专题46 两条直线的位置关系(押题专练)-2017年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（ 1）平行的判断：①当 l1 , l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1 // l 2k1 k2 , b1 b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1// l 2A1 B2 A2 B1 0,C1B2C2 B10 .（ 2）垂直的判断：①当 l1, l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1l 2l1 : y k1x b1 ,l 2 : y k2 x b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1l 2A1 A2 B1B2 0 .2、两条直线的交点：若 l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C20A1x B1 y C10则 l1 ,l 2的交点为__方程B2 y C2的解 .A2 x03、点到直线的距离：（ 1）点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 Ax By C0 的距离为d Ax0 By0 C0_.A2B2(2) 两平行直线间的距离求法：两平行直线： l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2C2C1.0 ，则距离d dB2A2（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（ 1）已知直线l的方程为3x 4 y 120 ，求与l平行且过点1,3 的直线方程；（ 2）已知直线l1: 2x 3y 100, l2 : 3x 4 y 2 0 ，求过直线 l1和 l2的交点，且与直线 l3 : 3x 2 y 4 0垂直的直线 l 方程.易错笔记：解：（ 1）设与直线 l 平行的直线 l 1 的方程为 3x4 y C 0 ，则点1,3 在直线 3x 4y C 0 上，将点1,3 代入直线 3x 4 yC0 的方程即可得：314 3 C0 ， C9 ，所求直线方程为：3x 4y9 0 .（ 2）设与直线 l 3 : 3x 2y40 垂直的直线 l 方程为： 2 x3yC0 ，Q 方程2x 3 y 10 0x 2的解为：y 2，3x 4 y 2 0直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0 的交点是 2,2 ，直线 l 过直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0的交点 2,2 ，22 3 2 C 0 ， C 2 ， 直线 l 方程为： 2x3y 2 0 .考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为2 m x 1 2m y 4 3m 0 ，(1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程 .解： (1) 设直线方程为2 m x1 2m y4 3m0 过定点A, B ，2 A B 4A 1A2B ，B，32直线方程为2 m x1 2m y 4 3m 0 过定点 1,2 .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b 0 ，x y 直线 l 在 x 轴上的交点坐标为M a,0 ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为设直线 l 的方程为： 1，abN 0,b ，Q 直线 l 夹在两坐标轴间的线段被点1, 2 平分，点1, 2 是线段 MN 的中点，a21a2, b4，，b2 2直线 l 的方程为：x y 2x y 4 0 .21，即4易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3xy 1 0 和直线 6x2 y 1 0 的位置关系是（B）A ．重合B．平行C．垂直D．相交但不垂直2 、点 2,1 到直线 3x4 y 2 0 的距离是（A）A ．4B．5C．4D． 25542543 、如果直线 x 2ay 10 与直线 (3a 1) x ay 1 0 平行，则 a 等于（A）A ． 0B ．1C ． 0 或 1 D． 0 或1661解： 1a 2a 3a 1 0①，且 2a 1a 0 ②，由①得： a 0，由②得： a0 ，a0 .或 a64、若三条直线2x 3y 80, x y 1 0 和 x ky0 相交于一点， 则 k（ B）A ． -2B．1 C． 2D．122解： Q 方程2x 3y 8 0 x1x y1 0 的解为：y，2直线 2x 3y 80, xy 1 0 的交点是 1, 2 ，Q 三条直线 2 x 3 y 8 0, x y 1 0 和 x ky 0 相交于一点1, 2 ，直线 xky 0 过点 1, 2 ，1 k 20 ，k 1，故选 B .25 、已知点 M 4,2 与 M 2,4 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（D）A ． x y 6 0B ． x y 6 0C ． x y 0D ． x y 06、已知直线 3x4 y 3 0 与直线 6 x my 14 0 平行， 则它们间的距离是（ D ）A ．17B． 17C ．8D． 210 5解： Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6x my 140 平行，3m 4 6 0， m 8 ，直线 6xmy 14 0 的方程为 6 x8 y14 0 ，即 3x 4 y 7 0 ，4 143 m直线 3x 4 y 3 0 与直线 3x 4 y 7C 2 C 1 732.0 之间的距离 dA 2B 2 3242Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 x 8y 14 0 的距离等于直线 3x 4y 3 0 与直线 3x 4 y7 0 之间的距离，直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 xmy 14 0 的距离 d C 2 C 1 7 3，故选 D.A 2B 232 242二、填空题7 、如果三条直线l1 : mx y 3 0,l2 : x y 2 0,l3 : 2x y 2 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 _______ .．．8、过点过点2,3且平行于直线 2 x y50的方程为______2 x y70 __________. 2,3且垂直于直线3x 4 y30 的方程为______ 4x 3 y10 __________.分析：设与直线2x y50平行的直线方程为：2x y C0 ，则点2,3 在直线2x y C0 上，将点2,3代入直线 2 x y C0的方程即可得：223C0 ，C7 ，所求直线方程为：2x y 7 0 .分析：设垂直于直线3x4y30 的方程为： 4x3y C0 ，则点2,3在直线4x3y C0 上，将点2,3代入直线4x 3 y C0的方程即可得： 4 233C0 ，C1，所求直线方程为：4x 3y10.9、已知直线l13l2 A 1,2 B 2, a l 1// l 2，a _ 3 _l1l2，则 a5__.的斜率为经过点，若直线，直线，；若3当直线 l1// l 2时： Q 直线 l1的斜率： k13，且直线 l1// l 2，直线 l2的斜率 k2k1 3 ，Q 直线 l 2经过点 A 1,2， B 2, a ，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a23，x2x121a 5 .当直线 l1l2时，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l 2的斜率为 k2，则直线 l1的斜率： k13， Q 直线 l 1l 2，k1k2 1 ，直线 l2的斜率 k211k1，3又Q 直线 l2经过点 A1,2， B 2,a，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a2 1 ，x2x1213 5a.310、设直线l1:3 x 4 y20,l2 :2x y20,l3 :3 x4y20 ，则直线l1与l2的交点到l3的距离为 __12__.5解： Q 方程3x 4 y20x2，2x y2的解为：y 2直线 2x3y80, x y10 的交点是2,2，点2,2 到直线l3的距离为：d Ax0By0C3 2 4 2 212 .A2B23242511、过点 A1,2，且与原点距离等于2的直线方程为 x y30或 7x y90．2解：设所求直线的斜率为 k ，则Q直线过点A1,2，方程为y2k x1k x1，即kx y k20 ，直线到原点的距离为： d Ax0By0 C k 0 1 0 k 2k 2 2，A2B2 1 2 1 2k 2k 2222k 222 1 ，k28k7 0 ，k1或 k7 ，k 2122所求直线的方程为： x y 3 0 或 7x y9 0 ．三、解答题12、已知直线 l 1 : x my 60,l 2 : m 2 x 3y 2m 0，求 m 的值，使得 (1)l 1 和 l 2 相交；（ 2） l 1l 2 垂直； (3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和 l 2 重合 .解： (1) Q l 1 和 l 2 相交， m m 2 1 3 0 ，m 1．(2) Q l 1l 2 垂直，1 m 2m 3 0 ，m1.2(3)Ql 1 // l 2 ，m m 21 3 0 12m m 360 2，由（ 1）得： m3 或 m1，由（ 2）得： m3 ， m 1.(4) Q l 1 和 l 2 重合， m m 213 0 12m m3 6 0 2，由（ 1）得： m 3 或 m1m 3 或 m3，，由（ 2）得：当 m 3 ，或 m3 ，或 m 1时， l 1 和 l 2 重合 .13、已知直线 l 过点 1,2 ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点A 、 By（1）、求 AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；B(1,2)（2 ）、在（ 1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程 .解：（ 1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b0 ，OAx设直线 l 的方程为：x y1，Q 直线 l 过点 1,2 ，ab 1 211①， QAOB面积为4a bab 4②，由①、②得： a 2， b4，，1a b22 直线 l 的方程为：x yy 40 .21，即 2x4（ 2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l 1 ，斜率为 k 1 ，直线 l 1 过原点 O 0,0 ，Q 直线 l 的方程为： 2x y 4 0 ， 边 AB 所在的直线方程为： 2xy 4 0 ，斜率为斜率 k2 ，Q ll 1 ，k k 11 ，k 11 1 1， Q 直线 l 1 过原点 O 0,0 ，1k2 2直线 l 1 的方程为： yx 0 ，即 x 2y 0 . 综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x 2 y 0 .2。

课题一：两条直线的位置关系一．复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．二．知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ．（2）12l l ⊥⇔ ；（3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ．3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．三．课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ ） ()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是 （ ）()A 2 ()B 3 ()C 1 ()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=. ①若互相垂直，则m 的值为 ；②若没有公共点，则m 的值为 .4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠= ；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为 .5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为 ．四．例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ．（1）求入射光线所在直线方程；（2）求光线从A 到B 经过的路程S .例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．例3．求过点(2,3)A 且被两直线1l ：3470x y +-=，2l :3480x y ++=所截得的线段长.五．课后作业：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ ）()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π 3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为 .4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是 ．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为 ．6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．。

高三数学一轮复习试题：两条直线的位置关系导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?今天本文库末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。

1.已知两条直线l1：(a-1)x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=()A.-1B.2C.0或-2D.-1或26.直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()A.1B.C.2D.37.若直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

【解析】：l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。

因为两坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m+10=0，∴m=-5。

【答案】：-59.已知点A(-5,4)和B(3,2)，则过点C(-1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为__________。

10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程。

(1)l′与l平行且过点(-1,3);(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4;(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。

【解析】：(1)直线l：3x+4y-12=0，kl=-4(3)，又∵l′∥l，∴kl′=kl=-4(3)。

∴直线l′：y=-4(3)(x+1)+3，即3x+4y-9=0。

(2)∵l′⊥l，∴kl′=3(4)。

设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为3(4)b，由题意可知，S=2(1)|b|·|3(4)b|=4，∴b=±。

∴直线l′：y=3(4)x+或y=3(4)x-。

(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，∴l′与l关于原点对称。

任取点在l上(x0，y0)，则在l′上对称点为(x， y)。

第二节 两条直线的位置关系基础回顾Ｋ一、直线与直线的位置关系 1．平行与垂直．(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则 ①直线l 1∥l 2的充要条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2． ②直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1．(2)若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合．(3)若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则(3)l 1⊥l 2． 2．两直线相交．若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无穷多个解． 二、点与直线的位置关系若点P(x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则有Ax 0＋By 0＋C ＝0；若点P(x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则有Ax 0＋By 0＋C ≠0.已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．四、点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． 两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0和l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2． 五、中点坐标公式设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则线段AB 的中点 P(x 0，y 0)的坐标公式为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22．六、对称问题1．中心对称问题：点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设P(x 0，y 0)，对称中心为A(a ，b)，则P 关于A 的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)． 2．点关于直线成轴对称问题．由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”、“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：设点P(x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x′＋x 02＋b ，可求出x′，y ′.特殊地，点P(x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为P ′(2a －x 0，y 0)；点P(x 0，y 0)关于直线y ＝b 的对称点为P′(x 0，2b －y 0)；点P(x 0，y 0)关于直线x －y ＝0(即y ＝x)的对称点为P ′(y 0，x 0)； 点P(x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0(即y ＝－x)的对称点为P′(－y 0，－ x 0)．3．曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题．一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化)． 一般结论如下：(1)曲线f(x ，y)＝0关于已知点A(a ，b)的对称曲线的方程是f(2a －x ，2b －y)＝0. (2)曲线f(x ，y)＝0关于直线y ＝kx ＋b 的对称曲线的求法：设曲线f(x ，y)＝0上任意一点为P(x 0，y 0)，点P 关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P′(x，y)，则由上面第三点知，P 与P′的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·k ＝－1，y 0＋y 2＝k ·x 0＋x2＋b ，从中解出x 0，y 0，代入已知曲线f(x ，y)＝0，应有f(x 0，y 0)＝0.利用坐标代换法就可求出曲线f(x ，y)＝0关于直线y ＝kx ＋b 的对称曲线方程．4．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： (1)点(x ，y)关于x 轴的对称点为(x ，－y)； (2)点(x ，y)关于y 轴的对称点为(－x ，y)； (3)点(x ，y)关于原点的对称点为(－x ，－y)； (4)点(x ，y)关于直线x －y ＝0的对称点为(y ，x)； (5)点(x ，y)关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y ，－x)．基础自测1．过点A(2，6)，且垂直于直线x －y －2＝0的直线方程为(B ) A ．x －y －8＝0 B ．x ＋y －8＝0 C ．x －y ＋8＝0 D ．x ＋y ＋8＝0解析：所求直线的斜率为－1，利用点斜式方程可以写为y －6＝－(x －2)，即x ＋y －8＝0.2．点P(－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是(B ) A ．(－2，1) B ．(－2，5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)解析：只需检验点P 与选项中的点连成的线段的中点在已知直线上，且所连线段的斜率为1，检验知选项B 满足．故选B.3．若点P(a ，3)在不等式2x ＋y ＜3所表示的平面区域内，且点P 到直线2x ＋y ＝3的距离为2，则a 的值为－5．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3<3，|2a ＋3－3|5＝2，由此题得a ＝－ 5.三、两点间的距离公式4.已知直线l 与直线x －y ＋2＝0平行，且它们之间的距离为32，则l 的方程为x －y －4＝0或x －y ＋8＝0．解析：设与直线x －y ＋2＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32，∴|2－m|＝6.∴m ＝－4或m ＝8，即所求的直线方程为x －y －4＝0或x －y ＋8＝0.品味高考1．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝2．解析：依题意，圆心C(0，0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a|2＝|b|2＝1×sin 45°＝22，得|a|＝|b|＝1，故a 2＋b 2＝2.2．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1， 解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P(x ，y)在椭圆2x 2＋y 2＝1上．方法二 交点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x.故知x≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0.整理后，得2x 2＋y 2＝1， 所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．高考测验1．(2013·山东淄博上学期期末)“m＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当2m －1＝0，即m ＝12时，两直线方程为x ＝－4和3x ＋12y ＋3＝0，此时两直线不垂直．当m ＝0时，两直线方程为y ＝2和x ＝－1，此时两直线垂直．当m ≠0且m≠12时，两直线方程为y ＝m 1－2m x ＋21－2m 和y ＝－3m x －3m ，两直线的斜率为m 1－2m ，－3m ，要使两直线垂直，则有m 1－2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m ＝－1，解得m ＝－1，所以直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直，则有m ＝－1或m ＝0，所以m ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A.2．平面上有三条直线x －2y ＋1＝0，x －1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值集合为{}0，－1，－2．课时作业1. (2013·开封模拟)直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是(D )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0过点(0，－2)且斜率为2，此直线绕点(0，－2)，逆时针旋转π2所得直线的斜率为－12，故直线方程为y ＝－12x －2，即x ＋2y ＋4＝0.故选D.2．两条平行直线4x －3y ＋m ＝0和8x －6y ＋n ＝0间的距离是(C )A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n 2 B ．|m －n|C.|2m －n|10D.|m －n|5解析：第一条直线方程为8x －6y ＋2m ＝0，由两平行直线间距离公式得d ＝|2m －n|82＋62＝|2m －n|10.故选C. 3. (2013·济南模拟)直线l 1：kx ＋(1－k)y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝(C )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．－1或3解析：若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25满足两直线垂直；若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－3，综上知k ＝1或k ＝－3，故选C. 4．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则m 的取值范围是(D )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2解析：将问题转化成解方程组与解不等式问题．5．(2013·金华模拟)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为(B )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1， 所以|3m ＋5|＝|m －7|.所以3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m. 所以m ＝－6或m ＝12.故选B.6．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是(A )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：设点P 关于直线AB 的对称点为D(4，2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长＝|PM|＋|MN|＋|NP|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝210.故选A.7．△ABC 的两点A ，B 在直线l 1：2x －y ＋3＝0上，点C 在直线l 2：2x －y －1＝0上，若△ABC 的面积为2，则AB 边的长为5．解析：∵l 1∥l 2，∴△ABC 的边AB 上的高为h ＝|3－（－1）|4＋1＝45，∴面积为12×45|AB|＝2，得|AB|＝ 5.8．(2013·石家庄质检)若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝2．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.9．若x ，y 满足2x －3y －13＝0，则x 2＋y 2的最小值为13．解析：x 2＋y 2表示直线上的点到原点的距离，∴x 2＋y 2的最小值为|2×0－3×0－13|22＋32＝13.10．求经过直线l 1：x ＋2y －5＝0与直线l 2：3x －2y ＋1＝0的交点M ，且满足下列条件的方程：(1)与直线2x ＋y ＋1＝0平行； (2)与直线2x ＋y ＋1＝0垂直．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，3x －2y ＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即M(1，2)．(1)设所求的直线为2x ＋y ＋m ＝0，∵直线过点M(1，2)，∴2×1＋2＋m ＝0，解得m ＝－4. 所求的直线方程是2x ＋y －4＝0. (2)设所求的直线为x －2y ＋n ＝0， ∵直线过点M(1，2)，∴1－2×2＋n ＝0，解得n ＝3.∴所求的直线方程是x －2y ＋3＝0. 11．已知点P(2，－1)，求：(1)过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；(2)过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点与原点距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)斜率不存在时，直线x ＝2显然满足条件， 若斜率存在时，设其方程是y ＋1＝k(x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.∴|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴直线l 是x ＝2或34x －y －52＝0.(2)当PO⊥直线l 时，距离最大， ∵k O P ＝－12，∴k 1＝2.∴l 的方程是y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.最大距离是d max ＝|PO|＝4＋1＝ 5.(3)由(2)可知，d max ＝|PO|＝5＜3.故不存在过P 点与原点距离为3的直线．。

课时作业(四十六) 两直线的位置关系1．(多选)已知直线l ：x －2y －2＝0.则下列选项正确的有( )A ．直线x －2y －1＝0与直线l 平行B ．直线x －2y ＋1＝0与直线l 平行C ．直线2x ＋y －2＝0与直线l 垂直D ．直线x ＋2y －1＝0与直线l 垂直ABC [直线l ：x －2y －2＝0的斜率k ＝12， 对于A ，直线x －2y －1＝0的斜率为12，∴直线x －2y －1＝0与直线l 平行，故A 正确； 对于B ，直线x －2y ＋1＝0的斜率为12，∴直线x －2y ＋1＝0与直线l 平行，故B 正确； 对于C ，直线2x ＋y －2＝0的斜率为－2，∴直线2x ＋y －2＝0与直线l 垂直，故C 正确；对于D ，直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴直线x ＋2y －1与直线l 不垂直，故D 错误．故选ABC.]2．已知直线l 过点(0，7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7D [过点(0，7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.]3．已知点A (5，－1)，B (m ，m )，C (2，3)，若△ABC 为直角三角形且AC 边最长，则整数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1D [由题意得∠B ＝90°，即AB ⊥BC ，k AB ·k BC ＝－1，所以m ＋1m －5 ·3－m 2－m＝－1. 解得m ＝1或m ＝72，故整数m 的值为1，故选D.] 4．(多选)(2020·武汉期中)已知直线l 过P (1，2)，且A (2，3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0D ．2x ＋3y －7＝0AC [∵直线l 过P (1，2)，且A (2，3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，不成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 则|2k －3－k ＋2|k2＋1 ＝|4k ＋5－k ＋2|k2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴直线l 的方程为－4x －y ＋4＋2＝0，或－32 x －y ＋32＋2＝0， 整理，得：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.故选AC.]5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0B [因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， 即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.故选B.]6．(2020·浙江杭州期末)若直线l 1：x ＋my ＋6＝0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则m 的值为________，它们之间的距离为________．解析： 由题意知，1×3＝m (m －2)且6m ≠2m 3，解得m ＝－1，所以直线l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23 ＝0，所以两平行直线间的距离d ＝|6－23|2＝823 . 答案： －1；8237．过点P (0，1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l 的方程为________________．解析： 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.答案： x ＋4y －4＝08．已知点A (－1，2)，B (3，4)，P 是x 轴上一点，且|P A |＝|PB |，则△P AB 的面积为________． 解析： 设AB 的中点为M ，则M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1） ＝12 ， 所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1).即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52， 即P 点的坐标为(52，0). |AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2 ＝2 5 .点P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32 ＝352 . 所以S △P AB ＝12 |AB |·|PM |＝12 ×2 5 ×352 ＝152. 答案： 1529．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R ).(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解析： (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－(a 2＋12 )2＋14.因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为l 1与l 2不重合，所以a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0].(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，所以|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时，等号成立，因此|ab |的最小值为2.10．(开放型)(2020·菏泽期中)直线l 经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且________．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答．①与直线2x －y －1＝0平行．②直线l 在x 轴上的截距为－12 . 解析： 选①，直线l 经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，∴x ＋y －4＝0∴x －y ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝3，即P (1，3)， ∵直线l 与直线2x －y －1＝0平行．∴可设直线l 的方程2x －y ＋m ＝0，把P (1，3)代入可得m ＝1，直线l 的方程为2x －y ＋1＝0，选②，∵直线l 经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝3，即P (1，3)， 由题意可知直线的斜率存在，设为k 且k ≠0，则y －3＝k (x －1)过⎝⎛⎭⎫－12，0 ， 代入可得k ＝2，直线l 的方程2x －y ＋1＝0，(2)在直线l ：2x －y ＋1＝0中，令x ＝0可得y ＝1，令y ＝0可得x ＝12. 所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12 ×1×12 ＝14.11．过原点O 作直线l ：(2m ＋n )x ＋(m －n )y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则点P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为( )A ． 2 ＋1B ． 2 ＋2C ．2 2 ＋1D ．2 2 ＋2A [将(2m ＋n )x ＋(m －n )y －2m ＋2n ＝0整理，得(2x ＋y －2)m ＋(x －y ＋2)n ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，可知直线l 过定点Q (0，2).由题意知点O 与点P 重合或OP ⊥l ，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0，1)，半径为1.因为圆心(0，1)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝|0－1＋3|2＝ 2 ，所以点P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为 2 ＋1.故选A ．] 12．已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________________．解析： 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0 ＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案： 6x －y －6＝013．(2020·江苏模拟)已知点P (2，－1).(1)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离；(2)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析： (1)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12 ， 所以k l ＝－1kOP＝2. 由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5 . (2)由(1)可知，过点P 不存在与原点的距离超过 5 的直线，因此不存在过点P 且与原点的距离为6的直线．14．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2，0)，B (－2，－4).(1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解析： (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2×12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2，8). P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点，又B (－2，－4)，所以直线A ′B 的方程为x ＝－2，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2，3). (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，则点P 就是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12，10).15．(多选)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax0＋by0＋c a2＋b2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交BCD [对于A 项，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a2＋b2 ，直线P 1P 2与直线l平行，正确；对于B项，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P未必与l垂直，错误；对于C项，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D项，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．故选BCD项．]16．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12＋|PB|2)＝5.2(|P A|当且仅当|P A|＝|PB|＝ 5 时等号成立．答案： 5。

两直线的位置关系【基础知识整合】1．两条直线的位置关系（1)两条直线平行与垂直①两条直线平行:(ⅰ）对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ）当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2。

（2)两条直线的交点直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组错误!的解．2．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2（x2，y2）之间的距离P1P2＝错误!. (2）点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!。

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2)间的距离d＝错误!.【知识拓展】1．一般地,与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay ＋n＝0。

2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0 （λ∈R），但不包括l2.3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：（1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．（2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．类型一两直线平行与垂直【典例1】【2016·北京海淀区期末】已知直线l1：x＋2y －1＝0与直线l2:mx－y＝0平行，则实数m的取值为【答案】－1 2【解析】因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2:mx－y＝0平行，所以错误!＝错误!≠0，解得m＝－错误!.【变式训练1】【2016·浙江名校联考】已知直线l1：x ＋(a－2)y－2＝0，l2：（a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1"是“l1⊥l2”的条件【答案】充分不必要【解析】若a＝－1,则l1：x－3y－2＝0,l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2）＋a（a－2）＝0,∴a＝－1或a＝2，因此,“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件。

2017高考模拟文数专题汇编之两条直线的位置关系含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D 内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P 的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分2.入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.2x+y+3=0D.2x-y+3=03.△ABC的三个顶点是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直线l：x=a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（）A. B. C. D.4.已知点A（-1，-2），B（2，3），若直线l：x+y-c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（）A.[-3，5]B.[-5，3]C.[3，5]D.[-5，-3]5.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直，垂足为（1，p），则m+n-p等于（）A.0B.4C.20D.246.两条直线l1：2x+y+c=0，l2：x-2y+1=0的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.不能确定7.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为（）A.（-4，-3）B.（4，3）C.（-4，3）D.（3，4）8.一束光线从点（-1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路径长度是（）A.4B.5C.3D.29.若点P（a，b）与Q（b-1，a+1）（a≠b-1）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A.x+y=0B.x-y=0C.x+y-1=0D.x-y+1=010.已知坐标原点O（0，0）关于直线L对称的点是M（3，-3），则直线L的方程是（）A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=011.经过圆x2-2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A.x+2y-1=0B.x-2y-2=0C.x-2y+1=0D.x+2y+2=012.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）A.-B.k或kC.-6＜k＜2D.k13.直线x+y+1=0关于点（1，2）对称的直线方程为（）A.x+y-7=0B.x-y+7=0C.x+y+6=0D.x-y-6=014.设△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是（）A.y=2x+5B.y=2x+3C.y=3x+5D.15.两直线x-2y+7=0和2x+y-1=0的交点坐标为（）A.（1，3）B.（-1，3）C.（3，-1）D.（-3，-1）16.已知一条光线自点M（2，1）射出，经x轴反射后经过点N（4，5），则反射光线所在的直线方程是（）A.3x+y+5=0B.2x-y-3=0C.3x-y-7=0D.3x-y-5=017.一条光线从A（-，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.x-2y-1=0D.x+2y+1=018.已知点A（1，-2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0，则实数m的值是（）A.-2B.-7C.3D.119.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为（）A.-7B.-1或-7C.-6D.20.一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A.x+2y-2=0B.2x-y+2=0C.x-2y+2=0D.2x+y-2=0二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.若直线l经过点P（1，2），且垂直于直线2x+y-1=0，则直线l的方程是______ ．22.一条光线从A（-，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为______ ．23.设点A（-2，0）和B（0，3），在直线l：x-y+1=0上找一点P，使|PA|+|PB|的取值最小，则这个最小值为______ ．24.若三条直线2x-y+4=0，x-2y+5=0，mx-3y+12=0围成直角三角形，则m= ______ ．25.下列直线中与直线l：3x+2y-5=0相交的是______ （填上正确的序号）．①y=-x+5②3x+2y=0③+=1④+=1．26.点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是______ ．27.已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是______ ．28.已知直线l1：ax+4y-2=0与直线l2：2x-5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c 的值为______ ．29.两直线（m+2）x-y+m=0，x+y=0与x轴相交且能构成三角形，则m满足的条件是______ ．30.已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为______ ．31.一条光线经过点P（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点A（1，1），则光线的入射线和反射线所在的直线方程为______ ．32.若直线a2x+y+7=0和直线x-2ay+1=0垂直，则实数a的值为______ ．33.直线l1：y=kx-1与直线l2：x+y-1=0的交点位于第一象限则k的范围为______ ．34.平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是______ ．35.与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是______ ．36.直线2x+3y+1=0关于直线x-y-1=0的对称直线方程为______ ．37.过l1：2x-3y+2=0与l2：3x-4y+2=0的交点且与直线4x+y-4=0平行的直线方程为______ ．38.直线l1：（a+3）x+y-3=0与直线l2：5x+（a-3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a= ______ ．39.已知直线x+y-3m=0与2x-y+2m-1=0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为______ ．40.以点（1，3）和（5，-1）为端点的线段的中垂线的方程是______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC的顶点A（5，1），B（1，5）．（1）若A为直角△ABC的直角顶点，且顶点C在y轴上，求BC边所在直线方程；（2）若等腰△ABC的底边为BC，且C为直线l：y=2x+3上一点，求点C的坐标．42.设有一条光线从P（-2，4）射出，并且经x轴上一点Q（2，0）反射（Ⅰ）求入射光线和反射光线所在的直线方程（分别记为l1，l2）（Ⅱ）设动直线l：x=my-2，当点M（0，-6）到l的距离最大时，求l，l1，l2所围成的三角形的内切圆（即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆）的方程．43.已知圆O：x2+y2=4，直线与圆O相交于A，B两点，且A点在第一象限．（1）求|AB|；（2）设P（x0，y0）（x0≠±1）是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，如果直线AP1，AP2与y轴分别交于（0，m）和（0，n）．问m•n是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．44.已知直线l1：y=2x，直线l：y=3x+3．求l1关于l对称的直线l2的方程．45.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，（1）若l1与l2交于点p（m，-1），求m，n的值；（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．46.光线l1从点M（-1，3）射到x轴上，在点P（1，0）处被x轴反射，得到光线l2，再经直线x+y-4=0反射，得到光线l3，求l2和l3的方程．47.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为______ ．48.某地A、B两村在一直角坐标系下的位置分别为A（1，2），B（4，0），一条河所在直线的方程为l：x+2y-10=0，若在河上建一座水站P，使分别到A、B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？49.已知直线l1：2x-y-8=0和直线l：3x+y-2=0．（Ⅰ）求经过直线l1与直线l的交点，且过点（-1，0）的直线的方程；（Ⅱ）求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程．50.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；（2）证明：E G⊥D F．51.已知直线l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．52.已知直线l：x+2y-2=0．试求：（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．53.如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．54.已知有条光线从点A（-2，1）出发射向x轴B，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D（-2，7）．（1）求直线BC的方程．（2）求光线从A点到达D点所经过的路程．55.在平面直角坐标系中x O y中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．56.平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x-2y-1=0与2x+3y-9=0，对角线的交点坐标为（2，3）．（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程．57.已知点A、B的坐标分别是（-1，0）、（1，0），直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．58.正方形中心在M（-1，0），一条边所在的直线方程为x+3y-5=0，求其他三边所在直线的方程．59.已知平面内两点A（8，-6），B（2，2）．（1）求AB的中垂线l的方程；（2）一束光线从B点射向y轴，若反射光线恰好经过点A，求反射光线所在的直线方程．60.已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点；（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t，当时，求t的取值范围．【答案】1.B2.B3.A4.A5.A6.B7.C8.A9.D 10.D 11.A 12.A 13.A 14.A 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.B21.x-2y+3=022.2x+y-1=023.24.-或-625.③26.（-6，-8）27.2x+y-6=028.-429.m∈（-∞，-3）∪（-2，0）∪（0，+∞）．30.π-θ或031.2x-y-1=0；4x-5y+1=032.0或233.（1，+∞）34.2x-y+5=0或2x-y-5=035.10x+15y-36=036.3x+2y=037.4x+y-10=038.-239.-1＜m＜40.x-y-2=041.解：（1）设C（0，y），则=-1，∴y=-4，∴BC边所在直线方程，即9x-y-4=0；（2）设C（a，2a+3），则∵等腰△ABC的底边为BC，∴（5-1）2+（1-5）2=（a-5）2+（2a+2）2，∴5a2-2a-3=0，∴a=1或-，∴C（1，5）或（-，）．42.解：（Ⅰ）∵k PQ=-，∴l1：y=-（x-2），∵l1，l2关于x轴对称，∴l2：y=（x-2）；（Ⅱ）设M到直线l的距离为MH，∵l恒过点N（-2，0），∴MH=，∴NH=0时，MH最大，即l⊥MN时，M到l的距离最大，∵k MN=-，∴m=，∴l的方程为x=y-2，设所求方程为（x-2）2+（y-t）2=r2，∴r==，∴t=2（另一根舍去），∴所求方程为（x-2）2+（y-2）2=1．43.解：（1）由于圆心O（0，0）到直线的距离，圆的半径r=2，∴．（2）是定值，理由如下解方程组，可得，设（x0≠±1），则，，，由AP1：，令x=0，得．由AP2：，令x=0，得．∴．44.解：方法一：由解得：，∴l1与l的交点为P（-3，-6），且此点在所求直线l2上．在直线y=2x上取点O（0，0），它关于直线y=3x+3的对称点为M（-，），由两点式可得l2的方程为11x-2y+21=0．方法二：设P（x，y）是直线l2上任一点，点P关于直线l：y=3x+3的对称点为P1（x1，y1），由P1P⊥l，且PP1的中点在l上得：=-，=3+3，解得x1=-x+y-，y1=x+y+．∵P1（x1，y1）在直线l1上，即y1=2x1，∴x+y+=2（-x+y-），整理得11x-2y+21=0．∴l2的方程为11x-2y+21=0．45.解：（1）将点P（m，-1）代入两直线方程得：m2-8+n=0和2m-m-1=0，解得m=1，n=7．（2）由l1∥l2得：，∴，或，所以当m=4，n≠-2；或m=-4，n≠2时，l1∥l2．（3）当m=0时直线l1：和l2：，此时，l1⊥l2，当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，所以当m=0，n∈R时直线l1和l2垂直．46.解：∵M（-1，3）关于x轴的对称点为M'（-1，-3），则直线l2经过点M′和点P，又P（1，0），∴l2的直线方程为．设直线l2与直线x+y-4=0的交点为N，由求得．设P（1，0）关于直线x+y-4=0的对称点为P'（x0，y0），则有，整理得，解得P'（4，3），由l3的经过点N和点P′，可得l3的方程为，即2x-3y+1=0．47.（，）48.解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，∵|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，∴P点即为所求．设A′（a，b），则，即，解得a=3，b=6，即A′（3，6），直线A′B的方程为，即6x+y-24=0，由，解得x=，y=，即P（，），故供水站P应建在P（，），才能使管道最省．49.解：（Ⅰ）由得，所以直线l1与直线l的交点为P（2，-4）．所求直线的斜率．由点斜式得所求直线的方程为．即4x+3y+4=0．（Ⅱ）取直线l1上一点A（4，0），它关于直线l的对称点为B（x，y），线段AB的中点为，由题意得，即，解之得B（-2，-2）由得，所以直线l1与直线l的交点为P（2，-4）．所以直线l2的方程为：，即x+2y+6=0．50.（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）∴…（3分）两边平方化简得：即（x-4）2+（y-1）2=4…（5分）即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…（7分）由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…（8分）由得，故点G点的坐标为．…（10分）又点E的坐标为（1，0），故k EG=2，k DF=-…（12分）所以k EG•k DF=-1，即证得：EG⊥DF…（13分）51.解：（1）如图所示：l1：-y=0，过定点（0，0），=m；l2：x+my-m-2=0，m（y-1）+x-2=0，=-令y-1=0，x-2=0．得y=1，x=2，∴过定点（2，1），∵•=-1，∴直线与直线互相垂直，∴直线与直线的交点必在以（0，0），（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心（1，），半径r==，∴圆的方程为（x-1）2+（y-）2=．即x2+y2-2x-y=0；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）．当P点在定圆上移动时，△PP1P2的底边P1P2为定值2r．当三角形的高最大时，△PP1P2的面积最大．故三角形面积最大为•2r•r=又与圆的交点为P（，），且OP与P1P2的夹角是45°．∴|OP|==，即+=，解得：m=3或m=故当m=3或m=时，△PP1P2的面积取得最大值．52.解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x0，y0），则线段PP'的中点M在对称轴l上，且PP'⊥l．∴即P'坐标为．（2）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l'，则直线l上任一点P（x1，y1）关于点A的对称点P'（x，y）一定在直线l'上，反之也成立．由．将（x1，y1）代入直线l的方程得x+2y-4=0．∴直线l'的方程为x+2y-4=0．53.解：（1）点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，-1），点D（1，2）关于y轴的对称点为D′（-1，2），根据反射原理，A′，B，C，D′四点共线．∴直线BC的方程为，即x+y-1=0；（2）由（1）得B（1，0），C（0，1）．∴BC的中点坐标为（），k BC=-1．∴线段BC的中垂线方程为，即x-y=0．54.解：如图，（1）∵A（-2，1），∴A点关于x轴的对称点为A′（-2，-1），∵D（-2，7），∴D点关于y轴的对称点D′（2，7）．由对称性可得，A′、D′所在直线方程即为BC所在直线方程，∴BC：，整理得2x-y+3=0；（2）由图可得，光线从A点到达D点所经过的路程即为|A′D′|=．55.（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2-4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=-1，得，∴Q（-1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．56.解：（1）由，解得：，即两直线的交点坐标是（3，1）；（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为（3，1），对角线的交点坐标为（2，3），因此，与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，因此另两边所在直线方程分别是：y-5=-（x-1）与y-5=（x-1），即x-2y+9=0与2x+3y-17=0．57.解：设M（x，y），则因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，所以k AM÷k BM=2，所以=2，（x≠±1，y≠0），整理得x=-3（y≠0）．58.解：M到直线x+3y-5=0距离是所以M到另三边距离也是有一条边和x+3y-5=0平行设为x+3y+a=0则即|a-1|=6a=-5，a=7a=-5就是已知的则x+3y+7=0另两条和他们垂直，所以斜率为3设为：3x-y+b=0则即|b-3|=6b=9，b=-3所以三直线是x+3y+7=03x-y+9=03x-y-3=059.解：（1）AB的中点坐标为（5，-2），AB的斜率为=-，∴AB的中垂线l的方程y+2=（x-5），即3x-4y-23=0；（2）B关于y轴对称点的坐标为（-2，2），∴反射光线所在的直线方程为，即4x+5y-2=0．60.（1）证明：依题意可设直线l的方程为y=kx+n，其中k≠0．代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2-4=0，则有．则=．由条件3（k1+k2）=8k，有，而k≠0，则有，从而直线l过定点或；（2）解：依题意可设直线l的方程为y=k（x-1），其中k≠0．代入椭圆方程得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，则有．从而有…①…②由①②得，，由，得．又，因y1y2＜0，故，又，从而有，得，解得：2＜t＜3或．【解析】1. 解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，∵点P是△A1C1D内的动点（不包括边界）∴则点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，则点P的轨迹是椭圆的一部分．本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．2. 解：在入射光线上取点（1，2），则关于y=x的对称点（2，1）在反射光线上，代入验证，通过排除法，2x-y-3=0满足．故选B．在入射光线上取点（1，2），则关于y=x的对称点（2，1）在反射光线上，代入验证，可得结论．本题考查直线的对称性，考查学生的计算能力，比较基础．3. 解：AC所在的直线方程为y=-x+3，直线x=a与AB交于D，与AC交于E，则S△ADE=S△ABC=×=，E点的坐标为﹙a，-+3﹚∴DE=3-﹙-+3﹚=，AD=a，∴由S△ADE==×a•=解得：a=故选：A．首先求出AC所在的直线方程，再联立方程x=a求出E点的坐标，进而得出DE和AD的长，再由三角形的面积即可得出a的值．此题考查了两直线的交点坐标，求出S△ADE是解题的关键，属于中档题．4. 解：直线l在y轴上的截距是c，点A（-1，-2），B（2，3），若直线l：x+y-c=0与线段AB有公共点，直线是平行线系，代入A、B两点，可得c=-3，c=5，所以-3≤c≤5；故选A．确定直线在y轴上的截距，说明直线是平行直线系，代入A、B坐标，求出c的值，即可得到选项．本题是基础题，考查直线与线段的交点问题，直线的截距的应用，考查计算能力．5. 解：∵直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，∴×=-1，∴m=10，直线mx+4y-2=0即5x+2y-1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p-1=0，∴p=-2．把P（1，-2）代入2x-5y+n=0，可得n=-12，∴m+n-p=10-12+2=0，故选：A．先由两直线平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得m+n-p的值．本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．6. 解：直线l1的斜率是：-2，直线l2的斜率是：，由-2×=-1，得直线垂直，故选：B．分别求出两条直线的斜率，根据斜率的乘积是-1，判断直线的位置关系即可．本题考查了求直线的斜率问题，考查直线的位置关系，是一道基础题．7. 解：由题意得：，解得：，故选：C．直接联立两直线方程组成的方程组求解两直线的交点坐标．本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题．8. 解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（-1，-1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C-r=5-1=4，故选A．求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C-r（圆的半径），计算求得结果．本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9. 解：∵点P（a，b）与Q（b-1，a+1）（a≠b-1）关于直线l对称，∴直线l为线段PQ的中垂线，PQ的中点为（，），PQ的斜率为=-1，∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y-=1×（x-），化简可得x-y+1=0．故选：D．由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，求得PQ的中点为（，），求出PQ的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题．10. 解：由O（0，0），M（3，-3），可得OM的中点坐标为（），又，∴OM的垂直平分线的斜率为1，∴直线L的方程为y+=1×（x-），即x-y-3=0．故选：D．由中点坐标公式求得OM的中点坐标，再求出OM所在直线的斜率，得到OM的垂直平分线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．本题考查点关于直线的对称点的求法，考查中点坐标公式的应用及两直线垂直与斜率的关系，是基础题．11. 解：因为圆x2-2x+y2=0的圆心为（1，0），与直线x+2y=0平行的直线的斜率为：-．所以经过圆x2-2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是：y=-（x-1），即x+2y-1=0．故选A．通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线的方程即可．本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标，直线的斜率与直线的点斜式方程的求法，考查计算能力．12. 解：联立，解得，∵直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限，∴，解得．故选：A．联立，可解得交点坐标（x，y），由于直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限，可得，解得即可．本题考查了直线的交点、不等式的解法，属于基础题．13. 解：在所求直线上取点（x，y），关于点（1，2）对称的点的坐标为（2-x，4-y），代入直线x+y+1=0，可得2-x+4-y+1=0即x+y-7=0，故选A．在所求直线上取点（x，y），关于点（1，2）对称的点的坐标为（2-x，4-y），代入直线x+y+1=0，可得直线方程．本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，比较基础．14. 解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y=2x+5．故选A分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．本题是基础题，考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力，常考题型．15. 解：由，解得x=-1，y=3．所以直线x-2y+7=0和直线2x+y-1=0的交点坐标是（-1，3）．故选：B．直接联立直线x-2y+7=0和直线2x+y-1=0的方程，解方程组求解交点的坐标．本题考查了两条直线交点的坐标，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．16. 解：因为M（2，1）关于x轴的对称点M′（2，-1）在反射光线所在的直线上，且经x轴反射后经过点N（4，5），所以=，整理，得3x-y-7=0．故选：C．利用点M（2，1）关于x轴的对称点M′（2，-1）在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程，本题考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，用两点式求直线的方程，反射定律的应用．考查计算能力．17. 解：由反射定律可得点点A（-，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为=，即2x+y-1=0，故选：B．由反射定律可得点A（-，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点b（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于基础题．18. 解：∵A（1，-2）和B（m，2）的中点在直线x+2y-2=0上，∴．∴m=3，故选C．先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y-2=0求得实数m的值．本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值．19. 解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=-5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠-5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得=，解得m=-1或-7．当m=-1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=-7满足条件，故选A．直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．20. 解：由反射定律可得点A（1，0）关于y轴的对称点A′（-1，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，2）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为=1，即2x-y+2=0，故选：B．由反射定律可得点A（-1，0）关于y轴的对称点A′（1，0）在反射光线所在的直线上，再根据点b（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于基础题．21. 解：设垂直于直线2x+y-1=0的直线l的方程为x-2y+c=0，∵直线l经过点P（1，2），∴1-4+c=0，解得c=3，∴直线l的方程是x-2y+3=0．故答案为：x-2y+3=0．设垂直于直线2x+y-1=0的直线l的方程为x-2y+c=0，由直线l经过点P（1，2），利用待定系数法能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，涉及到直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．22. 解：由反射定律可得点点A（-，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为，即2x+y-1=0，故答案为：2x+y-1=0．由反射定律可得点A（-，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于基础题．23. 解：设点B关于直线l：x-y+1=0的对称点为C（a，b），则，解得a=2，b=1，∴C（2，1），连结AC，则AC交直线l于点P，点P即为所求的点，此时，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，故（|PA|+|PB|）min=|AC|==．故答案为：．求出点B关于直线l：x-y+1=0的对称点为C，连结AC，则AC交直线l于点P，点P即为所求的点，此时，|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，（|PA|+|PB|）=|AC|．min本题考查线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．24. 解：∵三条直线2x-y+4=0，x-2y+5=0，mx-3y+12=0围成直角三角形，∴2×=-1，或=-1，则m=或-6．故答案为：-或-6．利用两条直线互相垂直与斜率之间的关系即可得出．本题考查了两条直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25. 解：直线l的斜率k=-，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠-．又①、②、④中直线的斜率都等于-，③中直线的斜率等于-，故答案为③．直线l的斜率k=-，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠-．求出直线的斜率，即可得出结论．本题考查直线的斜率，考查直线的位置关系，比较基础．26. 解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（-）=-1①且5•+4•+21=0②，解得a=-6，b=-8，∴点P′的坐标为（-6，-8）．故答案为：（-6，-8）．设出对称的点的坐标（a，b），利用点P与对称的点的连线与对称轴垂直，以及点P与对称的点的连线的中点在对称轴上，解出对称点的坐标．本题考查求一个点关于某一条直线的对称点的坐标的求法，利用垂直及中点在轴上两个条件解出对称点的坐标．27. 解：两点A（0，1），B（4，3），中点坐标为：（2，2），直线AB的斜率为：=，AB垂线的斜率为：-2，线段AB的垂直平分线方程是：y-2=-2（x-2），即：2x+y-6=0，故答案为2x+y-6=0．先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．28. 解：∵直线l1与直线l2互相垂直，∴2a+4×（-5）=0，解得a=10，∴l1：10x+4y-2=0，∵垂足（1，c）在l1上，∴10+4c-2=0，解得c=-2，再由垂足（1，-2）在l2上可得2+10+b=0，解得b=-12，∴a+b+c=10-12-2=-4故答案为：-4由直线l1与直线l2互相垂直，可得关于a的方程，解方程可得a值，由垂足（1，c）在l1上，可得关于c的方程，解方程可得c值，再由垂足（1，-2）在l2上可得2+10+b=0，可得关于b的方程，解方程可得b值，代入要求的式子计算可得答案．本题考查直线的一般式方程与垂直关系，涉及直线的交点问题，属基础题．29. 解：由（m+2）x-y+m=0，得：2x-y+m（x+1）=0，联立，得，所以直线（m+2）x-y+m=0过定点P（-1，-2），且直线（m+2）x-y+m=0与x轴不垂直，如图所示，由图形可知，要使过P点的直线与x轴相交、与y=x相交且能构成三角形，该直线的斜率要大于0，且不等于2，斜率为负值时应小于-1，所以有m+2＜-1或，解得：m∈（-∞，-3）∪（-2，0）∪（0，+∞）．故答案为m∈（-∞，-3）∪（-2，0）∪（0，+∞）．找出直线（m+2）x-y+m=0过的定点，在平面直角坐标系中，通过画图就能分析得到能构成三角形的直线（m+2）x-y+m=0的斜率范围，从而求得m的取值范围．本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查了数形结合的解题思想，训练了线系方程过定点的求法，此题是易错题．30. 解：直线的倾斜角为α1∈[0，π），当故α1是锐角，直线L关于x轴对称直线的倾斜角为：π-θ；当故α1是钝角，直线L关于x轴对称直线的倾斜角为：π-θ；当故α1是零角，直线L关于x轴对称直线的倾斜角为：0；故答案为：π-θ或0．设直线的倾斜角为α1，其范围是[0，π），分它是锐角或钝角或零角进行讨论，再根据θ的范围求出直线l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角的大小．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于基础题．31. 解：光线的入射线PA方程为，即2x-y-1=0．设点P关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为Q（x0，y0），则PQ的中点M（，），∵直线x+y+1=0的斜率k=-1，依题意，PQ的中点在直线x+y+1=0上，且PQ所在直线与直线x+y+1=0垂直，所以，解得Q（-4，-3），∵反射光线经过A、Q两点，∴反射光线所在直线的方程为4x-5y+1=0．故答案为2x-y-1=0；4x-5y+1=0．依题意，光线的入射线PA，设点P关于直线x+y+1=0的对称点Q（x0，y0），PQ的中点在直线x+y+1=0上，且PQ所在直线与直线x+y+1=0垂直，据此列列方程组，解之即可求得Q（-4，-3），从而可求得光线的反射线所在的直线方程．本题考查点关于线的对称与直线关于直线对称的直线方程，考查方程组思想与运算能力，属于中档题．32. 解：∵两条直线a2x+y+7=0和直线x-2ay+1=0互相垂直，∴a2•1+1•（-2a）=0，解得a=0或a=2故答案为：0或2．由直线垂直可得a2•1+1•（-2a）=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．33. 解：联立，k≠-1，解得y=，x=．∵直线l1：y=kx-1与直线l2：x+y-1=0的交点位于第一象限，∴＞0，＞0．解得：k＞1．则k的范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．联立，k≠-1，解得交点．根据直线l1：y=kx-1与直线l2：x+y-1=0的交点位于第一象限，即可得出．本题考查了直线的交点、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．34. 解：设所求直线方程为2x-y+b=0，平行于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切，。

课时跟踪检测（四十七） 两条直线的位置关系(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直的充要条件是6a ＋12＝0，即a ＝－2，故选A.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423 B ．4 2C.823D ．2 2解析：选C ∵l 1∥l 2，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.3．如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫52，52解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.5．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.6．若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n的最小值等于________．解析：设点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －n a ＋m ＝1，a －m 2＋b ＋n 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－n ，b ＝1＋m .则(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n ，1＋m )，则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝43时等号成立．答案：927．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34.则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形． 故S ＝|AB |·|AD |＝－2＋－2×－2＋－2－2＝25.答案：258.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图所示，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)9．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是 3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 10．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1， 因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．B 级——拔高题目稳做准做1．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点， 设Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0.若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0.因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，而k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P .2．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a，bx －sin B ·y＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.3．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析：选A 由题意a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0与x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝a ＋b2－4ab2＝－2－4c 2＝12－2c ，而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A.4．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝05．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， 即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.6．一条光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，求： (1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解：(1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点，QQ ′交l 于M 点，∵k l ＝－1，∴k QQ ′＝1，∴QQ ′所在直线的方程为y －1＝1×(x －1)，即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ′2＝－12，1＋y ′2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2，∴Q ′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ， 则P ，N ，Q ′三点共线， 又P (2,3)，Q ′(－2，－2)，故入射光线所在直线的方程为y －－3－－＝x －－2－－，即5x －4y ＋2＝0.(2)|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′| ＝[2－－2＋[3－－2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41.。

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1．两条直线平行与垂直的判定(1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1，k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2．两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组错误!的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解;平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1）,P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝错误!．特别地，原点O(0，0）与任一点P(x,y）的距离|OP|＝x2＋y2．（2）点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!．（3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1:Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝错误!．高频考点一两条直线的平行与垂直例1、(1）已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于（)A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2（2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2:ax＋2y＝0,若l1⊥l2,则a＝________。

【答案】（1）D (2)－2【感悟提升】（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【变式探究】已知两直线l1:x＋y sin α－1＝0和l2:2x·sin α＋y＋1＝0,求α的值，使得:（1)l1∥l2；(2)l1⊥l2。