第六章非线性规划最优潮流

13非线性规划3.1非线性规划简史非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。

1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件（后来称为库恩－塔克条件）的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。

在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n 种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。

50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。

非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。

线性规划及其扩展问题的约束条件和目标函数都是关于决策变量的一次函数。

虽然大量的实际问题可以简化为线性规划及其扩展问题来求解，但是还有相当多的问题很难用线性函数加以描述。

如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这样的规划问题为非线性规划问题。

由于人们对实际问题解的精度要求越来越高，非线性规划自20世纪70年代以来得到了长足的发展；目前，已成为运筹学的一个重要分支，在管理科学、最优设计、系统控制等许多领域得到了广泛的应用。

一般来讲，非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解困难得多；而且也不象线性规划问题那样具有一种通用的求解方法（单纯形法）。

非线性规划没有能够适应所有问题的一般求解方法，各种方法都只能在其特定的范围内发挥作用。

其解法有几何规划，一维最优化方法，无约束最优化方法，有约束最优化方法，二次规划，凸规划等六个大方面。

3.2非线性规划的数学模型通过一个非线性规划问题来归纳非线性规划的一般数学模型如下：[例] 某商店经销A 、B 两种产品，售价分别为20和380元。

据统计，售出一件A 产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为n 2.01+。

非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。

一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。

目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。

2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。

目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。

（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。

该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。

梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。

（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。

该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。

牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。

（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。

该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。

拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。

3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。

以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。

（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。

通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。

最优潮流算法概述摘要：最优潮流是一类典型的非线性规划问题, 在电力系统中求解最优潮流是一项基本而重要的工作。

本文论述了最优潮流算法问题, 对其中经典的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、以及混合序列法做了详细介绍，并对智能化的潮流算法，如遗传算法、模拟退火法等进行了探讨，同时做了相应的比较。

然后结合最优潮流在电力市场下的应用进行了分析，最后指出最优潮流发展所面临的问题，并深入研究。

一引言最优潮流OPF (Optima l Power Flow)是指从电力系统优化运行的角度来调整系统中各种控制设备的参数,在满足节点正常功率平衡及各种安全指标的约束下,实现目标函数最小化的优化过程。

它将电网的经济调度、质量控制和安全运行统一协调起来，对电力系统的规划和运行有着重要意义。

最优潮流能够统一考虑电力系统在安全、经济和电压质量各方面的要求。

最优潮流问题，实质上是在满足一定的安全约束条件下，使目标函数达到最优的非线性规划问题。

具体地说，最优潮流是研究当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过系统变量的优选，所能找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的一个或多个目标达到最优时的潮流分布。

1962年, J. Carpentier介绍了一种以非线性规划方法来解决经济分配问题的方法[1],首次引入了电压约束和其它运行约束。

电力系统最优潮流是经过优化的潮流分布, 其数学模型可以表示为：,min(,)..(,)0(,)0fs t gh⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩u xu xu xu x（1.1）其中目标函数f 及等式、不等式约束g 及h中的大部分约束都是变量的非线性函数, 因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。

本文论述了最优潮流算问题, 对其中的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、遗传算法模拟退火法等进行了详细的比较。

二经典的最优潮流计算方法电力系统最优潮流的经典解算方法主要是指以简化梯度法、牛顿法、内点法和解耦法为代表的基于线性规划和非线性规划以及解耦原则的解算方法,是研究最多的最优潮流算法,这类算法的特点是以一阶或二阶梯度作为寻找最优解的主要信息。

第五章 非线性规划的概念和原理非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。

1951年，库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。

以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很大的发展，其应用的领域也越来越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。

一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。

非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。

都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。

这正是需要人们进一步研究的课题。

5.1 非线性规划的实例及数学模型[例题6.1] 投资问题：假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元，可供选择兴建的项目共有几个。

已知第j 个项目的投资为j a 亿元，可得收益为j c 亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率（即单位投资可得到的收益）为最高？解：令决策变量为j x ，则j x 应满足条件()10j j x x -=同时j x 应满足约束条件1nj j j a x b =≤∑目标函数是要求盈利率()1121,,,njjj n njjj cx f x x x ax ===∑∑ 最大。

[例题6.2] 厂址选择问题：设有n 个市场，第j 个市场位置为(),j j p q ，它对某种货物的需要量为jb ()1,2,,j n = 。

现计划建立m 个仓库，第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m = 。

试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。

解：设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m = ，第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为ijz ()1,2,,,1,2,,i m j n == ，则第i 个仓库到第j 个市场的距离为i j d =目标函数为1111mnmni j i j iji j i j z d z =====∑∑∑∑约束条件为：（1） 每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量； （2） 每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量； （3） 运输量不能为负数。

电力系统最优潮流计算电力系统最优潮流计算是电力系统运行中的重要问题，旨在求解系统中各节点的电压幅值和相位角，以及各支路中的有功和无功功率。

最优潮流计算可以帮助电力系统运行人员评估系统可靠性、效率和稳定性，并为系统的运行和规划提供参考。

最优潮流计算的基本原则是在保持系统供电平衡和支路功率平衡的基础上，通过调整发电机的出力和支路上的功率分配，使得系统运行的一些指标（通常是整个系统的平均电压幅值或总功率损耗）达到最小。

最优潮流计算的基本模型是基于电力系统潮流方程的非线性优化问题。

潮流方程是描述电力系统节点间功率平衡的方程，一般可以表示为：P_i = ∑ (G_ij * V_i * V_j - B_ij * V_i * V_j * cos(θ_i -θ_j))Q_i = ∑ (-G_ij * V_i * V_j * sin(θ_i - θ_j) - B_ij * V_i* V_j)其中，P_i和Q_i分别表示节点i的有功和无功功率，G_ij和B_ij分别表示节点i和节点j之间的导纳，V_i和V_j分别表示节点i和节点j的电压幅值，θ_i和θ_j分别表示节点i和节点j的相位角。

最优潮流计算的目标是最小化如下的系统目标函数：f(X) = ∑ (c_ij * P_ij)其中，c_ij表示支路ij的损耗系数，P_ij表示支路ij上的有功功率。

最优潮流计算的求解方法一般分为迭代法和直接法两种。

迭代法包括牛顿-拉夫森法、高斯-赛德尔法等，主要思想是通过迭代更新节点电压幅值和相位角，直到达到收敛的要求。

直接法则是使用线性化的潮流方程进行求解，通常使用牛顿-拉夫森法对线性化方程进行求解，并通过细化初始猜测值来改进收敛性。

最优潮流计算中的一些特殊问题包括潮流约束问题、优化问题和灵敏度分析问题。

潮流约束问题是指在最优潮流计算中，对一些节点和支路施加一些特殊的约束条件，如电压限制、功率限制等。

优化问题是将最优潮流计算与其他优化问题相结合，如输电线路规划、机组出力优化等。