，穿过线圈的磁通量不变，没有感应电流，故D 错，C 正确。

17．当第（k -1）滴带电液滴滴到b 板后，两板间的场强为(1)k qE Cd-=，以第k 滴带电液滴为研究对象，由动能定理得()0mg h d qEd +-=，得2()1mgC h d k q +=+，故A 正确。

18．因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做匀速圆周运动。

依题意可知离子在正方形区域内做匀速圆周运动不射出该区域，做匀速圆周运动的半径为r<L8。

对离子，由牛顿第二定律有2q B m r =v v ，8qBr qBLm m=<v ，故D 正确。

19．由v -t 图象可知，0~1s 物体在做变速直线运动，1~2s 内物体做向右的减速运动，故A 、B 错，C 、D 正确。

理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由{0,2}A =，{0,1,2}B =，所以{0,2}AB =，故选C.2．由42015i i 1i z =+=-，则1i z =+，其对应点为(1,1)，在第一象限，故选A. 3．由{}n a 为等差数列，故而39662a a a +==，又1161166S a ==，故选D. 4．框图的运行如下：第一步1,πcos ;6k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第二步3,ππcos cos ;63k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步5,ππ2πcos cos cos .633k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步结束跳出循环，即最后输出的ππ2πcos cos cos 633S =，又由ππ2πc o sc o s c 6338S ==，故选D. 5．①错，因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面； ②错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面； ③错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；④对，直线m 、n 的方向向量分别是两互相垂直平面α、β的法向量，故而m n ⊥，所以有3个命题是假命题，故选C ．6．如图1所示，由椭圆的第一定义知，1214PF PF +=， 又有122PF PF -=，故而18PF =，26PF =，而1210F F =，所以2221212PF PF F F +=， 故12PF F △为Rt △，则12121242PF F S PF PF =⋅=△，故选B.7．由于1A 、2A 串联，故其能通过电流的概率为0.81， 则1A 、2A 不能通过电流的概率为10.810.19-=，图2图1理科数学参考答案·第2页（共8页）由1A 、2A 串联后与3A 并联，如图2，故,A B 之间能通过电流的概率为1(10.81)(10.9)0.981---=，又由于电路再与4A 串联，故而电流能在,M N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=，故选B.8．由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则5c =，由点到线的距离公式可知焦点(,0)c 到双曲线渐近线by x a=±的距离d b =，所以4b =，故而3a ==，故其离心率53e =，故选C.9．由题意知，2n B =，令1x =，则4n A =，故而4272n n A B +=+=， 解之得：3n =，故选A.10．由题意可知该三棱锥为如图3所示的边长为1的正方体中以,,,A B C D为顶点的正四面体，故而其体积313V ==，故选C. 11．由(())()()0xf x xf x f x ''=+>，则函数()xf x 为R 上的增函数. 由于01a b <<<，则01b a a <=，01a b b <=，log log 1a a b a <=，而lo g l o g 1b ba b >=，则log (log )b b a f a ⋅最大，故选D.12．必要条件，若ABC △是锐角三角形，则π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，所以tan tan tan 0A B C ++>，必要性成立；充分条件，由tan tan tan 0A B C ++>，即tan ,tan ,tan A B C 有意义，ABC △不是直角三角形. 又在ABC △中，由πA B C ++=，得：πA B C +=-，所以tan()tan(π)A B C +=-⇒tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=，由tan tan tan 0A B C ++>， 则tan tan tan 0A B C >，所以ABC △是锐角三角形，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图3理科数学参考答案·第3页（共8页）13．由223a b +=，得2(2)12a b +=，即224()4()12a a b b +⋅+=，所以21441122b b +⨯⨯⨯+=，解得2b =.14．,x y 满足的线性区域如图4阴影部分所示，222x y +=，由两点间距离公式知，22x y+的最小值的几何意义是点 (0,0)到阴影区域中点的最小距离的平方，如图可知点(0,0)到阴影区域 的最小距离为点(0,0)到直线220x y+-=的距离d ， 故d ==222min4()5x y +==.15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加0至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有91090⨯=个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有90个；同理，五位的“和谐数”有9010900⨯=个，六位的“和谐数”有900个，七位的“和谐数”有900109000⨯=个，八位的“和谐数”有9000个.16．记三个球心分别是1O ，2O ，3O ，球I 与桌面的切点为O ，反过来看图，由题意可知：三棱锥123IO O O 是以I 为顶点 123O O O 为底面的正三棱锥，三棱锥123OO O O 是以O 为顶点 123O O O 为底面的正三棱锥. 如图5所示，记A 为底面123O O O的中心，则OIA 三点共线且OA 垂直底面123O O O ，由题意知126O O =， 3OA =，1O A =，设球I 的半径为r ，则3AI r =-，13IO r =+，有22211()()()AO AI IO +=，即22(3)(3)12r r +=-+，解得1r =，所以球I 的半径为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图4图5理科数学参考答案·第4页（共8页）证明：（Ⅰ）由121(2)n n a a n -=+≥，知112(1)(2)n n a a n -+=+≥， 所以{1}n a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，故而111(1)2n n a a -+=+⋅，即12n n a +=，所以21n n a =-． ……………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知221log (1)21n n b a n +=+=+， 21111114(1)41n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭， 所以1111111111142231414n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，取BC 的中点O ， 因为PBC △为等边三角形，所以PO BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 如图6，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，直线OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,2,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)D --，(0,0,P ，所以(2,1,0)BD=--，(1,2,PA =-，0BD PA ⋅=， 则BD PA ⊥，即B D P A⊥.………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为PFPA λ=，(1,2,PA =-，所以(,2,)PF λλ=-， 又(1,1,DP =，所以(1,12,))DF DP PF λλλ=+=+--，又平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)n =，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒.sin 30DF n DF n⋅︒=，所以12=， 所以241670λλ-+=，则12λ=或72λ=（舍）. 当12λ=时，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒. …………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，图6理科数学参考答案·第5页（共8页）又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为14. ………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点20)F ，故可设椭圆的方程为222213x y b b +=+，解方程组2,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得C，D -，理科数学参考答案·第6页（共8页）由抛物线与椭圆的对称性，可得：22F C CD F SST==，所以212F S =，所以12S ⎫⎪⎭.因此2213413b b+=+，解得21b =，故而24a =， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=. ……………………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设其为k . ①当0k =时，0OA OB tOP +==，所以0t =； ②当0k ≠时，则直线l 的方程为(3)y k x =-，联立221,4(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理得：2222(14)243640k x k x k +-+-=，由Δ2222(24)4(14)(364)0k k k =-+->，得2105k <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2212122224364,1414k k x x x x k k -+==++． 因为OA OB tOP +=，所以121200(,)(,)x x y y t x y ++=， 所以20122124()(14)k x x x t t k =+=+，012122116()[()6](14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+．因为点P 在椭圆上，所以2222224644(14)(14)k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 解得222236991414k t k k ==-++， 由于2105k <<，故而204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-，综合①②可知，(2,2)t ∈-. ……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意知，()ln 2(0)f x x x '=+>，所以2()ln 2(0)F x ax x x =++>，2121()2(0)ax F x ax x x x+'∴=+=>．理科数学参考答案·第7页（共8页）①当0a ≥时，恒有()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞上是增函数； ②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x 综上所述，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()F x在0,⎛⎝上单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. ………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由题意知，21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--，要证121x x k <<，即要证22112122211111ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<<⇔<<-， 令211x t x =>，则只需要证明11ln t t t-<<，由l n 0t >，即等价证明：ln 1ln (1)t t t t t <-<>． ①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t '=-≥≥，故而()g t 在[1,)+∞上单调递增，而当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即ln 1(1)t t t <->；②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故而()h t 在[1,)+∞上单调递增， 而当1t >时，()ln (1)(1)0(1)h t t t t h t =-->=>，即1ln (1)t t t t -<>. 综上①②知，ln 1ln (1)t t t t t <-<>成立，即121x x k<<. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图7，连接DG ，AB ， ∵AD 为⊙M 的直径， ∴90ABD AGD ∠=∠=︒，在⊙O 中，90ABC AEC ABD ∠=∠=∠=︒，∴AC 为⊙O 的直径. …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵90AEC ∠=︒，∴90CEF ∠=︒，∵点G 为弧BD 的中点，∴BAG GAD ∠=∠，图7理科数学参考答案·第8页（共8页）在⊙O 中，BAE ECB ∠=∠，∴AGD CEF △∽△，∴AG EF CE GD ⋅=⋅. …………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故而C 的直角坐标方程为22.y ax =消去t 得直线l 的普通方程为2y x =-. ……………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意可知直线l的标准参数方程为2,4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得到2)8(4)0t a t a -+++=，则有1212),8(4)t t a t t a +=+⋅=+，由28(4)48(4)0a a ∆=+-⨯+>，即0a >或4a <-.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅， 解得1a =或4a =-（舍），所以1a =. ………………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为0,0m n >>， 则2422m n mn +≥，4222m n m n +≥， 所以244233()()4m n m n m n ++≥，当且仅当1m n ==时，取等号． …………………………………………（5分） （Ⅱ）由柯西不等式知：22222()()()a b m n am bn +++≥， 即2225()(5)m n +≥，所以225m n +≥， 当且仅当a bm n=时取等号. …………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数z=i4+i2015的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a9=12，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．664．（5分）执行如图所示框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊂α，n⊂β且α⊥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．24B．24 C．48D．487．（5分）如图，元件A i（i=1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（）A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.98918．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）如图所示，某三棱锥的三视图均为边长为1的正方形，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b•f（log a b）D．log b a•f（log b a）12．（5分）在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（）A．既不充分也不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||=1，|2﹣|=2，则||=．14．（5分）已知，则x2+y2的最小值是．15．（5分）无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有个．16．（5分）三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，则球I的半径是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+1（n≥2）且a1=1，b n=log2（a2n+1+1），．求证：（Ⅰ）数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}的前n项和．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足．（1）证明：PA⊥BD；（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？19．（12分）甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．20．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．（Ⅰ）设F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．（10分）设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）证明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求证：m2+n2≥5．云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）在复平面内，复数z=i4+i2015的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的单位i的指数运算，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的共轭复数的形式，判断选项即可．解答：解：复数z=i4+i2015=1+i2012+3=1﹣i，复数的共轭复数我1+i，对应的点（1，1）在第一象限．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，基本知识的考查．3．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a9=12，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．66考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得S11==，由此能求出结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a9=12，∴数列{a n}的前11项和：S11====66．故选：D．点评：本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）执行如图所示框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，α的值，当k=5时，满足条件k＞4，输出S的值为﹣．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=1，α=S=，α=不满足条件k＞4，k=3S=，α=不满足条件k＞4，k=5S=﹣，α=满足条件k＞4，输出S的值为﹣．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．（5分）关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊂α，n⊂β且α⊥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：对四个命题，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，分别判断能求出结果．解答：解：对于①，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；E P∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故①为假命题；当m⊂β时，则m⊥n，故②为假命题；∵m⊂α，n⊂β，且α⊥β，∴根据当m⊥β，可以推出直线m垂直于β内的所有条件，可以得到垂直与直线n，故③为假命题；由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故④正确故选：C．点评：本题考查两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．6．（5分）F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．24B．24 C．48D．48考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义，结合|PF1|﹣|PF2|=2，可得|PF1|=8，|PF2|=6，进而PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积可求．解答：解：由题意，|PF1|+|PF2|=14，∵|PF1|﹣|PF2|=2，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，∴△PF1F2的面积为=24，故选：B．点评：本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，确定PF1⊥PF2是关键．7．（5分）如图，元件A i（i=1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（）A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.9891考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：求出电流不能通过A1 、A2 ，且也不能通过A3的概率，用1减去此概率，即得电流能通过系统A1 、A2 、A3的概率．再根据电流能通过A4的概率为0.9，利用相互独立事件的概率乘法公式求得电流能在M，N之间通过的概率．解答：解：电流能通过A1 、A2 ，的概率为0.9×0.9=0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1 、A2 ，且也不能通过A3的概率为（1﹣0.81）（1﹣0.9）=0.019，故电流能通过系统A1 、A2 、A3的概率为 1﹣0.019=0.981，而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是（1﹣0.019）×0.9=0.8829，故选：B．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的离心率．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线的离心率为e==，故选：C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得A==4n，B=2n，再由A+B=4n+2n=72，求得2n的值，可得n的值．解答：解：由题意可得A==4n，B=2n，再由A+B=4n+2n=72，可得（2n﹣8）（2n+9）=0，∴2n=8，n=3，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意各系数之和，与各二项式系数之和的区别，属于基础题．10．（5分）如图所示，某三棱锥的三视图均为边长为1的正方形，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体．解答：解：该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体，则其体积V=1﹣4××（×1×1）×1=，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b•f（log a b）D．log b a•f（log b a）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，在a b，b a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大，从而得出答案．解答：解：构造函数F（x）=xf（x）则F'（x）=xf'（x）+f（x）＞0即F（x）在R上是增函数，又由0＜a＜b＜1知a b，b a＜1而loga（b）＜loga（a）=1logb（a）＞logb（b）=1故在a b，b a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大故F（logb（a））=logb a•f（logb a）最大故选D．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．12．（5分）在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（）A．既不充分也不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．解答：解：先证充分性：∵tan（A+B）=，∴tan（A+B）=tan（180°﹣C）=﹣tanC，∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，若三角形有一个钝角，必有一个值为负值，tanA•tanB•tanC＜0，若三角形有一个为直角，则tanA•tanB•tanC无意义，∴当tanA•tanB•tanC＞0时三个角为锐角，故tanA+tanB+tanC＞0时，△ABC是锐角三角形；再证必要性：∵△ABC是锐角三角形；∴tanA•tanB•tanC＞0，又tan（A+B）=，∴tan（A+B）=tan（180°﹣C）=﹣tanC，∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，∴△ABC是锐角三角形时，tanA+tanB+tanC＞0．故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角恒等变换，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||=1，|2﹣|=2，则||=4．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算和性质即可得出．解答：解：∵|2﹣|=2，∴=12，∴，化为，解得=4．故答案为：4．点评：本题考查了数量积运算和性质，属于基础题．14．（5分）已知，则x2+y2的最小值是．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题．解答：解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，当O点到直线2x+y﹣2=0的距离平方时，z最小，最小值为=，故答案为：．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．15．（5分）无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有9000个．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：根据“和谐数”的定义和特点，一位的“和谐数”有10个，二位的“和谐数”有9个，三位的“和谐数”有9×10个，四位的“和谐数”有9×10个，五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10 个，位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000 个，从而得出结论．解答：解：根据“和谐数”的定义，“和谐数”的首位和末尾是相同的，故两位或两位以上的“和谐数”的末尾不能为0，故末尾和首位有9种选择，其余的有10种选择．对于位数是偶数的“和谐数”，其中有一半位数确定了，这个数就确定了．对于位数是奇数的“和谐数”，最中间的那位数字可任意取，有10种方法．故一位的“和谐数”有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个；二位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共9×10=90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共9×10=90个；故五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10=900 个，七位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000 个，故答案为：9000．点评：本题主要考查排列、组合以及两个基本原理的应用，注意理解“和谐数”的定义和特点，属于中档题．16．（5分）三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，则球I的半径是1．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，球心I到平面O1O2O3的距离为3﹣r，|O1I|=3+r，由勾股定理可得方程，解方程即可得出结论．解答：解：设球I的半径是r，则|O1I|=3+r，由题意，球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，∴球心I到桌面的距离为r，球心O1到桌面的距离为3，∴球心I到平面O1O2O3的距离为3﹣r，则由勾股定理可得（3+r）2=（3﹣r）2+（2）2，∴r=1，故答案为：1．点评：本题考查球与球的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+1（n≥2）且a1=1，b n=log2（a2n+1+1），．求证：（Ⅰ）数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）把已知的等式a n=2a n﹣1+1变形，得到a n+1=2（a n﹣1+1），同时求出当n=2时得到a2+1=2（a1+1），将a1的值代入求出a2+1的值，确定出数列{a n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出a n的通项公式；（Ⅱ）确定数列{c n}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．解答：证明：（Ⅰ）∵a n=2a n﹣1+1，∴a n+1=2（a n﹣1+1），令n=2得：a2+1=2（a1+1），又a1=1，∴a2+1=4，a1+1=2，∴数列{a n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，则通项公式为a n+1=2n，即a n=2n﹣1，…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=log2（a2n+1+1）=2n+1，=（﹣），所以S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）＜．…（12分）点评：此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，考查裂项法求和，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足．（1）证明：PA⊥BD；（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？考点：用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明PO⊥平面ABCD，再建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0，可证得PA⊥BD；（2）利用平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°，根据向量的夹角公式，即可求得结论．解答：（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，∴A（1，﹣2，0），B（1，0，0），D（﹣1，﹣1，0），P（0，0，）∴∴∴∴PA⊥BD；（2）解：∵，∴∵∴=∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°∴sin30°=||∴4λ2﹣16λ+7=0∴，（舍去）∴λ=时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查李建勇空间向量解决立体几何问题，属于中档题．19．（12分）甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+、p+，由题意知，（1﹣p）（p+）=，由此能求出甲同学第一次参加测试就合格的概率．（Ⅱ）甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ=m+n的分布列．解答：解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+、p+，由题意知，（1﹣p）（p+）=，解得p=或p=（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）=（）×（）+（）×（）=，P（ξ=6）==，所以ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6P…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，求出C，D的坐标，由抛物线与椭圆的对称性，可得S（，），代入椭圆方程，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合+=t，求出P的坐标，代入椭圆方程，求出实数t的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，解方程组解得C（，2），D（，﹣2），由抛物线与椭圆的对称性，可得：=，所以|F2S|=，所以S（，）．因此，解得b=1，故而a=2，所以椭圆E的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．①当k=0时，所以t=0；②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x﹣3），代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，得0＜k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=．因为+=t，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0），所以x0=（x1+x2）=，y0=．因为点P在椭圆上，所以[]2+[]2=4，解得t2=9﹣，由于0＜k2＜，故而0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），综合①②可知，t∈（﹣2，2）．点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．（Ⅰ）设F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2．考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，代入函数F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），进一步求出函数F（x）的导函数，然后分a≥0和a＜0分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）由两点式求出，利用分析法得到证，转化为证，换元后构造函数，利用导函数得到单调性，从而得到要证的结论．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x（lnx+1）（x＞0），得f′（x）=lnx+2（x＞0），F（x）=ax2+lnx+2（x＞0），∴（x＞0）．①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得；综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减；（Ⅱ）．要证，即证，等价于证，令，则只要证1＜，由t＞1，知lnt＞0，故等价于lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞0）（*）①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则（t≥1），故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt，②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数．∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1（t＞1）．由①②知（*）成立，故．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式的证明，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了函数构造法，解答的关键在于正确分类，是有一定难度题目．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．考点：圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（ I）要证AC为⊙O的直径，只需证出=90°即可．∠ABC连接DG，AB，根据圆周角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后，则可得到证明．（Ⅱ）要证AG•EF=CE•GD，可考虑证明△AGD∽△ECF．两三角形均为直角三角形，再通过∠GAD=∠GAB=∠BCE，则可证出△AGD∽△ECF．解答：证明：（ I）连接DG，AB∵AD为⊙M的直径∴∠ABD=∠AGD=90°在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°∴AC为⊙O的直径．…（4分）（ II）∵∠AEC=90°∴∠CEF=90°∵点G为弧BD的中点∴∠GAD=∠GAB，在⊙O中，∠BCE=∠GAB∴△AGD∽△E CF∴AG•EF=CE•GD…（10分）点评：本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理．在以圆为背景的条件下，要充分利用圆的几何性质、圆周角定理，弦切角定理等，寻求相等角实现转化与代换．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用极坐标化为直角坐标方程的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．解答：解：（1）由曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，化为y2=2ax．由直线l的参数方程为，消去参数t可得直线l：y=x﹣2．（2）联立，化为x2﹣（4+2a）x+4=0，∵直线l与抛物线相交于两点，∴△=（4+2a）2﹣16＞0，解得a＞0或a＜﹣4．（*）∴x1+x2=4+2a，x1x2=4．∴|MN|===．=，|PN|=．∴|PM||PN|=2|（x1+2）（x2+2）|=2|x1x2+2（x1+x2）+4|=2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM||PN|，∴=2|16+4a|，化为a（4+a）=|4+a|，∵a＞0或a＜﹣4．解得a=1．∴a=1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．选修4-5：不等式选讲24．（10分）设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）证明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求证：m2+n2≥5．考点：不等式的证明．专题：综合题；不等式．分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ）利用柯西不等式即可得出．解答：证明：（Ⅰ）因为m＞0，n＞0，则m2+n4≥2mn2，m4+n2≥2m2n，所以（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3，当且仅当m=n=1时，取等号．…（5分）（Ⅱ）由柯西不等式可得：（m2+n2）（a2+b2）≥（ma+nb）2，∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴5（m2+n2）≥25，∴m2+n2≥5，当且仅当na=mb时取等号．…（10分）点评：本题考查了基本不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．。

云南省师大附中2015届高考数学适应性月考卷理(扫描版)理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDDCCBAABBAD【解析】1．易得{|41}M x x =-<<，{210}M N =--I ，，，故选C ．2．221i 1iz =-+=-+-，故选D ．3．(1)(24)x =-∵，，，，且，a =b a b P 420x --=∴，2x =-，(12)10-⋅∴，，a =a b =，故选D ． 4．437C 2802a a ==由，得，故选C ． 5．因为2311a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得15q +=或150q -=<（舍去），所以2256343434()a a a a q q a a a a ++==++ 35+=，故选C ． 6．150=0+2=2=21+2=4i S i =>⨯不成立，，；45022424412i S i =>=+==⨯+=不成立，，；1250426212630i S i =>=+==⨯+=不成立，，； 3050628230868i S i =>=+==⨯+=不成立，，；68508i S =>=成立，，故选B ．7．01ln ln (01)ln 102x x y a a y a x a y a =''==-+==，，切点为，，切线方程为，∴，故选A ． 8．由三视图还原出几何图形如图1，其中正视图由SBC 面看入，SD ABCD AB ⊥平面，与DC 平行，2433AB DC AD SD ====，，，，11(24)33932V =⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．9．作出不等式组表示的区域如图2阴影部分所示，由图可知，(00)z ax by a b =+>>，过点(1,1)A 时取最大值， 所以4a b +=，242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，00(04]a b ab >>∈∵，，∴，，故选B ．10．由于P 为抛物线26y x =-上一个动点，Q 为圆221(6)4x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值可结合抛物线的定义，P 到y 轴距离为P 到焦点距离减去32，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和323174-，故选B ．11．取ABC △外接圆圆心F ，连接AD 的中点即球心O 与F ，由球的性质可知OF 与平面ABC 垂直，2AB BD =在Rt AOF △中，1AO =，6AF =，故26313OF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又2AD OA =，故D 到平面ABC 的距离232h OF ==，因此133A BCD D ABC V V --==2231(2)3=，故选A ．12．()2e sin (222)()0()(222x f x x x k k f x f x x k k ''=∈π+ππ+π<∈π+ππ∵，∴，时，，递减，， 3)+π时，()0()f x f x '>，递增，故当22x k =π+π时，()f x 取极小值，其极小值为22(22)e k f k π+ππ+π=-，02015x π又≤≤，所以()f x 的各极小值之和242014e e eS πππ=----=L 2π2014π2πe (1e )1e ---，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1图2题号 13 14 15 16 答案19- 15(31)-，(1e)，【解析】13．2sin23α=∵，21cos(π)cos 12sin 29ααα⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭∴．14．23223255A A A 1A 5P ⋅⋅==． 15．()f x ∵是R 上的奇函数，()2cos 0f x x '=+>，则()f x 在定义域内为增函数，(3)()0f mx f x -+<∴可变形为(3)()f mx f x -<-，3mx x -<-∴，将其看作关于m 的一次函数()3[2,2]g m x m x m =⋅-+∈-，，可得当[2,2]m ∈-时，()0g m <恒成立，若0x ≥，(2)0g <，若0x <，(2)0g -<，解得31x -<<． 16．令1e 1b a =>，则ex x y a b ==，1eelog log log a b a y x x x ===，即这两个函数互为反函数且为增函数，故其有两个交点等价于log b y x =与y x =有两个交点，即函数()log b f x x x =-有两个零点．由max 1()(log e )()(log e)b b f x x f x f x'=-⇒=(log e)01e b f a ⇒>⇒<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan 3(0),3C C C π∈π=，又，∴． ……………………（4分）（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =． ……………………………………………（6分）若cos 0A =，则2A π=，21tan 3cb bπ==，，1732ABC S bc ==△； ………（7分）若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得13a b ==，． …………………（9分）133sin 2ABC S ab C ==△ ……………………………………………（11分） 综上，ABC △7333． ……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题条件知，PQ AD BQ AD ⊥⊥，， PQ BQ Q =I ，所以AD PQB ⊥平面，AD PAD ⊂∵平面，PQB PAD ⊥∴平面平面． …………………………………（4分） （Ⅱ）解：PA PD Q AD PQ AD =⊥∵，为中点，∴．PAD ABCD PAD ABCD AD PQ ABCD ⊥=⊥I ∵平面平面，平面平面，∴平面． 如图3所示，以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，…………………………………………………（5分）则(000)(100)(003)Q A P ，，，，，，，，， (030)(230)B C -，，，，，，(030)QB =u u u r，，， 设(01)PM PC λλ=u u u u r u u u r ≤≤，(233(1))QM QP PM QP PC λλλλ=+=+=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，，，……………………………………………………………………………………（6分） 设()n x y z =r，，是平面MBQ 的一个法向量，则00QM n QB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，，即3(1)0z x y λ⎧-⋅=⎪⎨⎪=⎩， 图3令1z =，得01n ⎫=⎪⎪⎝⎭r ，， ………………………………………（7分） 又(001)m =u r，，是平面BQC 的一个法向量，1cos 2m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r ru r r u r r ∴，， 1013λλ=∵≤≤，∴，13PM PC =∴， …………………………………………（9分）PQ =∵∴M 到平面ABCD122BQC S =⨯=△1233M BCQ V -==． …………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{}n a ，则易知1(1070)4010302202n n n n a a n S +==+==，，∴，解得11()n =-舍去或4n =，所以此决赛共比赛了4场．则前3场的比分必为1∶2，且第4场比赛为领先的球队获胜，其概率为31313C 28⎛⎫= ⎪⎝⎭． ……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）随机变量X 可取的值为345S S S ，，，即150，220，300．又311(150)224P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，31313(220)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，42413(300)C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………（9分）………………………………………………………………………（10分）所以X 的数学期望为133()=150+220+300232.5488E X ⨯⨯⨯=万元． ……………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，234c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，所以2234a c =，又点0)是抛物线的焦点，23c =∴．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，l 与椭圆交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，由22223(14)2432014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，． 由222(24)128(14)02k k k ∆=-+>⇒>． …………………………………………（6分）12122224321414k x x x x k k +=-=++，． …………………………………………（7分）12121322OAB S OD x x x x =-=-△∵，1223||OANB OABS S x x ==-=Y △∴== …………………………………………（9分）令22k t -=，则22k t =+(0)t >由上式知，2OANB S ===Y ∴，当且仅当9t =，即2174k =时取等号，k =∴当时，平行四边形OANB 的面积最大值为2． 此时直线l 的方程为3y =+． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x px =-+的定义域为(0)+∞，，1()pxf x x-'=，00p x >>∵，，10x p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，时，()0()f x f x '>，单调递增，1x p ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0()f x f x '<，单调递减， ()f x ∴在1x p=处取得极大值11ln f p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此极大值也是最大值，所以要使()0f x ≤恒成立，只需11ln 0f p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，1p ∴≥，∴p 的取值范围为[1)+∞，． ………………………………………………………（5分） （Ⅱ）令1p =，由（Ⅰ）知，ln 10x x -+≤，ln 1x x -∴≤，()31ln (31)3(1)ln g x ax x a a x x '=----=--， ……………………………………（6分） 则()3(1)(1)(31)(1)g x a x x a x '---=--≥，当310a -≥即13a ≥时，由[1)x ∈+∞，得()0g x '≥恒成立，()g x 在[1)+∞，上单调递增，()(1)0g x g =≥符合题意，所以13a ≥；……………（7分）当0a ≤时，由[1)x ∈+∞，得()0g x '≤恒成立，()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤，显然不成立，0a ≤舍去； ……………………………………（8分）当103a <<时，由ln 1x x -≤，得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x-≥，则11()3(1)1(31)x g x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为103a <<，所以113a>． ……………………………………………（10分）113x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，()0g x '≤恒成立， ()g x 在113a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，()(1)0g x g =≤，显然不成立，103a <<舍去．综上可得：13a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）如图4，连接BE ，则BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，所以DE BD =．又OE OB OD OD ==，，所以ODE ODB △≌△， 所以90OBD OED ∠=∠=︒．故D E O B ，，，四点共圆． …………………………………………………………（5分）（Ⅱ）如图4，延长DO 交圆于点H ，2()DE DM DH DM DO OH DM DO =⋅=⋅+=⋅+∵DM OH ⋅， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，,2BCDE DC ==∵ ∴22DC DM AC DM AB =⋅+⋅． ……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=(01)y ≤≤，又cos sin x y ρθρθ==，，所以半圆C 的极坐标方程是2cos 02ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，． …………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθθ=⎧⎪⎨π=⎪⎩ 解得111,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3)53,,3ρθθθ⎧+=⎪⎨π=⎪⎩解得225,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为a b c ，，为正实数，由均值不等式可得33333331111113a b c a b c ++⋅⋅≥3331113a b c abc++≥，所以3331113abc abc a b ++++≥，而33223abc abc abc abc +⋅≥，所以33311123abc a b c+++≥ 当且仅当63a b c ===时，取等号． ……………………………………………（5分） （Ⅱ）3311113A B C ABCABC++≥39π3A B C =++≥，πππ9A B C++∴≥， 当且仅当π3A B C ===时，取等号． ……………………………………………（10分）图4。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}U 1,3,5,7,9=，{}1,5,7A =，则U A =ð（ ）A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,9 2、复数3223ii+=-（ ） A ．i B ．i - C ．1213i - D ．1213i +3、函数sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4、给定下列两个命题：①“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件②“0R x ∃∈，使0s i n 0x >”的否定是“R x ∀∈，使s i n 0x ≤” 其中说法正确的是（ ）A ．①真②假B ．①假②真C ．①和②都为假D ．①和②都为真 5、在图1所示的程序中，若5N =时，则输出的S 等于（ ） A ．54B ．45C ．65D ．566、已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．()10613--- B ．()101139-- C ．()10313-- D ．()10313-+ 7、若已知向量()cos 25,sin 25a =，()sin 20,cos 20b =，u a tb =+，R t ∈，则u 的最小值是（ ）A B ．2C ．1D ．128、如图2所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的表面积为（ ）A ．64+B ．()968π+C ．64+D ．()968π+9、过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A B ．C ．3±D ．10、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．⎛ ⎝⎭C ．[)2,+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭11、已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为2的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 4S =，则此棱锥的体积为（ ）A B C D ．12、()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()(){}1m a x ,f x g x H =，()()(){}2min ,x f x g x H =（{}max ,p q 表示p ，q 中的较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中的较小值）．记()1x H 的最小值为A ，()2x H 的最大值为B ，则A -B =（ ）A ．16B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a = ．14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = ． 15、若x ，y 满足1x y +≤，则3yz x =-的取值范围是 ． 16、设x ，R y ∈，且满足()()()()2015201512013sin 1201412013sin 12012x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩，则x y += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知向量()sin ,1m x =，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m=+⋅． ()I 求函数()f x 的最小正周期；()II若a ，b ，c 分别是C ∆AB的三边，a =，c =且()f A 是函数()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值，求角A 、角C ．18、（本小题满分12分）为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示．()I 求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；()II 若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm ”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图4，已知菱形C S A B 中，60S ∠AB =．沿着对角线S A 将菱形C S A B 折成三棱锥C S -AB ，且在三棱锥C S -AB 中，C 90∠BA =，O为C B 中点．()I 求证：S O ⊥平面C AB ；()II 求平面C S A 与平面C S B 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．()I 求椭圆的方程；()II 若以k （0k ≠）为斜率的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为116，求k 的取值范围． 21、（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+． ()I 若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； ()II 设0m n >>，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5，圆O 的直径10AB =，弦D E ⊥AB 于点H ，2BH =．()I 求D E 的长；()II 延长D E 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C，若C P =D P 的长．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos 24πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．()I 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； ()II 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-，()3g x x m =-++． ()I 解关于x 的不等式()10f x a +->（R a ∈）； ()II 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围．学参考答案一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）1、D2、A3、B4、D5、D6、C7、B8、D9、B 10、B 11、A 12、B 【解析】1．由{13579}U =，，，，，{157}A =，，，则{39}U A =，ð，故选D ． 2．由32i (32i)(23i)i 23i (23i)(23i)+++==--+，故选A ． 3．由πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则函数为周期为π的偶函数，故选B ．4．（1）当“p q ∨”为真时，可以是p 假q 真，故而p ⌝为假不成立；当p ⌝为假时，p 为真，则“p q ∨”为真，故①正确；（2）由特称命题的否定为全称命题，故②正确，综上所述，①②均正确，故选D ． 5．由程序框图可知，输出的1111111111511223344556223566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故选D ． 6．因为124303n n a a a ++==-，，所以11143n n a a a +=-=，，所以数列{}n a 是公比为13-的等比数列，所以{}n a 的前10项和等于103(13)--，故选C ． 7．由题意(cos 25sin 20sin 25cos 20)u a tb t t =+=︒+︒︒+︒，，则2||1u t =+，当t = 时，min 2||u =，故选B ． 8．由题意可知：该几何体为边长为4的正方体上下各挖去底面半径为2，高为2的圆锥，故而其表面积是1642(164π)24π968)π2+-+⨯⨯=+-，故选D ．9．由于y =221(0)x y y +=≥，直线l 与221(0)x y y +=≥交于A ，B 两点， 如图1所示，11sin 22AOB S AOB =∠△≤， 且当90AOB ∠=︒时，AOB S △取得最大值，此时 AB=O 到直线l ，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为，故选B ． 图111．ABC △外接圆的半径r =，点O 到平面ABC的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到平面ABC 的距离为2d =，此棱锥的体积为123ABC V S d =⨯△13==A ． 12．由()()f x g x =，得2()4x a -=，所以当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等，()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()(2)()()(22)()(2)f x x a H x g x a x a f x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，2()(2)()()(22)()(2)g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，所以1min ()A H x = (2)44f a a =+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意知，3334315C (2)80T T x x +==-=-，故而380a =-． 14．因为13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以13142a a q ===，，，所以66126312S -==-． 15．如图2，由033y y z x x -==--，由斜率公式可知，其几 何意义是点()x y ，与点(30)，所在直线的斜率，故而 由图可知，min 13AI z k ==-，max 13BI z k ==，故而z 的取值范围是1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．16．令2015()2013sin f t t t t =++，则函数()f t 为单调递增的奇函数，由题意知：(1)f x -=2015(1)2013(1)sin(1)1x x x -+-+-=，2015(1)(1)2013(1)sin(1)1f y y y y -=-+-+-=-，图2故而(1)(1)0x y -+-=，所以2x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）3sin 2m n x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，，233()(sin )sin sin sin 22f x x x x x x x =++=++1cos 23122cos 22222x x x x -=+=-+， π()sin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期πT =． ………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ5π022666x x <-<-∵≤，∴≤，∴当ππ262x -=，即π3x =时，max ()3f x =， π3A =∴，由正弦定理sin sin a c A C=， 得sin C =π4C =∴． ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm ， 补全频率分布直方图如图3所示．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm ”的有5人， 所以ξ可能的取值为0，1，2，3，则315320C 91(0)C 228P ξ===；21155320C C 35(1)C 76P ξ===； 12155320C C 5(2)C 38P ξ===；35320C 1(3)C 114P ξ===， 图3则ξ的分布列如下：3()4E ξ=∴． ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====， 如图4，连接OA ，因为ABC △为等腰直角三角形， 所以OA OB OC ==，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形， 故SO BC ⊥，且SO =， 从而222OA SO SA +=，所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥， 又AOBC O =，所以SO ⊥平面ABC ． ………………………………………（6分）（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)C -，，，(010)A ，，，(001)S ，，， (011)SA =-，，，(101)SC =--，，.设平面SAC 的法向量1()x y z =，，n ， 由1100SA y z y x z x SC x z ⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=-=--=⎩⎪⎩，，，n n 令1x =，得1(111)=--，，n ．由（Ⅰ）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量2(010)OA ==，，n .………………………………………………………………………………（10分）设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ，则1212||3cos ||||θ==n n n n…………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）图5图4解：（Ⅰ）1c =，设M N ，为短轴的两个三等分点，F 为焦点， 因为MNF △为正三角形，所以||||OF MN =，即213b=，解得b =，2214a b =+=，因此，椭圆方程为22143x y +=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线的方程为(0)y kx m k =+≠．点1122()()A x y B x y ，，，的坐标满足方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，①，②将①式代入②式，得2234()12x kx m ++=， 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，此方程有两个不等实根，于是222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->， 整理得22430k m -+>，③ 由根与系数的关系，可知线段AB 的中点坐标00()x y ，满足12024243x x km x k +-==+，002343my kx m k =+=+， 从而线段AB 的垂直平分线方程为223144343m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22004343km m k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，，，．由题设可得22112434316km m k k --=++， 整理得222(43)08||k m k k +=≠，，将上式代入③式得222(43)4308||k k k +-+>，整理得22(43)(48||3)00k k k k +-+<≠，， 解得13||22k <<，所以k 的取值范围是31132222⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++， 因为()(0)f x +∞在，上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0)+∞，上恒成立，即2(22)10x a x +-+≥在(0)+∞，上恒成立．当(0)x ∈+∞，时，由2(22)10x a x +-+≥， 得122a x x-+≤． 设1()(0)g x x x x=+∈+∞，，，1()2g x x x x x =+=≥， 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2， 所以222a -≤，所以2a ≤， 所以a 的取值范围是(2]-∞，．………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：要证ln ln 2m n m n m n -+<-， 0m n >>∵，ln 0m n >∴，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证21ln 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，只需证21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+． 设2(1)()ln 1x h x x x -=-+， 由（Ⅰ）知()h x 在(1)+∞，上是单调增函数，又1m n >， 所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即21ln 01m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立， 所以ln ln 2m n m n m n -+<-． ……………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】解：（Ⅰ）AB ∵为圆O 的直径，AB DE ⊥，DH HE =，22(102)16DH AH BH ==-=∴，48DH DE ==∴，． ………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）PC ∵切圆O 于点C ，2PC PD PE =∴，2(8)2PD PD PD =+=∴，∴． …………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，， 则圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，圆2O 的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=． …………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆1O 与圆2O 的交点所在的直线方程为1x y +=，其极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=． …………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式()10f x a +->，即|2|10x a -+->．当1a =时，不等式的解集是(2)(2)-∞+∞，，； 当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即|2|1x a ->-，即21x a -<-或21x a ->-，即1x a <+或3x a >-， 不等式解集为(1)(3)a a -∞+-+∞，，． ………………………………………（5分） （Ⅱ）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立，即|2||3|x x m -++>对任意实数x 恒成立．由于|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥，当且仅当32x -≤≤时取等，故只要5m <， 所以m 的取值范围是(5)-∞，．………………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）双向细目表理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由{0,2}A =，{0,1,2}B =，所以{0,2}AB =，故选C.2．由42015i i 1i z =+=-，则1i z=+，其对应点为(1,1)，在第一象限，故选A. 3．由{}n a 为等差数列，故而39662a a a +==，又1161166S a ==，故选D. 4．框图的运行如下：第一步1,πcos ;6k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第二步3,ππcos cos ;63k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步5,ππ2πcos cos cos .633k S =⎧⎪⎨=⎪⎩ 第三步结束跳出循环，即最后输出的ππ2πcos cos cos 633S =，又由ππ2πcos cos cos 633S ==，故选D.5．①错，因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面； ②错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面； ③错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；④对，直线m 、n 的方向向量分别是两互相垂直平面α、β的法向量，故而m n ⊥，所以有3个命题是假命题，故选C ．6．如图1所示，由椭圆的第一定义知，1214PF PF +=， 又有122PF PF -=，故而18PF =，26PF =，而1210F F ==，所以2221212PF PF F F +=， 故12PF F △为Rt △，则12121242PF F S PF PF =⋅=△，故选B.7．由于1A 、2A 串联，故其能通过电流的概率为0.81， 则1A 、2A 不能通过电流的概率为10.810.19-=， 由1A 、2A 串联后与3A 并联，如图2，故,A B 之间能通过电流的概率为1(10.81)(10.9)0.981---=，又由于电路再与4A 串联，故而电流能在,M N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=，故选B.8．由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则5c =，由点到线的距离公式可知焦点(,0)c 到双曲线渐近线by x a=±的距离d b =，所以4b =，故而3a ==，故其离心率53e =，故选C.9．由题意知，2n B =，令1x =，则4n A =，故而4272n n A B +=+=， 解之得：3n =，故选A.10．由题意可知该三棱锥为如图3所示的边长为1的正方体中以,,,A B C D为顶点的正四面体，故而其体积313V ==，故选C. 11．由(())()()0xf x xf x f x ''=+>，则函数()xf x 为R 上的增函数. 由于01a b <<<，则01b a a <=，01a b b <=，log log 1a a b a <=，而log log 1b b a b >=，则log (log)b ba f a ⋅最大，故选D.12．必要条件，若ABC △是锐角三角形，则π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，所以tan tan tan 0A B C ++>，必要性成立；充分条件，由tan tan tan 0A B C ++>，即tan ,tan ,tan A B C 有意义，ABC △不是直角三角形. 又在ABC △中，由πA B C ++=，得：πA B C +=-，所以tan()tan(π)A B C +=-⇒tan tan tan 1tan tan A BCA B+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=，由图3图2tan tan tan 0A B C ++>，则tan tan tan 0A B C >，所以ABC △是锐角三角形，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由223a b +=，得2(2)12a b +=，即224()4()12a a b b +⋅+=，所以21441122b b +⨯⨯⨯+=，解得2b =.14．,x y 满足的线性区域如图4阴影部分所示，222x y +=，由两点间距离公式知， 22x y +的最小值的几何意义是点 (0,0)到阴影区域中点的最小距离的平方，如图可知点(0,0)到阴影区域 的最小距离为点(0,0)到直线220x y +-=的距离d ，故d =，所以222min4()5x y +==.15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加0至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有91090⨯=个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有90个；同理，五位的“和谐数”有9010900⨯=个，六位的“和谐数”有900个，七位的“和谐数”有900109000⨯=个，八位的“和谐数”有9000个. 16．记三个球心分别是1O ，2O ，3O ，球I 与桌面的切点为O ，反过来看图，由题意可知：三棱锥123IO O O 是以I 为顶点 123O O O 为底面的正三棱锥，三棱锥123OO O O 是以O 为顶点图4图5123O O O 为底面的正三棱锥. 如图5所示，记A 为底面123O O O的中心，则OIA 三点共线且OA 垂直底面123O O O ，由题意知126O O =， 3OA =，1O A =I 的半径为r ，则3AI r =-，13IO r =+，有22211()()()AO AI IO +=，即22(3)(3)12r r +=-+，解得1r =，所以球I 的半径为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由121(2)n n a a n -=+≥，知112(1)(2)n n a a n -+=+≥， 所以{1}n a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，故而111(1)2n n a a -+=+⋅，即12n n a +=，所以21n n a =-． ……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知221log (1)21n n b a n +=+=+， 21111114(1)41n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭， 所以1111111111142231414n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，取BC 的中点O ， 因为PBC △为等边三角形，所以PO BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 如图6，以O为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB平行的直线为y 轴，直线OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,2,0)A-，(1,0,0)B ，(1,1,0)D --，(0,0,P ，所以(2,1,0)BD =--，(1,2,PA =-，0BD PA ⋅=，图6则BD PA ⊥，即BD PA ⊥. ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为PF PA λ=，(1,2,PA =-，所以(,2,)PF λλ=-，又(1,1,DP =，所以(1,12,))DF DP PF λλλ=+=+--，又平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)n =，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒.sin 30DF n DF n⋅︒=，所以12=， 所以241670λλ-+=，则12λ=或72λ=（舍）. 当12λ=时，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒. …………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为14. ………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点20)F ，故可设椭圆的方程为222213x y b b +=+，解方程组2,y x ⎧=⎪⎨⎪⎩解得C，D -，由抛物线与椭圆的对称性，可得：22F C CD F SST==212F S =，所以12S ⎫⎪⎭.因此2213413b b+=+，解得21b =，故而24a =， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=. ……………………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设其为k . ①当0k =时，0OA OB tOP +==，所以0t =； ②当0k ≠时，则直线l 的方程为(3)y k x =-，联立221,4(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理得：2222(14)243640k x k x k +-+-=，由Δ2222(24)4(14)(364)0k k k =-+->，得2105k <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2212122224364,1414k k x x x x k k-+==++． 因为OA OB tOP +=，所以121200(,)(,)x x y y t x y ++=，所以20122124()(14)k x x x t t k =+=+，012122116()[()6](14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+．因为点P 在椭圆上，所以2222224644(14)(14)k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 解得222236991414k t k k ==-++， 由于2105k <<，故而204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-，综合①②可知，(2,2)t ∈-. ……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意知，()ln 2(0)f x x x '=+>，所以2()ln 2(0)F x ax x x =++>，2121()2(0)ax F x ax x x x+'∴=+=>．①当0a ≥时，恒有()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞上是增函数； ②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x > 综上所述，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，()F x在0,⎛⎝上单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. ………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由题意知，21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--，要证121x x k <<，即要证22112122211111ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<<⇔<<-， 令211x t x =>，则只需要证明11ln t t t-<<，由l n 0t >，即等价证明：ln 1ln (1)t t t t t <-<>． ①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t '=-≥≥，故而()g t 在[1,)+∞上单调递增，而当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即ln 1(1)t t t <->；②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()l n 0(1)h t t t '=≥≥，故而()h t 在[1,)+∞上单调递增，而当1t >时，()ln (1)(1)0(1)h t t t t h t =-->=>，即1ln (1)t t t t -<>. 综上①②知，ln 1ln (1)t t t t t <-<>成立，即121x x k<<. …………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图7，连接DG ，AB ， ∵AD 为⊙M 的直径，∴90ABD AGD ∠=∠=︒，在⊙O 中，90ABC AEC ABD ∠=∠=∠=︒，∴AC 为⊙O 的直径. …………………………………………………………（5分）（Ⅱ）∵90AEC ∠=︒，∴90CEF ∠=︒，∵点G 为弧BD 的中点，∴BAG GAD ∠=∠， 在⊙O 中，BAE ECB ∠=∠，∴AGD CEF △∽△，∴AG EF CE GD ⋅=⋅. …………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故而C 的直角坐标方程为22.y ax =消去t 得直线l 的普通方程为2y x =-. ……………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意可知直线l的标准参数方程为2,4,x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得到2)8(4)0t a t a -+++=，则有1212),8(4)t t a t t a +=+⋅=+，由28(4)48(4)0a a ∆=+-⨯+>，即0a >或4a <-.图7因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅， 解得1a =或4a =-（舍），所以1a =. ………………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为0,0m n >>， 则2422m n mn +≥，4222m n m n +≥， 所以244233()()4m n m n m n ++≥，当且仅当1m n ==时，取等号． …………………………………………（5分）（Ⅱ）由柯西不等式知：22222()()()a b m n am bn +++≥， 即2225()(5)m n +≥，所以225m n +≥， 当且仅当a bm n=时取等号. …………………………………………（10分）。