高三年级数学模拟试题

高三数学模拟试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 求下列数列的通项公式：数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案：B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9，点P(1, 2)，求点P到圆心的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C4. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x，求导数y'。

A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案：A6. 已知等差数列的第5项为15，第8项为25，求公差d。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. √3C. 2D. 1答案：A9. 已知复数z = 1 + i，求z的共轭复数。

A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

A. 0B. 3C. 6D. 9答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f''(x)的值。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

通州区2024届高三年级模拟考试数学试卷 2024年4月本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =−，{}1,2A =，{}0,2,3B =，则()U C A B =A.{}3B.{}0,3C.{}1,2,3D.{}0,1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)−，则2i z =A.1i −+B.22i −+C.1i −D.22i − 3. 在262()x x−的展开式中，常数项为A.60B.120C.180D.2404. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是A.1()1f x x =+B.3()f x x =−C.()tan f x x =D.12()log ||f x x =5. 在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，则AB AC ⋅=A. B.8 C.12 D.6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点43(,)55P −，则cos(π2)α−=A.925−B.725−C.725D.9257. 已知圆心为C 的圆22(2)(4)16x y ++−=与双曲线222:14x y E b −=(0)b >交于,A B 两点，且CA CB ⊥，则双曲线E 的渐近线方程为A.y x =B.12y x =±C.y =D.2y x =±8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=(0,1)a a >≠且，图象如图所示. 则下列 结论正确的个数为①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.A.0B.1C.2D.39. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2220S a −<”是“1(1)n n nS n S +>+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知函数2||1,1()log 1,1x x x f x x x −≤⎧=⎨+>⎩，()ln g x x x =，若关于x 的方程(()2)(())0f x g x m −−=恰有3个不同的实数根，则实数m 的取值范围是A.1(,0)e −B.1(,1)e −C.(0,)+∞D.(1,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2024届高三下学期质量检测数学模拟试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集，，则（ ）{}1,2,3,4U ={}2A x U x =∈<U A =ðA ．B ．C ．D ．{}1{}1,2{}3,4{}2,3,42．复数在复平面内对应的点位于（ ）i3i +A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在△ABC 中，若a=2bsinA,则B 为3A ．B ．C ．或D ．或3π6π3π23π6π56π4．已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）a ∈R 01a <<()()31f x a x =-R A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线和圆相交于A ，B 两点.若，则360x y -+=()2220x y r r +=>6AB =（ ）r =A ．2B ．C ．4D ．23326．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）{}n a n n S 121a a +=344a a +=6S =A ．9B ．16C ．21D ．257．已知双曲线：的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线，C ()222210,0x y a b a b -=>>l M ，N 分别是与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点.若M 是线段的中点，则C 的l FN 渐近线方程为（ ）A ．B ．y x=±22y x =±C ．D ．33y x =±55y x =±H DHA．存在点，使得直线与直线13．已知函数，若实数满足，则 ()1,25,2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩(),,a b c a b c <<()()()f a f b f c ==a b +=；的取值范围是.a b c ++14．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点()1sin 22f x x =()y f x =()()11,A x f x 处的切线相互垂直，则的一个取值为.()()22,B x f x 12x x -15．设A ，B 为两个非空有限集合，定义其中表示集合S 的元素个数.(),1A BJ A B A B=-S某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政1S 2S 3S 4S 1S =2S =3S =治，历史，地理}，给出下列四个结论：①若，则{思想政治，历史，生物}；()24,1J S S =4S =②若，则{地理，物理，化学}；()()1214,,J S S J S S =4S =③若{思想政治，物理，生物}，则；4S =()()()142434,,,J S S J S S J S S <=④若，则{思想政治，地理，化学}.()()()142434,,,J S S J S S J S S >=4S =其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知函数的最小正周期为.()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭π(1)若，，求的值；1A =()202f =ϕ(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求()f x 函数的单调递增区间.()()2cos 2h x f x x=-条件①：的最大值为2；()f x 条件②：的图象关于点中心对称；()f x 5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求证：；AC BD ⊥9667771.510648273(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；105(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过10的篇数记为，求的分布列及数学期望；5X X (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、()1,2,,10i i =⋅⋅⋅i X i Y 乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以X Y s 甲s 乙作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化12i i X X Y Y s s ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭甲乙i 得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）19．已知椭圆：的离心率为，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P E ()222210x y a b a b +=>>22是E 上异于A ，B 的点，的面积的最大值为.APB △22(1)求E 的方程；(2)设O 为原点，点N 在直线上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且与的面积相2x =APB △NBP △等.（i ）求证：直线与直线的斜率之积为定值；ON AP （ⅱ）是否存在点P 使得，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.APB NBP ≌△△20．已知函数.()()()1e R x f x ax a =-∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.x ()()1f x a x >-a 21．若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：A ()12,,,2n a a a n ⋅⋅⋅≥A n B ①，其中，表示{}()112211max ,,,2,3,,k k k k a a a a a a a k n ---++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥+{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅，这个数中最大的数；12,,,s x x x ⋅⋅⋅s ②，其中，表示{}()112211min ,,,12,3,,k k k k a a a a a a a k n ---++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅≤+{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅，这个数中最小的数.12,,,s x x x ⋅⋅⋅s (1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；A 5B (2)若：是数列，且，，成等比数列，求；A 126,,,a a a ⋅⋅⋅6B 1a 2a 3a 6a (3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（n B A ()12,,,2n a a a n ⋅⋅⋅≥λ[]()1,2,,k a k k n λ==⋅⋅⋅表示不超过的最大整数）[]x x1．D【分析】求出集合A ，再利用补集的定义求解即得.【详解】全集，则，{}1,2,3,4U ={1}A =所以.{}2,3,4U A =ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点.()()()i 3i i 13i3i 3i 3i 10-+==++-13,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A 3．C【详解】， ，则或，选C.3sin 2sin sin A B A =3sin 2B =3B π=23B π=4．A【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确1a =1a >1a <()f x 定答案.【详解】对于函数()()31f x a x =-当时，，为常数函数，1a =()0f x =当时，，函数在上单调递减，1a >10a -<()()31f x a x =-R 当时，，函数在上单调递增，1a <10a ->()()31f x a x =-R 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件.01a <<()()31f x a x=-R 故选：A.5．D【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得.【详解】圆的圆心为：，半径为，()2220x y r r +=>()0,0r 则圆心到直线的距离为，360x y -+=6313d ==+8．B又，故，即，()()ln 2ln 42424f f ===4i x ≤e 4i x <≤若，则有，12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+即，由，故.601e n ≤+e 2.72≈60122.06123.07e +≈+=故最大正整数为.n 23故选：D.关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从()ln xf x x =2e i y ≤<而得到，则有，即可得解.e 4i x <≤()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+11．15【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，()()626611r rrr rr C xC x--=-12r =2r =所以系数为，()226115C -=故15.12．##0.5212【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.【详解】由抛物线准线方程为，故，1y =-2p =则，，由在抛物线上，24x y =()0,1F ()00,M x y 故，0012pFM y y =+=+由，可得，OM FM=()2220001x y y =++即，即.0020214x y y ==+012y =故；.21213．2()6,7【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，01245a b c <<<<<<<()0,2x ∈关于对称，即可得解.()f x 1x =【详解】由，故在、上单调递减，()1,25,2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()f x (),1-∞()2,+∞在上单调递增，且有，，，，，()1,2()10f =()21f =()01f =()41f =()50f =由，则，()()()f a f b f c==01245a b c <<<<<<<由时，，则关于对称，故，()0,2x ∈()1f x x =-()f x 1x =2a b +=则.()26,7a b c c ++=+∈故；.2()6,714．(答案不唯一)π2【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即12cos 2cos 21x x ⋅=-可求解.【详解】，由题意可知，，()cos 2f x x='()()121f x f x '=-'即，所以，得，，，12cos 2cos 21x x ⋅=-12cos 21cos 21x x =⎧⎨=-⎩11πx k =22ππ2x k =+12,Z k k ∈或，得，，，12cos 21cos 21x x =-⎧⎨=⎩13ππ2x k =+24πx k =34,Z k k ∈所以，，,()1212ππ2x x k k -=-+-()1234ππ2x x k k -=+-1234,,,Z k k k k ∈所以的一个取值为.12x x -π2故(答案不唯一)π215．①③【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，14S S 讨论和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历146S S = 144S S = 4S =史}来说明.【详解】对于①：，所以，所以，()242424,11S S J S S S S =-= 240S S = 24S S =∅又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；2S =4S =对于②：，即，()()1214,,J S S J S S =121412142142S S S S S S S S ===所以，所以必为偶数，又，14142S S S S = 14S S 1436S S ≤≤ 当时，，不符合，146S S = 140S S =∅= 14142S S S S = 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；144S S = 142S S = 4S 4S =对于③：若{思想政治，物理，生物}，则4S =，()()()231444211414,1,,1,,1425555J S S J S S J S S =-==-==-=所以，③正确；()()()142434,,,J S S J S S J S S <=对于④：当{物理，地理，历史}时，4S =，()()()231444142121,1,,1,,1554242J S S J S S J S S =-==-==-=满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.()()()142434,,,J S S J S S J S S >=4S =故选：①③方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.16．(1)π4ϕ=(2)，单调递增区间，，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；()202f =（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【详解】（1）因为，，则，且，则；1A =()202f =2sin 2ϕ=π02ϕ<<π4ϕ=（2）因为函数的最小正周期为，则，()f x π2ω=若选①②，则，且，2A =5π5π2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则，则，则，π02ϕ<<5π5π4π663ϕ<+<5ππ6ϕ+=π6ϕ=所以；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若选择①③，则，且，则，2A =ππ2sin 3126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 62πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则，则，则，π02ϕ<<ππ2π663ϕ<+<ππ63ϕ+=π6ϕ=所以；()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若选择②③，由②可知，，π6ϕ=由③可知，，则，πππ3sin 312662f A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2A =所以.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 22cos 23sin 2cos 26h x x x x x⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，πππ2π22π262k x k -+≤-≤+Z k ∈得，，ππππ63k x k -+≤≤+Z k ∈所以函数的单调递增区间是，，()h x πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈17．(1)证明见解析(2)55【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）取中点，连接、，AC M DM BM由，，故、，AD DC =AB BC =AC DM ⊥AC BM ⊥又、平面，，DM BM ⊂DBM DM BM M = 则平面，又平面，故；AC ⊥DBM BD ⊂DBM AC BD ⊥（2）由侧面底面，且，平面，DAC ⊥ABC AC BM ⊥BM ⊂DBM 平面平面，故平面，AC =DAC ⋂ABC BM ⊥DAC 又平面，故，DM ⊂DAC BM DM ⊥即有、、两两垂直，BM DM AC 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，M M ABD -由，，，，，5AB =2AC =2AD =AD DC =AB BC =则，，112DM AC ==()22512BM =-=即、、、、，()0,0,0M ()0,0,1D ()0,2,0B ()1,0,0A ()1,0,0C -、、，()0,2,1DB =-()1,0,1AD =-()2,0,0AC =-令，则，()0,2,DF DB λλλ==-()1,2,1AF AD DF λλ=+=--由，故，解得，AF BD ⊥()()22110λλ⨯+-⨯-=15λ=故，241,,55AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令平面的法向量为，FAC (),,m x y z =则有，令，则有，2024055x x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩2y =()0,2,1m =- 由轴平面，故平面的法向量可为，z ⊥ABC ABC ()0,0,1n =则，15cos ,5411m n m n m n⋅--===+⋅故二面角的余弦值为.F AC B --55由已知，6780617870818468666471.910X +++++++++==，8286768485838674778281.510Y +++++++++==明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然1为第，1现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，36666222261111222231X X Y Y X X Y Y X X Y Y s s s s s s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭甲乙甲乙甲乙乙甲根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故，S S >甲乙所以，即，310s s->乙甲662211022X X Y Y X X Y Y s s s s ⎛⎫⎛⎫----+-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙甲乙所以序号为2的论文标准化得分排名为第，2所以序号为2的论文的两种排名结果相同.19．(1)22142x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点P【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；（2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可APB S NBP S P 化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，APB NBP ≌△△再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件.P 【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，P APB △12222a b ⋅⋅=则，得，，2222222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩222b c ==24a =所以椭圆的方程为；E 22142x y +=（2）（ⅰ）设，，()00,P x y ()2,N t 00ty <（ⅱ）假设存在点，使得P APB 因为，，AB AP >NP NB>则，所以OPB OBP ∠=∠OP =则点与点重合，这与已知矛盾，P A 所以不存在点，使P APB ≌△△（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭()1e x x h x x -=-结合不等式，讨论的取值，即可求解.a 【详解】（1），()()1e xf x a ax '=--当，得，()0f x '=1a x a -=当时，时，，单调递增，0a >1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 时，，单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a ()0f x '<()f x 当时，时，，单调递减，0a <1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 时，，单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a ()0f x ¢>()f x 当时，，函数在上单调递增，0a =()e x f x =()f x R 综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，0a >()f x 1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，0a <()f x 1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，函数的增区间是，无减区间.0a =()f x (),-∞+∞（2）不等式，即，()()1e 1xax a x ->-11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭设，，()1e xx h x x -=-()2e 21e e x x x x x h x -+-'=-=设，，所以单调递增，()e 2x t x x =+-()e 10x t x '=+>()t x 且，，()01t =-()1e 20t =->所以存在，使，即，()00,1x ∈()00t x =()00h x '=当时，，单调递减，当时，，单调递增，()0,x x ∈-∞()0h x '<()h x ()0,x x ∈+∞()0h x '>()h x所以，()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=因为，所以，e 1xx ≥+()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>当时，，当时，，0x ≤()()01h x h ≥=1x ≥()()11h x h ≥=不等式无整数解，即无整数解，()()1e 1xax a x ->-11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，0a ≤若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，1a ≥11a ≤()h x (],0-∞[)1,+∞所以时，，所以无整数解，符合题意，Z x ∈()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥()1h x a <当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意，01a <<()()1011h h a ==<0,1()1a h x ⋅<综上可知，.1a ≥关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形，第二个关键是确定函数11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭的单调性，以及确定.()1e x x h x x -=-()()011h h ==21．(1)不是，理由见解析(2)68a =(3)证明见解析【分析】（1）直接根据数列的定义验证；5B （2）根据数列的定义先列式求出，进而可求出；6B 123,,a a a 456,,a a a （3）先说明数列满足结论，然后假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设2B 2t >t B 这样的的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使t 0t 0t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ 得，通过数列的定义退出矛盾，进而达到证明结论的目的.[]k a k λ≠n B 【详解】（1）：2，4，6，7，10不是数列，理由如下：A 5B 因为，13228,8a a a a +=+=所以，{}1322max ,8a a a a ++=但，所以不满足性质①，故不是数列；478a =<A 5B （2）根据：是数列可得：满足：A 126,,,a a a ⋅⋅⋅6B A 126,,,a a a ⋅⋅⋅或，或，211a a a =+2111a a a =++312a a a =+3121a a a =++①若，因为，，成等比数列，所以，211a a a =+1a 2a 3a 223114a a a a ==又，所以，所以，得，10a ≠312a a a ≠+312111314a a a a a =++=+=11a =②若，因为，，成等比数列，所以，2111a a a =++1a 2a 3a ()221231121a a a a a +==当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；312a a a =+()213112131a a a a +=+=1352a -±=1a 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；3121a a a =++()213112132a a a a +=+=11a =-1a 所以，1231,2,4a a a ===由以及，31225,4a a a a ++=={}{}132241322max ,min ,1a a a a a a a a a ++≤≤+++得，所以，455a ≤≤45a =由以及，4123,66a a a a ++=={}{}142351423max ,min ,1a a a a a a a a a ++≤≤+++得，567a ≤≤由以及15243378,7,8a a a a a a ≤+≤+=+=，{}{}1524336152433max ,,min ,,1a a a a a a a a a a a a a +++≤≤++++可知，所以；688a ≤≤68a =（3）当时，根据数列的定义，可知或,2n =2B 212a a =2121a a =+若，取，则，结论成立，212a a =10.10a λ=+>[][]12,2a a λλ==若，取，则，结论成立，2121a a =+10.50a λ=+>[][]12,2a a λλ==假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，2t >t B t 0t 即存在数列对任意实数，存在，使得，t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ []k a k λ≠根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列，A 01t -0121,,,t a a a - 01t B -从而存在实数，使得，，β[]k a k β=01,2,,1k t =- 即，()()00111,2,,1,1,2,,1k k k k a a a k a k t k t k k ββ+≤<+=-≤<=- 令，则，001122110011max ,,,,min 1,,,2121t t a a a a L a U a t t --+⎧⎫⎧⎫+==+⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭ L U β≤<令，则，00001max ,,min ,t t a a L L U U t t **+⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,L L U U **≤≤①若，根据的定义，存在，使得，0t L t a *=U {}01,2,,1u t ∈- 1u U a u =+又，001t uu a a L U t uu -+≤<=-则且，()()00000111t t u u t u u u a a a a a a L U t t t u uu--*+++++=≤=<=-+0001t t a a L t t *+=<所以，L U **<②若，根据的定义，存在，使得，L L *=L {}01,2,,1l t ∈- lL l a =又，001t ll a U la L t l -+=<≤-则，且，()()000000111l t l l t l t l a a a a a a L L l l t l t l --*+++++==<=≤+-*L L U =<所以，L U **<所以，L L U U **≤<≤令，则，*2L U β*+'=L L U U β**'≤<<≤即，0022110011max ,,,min 1,,,22t t a a a a a a t t β+⎧⎫⎧⎫+<<+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭'所以，()011,2,,k k a a k t k k β+<<=' 所以，()011,2,,k k a k a k t β<<+=' 即，与假设矛盾，[]k a k β='()01,2,,k t = 综上，结论成立.关键点点睛：本题第三问，假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的2t >t B 的最小值为，即存在数列对任意实数，存在，使得t 0t 0t B 012:,,,t A a a a λ{}01,2,,k t ∈ ，利用反证法达到解决问题的目的.[]k a k λ≠。

高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0}，则A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 若a > 0，b < 0，则a与b的和的符号为（）A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案：D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1)，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 在△ABC中，角A = 60°，边AC = 5cm，边BC = 4cm，则边AB 的长度为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案：C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣，小明购买了一件原价500元的商品，他需要支付多少元？（）A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案：C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2，求f(5)的值。

解：当x = 5时，f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案：42. 解方程：3x + 5 = 2(x - 1) + 7解：展开得：3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得：3x + 5 = 2x + 5化简得：x = 0答案：03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5，求f(3)的值。

解：当x = 3时，f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案：24. 某商品在经过两次10%的折扣后，售价为270元，求其原价。

解：设原价为x元，则经过第一次折扣后为0.9x元，经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。

根据题意，0.9 × 0.9x = 270，解方程得：x = 300答案：300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行，下午以每小时15公里的速度向北骑行。

如果来回共耗时8小时，求行程的总长度。

河北省石家庄市2025届高三年级10月联考模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若A ={x |x 2<1}，B ={x |y =ln (−x 2+2x )}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [0,1)C. (0,1)D. (−1,0)2.下列说法中正确的是( )A. 若函数f (x )为奇函数，则f (0)=0；B. 在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件；C. 若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列；D. 若复数z =2i1−i (i 是虚数单位)，则z =−1−i ．3.已知数列{a n }满足a n +1=23a n +4，且a 1=1，则{a n }的通项公式为( )A. a n =12−(23)n−1B. a n =(23)n +2C. a n =12−11×(23)n−1D. a n =8+(23)n−14.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC =AB =AA 1，∠BAC =120°，D ，E ，F 分别是棱B 1C 1，BC ，A 1C 1的中点，则异面直线AD 与EF 所成角的余弦值为( )A. 310B.5110C. 25D. 7105.已知平面向量m ，n 满足：|m |=|n |=2，且m 在n 上的投影向量为12n ，则向量m 与向量n−m 的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘6.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，其图象经过点(2,0)，且对任意x 1、x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2，(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立，则不等式(x−1)f (x )≥0的解集为( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,0]⋃[1,2]D. [0,1]⋃[2,+∞)7.若函数f(x)=(x 2−22x +a)sin (ax−π3)(a >0)在[0,4]上有3个零点，则a 的取值范围是( )A. [7π12,5π7) B. (0,5π6)C. [π12,π3)∪[2，5π6) D. [π12,π3)∪(2,5π6)8.已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，▵ABD 的三个顶点均在C 上，F 1、F 2分别落在线段AB 、AD 上且AD ⊥x 轴，若AD =8,AB =9，则BD =( )．A. 4B. 5C. 6D. 7二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三数学模拟试卷（满分150 分）一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1．已知全集 U={1,2,3,4,5} ，会集 M ＝{1,2,3} ， N ＝ {3,4,5} ，则 M ∩ ( e U N)＝（）A. {1,2}B.｛ 4,5｝C.｛ 3｝D.｛ 1,2,3,4,5｝ 2. 复数 z=i 2(1+i) 的虚部为（）A. 1B. iC.- 1D. -i3．正项数列 { a } 成等比， a +a =3， a +a =12,则 a +a 的值是（）n1 23445A. - 24B. 21C.24D. 484．一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（）A.2 34B.3C.2 3 4 54 3 4 3+D.2735．双曲线以一正方形两极点为焦点，另两极点在双曲线上，则其离心率为（ ）A. 2 2B.2 +1C.2D. 1uuur uuur6． 在四边形 ABCD 中，“ AB =2 DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（）A. 充足不用要条件B. 必要不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件7．设 P 在 [0,5] 上随机地取值，求方程x 2+px+1=0 有实根的概率为（ ）A. 0.2B. 0.4C.0.5D.0.6y8． 已知函数 f(x)=Asin( ωx +φ)(x ∈ R, A>0, ω>0, |φ|<)5f(x)的解析式是（2的图象（部分）以下列图，则）A ．f(x)=5sin( x+)Ｂ． f(x)=5sin(6 x-)O256 66xＣ． f(x)=5sin(x+)Ｄ． f(x)=5sin(3x- )366－ 5二、填空题：（每题 5 分，共30 分）9. 直线 y=kx+1 与 A （ 1,0）， B （ 1,1）对应线段有公共点，则 k 的取值范围是 _______. 10．记 (2x1)n 的张开式中第 m 项的系数为 b m ，若 b 32b 4 ，则 n =__________.x311 ． 设 函 数 f ( x) xx 1x 1、 x 2、 x 3、 x 41 2的 四 个 零 点 分 别 为 ， 则f ( x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；12、设向量 a(1，2)， b (2，3) ，若向量a b 与向量 c (4， 7)共线，则x 111. lim______ .x 1x 23x 414. 对任意实数 x 、 y ，定义运算 x* y=ax+by+cxy ，其中a、 b、c 常数，等号右的运算是平时意的加、乘运算 .已知 2*1=3 ， 2*3=4 ，且有一个非零数m，使得任意数x，都有 x* m=2x， m=.三、解答：r r15．（本 10分）已知向量 a =(sin(+x), 3 cosx)，b =(sin x,cosx),f(x)=⑴求 f( x)的最小正周期和增区；2⑵若是三角形 ABC 中，足 f(A)=3，求角 A 的．216．（本 10 分）如：直三棱柱（棱⊥底面）ABC — A 1B1C1中，∠ ACB =90°， AA 1=AC=1 ， BC= 2，CD ⊥ AB, 垂足 D.C1⑴求： BC∥平面 AB 1C1;A1⑵求点 B 1到面 A 1CD 的距离 .PCA D r r a ·b .B 1B17．（本 10 分）旅游公司 4 个旅游供应 5 条旅游路，每个旅游任其中一条.（ 1）求 4 个旅游互不一样样的路共有多少种方法;（2）求恰有 2 条路被中的概率 ;（3）求甲路旅游数的数学希望.18.（本 10 分）数列 { a n} 足 a1+2a2 +22a3+⋯+2n-1a n=4 n.⑴求通a n；⑵求数列 { a n} 的前 n 和S n.19．（本 12 分）已知函数f(x)=alnx+bx,且 f(1)= - 1， f′(1)=0 ，⑴求 f(x)；⑵求 f(x)的最大；⑶若 x>0,y>0, 明： ln x+lny≤xy x y 3.220．（本 14 分） F 1, F 2 分 C :x2y 21(a b 0) 的左、右两个焦点，若 Ca 2b 2上的点 A(1,3124.)到 F ， F 两点的距离之和等于2⑴写出 C 的方程和焦点坐 ；⑵ 点 P （ 1，1）的直 与 交于两点 D 、 E ，若 DP=PE ，求直 DE 的方程 ;4⑶ 点 Q （ 1，0）的直 与 交于两点 M 、N ，若△ OMN 面 获取最大，求直 MN 的方程 .21. （本 14 分） 任意正 数 a 1、 a 2、 ⋯ 、an ；求1/a 1+2/(a 1 +a 2)+⋯ +n/(a 1+a 2+⋯ +a n )<2 (1/a 1+1/a 2+⋯ +1/a n )9 高三数学模 答案一、 :. ACCD BAD A二、填空 ：本 主要考 基 知 和基本运算．每小 4 分，共 16 分 .9.[-1,0] 10.5 11.19 12. 2 13.1 14. 35三、解答 ：15．本 考 向量、二倍角和合成的三角函数的公式及三角函数性 ，要修业生能运用所学知 解决 ．解：⑴ f(x)= sin xcosx+3 + 3 cos2x = sin(2x+ )+ 3⋯⋯⋯2 23 2 T=π， 2 k π - ≤ 2x+≤ 2 k π +， k ∈ Z,232最小正周期 π， 增区[ k π -5, k π + ], k ∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1212⑵由 sin(2A+ )=0 , <2A+ <7 ,⋯⋯⋯⋯⋯33 或533∴ 2A+ =π或 2π，∴ A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33616．、本 主要考 空 、 面的地址关系，考 空 距离角的 算，考 空 想象能力和推理、 能力， 同 也可考 学生灵便利用 形， 建立空 直角坐 系， 借助向量工具解决 的能力． ⑴ 明：直三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， BC ∥ B 1C 1,又 BC 平面 A B 1C 1，B 1C 1 平面 A B 1C 1，∴ B 1C 1∥平面 A B 1C 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵（解法一）∵ CD ⊥ AB 且平面 ABB 1A 1⊥平面 AB C,C 11 1 1∴ CD ⊥平面 ABBA ，∴ CD ⊥AD 且 CD ⊥A D ,∴∠ A DA 是二面角 A 1— CD —A 的平面角，1A 1B 1在 Rt △ ABC,AC=1,BC= 2 ,PC∴ AB= 3 , 又 CD ⊥ AB ，∴ AC 2=AD × ABADB∴ AD=3， AA1131=1，∴∠ DA 1B 1=∠ A DA=60 °，∠ A 1 B 1A=30°，∴ A B 1 ⊥A D又 CD ⊥ A 1D ，∴ AB 1⊥平面 A 1CD ， A 1D ∩ AB 1=P, ∴ B 1P 所求点 B 1 到面 A 1CD 的距离 . B P=A 1 B 1cos ∠ A 1 B 1A= 33cos30 =° .12即点 B 1 到面 A 1 CD 的距离 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 × 3 1 z （ 2）（解法二） 由 V B 1- A 1CD =V C - A 1B 1D =C 132×6 = 2，而 cos ∠ A 1 CD= 2 × 6 = 3 ,AB13 6 2 3 31△A 1CD1 ×2 ×6 ×6 =2,B 1 到平面CS=3 332A ByA 1CD 距离 h, 1×22, 得 h= 3所求 .Dx h=33 6 2⑶（解法三）分 以CA 、CB 、CC 1 所在直 x 、y 、z 建立空 直角坐 系（如 ）A （ 1，0， 0）， A 1（ 1， 0， 1），C （0， 0， 0）， C 1（ 0， 0， 1），B （0，2 ， 0）， B 1（ 0， 2 ， 1），uuurr∴ D （ 2 ， 2， 0） CB =（ 0， 2 ， 1）， 平面 A 1CD 的法向量 n =（ x ， y ， z ），3 31r uuur3n CD2x2y 0rruuur，取 n=（ 1， -2 ， - 1）n CA 1 x z 0r uuur点 B 1 到面 A 1CD 的距离d= n CB 13r⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n217．本 主要考 排列，典型的失散型随机 量的概率 算和失散型随机 量分布列及希望等基 知 和基本运算能力．解：（ 1） 4 个旅游 互不一样样的 路共有：A 54=120 种方法； ⋯（2）恰有两条 路被 中的概率 ：P 2 C 52 (2 42) 28=54⋯125（3） 甲 路旅游 数ξ， ξ～ B(4, 1)14⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5∴希望 E ξ=np=4×=5 5答 : （ 1） 路共有120 种，（2）恰有两条 路被 中的概率 0.224, （ 3）所求希望 0.8 个数 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18．本 主要考 数列的基 知 ，考 分 的数学思想，考 考生 合 用所学知 造性解决 的能力．解：（ 1） a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n - 1a n =4n ，∴ a 1+2 a 2+22a 3+⋯ +2n a n+1=4n+1，相减得 2n a n+1=3× 4n , ∴ a n+1=3× 2n ,4(n1) 又 n=1 a 1=4，∴ 上 a n =2n 1所求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(n 2)⑵ n ≥2 ， S n=4+3(2 n- 2), 又 n=1 S 1=4 也建立， ∴ S n =3× 2 n - 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．本 主要考 函数、 数的基本知 、函数性 的 理以及不等式的 合 ，同 考 考生用函数放 的方法 明不等式的能力．解：⑴由 b= f(1)= - 1, f ′(1)= a+b=0, ∴ a=1, ∴f(x)=ln x- x 所求； ⋯⋯⋯⋯⋯⑵∵ x>0,f ′(x)=1- 1=1x ,xxx 0<x<1x=1 x>1 f (′x) +0 - f(x)↗极大↘∴ f (x)在 x=1 获取极大 - 1，即所求最大 - 1； ⋯⋯⋯⋯⋯⑶由⑵得 lnx ≤x- 1 恒建立， ∴ln x+ln y=ln xy+ ln x ln y ≤ xy 1 + x 1 y 1 = xy x y 3建立⋯⋯⋯22 22220．本 考 解析几何的基本思想和方法，求曲 方程及曲 性 理的方法要求考生能正确分析 ， 找 好的解 方向， 同 兼 考 算理和 推理的能力， 要求 代数式合理演 ，正确解析最 ．解：⑴ C 的焦点在 x 上，由 上的点A 到 F 1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a= 4，即 a=2 .；3134 1.得 b 2=1，于是 c 2=3 ；又点 A(1,) 在 上，因此222b 2因此 C 的方程x 2y 2 1,焦点 F 1 ( 3,0), F 2 ( 3,0). ，⋯⋯⋯4⑵∵ P 在 内，∴直DE 与 订交，∴ D( x 1,y 1),E(x 2,y 2)，代入 C 的方程得x 12+4y 12- 4=0, x 22+4y 22- 4=0,相减得 2(x 1- x 2 )+4× 2× 1 (y 1- y 2)=0 , ∴斜率 k=-11 4∴ DE 方程 y- 1= - 1(x-), 即 4x+4y=5; ⋯⋯⋯4(Ⅲ )直 MN 不与 y 垂直，∴MN 方程 my=x- 1，代入 C 的方程得（ m 2+4) y 2+2my- 3=0,M( x 1,y 1 ),N( x 2 ,y 2), y 1+y 2=-2m 3 ,且△ >0 建立 .m 2 4, y 1y 2=-m 2 4又 S △ OMN = 1|y 1- y 2|= 1 ×4m212(m 24) = 2 m23， t=m 2 3 ≥ 3 ,2 2m 2 4m 24S△OMN =2,(t+1t1tt ) ′=1 - t-2>0t≥ 3 恒建立，∴t=3t+1获取最小， S△OMN最大，t此 m=0, ∴ MN 方程 x=1⋯⋯⋯⋯⋯。

河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（三）一、单选题1．已知复数z 满足()132z i i +=+，则复数z 的虚部为 A ．12i -B ．12iC ．12D ．12-2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．1C ．14D ．183．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A．92B ．C ．D ．24．已知向量2a =r ，b r 在a r方向上的投影向量为3a -r ，则a b ⋅=r r （ ）A ．12B ．12-C ．6D ．6-5．某班派遣,,,,A B C D E 五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且,A B 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ） A ．18B ．24C ．36D ．486．如图，将绘有函数()()πsin 0,0π3f x M x M ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，此时,A B ϕ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．若函数()221e e x xf x x ax a +=+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,0e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．310,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭ D ．210,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．点M 是椭圆()222210+=>>x y a b a b上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于,P Q 两点，若PQM V 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．()2 B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题9．对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） A ．数据1,2,3,4,5,6,8,9,11的第75百分位数是6B ．若事件,M N 的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈，则()()||1P N M P N M +=C ．由两个分类变量,X Y 的成对样本数据计算得到211.612χ=，依据0.001α=的独立性检验()0.00110.828x =，可判断,X Y 独立D ．若一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的对应样本点都在直线47y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为1-10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为5π6B ．存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C ．当P 为棱1CC 的中点且PM =MD ．当M 为1A D 的中点时，四棱锥M ABCD -外接球的表面积为32π311．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意,x y ∈R 都满足()()()2f x f x y f y -=+-，且()1f x +为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()24148n f n ==∑三、填空题12．若{}{}2|01|20x x x x x m -+>=∅I ≤≤，则实数m 的取值范围为．13．已知数列{}n a 的通项公式为{}12,n n n a n b -=+的通项公式为13n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =，n S 的最小值为．14．设00a b >>，，记M 为13b a a b+，，三个数中最大的数，则M 的最小值．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和12c b = (1)求角A 和tan B ； (2)求()cos 2A B +．16．如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，(1)求证：1AA ⊥平面11BCC B ；(2)求直线AB 和平面1ACB 所成角的正弦值．17．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数()1e 1s x x f x -=-（0,1,x s s >>为常数）密切相关，请解决下列问题：(1)当2s =时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当2s >时，证明()f x 有唯一极值点．18．已知双曲线()221222:10,0,,x y C a b F F a b-=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上． (1)求C 的方程；(2)若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，与抛物线216y x =交于,P Q 两点，试问是否存在常数λ，使得1AB PQλ-为定值？若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由．19．现有一种不断分裂的X 细胞，每个时间周期T 内分裂一次，一个X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的X 细胞，每次分裂后原X 细胞消失．设每次分裂成一个新X 细胞的概率为p ，分裂成两个新X 细胞的概率为1p -；新细胞在下一个周期T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的X 细胞，在第一个周期T 中开始分裂，其中1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)设2T 结束后，X 细胞的数量为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)设()*N nT n ∈结束后，X 细胞数量为m 的概率为()m P n ．（ⅰ）求()2P n ； （ⅱ）证明：()36481P n <．。

一、单选题二、多选题1.已知函数为奇函数，则（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12. 在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，且平面ABCD ，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（）A．B．C．D．3. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．4.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 下列说法正确的有（ ）个①已知一组数据的方差为，则的方差也为.②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③已知随机变量服从正态分布，若，则.④已知随机变量服从二项分布，若，则.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ）A．B．C．D．7.已知，则A．B．C．D．8. 已知为第二象限角，且，则的值为（ ）A．B．C．D．9. 关于变量x ，y 的个样本点，，…，及其线性回归方程：，下列说法正确的有（ ）A ．相关系数的绝对值越小，则表示x ，y 的线性相关程度越弱B．线性回归方程中的是变量x ，y 正相关的充要条件C ．线性回归方程中的是变量x ，y 负相关的充分不必要条件D ．若，，则点一定在回归直线上10.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题上海市2022届高三模拟卷(一)数学试题三、填空题四、解答题A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为11.已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于（极限为），即数列为收敛数列.下列结论正确的是（ ）A．数列是一个收敛数列B ．若数列为收敛数列，则，使得，都有C ．若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列D ．若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列12.已知点，和在椭圆：上，则（ ）A．的焦点为B ．的离心率为C ．直线的斜率小于1D ．的面积最大值为313. 已知偶函数在单调递减，且，若，则的取值范围是____.14. 函数在点处的切线方程为________．15. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是__________．16. 已知数列是等差数列，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.17. 已知函数，，其中是自然对数的底数．（1）若函数有两个不同的极值点、，求实数的取值范围；（2）当时，求使不等式对一切实数恒成立的最大正整数．18. 随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚，“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连.为了更好的普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：分数人数815253022(1)若测试成绩不低于60分为合格，否则为不合格，为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s ，绘计算得，若，则这次培训中不合格的学生需要参加第二次讲座；否则，不需要参加第二次讲座，试问不合格学生是否参加第二次讲座；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，否则为不优秀.（i）若在样本中利用分层抽样从成绩在的学生中抽取11人，再从这11人中随机抽取4人担任讲座助理，设成绩优秀的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）视频率为概率，若从所有参加讲座的大学生中随机抽取3人，设成绩优秀的人数为Y ，求Y的数学期望，并比较与大小.19. 已知，（1）求在处的切线方程以及的单调性；（2）令，若有两个零点分别为，且为唯一极值点，求证：.20. 某市教育局为指导学生适应高中的学习和生活、选择适合自己的高考科目，定期举办高中生生涯规划讲座.市教科院为了了解高中生喜欢高中生生涯规划讲座是否与性别相关，在该市随机抽取100名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢高中生生涯规划讲座不喜欢高中生生涯规划讲座合计男生10女生20合计已知从这100名学生中随机抽取到喜欢高中生生涯规划讲座的学生的概率为0.7．（1）判断是否有99%的把握认为喜欢高中生生涯规划讲座与性别有关？（2）从上述不喜欢高中生生涯规划讲座的学生中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．附：．0.0500.0100. 0050.0013. 8416.6357. 87910.82821. 已知函数（1）求的最大值；（2）当时，证明：；（3）证明：.（参考数据：自然对数的底数）。