解大规模无约束优化的新有限储存对称秩1校正算法

求解大规模无约束优化问题的共轭梯度法共轭梯度法是求解大规模无约束优化问题的一种重要方法，具有快速收敛、少存储、高效率等优势。

本文起首介绍了共轭梯度法的基本原理及算法流程，接着对其收敛性进行了证明。

随后，分析了共轭梯度法在实际应用中存在的一些问题，并提出了相应的解决方案。

在此基础上，本文进一步探讨了共轭梯度法在无约束优化问题中的应用，并通过实例验证了其有效性。

最后，本文对共轭梯度法的进步趋势进行了展望，指出其在大规模数据处理和机器进修领域中可能会有广泛的应用前景。

关键词：共轭梯度法；大规模无约束优化问题；收敛性；实际应用；进步趋势一、引言在科学探究和工程实践中，浩繁问题都可以转化为优化问题，因此优化问题的求解一直是探究热点之一。

对于大规模无约束优化问题，由于其非线性、高维度、复杂性等特点，传统的优化算法往往难以胜任。

共轭梯度法作为一种有效的优化方法，可以在这种状况下发挥重要作用。

二、共轭梯度法的基本原理及算法流程共轭梯度法是求解无约束优化问题的一种迭代法，其基本思想是利用共轭梯度方一直加速迭代过程。

详尽而言，该方法通过一系列的迭代步骤，不息更新查找方向和步长，以期找到最优解。

其迭代流程如下：（1）给出初始点 $x^{(0)}$，初始查找方向 $d^{(0)}$，初始步长 $\alpha^{(0)}$；（2）计算 $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\alpha^{(k)}d^{(k)}$；（3）计算 $g^{(k+1)}=\nabla f(x^{(k+1)})$，其中$f(x)$ 是目标函数的梯度；（4）计算 $\beta^{(k+1)}=\frac{\left \| g^{(k+1)}\right \|^2}{\left \| g^{(k)} \right \|^2}$；（5）计算 $d^{(k+1)}=-g^{(k+1)}+\beta^{(k+1)}d^{(k)}$；（6）计算 $\alpha^{(k+1)}=\arg \min_{\alpha \geq 0}f(x^{(k)}+\alpha d^{(k+1)})$；（7）重复步骤（2）至（6），直至达到预定精度或迭代次数上限。

05-⽆约束优化算法05-⽆约束优化算法⽬录⼀、⽆约束最⼩化问题[⽆约束最⼩化问题] 使 f(x) 最⼩化， f:R n→R 是凸的，且⼆次可微（意味着 domf 是开集)。

假设这个问题是可解的，也就是存在最优点 x∗ ，最优值 inf x f(x)=f(x∗) ，记为 p∗ .[最优充要条件] 因为 f 是可微且凸的，点 x∗ 是最优点的充要条件是∇f(x∗)=0 .注：其实可以从⼆维的图像去理解因此解决⽆约束最⼩化问题等同于寻找上式的解，是含有n个未知数的n个⽅程的集⽅程组。

有时我们是⽤递归算法来解决这个问题，也就是依次计算x(0),x(1),...∈domf , 有f(x(k))→p∗,k→∞ 。

这样的序列叫做问题的最⼩化序列 (minimizing sequence)。

算法的停⽌条件：f(x(k))−p∗≤ϵ，ϵ≥0 是可容许的误差值。

[初始点，下⽔平集] 初始点 x(0) 必须在 domf 中，并且下⽔平集S={x∈domf|f(x)≤f(x(0))} 必须是闭的。

注：下⽔平集是闭的，其实就是对函数做了⽔平切割，然后⽔平切割下的图像是封闭的如果函数 f 是闭的（也就是它的所有下⽔平集都是闭的）那么以上条件都能满⾜。

定义在domf=R n上的连续函数是闭的，所以如果domf=R n，那么初始下⽔平集条件对于任何x(0)都满⾜。

另⼀种闭函数：定义域是开集，当x趋近于bd domf时，f(x) 趋近于⽆限。

[强凸] ⼀个函数在 S 上是强凸的，如果存在 m>0 ，使得对于所有的 x∈S ，有∇2f(x)⪰mI.注：强凸的性质，其实就是保证函数的 ∇2f(x)>0 ，也就是确保只有⼀个最优解，⽽弱凸是最优解有多个，如下图所⽰。

对于x,y∈S我们有f(y)=f(x)+∇f(x)T(y−x)+12(y−x)T∇2f(z)(y−x) , for some z∈[x,y] 。

根据强凸的假设，最后⼀项⼤于等于 (m/2)‖y−x‖22,∀x,y∈S ，也就是：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x)+(m/2)‖y−x‖22 .当m=0 时，我们得到了描述凸性的基本不等式。

“数学和应用研究”重点专项2022年度项目申报指南“数学和应用研究”重点专项总体目标是：面向国家战略需求，解决一批影响未来发展的重大数学与应用问题，提升我国自主创新能力。

2022年度指南围绕数据科学与人工智能的数学基础，科学与工程计算方法，复杂系统的分析、优化、博弈与调控，计算机数学理论与算法，基础数学重大前沿问题研究等5个重点任务进行部署，拟支持26个项目。

同时，拟支持30个青年科学家项目。

青年科学家项目支持青年科研人员针对数学重大前沿问题潜心研究，鼓励开展另辟蹊径的前沿探索。

青年科学家项目主要支持基础数学研究、少量支持应用数学前沿研究，可参考重要支持领域（标*的方向）组织申报，但不受研究内容限制。

青年科学家项目不再下设课题。

1.数据科学与人工智能的数学基础*1.1大数据重采样、分布式推断与在线学习的统计理论与算法研究内容：针对大数据处理的三种基本模式：重采样、分布式与在线处理，建立大数据分析的统计学理论与方法。

建立带隐私保护、防恶意攻击的稳健重采样技术、去中心化及通讯有效的分布式统计学习理论与方法、变结构数据流的动态在线统计推断理论与方法等。

提出可扩展、收敛的高效统计推断算法，并在非独立同分布假设下建立相应统计学习的最优收敛速率估计。

发展相应的统计分析软件包，并应用到1-2个大数据分析场景。

考核指标：构建大数据分析的重采样、分布式与在线处理的统计学理论与算法，提出的理论和方法在高维数据或函数型数据分析等任务上达到国际领先水平；研发相应的统计分析软件包，在智能制造或基于医疗大数据的辅助诊断等领域取得显著应用成效。

1.2数据与机理融合的大数据统计推断研究内容：针对具有潜在机理驱动的大数据，突破基于数据分布假设的传统统计学范式，建立数据与机理融合的大数据统计分析理论与方法。

提出数据与机理融合的统计学建模与分析方法、基于数据机理模型的非参数/半参数方法与理论、特定机理产生的非欧结构数据的特征表达与检验、数据机理结合的因果学习等。

无约束最优化问题的求解算法和应用随着科技的发展和应用领域的扩大，无约束最优化问题已经越来越成为一种关注的研究领域。

在现实生活中，无约束最优化问题的求解可以应用在多个方面，比如金融、医学、机械工程等等。

然而，在实际应用中，我们往往需要利用已经发展的优秀算法进行求解。

本文将会介绍无约束最优化问题的求解算法及其应用。

一、无约束最优化问题的概念无约束最优化问题指的是在一定的条件下，通过调整某些变量来最大或最小化指定的目标函数。

这些变量的调整需遵守一定的限制条件，并且通过各种数值分析方法，比如数值解析和计算机数值算法等技术来求解这样的问题。

无约束最优化问题的数学形式一般为：$$ \min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) $$其中，$x \in \mathbb{R}^n$ 是 $n$ 维空间中的一个向量，$f(x)$ 则是目标函数，该函数需要满足一定的条件，比如连续、可微、凸等等。

当函数连续、可微的情况下，就能有效地应用求导法来求解这个问题。

二、基于梯度下降的算法在求解无约束最优化问题时，最常用的算法就是基于梯度下降的算法。

该算法通过沿着负梯度的方向一步步得逼近全局极小值。

算法的主要流程如下：1、初始化变量$x$，比如$x=0$;2、计算目标函数$ f(x)$ 的梯度 $\nabla f(x)$;3、计算下降方向 $p$，$p=-\nabla f(x)$;4、选择步长 $\alpha$，更新$x$ $x_{k+1} = x_{k} + \alpha p$;5、重复执行步骤2-4 进行更新，直到满足一定的终止条件为止。

这种方法的收敛性非常好，同时也比较容易实现。

在实际应用中，通常会将其与其他迭代方法组合使用，比如牛顿、拟牛顿等方法来提升其求解精度。

三、基于共轭梯度的算法基于梯度下降的算法虽然求解精度较好，但是当求解目标函数具有高度弱凸性质时，算法的收敛速度会相对较慢。

为了克服这类问题，研究人员往往会采用共轭梯度法。

求解无约束优化问题的新填充函数算法摘要：填充函数法是求解全局优化问题的一种重要的方法，本文构造一个新的形式简单且便于计算的单参数填充函数，编写算法，并通过数值计算验证了该算法的有效性和可行性。

关键词：填充函数；全局优化；单参数；数值计算abstract：the filled function method is an important way to solve global optimization problem. a novel single parameter filled function with simple form and easy to calculate is constructed in the paper. and also its validity and feasibility is validated by numerical calculation.keywords：filled function；global optimization；single parameter；numerical calculation1引言填充函数法由两个阶段组成：极小化阶段和填充阶段，两个阶段交替循环着进行，直到找到问题的全局极小点。

其中极小化阶段就是用我们学过的无约束极小化算法极小化问题，得到局部极小点，当该点不是全局极小点时，就进入填充阶段，构造填充函数，回到极小化阶段，找到更小的极小点，重复这个过程，就可以找到全局极小点。

填充函数法的核心就是构造填充函数，填充函数的形式与性质决定着相应算法的效率，因此本文力求构造出形式简单，含参数尽量少，且性质良好的填充函数。

2基本概念考虑无约束极小化问题■f（■）（p）对问题（p）作如下假设：●函数f（■）是强制性质的，即■f（■）=+∞；该假设的目的是保证存在一个紧集x？奂rn，x包含了f（■）的所有全局极小点和函数值较小的局部极小点，于是，问题（p）等价于■f（■）。

大规模无约束优化的一族LBFGS类算法钱小燕;施庆生;刘浩;石岿然【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2011(015)003【摘要】尝试在有限存储类算法中利用目标函数值所提供的信息.首先利用插值条件构造了一个新的二次函数逼近目标函数,得到了一个新的弱割线方程,然后将此弱割线方程与袁[1]的弱割线方程相结合,给出了一族包括标准LBFGS的有限存储BFGS类算法,证明了这族算法的收敛性.从标准试验函数库CUTE中选择试验函数进行了数值试验,试验结果表明这族算法的数值表现都与标准LBFGS类似.%In this paper,value information of objective function is exploited in limited memory BFGS-type algorithms.We first construct a new quadratic function satisfying some interpolation conditions to approximate the objective function,and get a new weak secant bining the new weak secant equation with that obtained by Yuan[1],a class of limited memory BFGS-type algorithms including the classic LBFGS algorithm based on a new weak secant equation is proposed.The convergence of this class limited memory BFGS-type algorithms is proved.Numerical results for standard test problems from CUTE are reported,which indicate that all the algorithms in the proposed class perform quite well.【总页数】10页(P9-18)【作者】钱小燕;施庆生;刘浩;石岿然【作者单位】南京工业大学理学院,南京210009;南京工业大学理学院,南京210009;南京工业大学理学院,南京210009;南京工业大学经济与管理学院,南京21009【正文语种】中文【中图分类】O221【相关文献】1.解大规模无约束优化的新有限储存对称秩1校正算法 [J], 刘浩;倪勤2.大规模无约束优化的一类修正有限存储BFGS算法 [J], 侯亚亭3.一类求解无约束优化的自适应拟牛顿型信赖域算法 [J], 李文钰4.大规模无约束优化的非单调有限内存BFGS算法 [J], 戴沨n;钱小燕;刘浩5.无约束优化问题的多种群混合类电磁机制算法 [J], 梁存利;董建民;刘泽国因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。