(函数篇)-5年(2016-2020)中考1年模拟数学试题分项详解(原卷版)(江苏专用)

第三章函数（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【新考法】从图象中获取信息2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少3．在函数y＝√x+3中，自变量x的取值范围是（）xA．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠04．如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为ts ，连接BP,PQ ，△BPQ 的面积为Scm 2，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．【创新题】直线y =x +a 不经过第二象限，则关于x 的方程ax 2+2x +1=0实数解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b 与y =mx +n(a <m <0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：⊥在一次函数y =mx +n 的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；⊥方程组{y −ax =b y −mx =n的解为{x =−3y =2； ⊥方程mx +n =0的解为x =2；⊥当x =0时，ax +b =−1．其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【新考法】 反比例函数与几何综合的图像过点C，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣3D．3(x>0)的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中8．【创新题】如图，点A在反比例函数y=2x⊥OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．√2C．2√2D．49．二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，0<a<c）经过点(1,0)，有下列结论：⊥2a +b <0；⊥当x >1时，y 随x 的增大而增大；⊥关于x 的方程ax 2+bx +(b +c)=0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，点A 的坐标为(1,3)，点B 在x 轴上，把ΔOAB 沿x 轴向右平移到ΔECD ，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为 ．12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的关系如图所示，当10≤x ≤20时，其图象是线段AB ，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．13．【原创题】把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件： ．14．若点A(1,y 1),B(−2,y 2),C(−3,y 3)都在反比例函数y =6x 的图象上，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 ．15．已知一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组{3x −y =1kx −y =0的解是 ．【新考法】 二次函数与几何综合16．在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的是矩形OABC，则b=．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求储存室的容积V的值；(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．(m≠0,x>0)的图像交于点A(2,n)，与18．如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图像与反比例函数y=mxy轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0)．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？21．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．【创新题】已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．23．如图，点A(a,2)在反比例函数y=4x 的图象上，AB//x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y=kx于点B，已知AC=2BC．（1）求直线OA的解析式；（2）求反比例函数y=kx的解析式；（3）点D为反比例函数y=kx上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．24．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（1），二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该MN时，求点P的横坐标；二次函数的图像相交于另一点N，当PM=12(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP＋4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．。

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（河南专用）专题08 一次函数1．（2020河南中考）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；设某学生暑期健身x (次)，按照方案一所需费用为1y ，(元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y (元) ，且22.y k x =其函数图象如图所示．()1求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义； ()2求打折前的每次健身费用和2k 的值；()3八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．五年中考真题2.（2019河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．3.（2018河南中考）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？4.（2017河南中考）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方.已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同.[来源:学科网ZXXK]（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.5.（2016河南中考）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B型节能灯共需29元.（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.一年模拟新题1.（2019年河南省南阳市镇平县中考数学三模试卷）“莓好河南，幸福家园”，2019年某省草莓旅游文化节期间，甲、乙两家草莓采摘园草莓品质相同，销售价格也相同，且推出了如下的优惠方案：甲园游客进园需购买20元/人的门票，采摘的草莓六折优惠乙园游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠活动期间，小雪与爸爸妈妈决定选一个周末一同去采摘草莓，若设他们的草莓采摘量为x（千克）（出园时欲将自己采摘的草莓全部购买），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；（2）请在图中画出y1与x之间大致的函数图象；（3）若小雪和爸爸妈妈当天所采摘的草莓不少于10千克，则选择哪个草莓园更划算？请说明理由．2.（2019年河南省实验外国语学校中考数学模拟试卷）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期30天的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是_____件，日销售利润是_____元．(2)求线段DE所对应的函数关系式．(不要求写出自变量的取值范围)(3)通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？3.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．（1）求A，B两种工艺品的单价；（2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？（3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B 种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？4.（2020年1月河南省郑州市一摸数学试题）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．5.（河南省洛阳市2019年中考数学二模试卷）某游乐园的门票销售分两类：一张个人票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票(一次购买门票10张及以上)，每张门票在成人票价格基础上打6折．已知一个成人带两个儿童购门票需80元；两个成人带一个儿童购门票需100元． (1)每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？(2)光明小学4名老师带领x 名儿童到该游乐园，设购买门票需y 元． ①若每人分别购票，求y 与x 之间的函数关系式；②若购买团体票，求y 与x 之间函数关系式，并写出自变量的取值范围； ③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案．6.（郑州市一中2019年中考三模数学试卷）为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.（1）求m的值（2）由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)? （3）在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.7.（2019年河南省许昌市中考数学二模试卷）为缓解城市学校大班额现状，某市决定通过新建学校来解决该问题．经测算，建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元．（1）求建设一个小学，一个中学各需多少费用．（2）该市共计划建设中小学80所，其中小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍．设建设小学的数量为x个，建设中小学校的总费用为y万元．①求y关于x的函数关系式；②如何安排中小学的建设数量，才能使建设总费用最低？（3）受国家开放二胎政策及外来务工子女就读的影响，预计在小学就读人数会有明显增加，现决定在（2）中所定的方案上增加投资以扩大小学的就读规模，若建设小学总费用不超过建设中学的总费用，则每所小学最多可增加多少费用？8.（2019-2020学年河南省中考模拟数学试题）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B 种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不少于2500元且不多于2600元的资金购进这批台灯，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？。

2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±42．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣64．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝25．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5 6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．67．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．68．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3 9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．16．（6分）计算：（+）÷．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±4【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵22＝4，∴4算术平方根为2．故选：B．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：D．4．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】把方程的左边的式子进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0∴x1＝1，x2＝2．故选：A．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．【解答】解：根据该几何体的俯视图的面积为5，可知每个小正方体的棱长为1，从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4．故选：B．7．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．6【分析】将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、m 的值即可．【解答】解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得．解得k＝﹣6，m＝﹣3．故选：A．8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是BD的线段垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】连接OA，由垂径定理得：AC＝BC，根据勾股定理，可以求出AC的长，从而得AB的长．【解答】解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点C，∴AC＝BC，∵⊙O的半径是5，∴OA＝5，又OC＝3，所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，所以AB＝2AC＝8．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝6x﹣2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】根据点P1、P2的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为6﹣2．【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM＝DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，∴x＝（2﹣x），解得x＝4﹣2，∴CM＝4﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝4﹣2，∴BF＝BC+CF＝2+4﹣2＝6﹣2．故答案为：6﹣2．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为100°．【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：连接OD，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝80°，∵BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OD⊥AD，∴∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，∴∠A＝180°﹣∠BOD＝100°，故答案为：100°．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．【解答】解：（1）2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2＝2×﹣+1﹣4＝﹣+1﹣4＝﹣3；（2），解不等式①得x＞1.5；解不等式②得x≤3．故不等式组的解集为1.5＜x≤3．16．（6分）计算：（+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝•＝．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB＝BE﹣AE可求出答案．【解答】解：作DG⊥AE于G，则∠BDG＝α，则四边形DCEG为矩形．∴DG＝CE＝35m，EG＝DC＝1.6m在直角三角形BDG中，BG＝DG•×tanα＝35×0.58＝20.3m，∴BE＝20.3+1.6＝21.9m．∵斜坡AC的坡比为i AC＝1：10，CE＝35m，∴EA＝35×＝3.5，∴AB＝BE﹣AE＝21.9﹣3.5≈18m．答：旗杆AB的高度为18m．18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人），b＝＝0.15，c＝＝0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，得到E（﹣，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3，∵k＜0，∴b＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴×3×b＝3，解得：b＝2．把b＝2代入①，解得：k＝﹣，则函数的解析式是y＝﹣x+2．故这个函数的解析式为y＝﹣x+2；把点A（a，4）代入y＝﹣x+2得，4＝﹣a+2，解得：a＝﹣3，∴A（﹣3，4），∴m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，即0＝﹣x﹣3，解得：x＝﹣，∴E（﹣，0），解得，，，∴B（6，﹣2），连接AE，BE，∵AB∥DE，∴S△ADB＝S△AEB＝（3+）×4+（3+）×2＝．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．【分析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE ＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到＝，推出CD•DE＝AO2﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为﹣2．【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a﹣b的值，此题得解．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），∴2＝﹣a+b，∴a﹣b＝﹣2．故答案为：﹣2．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；，解①得：x＜7，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故＝3，即b＝6，a＝2符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故＝3，即b＝﹣6，a＝﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：＝．故答案为：．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为1．【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+mx﹣m得，①﹣②得2a＝2am，解得m＝1，故答案为1．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为2．【分析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出DG的长．【解答】解：如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．∵BC＝AD＝2，AB＝CD＝6，根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝2，则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF＝＝4，则BE＝BF+EF＝4+x，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（2）2，解得x＝2．则DG的最大值为2．故答案为：2．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为3．【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．【解答】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0），∴OA＝OB＝b，∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），∵＝，∴＝，整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0，解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去），则D（b，﹣b），∴b×（﹣b）＝﹣4，解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去），∴b＝3，故答案为：3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？【分析】（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，根据实际比计划多购进100盏彩灯，列方程求解；（2）设再购进彩灯a盏，根据利润＝售价﹣进价和货栈要想获得利润不低于15000元列出不等式并解答．【解答】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，依题意得：＝+100，解得x＝75，经检验x＝75是所列方程的根，则0.8x＝0.8×75＝60（元）．答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；（2）设再购进彩灯a盏，由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），依题意得：（500+a）（1﹣20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5﹣60]≥15000，解得a≥．因为a取正整数，所以a＝215．答：至少再购进彩灯215盏．27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．【分析】（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，由此即可证明；（2）连接BF，延长EB1交AA1于M．由△MFB1∽△MEA1，推出△MEF∽△MA1B1，推出∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝F A1；（3）首先求出AE，由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根据AF＝AE•cos∠EAF，计算即可；【解答】（1）证明：如图∵EB＝EB1，EA＝EA1，∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，∵∠BEB1＝∠AEA1，∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，∴△AA1E∽△BB1E．（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M．∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，∴△MFB1∽△MEA1，∴＝，∴＝，∵∠EMF＝∠A1MB1，∴△MEF∽△MA1B1，∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，∴EF⊥AA1，∵EA＝EA1，∴AF＝F A1．（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，∴AE＝＝，∵DG＝GC，∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，AF＝AE•cos∠EAF＝•＝．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；（2）利用面积的和差建立方程求解，即可得出结论；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG ＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出，进而判断出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．。

2020年初三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13B ．－3C ．13D ．32．函数中y ＝x2－x 自变量x 的取值范围是A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是 A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．(－2a 2)3＝8a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a －b )2＝a 2－b 25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分B ．方差C ．中位数D ．平均数6．下列图形中，主视图为①的是A ．BC ．D ．7．已知a －b ＝2，则a 2－b 2－4b 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．88．下列判断错误的是A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝k x的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20B ．－16C ．－12D ．－810．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGEB ．△B ′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是 ．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表示应为 ． 13．若3m ＝5，3n ＝8，则32m ＋n＝ ．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝ ． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为 ．（第16题图）（第15题图）ABCDFGB′O（第10题图）（第9题图）（第6题图①）17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是 ．18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）（1）计算：(π－3)0＋2sin45°－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1 （2）解不等式组：⎩⎨⎧1－2x ＜3x ＋13＜220．（本题满分8分）解方程： （1）x 2－8x ＋1＝0 （2）3x －2－1－x2－x＝121．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ． （1）求证：AB ＝DF ；（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．ABCDEF（第18题图）（第17题图）22．（本题满分8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90≤x ≤100；B 组：80≤x ＜90；C 组：70≤x ＜80；D 组：60≤x ＜70；E 组：x ＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整； （2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？调查测试成绩扇形统计图ADFEBC23．（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A，B，C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（本题满分8分）如图，△ABC中，⊙O经过A，B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．y/千克）26．（本题满分8分）如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．27．（本题满分10分）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ． （1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EFOF的最大值．BO图3B O图2B O图128．（本题满分10分）如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒，（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．图2AB CDE图1ABC DFEG H9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC ﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1 ．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400 人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．【解答】解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤4【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．27．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H 在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。

2023年中考数学总复习一轮讲练测（）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是．(3)交点式：(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．当a＜0时，抛物线开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1B．﹣1或3C．2D．3【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝ax2+1C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣13．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2B．m＜0C．m＞0D．﹣2≤m＜0【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下B．当x＝1时，y取最大值4C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＞1D．x＞03．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3B．这个函数图象的开口向上C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当y1＞y2时，x1＜x24．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①②B．①③C．①④D．②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞02．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y23．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y23．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y34．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+4）2+3D．y＝（x+4）2﹣33．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．4【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．﹣3＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣B．﹣4C．D．42．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．①B．②C．都对D．都不对3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c ＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＜3或x＞5【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A．B．或C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞34．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②④⑤D．①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B 点左侧），若P A：PB＝1：2，求m的值．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101 2.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【变式训练】1．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．2．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．3．（2021•河西区一模）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．。

专题10 二次函数一．选择题1．（2022·山东泰安）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x-2-106y 0461下列结论不正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为2542．（2022·新疆）已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大3．（2022·湖南株洲）已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·陕西）已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当−1<x 1<0，1<x 2<2，x 3>3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<5．（2022·浙江宁波）点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．2m >B ．32m >C ．1m <D ．322m <<6．（2022·山东泰安）一元二次方程2152121543x x x -++=-+根的情况是（ ）A ．有一个正根，一个负根B ．有两个正根，且有一根大于9小于12C ．有两个正根，且都小于12D ．有两个正根，且有一根大于127．（2022·四川成都）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>8．（2022·四川泸州）抛物线2112y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）A ．212y x x =-+ B ．2142=--y x C ．21202120222=-+-y x x D ．21y x x =-++9．（2022·四川自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．方案1或方案210．（2022·山东泰安）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·湖北随州）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0-对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；②20a b +=；③函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；④若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2022·浙江杭州）已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）A ．命题①B ．命题②C ．命题③D ．命题④13．（2022·天津）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a c <<）经过点(1,0)，有下列结论：①20a b +<；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；③关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．（2022·浙江温州）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若0c <，则a c b <<B ．若0c <，则a b c <<C ．若0c >，则a c b <<D ．若0c >，则a b c <<15．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ）A ．0，4B ．1，5C ．1，－5D ．－1，516．（2022·山东滨州）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴相交于点C ，小红同学得出了以下结论：①240b ac ->；②40a b +=；③当0y >时，26x -<<；④0a b c ++<．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（2022·四川南充）已知点()()1122,,,M x y N x y 在抛物线222(0)y mx m x n m =-+≠上，当124x x +>且12x x <时，都有12y y <，则m 的取值范围为（ ）A ．02m <≤B ．20m -≤<C ．2m >D ．2m <-二、填空题18．（2022·新疆）如图，用一段长为16m 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______2m ．19．（2022·甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．20．（2022·江苏连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．21．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t （秒）之间满足函数关系25h t mt n =-++，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w 表示0秒到t 秒时h 的值的“极差”（即0秒到t 秒时h 的最大值与最小值的差），则当01t ≤≤时，w 的取值范围是_________；当23t ≤≤时，w 的取值范围是_________．22．（2022·四川遂宁）抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的部分图象如图所示，设m =a -b +c ，则m 的取值范围是______．23．（2022·湖北武汉）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）开口向下，过()1,0A -，(),0B m 两点，且12m <<．下列四个结论：①0b >；②若32m =，则320a c +<；③若点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线上，12x x <，且121x x +>，则12y y >；④当1a ≤-时，关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．24．（2022·四川南充）如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．三．解答题25．（2022·湖北荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？26．（2022·湖北十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的关系式是203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，， ，销售单价p （元/件）与销售时间x （天）之间的函数关系如图所示．(1)第15天的日销售量为_________件；(2)当030x <≤时，求日销售额的最大值；(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？27．（2022·四川广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？28．（2022·湖北黄冈）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．29．（2022·江苏扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度88OC=dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．30．（2022·江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．31．（2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．32．（2022·浙江温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1：确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2：探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3：拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．33．（2022·浙江嘉兴）已知抛物线L 1：y ＝a (x ＋1)2－4（a ≠0）经过点A (1，0)．(1)求抛物线L 1的函数表达式．(2)将抛物线L 1向上平移m （m ＞0）个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 1上，求m 的值．(3)把抛物线L 1向右平移n （n ＞0）个单位得到抛物线L 3，若点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．34．（2022·浙江杭州）设二次函数212y x bx c =++（b ，c 是常数）的图像与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数1y 的表达式及其图像的对称轴．(2)若函数1y 的表达式可以写成()2122y x h =--（h 是常数）的形式，求b c +的最小值．(3)设一次函数2y x m =-（m 是常数）．若函数1y 的表达式还可以写成()()122y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图像经过点()0,0x 时，求0x m -的值．35．（2022·浙江宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？36．（2022·浙江绍兴）已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b ，c 的值．(2)当﹣4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．37．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23PP ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234P P P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．38．（2022·山东滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．39．（2022·湖南湘潭）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．40．（2022·四川乐山）如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．41．（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)①求点A ，B ，C 的坐标；②求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM ⊥AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．42．（2022·云南）已知抛物线2y x c =--+经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线2y x c =--+与x 轴交点的横坐标；M 是抛物线2y x c =--+的点，常数m >0，S 为△ABM 的面积．已知使S =m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．(1)求c 的值；(2)直接写出T 的值；(3)求486422416k k k k k ++++的值．43．（2022·四川自贡）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠．(1)若1a =-，且函数图象经过()0,3，()2,5-两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x 轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值3y ≥时自变量x 的取值范围；(3)若0a b c ++=且a b c >>，一元二次方程20ax bx c ++= 两根之差等于a c -，函数图象经过121P c,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()132Q c,y +两点，试比较12,y y 的大小 ．44．（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2022·江苏连云港）已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中2m >．(1)当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．46．（2022·浙江舟山）已知抛物线1L ：2(1)4y a x =+-（0a ≠）经过点(1,0)A ．(1)求抛物1L 的函数表达式．(2)将抛物线1L 向上平移m （0m >）个单位得到抛物线2L ．若抛物线2L 的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线1L 上，求m 的值．(3)把抛物线1L 向右平移n （0n >）个单位得到抛物线3L ．已知点(8,)P t s -，(4,)Q t r -都在抛物线3L 上，若当6t >时，都有s r >，求n 的取值范围．47．（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．48．（2022·山东泰安）若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x⊥轴于点N ．①若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．49．（2022·四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(5,0)-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．50．（2022·湖南衡阳）如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；(3)P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2016年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1.B ．2.A ．3.C ．4.A ．5.C ．6.D ．7.A ．8.B ．二、填空题（每小题3分，共21分）9.1−．10.110︒．11.94k >−．12.14．13.(1,4)．13π． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16.解：2221(1)21x x x x x x −−÷+++ 2(1)[1](1)(1)(1)x x x x x x +=−⨯++− 111()111x x x x x ++=−⨯++− 111x x x x −+=⨯+− 1x x =−−， 解不等式组1214x x −⎧⎨−<⎩得：512x −<， 当2x =时，原式21x x =−=−−． 17.解：（1）4m =，1n =．故答案是：4，1；（2）；（3）行走步数的中位数落在B 组，故答案是：B ；（4）一天行走步数不少于7500步的人数是：4311204820++⨯=（人)． 答：估计一天行走步数不少于7500步的人数是48人．18.（1）证明：90ABC ∠=︒，AM MC =，BM AM MC ∴==，A ABM ∴∠=∠，四边形ABED 是圆内接四边形，180ADE ABE ∴∠+∠=︒，又180ADE MDE ∠+∠=︒，MDE MBA ∴∠=∠，同理证明：MED A ∠=∠，MDE MED ∴∠=∠，MD ME ∴=．（2）①由（1）可知，A MDE ∠=∠，//DE AB ∴，∴DE MD AB MA=， 2AD DM =，:1:3DM MA ∴=，116233DE AB ∴==⨯=．故答案为2． ②当60A ∠=︒时，四边形ODME 是菱形．理由：连接OD 、OE ，OA OD =，60A ∠=︒，AOD ∴∆是等边三角形，60AOD ∴∠=︒，//DE AB ，60ODE AOD ∴∠=∠=︒，60MDE MED A ∠=∠=∠=︒， ODE ∴∆，DEM ∆都是等边三角形，OD OE EM DM ∴===，∴四边形OEMD 是菱形．答案为60︒．19.解：在Rt BCD ∆中，9BD =米，45BCD ∠=︒，则9BD CD ==米． 在Rt ACD ∆中，9CD =米，37ACD ∠=︒，则tan 3790.75 6.75AD CD =︒≈⨯=（米)． 所以，15.75AB AD BD =+=米，整个过程中旗子上升高度是：15.75 2.2513.5−=（米)，因为耗时45s ，所以上升速度13.50.345v ==（米/秒）． 答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．20.解：（1）设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元，根据题意，得：3263229x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：57x y =⎧⎨=⎩，答：一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购进A 型节能灯m 只，总费用为W 元，根据题意，得：57(50)2350W m m m =+−=−+，20−<，W ∴随m 的增大而减小，又3(50)m m −，解得：37.5m ，而m 为正整数，∴当37m =时，237350276W =−⨯+=最小，此时503713−=，答：当购买A 型灯37只，B 型灯13只时，最省钱．21.解：（1）把2x =−代入22||y x x =−得0y =，即0m =，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数22||y x x =−的图象关于y 轴对称；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程22||0x x −=有3个实数根；②如图，22||y x x =−的图象与直线2y =有两个交点，22||2x x ∴−=有2个实数根；③由函数图象知：关于x 的方程22||x x a −=有4个实数根， a ∴的取值范围是10a −<<，故答案为：3，3，2，10a −<<．22.解：（1）点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =， ∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC AB a b +=+， 故答案为：CB 的延长线上，a b +；（2）①CD BE =，理由：ABD ∆与ACE ∆是等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =，60BAD CAE ∠=∠=︒，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，即CAD EAB ∠=∠，在CAD ∆与EAB ∆中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CAD EAB ∴∆≅∆，CD BE ∴=； ②线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴最大值为4BD BC AB BC +=+=；（3）将APM ∆绕着点P 顺时针旋转90︒得到PBN ∆，连接AN ， 则APN ∆是等腰直角三角形，2PN PA ∴==，BN AM =， A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(5,0)，2OA ∴=，5OB =，3AB ∴=，∴线段AM 长的最大值=线段BN 长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值AB AN =+，2AN ==∴最大值为3；如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，APN ∆是等腰直角三角形，PE AE ∴==，532OE BO AB AE ∴=−−=−=(2P ∴．23.解：（1）点(0,4)C 在直线43y x n =−+上， 4n ∴=，443y x ∴=−+， 令0y =，3x ∴=，(3,0)A ∴， 抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点(0,2)B −． 2c ∴=−，6320b +−=，43b ∴=−， ∴抛物线解析式为224233y x x =−−， （2）点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上，224(,2)33P m m m ∴−−， PD x ⊥轴，BD PD ⊥∴点D 坐标为(,2)m −||||BD m ∴=，224|||22||33PD m m =−−+， 当BDP ∆为等腰直角三角形时，PD BD =．222424|||22|||3333m m m m m ∴=−−+=− 22224()33m m m ∴=− 解得：10m =（舍去），272m =，312m =∴当BDP ∆为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12． （3）PBP OAC '∠=∠，3OA =，4OC =，5AC ∴=，4sin 5PBP '∴∠=，3cos 5PBP '∠=， ①当点P '落在x 轴上时，过点D '作D N x '⊥轴，垂足为N ，交BD 于点M ， PD x ⊥轴，90BMD '∴∠=︒，90DBD BD D ''∴∠+∠=︒，90BD D ND P '''∠+∠=︒，DBD ND P '''∴∠=∠由旋转知，DBD PBP ''∠=∠，DBD ND P PBP ''''∴∠=∠=∠，如图1， 由旋转知，22433P D PD m m ''==−， 在Rt △P D N ''中，3cos cos 5ND ND P PBP P D ''''∠==∠=''， 2324()533ND m m '∴=−， 在Rt △BD M '中，BD m '=−，4sin sin 5D M DBD PBP BD '''∠==∠='， 45D M m '∴=−，2ND MD ''∴−=， ∴23244()()25335m m m −−−=，m ∴)，或m =， 如图2，同①的方法得，2324()533ND m m '=−，45MD m '=2ND MD ''+=，∴23244()25335m m m −+=，m ∴m =)，(P ∴或P ， ②当点P '落在y 轴上时，如图3，过点D '作D M x '⊥轴，交BD 于M ，过点P '作P N y '⊥轴，交MD '的延长线于点N ，DBD ND P PBP ∴∠'=∠''=∠'，同①的方法得，2424()533P N m m '=−，35BM m =， P N BM '=， ∴24243()5335m m m −=， 258m ∴=，25(8P ∴，11)32．(P ∴或P 或25(8P ，11)32．2017年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.A ．2.B ．3.D ．4.A ．5.A ．6.B ．7.C ．8.C ．9.D ．10.C ．二、填空题（每小题3分，共15分）11.6．12.12x −<．13.m n <．14.1215.解：①如图1，当90B MC ∠'=︒，B '与A 重合，M 是BC 的中点， 1122BM BC ∴==； ②如图2，当90MB C ∠'=︒，90A ∠=︒，AB AC =，45C ∴∠=︒，CMB ∴∆'是等腰直角三角形，CM ∴='，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点B '，BM B M ∴='，CM ∴=， 21BC =，1CM BM BM ∴+=+，1BM ∴=，综上所述，若△MB C '为直角三角形，则BM 12+或1，12或1．三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16.解：2(2)()()5()x y x y x y x x y ++−+−−222224455x xy y x y x xy =+++−−+9xy =当1x +，1y =时，原式1)=9(21)=⨯−91=⨯9=17.解：（1）调查的总人数是1632%50÷=（人)， 则5016%8b =⨯=，504168220a =−−−−=， A 组所占的百分比是48%50=，则8m =． 82028a b +=+=． 故答案是：50，28，8；（2）扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是2036014450︒⨯=︒； （3）每月零花钱的数额x 在60120x <范围的人数是28100056050⨯=（人)． 18.（1）证明：AB 是O 的直径，90BDA ∴∠=︒，BD AC ∴⊥，90BDC ∠=︒， BF 切O 于B ，AB BF ∴⊥，//CF AB ，CF BF ∴⊥，FCB ABC ∠=∠，AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，ACB FCB ∴∠=∠， BD AC ⊥，BF CF ⊥，BD BF ∴=；（2）解：10AB =，AB AC =，10AC ∴=， 4CD =，1046AD ∴=−=，在Rt ADB ∆中，由勾股定理得：8BD ==，在Rt BDC ∆中，由勾股定理得：BC ==19.解：如图作CE AB ⊥于E ．在Rt ACE ∆中，45A ∠=︒，AE EC ∴=，设AE EC x ==，则5BE x =−，在Rt BCE ∆中，tan53EC BE ︒=，∴435x x =−，解得20x =， 20AE EC ∴==，28.2AC ∴==，25sin53EC BC ==︒， A ∴船到C 的时间28.20.9430≈=小时，B 船到C 的时间25125==小时， C ∴船至少要等待0.94小时才能得到救援．20.解：（1）将(3,1)B 代入k y x =，3k ∴=， 将(,3)A m 代入3y x=，1m ∴=，(1,3)A ∴， 将(1,3)A 代入y x b =−+，4b ∴=，4y x ∴=−+（2）设(,)P x y ，由（1）可知：13x ，4PD y x ∴==−+，OD x =，1(4)2S x x ∴=−+， ∴由二次函数的图象可知：S 的取值范围为：322S 故答案为：（1）4y x =−+；3y x =． 21.（按买3个A 种魔方和买4个B 种魔方钱数相同解答） 解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据题意得：2613034x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩．答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个．（2）设购进A 种魔方m 个(050)m <，总价格为w 元，则购进B 种魔方(100)m −个， 根据题意得：()200.8151000.410600w m m m =⨯+−⨯=+活动一；()2015100101500w m m m m =+−−=−+活动二．当w w <活动一活动二时，有10600101500m m +<−+，解得：45m <；当w w =活动一活动二时，有10600101500m m +=−+，解得：45m =；当w w >活动一活动二时，有10600101500m m +>−+，解得：4550m <．综上所述：当45m <时，选择活动一购买魔方更实惠；当45m =时，选择两种活动费用相同；当45m >时，选择活动二购买魔方更实惠．（按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答）解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据题意得：2613034130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2613x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种魔方的单价为26元/个，B 种魔方的单价为13元/个．（2）设购进A 种魔方m 个(050)m <，总价格为w 元，则购进B 种魔方(100)m −个， 根据题意得：()260.8131000.415.6520w m m m =⨯+−⨯=+活动一；()26131001300w m m m =+−−=活动二．当w w <活动一活动二时，有15.65201300m +<，解得：50m <；当w w =活动一活动二时，有15.65201300m +=，解得：50m =；当w w >活动一活动二时，有15.65201300m +>，不等式无解．综上所述：当050m <<时，选择活动一购买魔方更实惠；当50m =时，选择两种活动费用相同．22.解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE=，AB AC=，AD AE=，BD CE∴=，PM PN∴=，//PN BD，DPN ADC∴∠=∠，//PM CE，DPM DCA∴∠=∠，90BAC∠=︒，90ADC ACD∴∠+∠=︒，90 MPN DPM DPN DCA ADC∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN∴⊥，故答案为：PM PN=，PM PN⊥，（2）由旋转知，BAD CAE∠=∠，AB AC=，AD AE=，()ABD ACE SAS∴∆≅∆，ABD ACE∴∠=∠，BD CE=，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，12PN BD=，12PM CE=，PM PN∴=，PMN∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE，DPM DCE∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD，PNC DBC∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC=∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC=∠+∠+∠=∠+∠，90BAC∠=︒，90ACB ABC∴∠+∠=︒，90MPN∴∠=︒，PMN∴∆是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2、由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大23.解：（1）23y x c =−+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ， 02c ∴=−+，解得2c =，(0,2)B ∴，抛物线243y x bx c =−++经过点A ，B ，∴12302b c c −++=⎧⎨=⎩，解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2410233y x x =−++； （2）①由（1）可知直线解析式为223y x =−+， (,0)M m 为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，2(,2)3P m m ∴−+，2410(,2)33N m m m −++， 223PM m ∴=−+，3AM m =−，22410242(2)43333PN m m m m m =−++−−+=−+， BPN ∆和APM ∆相似，且BPN APM ∠=∠，90BNP AMP ∴∠=∠=︒或90NBP AMP ∠=∠=︒，当90BNP ∠=︒时，则有BN MN ⊥，N ∴点的纵坐标为2，24102233m m ∴−++=，解得0m =（舍去）或 2.5m =， (2.5,0)M ∴；当90NBP ∠=︒时，过点N 作NC y ⊥轴于点C ，则90NBC BNC ∠+∠=︒，NC m =，22410410223333BC m m m m =−++−=−+， 90NBP ∠=︒，90NBC ABO ∴∠+∠=︒，ABO BNC ∴∠=∠，Rt NCB Rt BOA ∴∆∆∽， ∴NC CB OB OA=， ∴24103323m m m −+=，解得0m =（舍去）或118m =， 11(8M ∴，0)； 综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似时，点M 的坐标为(2.5,0)或11(8，0)；②由①可知(,0)M m ，2(,2)3P m m −+，2410(,2)33N m m m −++， M ，P ，N 三点为“共谐点”， ∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，当P 为线段MN 的中点时，则有224102(2)2333m m m −+=−++，解得3m =（三点重合，舍去）或12m =； 当M 为线段PN 的中点时，则有224102(2)0333m m m −++−++=，解得3m =（舍去）或1m =−；当N 为线段PM 的中点时，则有2241022(2)333m m m −+=−++，解得3m =（舍去）或14m =−； 综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为12或1−或14−．2018年河南省中考数学试卷一、选择题1.B ．2.C ．3.D ．4.C ．5.B ．6.A ．7.B ．8.D ．9.A ．10.C ．二、细心填一填11.2．12.140︒．13.2−．14.5342π−．15. 或4；三、计算题（本大题共8题，共75分，请认真读题）16.解：当1x 时，原式(1)(1)1x x x x x−+−=+1x =−=17.解：（1）本次接受调查的市民人数为30015%2000÷=人，故答案为：2000；（2）扇形统计图中，扇形E 的圆心角度数是16036028.82000︒⨯=︒，故答案为：28.8︒； （3）D 选项的人数为200025%500⨯=， 补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为9040%36⨯=（万人）．18.解：（1）反比例函数(0)k y x x=>的图象过格点(2,2)P ， 224k ∴=⨯=， ∴反比例函数的解析式为4y x=； （2）如图所示：矩形OAPB 、矩形OCDP 即为所求作的图形．19.（1）证明：连接OC ，如图， CE 为切线，OC CE ∴⊥，90OCE ∴∠=︒，即1490∠+∠=︒，DO AB ⊥，390B ∴∠+∠=︒，而23∠=∠，290B ∴∠+∠=︒，而OB OC =，4B ∴∠=∠，12∴∠=∠，CE FE ∴=；（2）解：①当30D ∠=︒时，60DAO ∠=︒，而AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，30B ∴∠=︒，3260∴∠=∠=︒，而CE FE =，CEF ∴∆为等边三角形，CE CF EF ∴==，同理可得60GFE ∠=︒，利用对称得FG FC =，FG EF =，FEG ∴∆为等边三角形，EG FG ∴=，EF FG GE CE ∴===，∴四边形ECFG 为菱形；②当22.5D ∠=︒时，67.5DAO ∠=︒，而OA OC =，67.5OCA OAC ∴∠=∠=︒，18067.567.545AOC ∴∠=︒−︒−︒=︒，45AOC ∴∠=︒，45COE ∴∠=︒，利用对称得45EOG ∠=︒，90COG ∴∠=︒，易得OEC OEG ∆≅∆，90OGE OCE ∴∠=∠=︒，∴四边形ECOG 为矩形，而OC OG =，∴四边形ECOG 为正方形．故答案为30︒，22.5︒．20.解：在Rt ACE ∆中，tan CE CAE AE ∠=， 15515521()tan tan82.47.5CE AE cm CAE ∴==≈≈∠︒ 在Rt DBF ∆中，tan DF DBF BF ∠=， 23423440()tan tan80.3 5.85DF BF cm DBF ∴==≈=∠︒ 219040151()EF EA AB BF cm =++≈++=CE EF ⊥，CH DF ⊥，DF EF ⊥∴四边形CEFH 是矩形，151CH EF cm ∴==答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．21.解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，8517595125k b k b +=⎧⎨+=⎩，得5600k b =−⎧⎨=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是5600y x =−+，当115x =时，511560025y =−⨯+=，即m 的值是25；（2）设成本为a 元/个，当85x =时，875175(85)a =⨯−，得80a =，22(5600)(80)51000480005(100)2000w x x x x x =−+−=−+−=−−+，∴当100x =时，w 取得最大值，此时2000w =，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b 元，当90x =时，(590600)(90)3750b −⨯+−，解得，65b ，答：该产品的成本单价应不超过65元．22.解：（1）问题发现①如图1，40AOB COD ∠=∠=︒，COA DOB ∴∠=∠，OC OD =，OA OB =，()COA DOB SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=， ∴1AC BD=， ②COA DOB ∆≅∆，CAO DBO ∴∠=∠，40AOB ∠=︒，140OAB ABO ∴∠+∠=︒，在AMB∆180()180()18014040AMB CAO OAB ABD DBO OAB ABD ∠=︒−∠+∠+∠=︒−∠+∠+∠=︒−︒=︒，故答案为：①1；②40︒；（2）类比探究如图2，AC BD=90AMB ∠=︒，理由是： Rt COD ∆中，30DCO ∠=︒，90DOC ∠=︒，∴tan 30OD OC =︒同理得：tan 30OB OA =︒=，∴OD OB OC OA =， 90AOB COD ∠=∠=︒，AOC BOD ∴∠=∠，AOC BOD ∴∆∆∽，∴AC OC BD OD==CAO DBO ∠=∠， 在AMB ∆中，180()180()90AMB MAB ABM OAB ABM DBO ∠=︒−∠+∠=︒−∠+∠+∠=︒；（3）拓展延伸①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：AOC BOD ∆∆∽，90AMB ∴∠=︒，AC BD=设BD x =，则AC =，Rt COD ∆中，30OCD ∠=︒，1OD =，2CD ∴=，2BC x =−，Rt AOB ∆中，30OAB ∠=︒，OB =，2AB OB ∴==在Rt AMB ∆中，由勾股定理得：222AC BC AB +=，222)(2)x +−=，13x =，22x =−，AC ∴=②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：90AMB ∠=︒，AC BD=设BD x =，则AC =，在Rt AMB ∆中，由勾股定理得：222AC BC AB +=，222)(2)x ++=13x =−，22x =，AC ∴=；综上所述，AC 的长为．23.解：（1）当0x =时，55y x =−=−，则(0,5)C −， 当0y =时，50x −=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C −代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=−⎩，解得15a b =−⎧⎨=−⎩，∴抛物线解析式为265y x x =−+−；（2）①解方程2650x x −+−=得11x =，25x =，则(1,0)A ， (5,0)B ，(0,5)C −， OCB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBC OCB ∴∠=∠=︒，AM BC ⊥，AMB ∴∆为等腰直角三角形，422AM AB ∴=== 以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，//AM PQ ，PQ AM ∴==PQ BC ⊥，作PD x ⊥轴交直线BC 于D ，如图1，则45PDQ ∠=︒，4PD ∴===，设2(,65)P m m m −+−，则(,5)D m m −， 当P 点在直线BC 上方时，2265(5)54PD m m m m m =−+−−−=−+=，解得11m =，24m =，当P 点在直线BC 下方时，225(65)54PD m m m m m =−−−+−=−=，解得1m =，2m =，综上所述，P 点的横坐标为4；②作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图2，11M A M C =，11ACM CAM ∴∠=∠，12AM B ACB ∴∠=∠， ANB ∆为等腰直角三角形，2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴−，易得AC 的解析式为55y x =−，E 点坐标为1(2，5)2−，设直线1EM 的解析式为15y x b =−+，把1(2E ，5)2−代入得15102b −+=−，解得125b =−，∴直线1EM 的解析式为11255y x =−−，解方程组511255y x y x =−⎧⎪⎨=−−⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，则113(6M ，17)6−； 作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠， 设2(,5)M x x −，13632x+=，236x ∴=，223(6M ∴，7)6−， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6−或23(6，7)6−．2019年河南省中考数学试卷一、选择题1.B ．2.C ．3.B ．4.D ．5.A ．6.A ．7.C ．8.C ．9.A ．10.D ． 二、填空题11.112． 12.2x −． 13.49．14.解：作OE AB ⊥于点F ，在扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC OA ⊥．OA = 90AOD ∴∠=︒，90BOC ∠=︒，OA OB =， 30OAB OBA ∴∠=∠=︒，tan302OD OA ∴=︒==，4AD =，226AB AF ==⨯=，OF ， 2BD ∴=，∴阴影部分的面积是：AOD BDOOBC S S S π∆∆+−==扇形，π．15.解：分两种情况：①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形， 90BAD B ∴∠=∠=︒，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上， 1452BAE B AE BAD ∴∠=∠'=∠=︒，AB BE ∴=， ∴315a =， 53a ∴=； ②当点B '落在CD 边上时，如图2．四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上， 90B AB E ∴∠=∠'=︒，1AB AB ='=，35EB EB a ='=，DB ∴'=，3255EC BC BE a a =−=−=．在ADB ∆'与△B CE '中，9090B AD EB C AB DD C ∠'=∠'=︒−∠'⎧⎨∠=∠=︒⎩， ADB ∴∆'∽△B CE '，∴DB AB CE B E ''='1355a a =，解得13a =，20a =（舍去）． 综上，所求a 的值为53或故答案为53．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.解：原式212(2)()22(2)x x x x x x x +−−=−÷−−− 322x x x −=−3x=，当x ===17.解：（1）证明：如图1，BA BC =，90ABC ∠=︒，45BAC ∴∠=︒AB 是O 的直径， 90ADBAEB ∴∠=∠=︒，90DAF BGD DBG BGD ∴∠+∠=∠+∠=︒ DAF DBG ∴∠=∠ 90ABD BAC ∠+∠=︒ 45ABD BAC ∴∠=∠=︒AD BD ∴=()ADF BDG ASA ∴∆≅∆；（2）①如图2，过F 作FH AB ⊥于H ，点E 是BD 的中点，BAE DAE ∴∠=∠FD AD ⊥，FH AB ⊥FH FD ∴=sin sin 452FH ABD BF =∠=︒=，∴FD BF =，即BF4AB =，4cos 45BD ∴=︒=BF FD +=，1)FD =4FD ∴=−4−②连接OE ，EH ，点H 是AE 的中点，OH AE ∴⊥， 90AEB ∠=︒BE AE ∴⊥//BE OH ∴四边形OBEH 为菱形， 12BE OH OB AB ∴=== 1sin 2BE EAB AB ∴∠==30EAB ∴∠=︒．故答案为：30︒18.解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15823+=人， 故答案为：23；（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79， 777877.52m +∴==，故答案为：77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前，七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后， ∴甲学生在该年级的排名更靠前．（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为515840022450++⨯=（人)． 19.解：90ACE ∠=︒，34CAE ∠=︒，55CE m =， tan CECAE AC∴∠=，5582.1tan340.67CE AC m ∴==≈︒，21AB m =，61.1BC AC AB m ∴=−=，在Rt BCD ∆中，tan 60CDBC︒==，1.7361.1105.7CD m ∴=≈⨯≈， 105.75551DE CD EC m ∴=−=−≈，答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．20.解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，A ∴的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z −个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3zz −，152z∴， 3015(30)45015W z z z =+−=+，当8z =时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少； 21.解：（1）x ，y 都是边长，因此，都是正数， 故点(,)x y 在第一象限，答案为：一； （2）图象如下所示：（3）①把点(2,2)代入2m y x =−+得：222m=−+，解得：8m =， 即：0个交点时，8m <；1个交点时，8m =； 2个交点时，8m >； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立4y x =和2my x =−+并整理得：21402x mx −+=， △214404m =−⨯时，两个函数有交点，解得：8m ；（4）由（3）得：8m ．22.解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ∠=∠=︒，CAP BAD ∴∠=∠， CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆，PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠，AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ∴∠=∠=︒，∴1BDPC=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒，故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ∠=∠=︒，PAC DAB ∴∠=∠，AB ADAC AP =DAB PAC ∴∆∆∽，PCA DBA ∴∠=∠，BD ABPC AC== EOC AOB ∠=∠，45CEO OABB ∴∠=∠=︒，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图31−中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，//EF AB ∴，45EFC ABC ∴∠=∠=︒， 45PAO ∠=︒，PAO OFH ∴∠=∠， POA FOH ∠=∠，H APO ∴∠=∠， 90APC ∠=︒，EA EC =，PE EA EC ∴==，EPA EAP BAH ∴∠=∠=∠，H BAH ∴∠=∠，BH BA ∴=， 45ADP BDC ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，BD AH ∴⊥，22.5DBA DBC ∴∠=∠=︒， 90ADB ACB ∠=∠=︒，A ∴，D ，C ，B 四点共圆， 22.5DAC DBC ∠=∠=︒，22.5DCA ABD ∠=∠=︒，22.5DAC DCA∴∠=∠=︒，DA DC∴=，设AD a=，则DC AD a==，PD=，∴2ADCP==如图32−中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA DC=，设AD a=，则CD AD a==，PD=，2PC a a∴=−，∴2ADPC==+23.解：（1）当0x=时，1222y x=−−=−，∴点C的坐标为(0,2)−；当0y=时，1202x−−=，解得：4x=−，∴点A的坐标为(4,0)−．将(4,0)A−，(0,2)C−代入212y ax x c=++，得：16202a cc−+=⎧⎨=−⎩，解得：142ac⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x=+−．（2）①PM x⊥轴，90PMC∴∠≠︒，∴分两种情况考虑，如图1所示．()i当90MPC∠=︒时，//PC x轴，∴点P的纵坐标为2−．当2y=−时，2112242x x+−=−，解得：12x=−，2x=，∴点P的坐标为(2,2)−−；()ii当90PCM∠=︒时，设PC与x轴交于点D．90OAC OCA∠+∠=︒，90OCA OCD∠+∠=︒，OAC OCD∴∠=∠．又90AOC COD ∠=∠=︒，AOC COD ∴∆∆∽， ∴OD OC OC OA=，即224OD =，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(1,0)．设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠， 将(0,2)C −，(1,0)D 代入y kx b =+，得：20b k b =−⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=−⎩，∴直线PC 的解析式为22y x =−． 联立直线PC 和抛物线的解析式成方程组，得：22211242y x y x x =−⎧⎪⎨=+−⎪⎩， 解得：1102x y =⎧⎨=−⎩，22610x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为(6,10)．综上所述：当PCM ∆是直角三角形时，点P 的坐标为(2,2)−−或(6,10)． ②当0y =时，2112042x x +−=，解得：14x =−，22x =，∴点B 的坐标为(2,0)．点P 的横坐标为(0m m >且0)m ≠，∴点P 的坐标为211(,2)42m m m +−，∴直线PB 的解析式为11(4)(4)42y m x m =+−+（可利用待定系数求出）． 点B ，B '关于点C 对称，点B ，B '，P 到直线l 的距离都相等， ∴直线l 过点C ，且直线//l 直线PB ，∴直线l 的解析式为1(4)24y m x =+−．2020年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D二、填空题（每小题3分，共15分）11．√3 12．x ＞a 13．14 14．1 15．6√2+π3三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解：(1−1a+1)÷a a 2−1 =a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a ＝a ﹣1， 把a =√5+1代入a ﹣1=√5+1﹣1=√5．17．解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，b ＝3÷20＝15%，故答案为：501，15%；（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，18．解：（1）过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，∴BC ＝MN ＝16m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6m ，∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE ＝AE ，设AE ＝CE ＝x ，∴BE ＝16+x ，∵∠ABE ＝22°，∴tan22°=AE BE =x 16+x =0.40，∴x ≈10.7（m ），∴AD ＝10.7+1.6＝12.3（m ），答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m ；（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m ），减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．19．解：（1）∵y 1＝k 1x +b 过点（0，30），（10，180），∴{b =3010k 1+b =180，解得{k 1=15b =30， k 1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b ＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则k 2＝25×0.8＝20；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y 1＝15x +30，y 2＝20x ． 当健身8次时，选择方案一所需费用：y 1＝15×8+30＝150（元），选择方案二所需费用：y 2＝20×8＝160（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．20．解：已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，AB ＝OB ，EN 切半圆O 于F ．求证：EB ，EO 就把∠MEN 三等分，证明：∵EB ⊥AC ，∴∠ABE ＝∠OBE ＝90°，∵AB ＝OB ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△OBE （SAS ），∴∠1＝∠2，∵BE ⊥OB ，∴BE 是⊙O 的切线，∵EN 切半圆O 于F ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB ，EO 就把∠MEN 三等分．故答案为：AB ＝OB ，EN 切半圆O 于F ；EB ，EO 就把∠MEN 三等分．21．解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与y 轴正半轴交于点B ，∴点B （0，c ），∵OA ＝OB ＝c ，∴点A （c ，0），∴0＝﹣c 2+2c +c ，∴c ＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点G 的坐标为（1，4）；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴对称轴为直线x ＝1，∵点M ，N 为抛物线上两点（点M 在点N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为6，∴点M 坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N 坐标为（6，﹣21）， ∵点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点，∴﹣21≤y Q ≤4或﹣21≤y Q ≤﹣5．22．解：（1）∵点D 为BC ̂的中点，∴BD ̂=CD ̂，∴BD ＝CD ＝a ＝5.0cm ，故答案为：5.0；（2）∵点A 是线段BC 的中点，∴AB ＝AC ，∵CF ∥BD ，∴∠F ＝∠BDA ，又∵∠BAD ＝∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF （AAS ），∴BD ＝CF ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数y CF 的图象；由图象可得：BD ＝3.8cm 或5.0cm 或6.2cm 时，△DCF 为等腰三角形．23．解：（1）如图1，∵AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，∴AB ＝AB '，∠BAB '＝60°，∴△ABB '是等边三角形，∴∠BB 'A ＝60°，∴∠DAB '＝∠BAD ﹣∠BAB '＝90°﹣60°＝30°，∵AB '＝AB ＝AD ，∴∠AB 'D ＝∠ADB '，∴∠AB 'D =180°−30°2=75°， ∴∠DB 'E ＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE ⊥B 'E ，∴∠B 'DE ＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB '是等腰直角三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BDC ＝45°，∴BD DC =√2， 同理B′D DE =√2，∴BD DC =B′D DE ，∵∠BDB '+∠B 'DC ＝45°，∠EDC +∠B 'DC ＝45°，∴∠BDB '＝∠EDC ，∴△BDB '∽△CDE ，∴BB′CE =BD DC=√2． 故答案为：等腰直角三角形，BB′CE =√2．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°−α2，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°−α2，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°−α2−(90°−α2)=45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴DB′DE=√2，∵四边形ABCD是正方形，∴BDCD=√2，∠BDC＝45°，∴BDCD=DB′DE，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴BB′CE=BDCD=√2．②BEB′E=3或1．若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D=√2B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'=√2CE．∴BEB′E=B′B+B′EB′E=BB′B′E+1=√2CEB′E+1=√2B′DB′E+1=√2×√2+1＝3．若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，∴BEB′E=1．综合以上可得BEB′E=3或1．。

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（江苏专用）专题24视图投影与尺规作图【真题50道模拟50道】一．填空题（共6小题）1．（2020•扬州）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线BF交AC于点G．如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为．2．（2020•苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD ∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝．3．（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．五年中考真题4．（2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝cm．5．（2016•南通）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是．6．（2016•盐城）如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为．二．选择题（共29小题）7．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥8．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．9．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．10．（2020•连云港）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．11．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．12．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱13．（2017•南通）已知∠AOB，作图．步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；̂于点C；步骤2：过点M作PQ的垂线交PQ步骤3：画射线OC．̂=CQ̂；②MC∥OA；③OP＝PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）则下列判断：①PCA．1B．2C．3D．414．（2019•镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．15．（2019•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球16．（2019•淮安）如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．17．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A．20πB．15πC．12πD．9π18．（2019•扬州）如图所示物体的左视图是（）A．B．C．D．19．（2019•盐城）如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是（）A．B．C．D．20．（2019•无锡）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是（）A．长方体B．四棱锥C．三棱锥D．圆锥21．（2018•无锡）有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．22．（2018•徐州）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．23．（2018•镇江）如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．24．（2018•南通）一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）A．16πcm2B．12πcm2C．8πcm2D．4πcm2 25．（2018•泰州）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）A．正方体B．四棱锥C．圆柱D．球26．（2018•盐城）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（）A．B．C．D．27．（2018•连云港）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．28．（2018•扬州）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．29．（2017•南通）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．30．（2017•镇江）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．31．（2017•常州）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥B．三棱柱C．圆柱D．三棱锥32．（2017•盐城）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．圆锥D．棱锥33．（2017•连云港）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（）A．三个视图的面积一样大B．主视图的面积最小C．左视图的面积最小D．俯视图的面积最小34．（2016•扬州）下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（）A．B．C．D．35．（2016•泰州）如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）A．B．C．D．三．解答题（共15小题）36．（2020•盐城）如图，点O是正方形ABCD的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接EB、EC、EO，求证：∠BEO＝∠CEO．37．（2020•泰州）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若a＝2√5，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．38．（2020•无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为．39．（2019•无锡）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD=2√5，求△ABC的面积．40．（2019•徐州）【阅读理解】用10cm×20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案．已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下：【尝试操作】如图，将小方格的边长看作10cm，请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案．【归纳发现】观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm所有不同图案的个数12341．（2019•盐城）如图，AD是△ABC的角平分线．（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接DE、DF，四边形AEDF是形．（直接写出答案）42．（2019•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．43．（2019•无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．44．（2018•无锡）如图，∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一动点．过点P作PC⊥OB于点C．点D在∠AOB内，且满足∠APD＝∠OPC，DP+PC＝10．（1）当PC＝6时，求点D到OB的距离；（2）在射线OA上是否存在一定点M，使得MD＝MC？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点M（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求OM的长；若不存在，说明理由．45．（2018•常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？46．（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．47．（2017•无锡）如图，已知∠MAN，及线段a，b（a＞b）．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM、AN上确定点B、点C，使得AC＝b，AB+BC＝a（保留作图痕迹，不要作法）；（2）若sin∠MAN=513，a＝61，b＝39，则△ABC的面积为．48．（2017•南京）“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．49．（2017•无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．50．（2017•泰州）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB＝9，AC＝6，求AD的长．一年模拟新题一．选择题（共10小题）1．（2020•亭湖区二模）过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是（）A．B．C．D．2．（2020•徐州一模）已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对D．两人都不对3．（2020•无锡模拟）如图所示立体图形，下列选项中是图中几何体的主视图的是（）A．B．C．D．4．（2020•东海县二模）如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（）A．B．C．D．5．（2020•宝应县二模）如图的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（2020•徐州模拟）一个长方体的三视图及相应的棱长如图所示，则这个长方体的体积为（）A．15B．30C．45D．627．（2020•建湖县二模）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体8．（2020•镇江模拟）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体最多能有小正方体的个数为（）A．8B．9C．10D．119．（2020•丹阳市模拟）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（）A ．6B ．9C ．12D ．1810．（2020•宿迁一模）如图所示的几何体是由两个圆柱体和一个正方体组成，圆柱体的直径和高均与正方体的边长相等，则其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题）11．（2020•淮安区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠BAD ＝120°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则CF 的长为 ．12．（2020•滨海县一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AC ＝2，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则AD 的长为 ．13．（2020•崇川区校级一模）如图，在∠MON 中，以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM 于点A ，交射线ON 于点B ，再分别以A 、B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在∠MON 的内部交于点C ，作射线OC ，若OA ＝5，AB ＝6，则点B 到AC 的距离为 ．14．（2020•阜宁县二模）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的母线长为 ．15．（2020•海安市模拟）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ．16．（2020•高邮市一模）如图，由10个完全相同的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为2，则主视图的面积为 ．三．解答题（共34小题）17．（2020•泰兴市一模）在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段AB ，求作：∠CAD ，使得AB 平分∠CAD ．小亮是这样操作的：如图：①分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D ； ②作射线AC 、AD ，则∠CAD 即为所求．请根据小亮的作图过程证明AB 平分∠CAD ．18．（2020•滨海县一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB 的平分线，交斜边AB 于点D ；②过点D 作BC 的垂线，垂足为E ．（2）在（1）作出的图形中，求DE 的长．19．（2020•兴化市二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC 的平分线交BC 于D （保留痕迹）；（2）若AD ＝DB ，求∠B 的度数．20．（2020•高邮市二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP ，交AC 于点F ．点O 在斜边AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆恰好经过点F ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BC ＝6，tan ∠A =34，求⊙O 的半径．21．（2020•宿迁一模）已知：如图，∠AOB＝40°，在∠AOB内部求作∠AOP＝20°，作法如下：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点E、F；（2）分别以点E、F为圆心，OE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；（3）作射线OP．求证：∠AOP＝20°．22．（2020•兴化市模拟）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB＝9，AC＝6，求AD的长．23．（2020•滨湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若DE分Rt△ABC面积为1：2两部分，请探究AC与BC的数量关系．24．（2020•江阴市二模）用无刻度直尺和圆规作图：不要求写作法，保留必要的作图痕迹．（1）如图1，已知△ABC（AC＜AB＜BC），在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）在图2中，作直角△DEF，使直角边EF落在BC上，且△DEF的周长等于边BC的长；（3）在图3中，作直角△OMN，使斜边MN落在BC上，且△OMN的周长等于边BC的长．25．（2020•泰兴市模拟）D是△ABC的BC上一点．（1）用直尺和圆规作DE∥AB交AC于点E；（2）在（1）的条件下，若AB＝9，BD＝3√3，∠DEC＝∠ADB，求BC长．26．（2020•泰州二模）已知⊙O及⊙O上一点P，过点P作⊙O的切线．小明设计了如下尺规作法：①连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A；②连接OA，延长OA到B，使AB＝OA，作直线PB．则直线即为所求作．（1）请证明小明作法的正确性；（2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）．27．（2020•建邺区一模）数学活动课上，陈老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个以∠A为内角的菱形吗？悦悦的折法如下：第一步，折出∠A的平分线，交BC于点D．第二步，折出AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F，把纸片展平．第三步，折出DE、DF，得到四边形AEDF．请根据悦悦的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形．28．（2020•新吴区一模）（1）如图①，在6×6的方格中，△ABC是格点三角形（顶点均在格点上）．请仅用直尺（无刻度）作一条格点线段EF（两端点均在格点上），使线段EF垂直平分线段AB．（2）如图②，在△ABC中，DE∥BC．EF∥AB，请仅用直尺（无刻度）作一个三角形，使所作三角形的面积等于△ABC面积的一半．并把所作的三角形用阴影表示出来．29．（2020•新吴区二模）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，矩形ABCD的顶点A、D在圆上，B、C两点在圆内，已知圆心O，请仅用无刻度的直尺作图，请作出直线l⊥AD；（2）请仅用无刻度的直尺在下列图2和图3中按要求作图．（补上所作图形顶点字母）①图2是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边作一个菱形；②图3是矩形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边作一个平行四边形．30．（2020•宜兴市一模）（1）如图1，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB，在直径AB下方的半圆上有一个̂的中点P，并在直线AB上画出点G，定点H（点H不与点A，B重合），请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．画出劣弧EF使直线AB平分∠HGP．（保留作图痕迹，不写作法）（2）尺规作图．．．．：如图2，已知线段a、c，请你用两种不同的方法作Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．（保留作图痕迹，不写作法）31．（2020•无锡一模）如图，平面内有线段AB和一点P，按照要求，用无刻度的直尺和圆规作图，请保留作图痕迹．（1）在图1中求作△ABC，使AC＝AB，且使点P到AB和AC的距离相等；（2）在图2中求作△ABC，使点P到点A、点C的距离相等，且使∠C=12∠APB．32．（2020•玄武区模拟）在⊙O中，AB和CD是弦，且AB＝CD，请用无刻度直尺完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，在AĈ上找一点P，使点P到AB、CD所在直线的距离相等．（2）如图②，E是⊙O上一点，且BE∥CD，BE=12CD，在AĈ上找一点Q，使点Q到AB、CD所在直线的距离是1：2．33．（2020•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）按要求尺规作图，保留作图痕迹①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M；（2）在（1）所作图形中，证明⊙M与边AC相切；（3）在（1）所作图形中，若∠CFB＝∠CBA，BC＝3，求⊙M的半径．34．（2020•兴化市一模）已知：如图，▱ABCD中，AB＝5，BC＝3，（1）求作∠DAB的角平分线，交CD于点E：（2）求CE的长．35．（2020•无锡模拟）如图，已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′，使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．36．（2020•张家港市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图（1）作出AB边上的中线CD；（2）作出△ABC的角平分线AE；（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．37．（2020•无锡一模）如图，四边形ABCD是菱形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，画出∠A的平分线；（2）在图2中，AE⊥CD，过点C画出AD边上的高CF；（3）在图3中，AE⊥CD，过点C画出AB边上的高CG．38．（2020•惠山区一模）如图，已知△ABC，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMNP，使点M，N、P在边AB、BC、CA上；（2）当∠A＝60°，AB＝8，AC＝6时，求菱形AMNP的面积．39．（2020•常州模拟）已知△ABC，（1）用无刻度的直尺和圆规作△ABD，使∠ADB＝∠ACB．且△ABD的面积为△ABC面积的一半，只需要画出一个△ABD即可（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）在△ABC中，若∠ACB＝45°，AB＝4，则△ABC面积的最大值是40．（2020•江阴市一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形．）（1）△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC+PQ取得最小值时，①在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ．（请保留作图痕迹．）②直接写出PC+PQ的最小值：．41．（2020•滨湖区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF探究与猜想：若∠BAE＝36°，求∠B的度数．42．（2020•海门市校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠A＝∠B，∠ACB＝120°（1）在图中过点C作一条射线CD交边AB于点D，使得∠ACD＝∠A（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若AD＝1，求边AB的长．43．（2020•姜堰区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；（2）求EF的长．44．（2020•建湖县二模）如图，▱ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；（2）在图2中，画出∠AEC的平分线，并说明理由．45．（2020•建邺区一模）【概念认识】若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上．当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆．【初步思考】若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为．如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．【深入研究】如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点．在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围．46．（2020•泰州模拟）作图题：如图在矩形ABCD中，已知AD＝10，AB＝6，用直尺和圆规在AD上找一点E（保留作图痕迹），使EC平分∠BED，并求出tan∠BEC的值．47．（2020•南京二模）【概念认识】若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点．【数学理解】（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC．求证：点P为⊙O的径等点．（2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求ACAB的值．【问题解决】（3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）48．（2020•海陵区校级模拟）已知⊙O及⊙O外一点P．（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：①连接OP，以OP为直径作⊙O′；②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线P A．则直线P A即为所作的过点P的⊙O的一条切线．请证明小明作图方法的正确性．（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）49．（2020•莲湖区二模）如图，已知线段AB．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若AB＝2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为cm．50．（2020•锡山区一模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得P A+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．。

专题07 函数一、单选题1．（2020•广东）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论： ①0abc >；②240b ac ->；③80a c +<；④520a b c ++>， 正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：0a <，根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得：a ，b 异号，所以0b >， 根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：0c >，0abc ∴<，故①错误；抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->，故②正确；直线1x =是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴，所以12ba-=，可得2b a =-， 由图象可知，当2x =-时，0y <，即420a b c -+<， 42(2)0a a c ∴-⨯-+<，即80a c +<，故③正确；由图象可知，当2x =时，420y a b c =++>；当1x =-时，0y a b c =-+>， 两式相加得，520a b c ++>，故④正确； ∴结论正确的是②③④3个，故选：B ．2．（2020•广东）把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( ) A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+【解答】解：二次函数2(1)2y x =-+的图象的顶点坐标为(1,2)， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2)， ∴所得的图象解析式为2(2)2y x =-+．故选：C ．3．（2018•广东）如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD ∆的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：分三种情况： ①当P 在AB 边上时，如图1， 设菱形的高为h ， 12y AP h =， AP 随x 的增大而增大，h 不变，y ∴随x 的增大而增大，故选项C 和D 不正确； ②当P 在边BC 上时，如图2， 12y AD h =， AD 和h 都不变，∴在这个过程中，y 不变，故选项A 不正确；③当P 在边CD 上时，如图3，12y PD h =， PD 随x 的增大而减小，h 不变，y ∴随x 的增大而减小，P 点从点A 出发沿在A B C D →→→路径匀速运动到点D ， P ∴在三条线段上运动的时间相同，故选项B 正确； 故选：B ．4．（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线22(0)k y k x=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(1,2)--B ．(2,1)--C ．(1,1)--D ．(2,2)--【解答】解：点A 与B 关于原点对称，B ∴点的坐标为(1,2)--．故选：A ．二、填空题5．（2021•广东）把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 224y x x =+ ．【解答】解：把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：22(1)13y x =++-，即224y x x =+ 故答案为224y x x =+．三、解答题6．（2021•广东）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+>的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数4y x=图象的一个交点为(1,)P m ． （1）求m 的值；（2）若2PA AB =，求k 的值．【解答】解：（1）(1,)P m 为反比例函数4y x=图象上一点， ∴代入得441m ==， 4m ∴=；（2）令0y =，即0kx b +=， b x k∴=-，(bA k -，0)，令0x =，y b =， (0,)B b ∴，2PA AB =，由图象得，可分为以下两种情况： ①B 在y 轴正半轴时，0b >，2PA AB =，过P 作PH x ⊥轴交x 轴于点H ， 又11B O A H ⊥，111PAO B AO ∠=∠，∴△11AOB ∽△1A HP ， ∴11111112A B A O B O A P A H PH ===， 1114222B O PH ∴==⨯=， 2b ∴=，11AO OH ∴==， ||1bk∴-=，2k ∴=；②B 在y 轴负半轴时，0b <，过P 作PQ y ⊥轴， 2PQ B Q ⊥，22A O B Q ⊥，222A B O AB Q ∠=∠，∴△222A OB PQB ∆， ∴22222213A B A O B OPB PQ B Q===， 11||33b AO PO k ∴=-==，2211||232B O B Q OQ b ====，2b ∴=-， 6k ∴=，综上，2k =或6k =．7．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元(5065)x ，y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价(10)a -元， 则8000600010a a =-， 解得：40a =，经检验40a =是方程的解， ∴猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，答：猪肉每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）由题意得，当50x =时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x 元(5065)x 时，每天可售[1002(50)]x --盒，2[1002(50)]40[1002(50)]22808000y x x x x x ∴=---⨯--=-+-， 配方，得：22(70)1800y x =--+，70x <时，y 随x 的增大而增大，∴当65x =时，y 取最大值，最大值为：22(6570)18001750--+=（元)．答：y 关于x 的函数解析式为222808000(5065)y x x x =-+-，且最大利润为1750元． 8．（2019•广东）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ． （1）根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S ∆∆=，求点P 的坐标．【解答】解：（1）点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ． 由图象可得：21k k x b x+>的x 的取值范围是1x <-或04x <<；（2）反比例函数2k y x=的图象过点(1,4)A -，(4,)B n 2144k ∴=-⨯=-，24k n =1n ∴=-(4,1)B ∴-一次函数1y k x b =+的图象过点A ，点B ∴11441k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：11k =-，3b =∴一次函数的解析式3y x =-+，反比例函数的解析式为4y x=-； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ， (0,3)C ∴，133122AOC S ∆=⨯⨯=， 11153134222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=，:1:2AOP BOP S S ∆∆=，1515232AOP S ∆∴=⨯=， AOC AOP S S ∆∆∴<，53122COP S ∆=-=， ∴1312P x ⨯=， 23P x ∴=， 点P 在线段AB 上， 27333y ∴=-+=，2(3P ∴，7)3．一、单选题1．（2021•东莞市一模）将抛物线2152y x =+向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式是( ) A ．21(2)52y x =++B ．21(2)52y x =-+C ．2132y x =+ D ．2172y x =+ 【解答】解：将抛物线2152y x =+向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式是：21(2)52y x =++， 故选：A ．2．（2021•东莞市校级一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；②0a b c -+>；③当0y <时，x 的取值范围是1x <-或5x >；④50a c +=；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【解答】解：①抛物线的对称轴为直线22bx a=-=， 4b a ∴=-，即40a b +=，故本结论正确；②图象过点(1,0)-，0a b c ∴-+=，故本结论错误；③抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)-，对称轴为直线2x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)，抛物线开口向下，∴当0y <时，x 的取值范围是1x <-或5x >，故本结论正确；④对称轴为直线22bx a=-=， 4b a ∴=-， 0a b c -+=，50a c ∴+=，故本结论正确；⑤对称轴为直线2x =，∴当12x -<<时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x >时，y 随x 的增大而减小，故本结论错误． 故选：D ．3．（2021•佛山二模）点1(1,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y << B ．132y y y << C ．231y y y << D ．312y y y <<【解答】解：2y x=中，20k =>， ∴反比例函数2y x=图象在一、三象限，并且在每一象限内y 随x 的增大而减小， 10-<，A ∴点在第三象限，10y ∴<，210>>，B ∴、C 两点在第一象限，230y y ∴>>， 132y y y ∴<<．故选：B ．4．（2021•东莞市校级二模）若函数24y x x m =-+的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，若122x x <<，则( ) A ．12y y > B ．12y y <C ．12y y =D ．1y ，2y 的大小不确定【解答】解：24y x x m =-+，∴此函数的对称轴为：42221b x a -=-=-=⨯， 122x x <<，两点都在对称轴左侧，10a =>，∴对称轴左侧y 随x 的增大而减小， 12y y ∴>．故选：A ．5．（2021•东莞市模拟）如图，函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过点(1,0)-、(,0)m ，且12m <<，下列结论： ①0abc <； ②1022b a <-<； ③若点1(2,)A y -，2(2,)B y 在抛物线上，则12y y <； ④(1)0a m b -+=．其中结论正确的有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴在y 轴的右侧，0b ∴<，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴>，∴①的结论错误；抛物线过点(1,0)-和(,0)m ，且12m <<，1022b a ∴<-<，故②的结论正确； 点1(2,)A y -到对称轴的距离比点2(2,)B y 到对称轴的距离远，12y y ∴>，∴③的结论错误；抛物线过点(1,0)-，(,0)m ，0a b c ∴-+=，20am bm c ++=，20am a bm b ∴-++=，(1)(1)(1)0a m m b m +-++=，(1)0a m b ∴-+=，∴④的结论正确；故选：B ．6．（2021•东莞市一模）反比例函数6y x =图象经过( ) A ．(2,4) B ．(2,3)C ．(3,2)-D ．(6,1)- 【解答】解：反比例函数6y x =6k ∴=，A 、2486⨯=≠，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；B 、236⨯=，∴此点在函数图象上，故本选项正确；C 、3(2)66⨯-=-≠，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D 、6166-⨯=-≠，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．故选：B ．7．（2021•东莞市校级一模）如图，点A 是反比例函数2y x =-在第二象限内图象上一点，点B 是反比例函数4y x=在第一象限内图象上一点，直线AB 与y 轴交于点C ，且AC BC =，连接OA 、OB ，则AOB ∆的面积是( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【解答】解：分别过A 、B 两点作AD x ⊥轴，BE x ⊥轴，垂足为D 、E ， AC CB =，OD OE ∴=， 设2(,)A a a-，则4(,)B a a ， 故124121423222AOB AOD BOE ADBE S S S S a a a a a a a∆∆∆⎛⎫=--=+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭梯形． 故选：C ．8．（2021•东莞市校级一模）点C 在x 轴的下方，y 轴的右侧，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点C 的坐标为( )A ．(3,5)-B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(5,3)- 【解答】解：点C 在x 轴的下方，y 轴的右侧，∴点C 在第四象限；点C 距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，∴点C 的坐标为(5,3)-，故选C ．9．（2021•中山市模拟）如图直线11y x =+与双曲线2k y x=交于(2,)A m 、(3,)B n -两点．则当12y y >时，x 的取值范围是( )A ．3x >-或02x <<B ．30x -<<或2x >C ．3x <-或02x <<D ．32x -<<【解答】解：根据图象可得当12y y >时，x 的取值范围是：30x -<<或2x >． 故选：B ．10．（2021•珠海模拟）抛物线2(2)3y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【解答】解：抛物线2y x =向左平移2个单位可得到抛物线2(2)y x =+， 抛物线2(2)y x =+，再向下平移3个单位即可得到抛物线2(2)3y x =+-． 故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B ．11．（2021•佛山南海区四模）抛物线2(3)2y x =++的对称轴是( )A ．直线3x =B ．直线3x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-【解答】解：由二次函数顶点式2()y a x h k =-+，可知在2(3)2y x =++中，3h ==-， ∴其对称轴为直线3x ==-．故选：B ．12．（2021•佛山禅城区二模）如图，A 、B 分别为反比例函数8(0)y x x =-<，18(0)y x x=>图象上的点，且OA OB ⊥，则tan ABO ∠的值为( )A ．23B ．49C ．59D ．94【解答】解：过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，则90BDO ACO ∠=∠=︒， A 、B 分别为反比例函数8(0)y x x =-<，18(0)y x x=>图象上的点， 4AOC S ∆∴=，9BDO S ∆=，90AOB ∠=︒，90BOD DBO BOD AOC ∴∠+∠=∠+∠=︒，DBO AOC ∴∠=∠，BDO OCA ∴∆∆∽， ∴24()9ACO BDO S OA S OB ∆∆==， ∴23OA OB =， 2tan 3OA ABO OB ∴∠==， 故选：A ．13．（2021•佛山南海区四模）一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 组成．定位仪器放置在BC 的中点M 处，设寻宝者行进时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，寻宝者匀速前进，y 与x 的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是( )A．A B O→→D．B O C→→→→C．A O D→→B．A D O【解答】解：A、从A点到B点，y随x的增大而减小，从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，故本选项不合题意；B、从A点到D点，y随x的增大先减小后增大，从D点到O点，y随x的增大而减小，故本选项不合题意；C、从A点到O点，y随x的增大而减小，从O点到D点，y随x的增大而增大，故本选项不合题意；D、从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，从O点到C点，y随x的增大先减小后增大，故本选项符合题意；故选：D．14．（2021•佛山南海区二模）如图，矩形ABCD中，4AB=，6→→方BC=，点P从B点出发，沿B C D向移动，连接DP，过P作PQ DP⊥交边AB于点Q，设点P走的路程为x，线段BQ的长度为y，则y与x之间函数图象大致为()A．B．C．D．【解答】解：分点P在BC和CD上运动两种情况讨论．①当P在BC上时，矩形ABCD中，90B C∠=∠=︒，90QPB DPC∴∠+∠=︒，PQ DP⊥，90QPD∴∠=︒，DPC PQB∴∠=∠（同角的余角相等），DPC PQB∴∆∆∽，∴PC DC QB PB=，即64xy x-=，22119(6)(3)(06)444y x x x x∴=-+=--+，故第一段图象为二次函数，顶点坐标为9(3,)4，故选项A、C、D不合题意；②当点P在CD上时，90QPD C∠=∠=︒，//QP BC∴，6QB PC x∴==-，6(610)y x x∴=-<，故第二段为一次函数的图象，并经过(10,4)，选项B符合题意．故选：B．15．（2021•佛山南海区模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a=++≠与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线1x=，下列结论错误的是()A ．抛物线与x 轴的另一个交点是(2,0)-B ．0abc >C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．0a b c ++<【解答】解：A 、抛物线与x 轴的另一个交点是(2,0)-，故A 正确； B 、因为开口向上则0a >，对称轴在y 轴的右侧，则a 与b 异号，所以0b <，因为抛物线与y 轴交于负半轴上，所以0c <，0abc ∴>，故B 正确；C 、当1x >时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，D 、当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，故D 正确；故选：C ．16．（2021•佛山南海区一模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，分析下列四个结论：①0abc <；②240b ac ->；③30a c +>；④22()a c b +<；⑤2a b c -<．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴， 0a ∴<，02b a-<，0c >， 0b ∴<，0abc ∴>，结论①错误； ②二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，结论②正确； ③当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，12b a->-，0a <， 2b a ∴>，3a b a ∴+>，30a c ∴+<，结论③错误；④当1x =-时，0y >，当1x =时，0y <，0a b c ∴-+>，0a b c ++<，22()()()0a b c a b c a c b ∴-+++=+-<，22()a c b ∴+<，结论④正确；⑤12b a->-，0a <， 20a b ∴-<，0c >，2a b c ∴-<，结论⑤正确；综上所述，正确的结论有②④⑤共3个．故选：C ．17．（2021•禅城区校级一模）二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为(1,5)；③当2x >时，y 随x 的增大而减少；④3是方程2ax bx c x ++=的一个根．其中正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：①由表格数据可知，0x =和3x =的函数值都是3，二次函数的对称轴为直线1(03) 1.52x =+=， 从表格看，对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，故抛物线开口向下， 故①正确，符合题意；②抛物线的对称轴为直线 1.5x =，故②错误，不符合题意；③由①知， 1.5x >时，y 随x 的增大而减小，故当2x >时，y 随x 的增大而减小，正确，符合题意；④方程2(1)0ax b x c +-+=可化为方程2ax bx c x ++=，由表格数据可知，3x =时，3y =，则3是方程2ax bx c x ++=的一个根，从而也是方程2(1)0ax b x c +-+=的一个根，故本选项正确，符合题意；故选：B ．18．（2021•中山一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =-，下列结论不正确的是( )A ．24b ac >B ．0abc <C ．0a c -<D ．2am bm a b +- (m 为任意实数）【解答】解：由图象可得：0a <，0c <，△240b ac =->，12b a -=-， 20b a ∴=<，24b ac >，故A 选项正确，0abc ∴<，故B 选项正确，当1x =-时，0y >，0a b c ∴-+>，0a c ∴-+>，即0a c -<，故C 选项正确，当x m =时，2y am bm c =++，当1x =-时，y 有最大值为a b c -+，2am bm c a b c ∴++-+，2am bm a b ∴+-，故D 选项不正确，故选：D ．19．（2021•佛山南海区一模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列4个结论中：①20a b -<；②0abc <；③240b ac -<；④420a b c ++>．正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由函数图象开口向下可知，0a <，由函数的对称轴12b x a =->-，故12b a<， 0a <， 2b a ∴>，20a b ∴-<，故①正确；0a <，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则0c <，故0abc <；故②正确；图象与x 轴无交点， 240b ac ∴-<，故③正确；当2x =时，420y a b c =++<，故④错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C ．20．（2021•顺德区一模）如图，一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2,)A m ，则不等式3kx>的解集是( )A ．2x >B ．02x <<C ．0x >D ．3x <-或02x <<【解答】解：点A 在一次函数1y x =+的图象上，213m ∴=+=，∴点A 的坐标为(2,3)．由图象可知，不等式3kx>的解集是02x <<， 故选：B ．21．（2021•佛山禅城区一模）点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 都在反比例函数3y x-=的图象上，且120x x <<，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．210y y >>B ．120y y >>C ．210y y >>D ．120y y >>【解答】解：反比例函数3y x-=中30k =-<， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大． 120x x <<，A ∴、B 都在第二象限，210y y ∴>>．故选：A ．22．（2021•佛山禅城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)m ，与y 轴的交点在(0,4)-，(0,3)-之间（包含端点），下列结论：①11024a b c ++<；②413a ；③关于x 的方程210ax bx c m +++-=没有实数根．其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：①若11024a b c ++<，则420a b c ++<；当2x =时，420y a b c =++<，故①正确，符合题意；②当1x =-时，0y a b c =-+=，则c a b =-+， 由43c --，得43a b --+-，图象的对称轴为1x =，故2b a =-，得433a ---， 故413a 正确，符合题意；③2y ax bx c =++的顶点为(1,)m ，即当1x =时y 有最小值m ．而1y m =-和2y ax bx c =++无交点，即方程21ax bx c m ++=-无解， ∴关于x 的方程210ax bx c m +++-=没有实数根，故③正确，符合题意．故选：D ．23．（2021•佛山南海区一模）抛物线2(2)1y x =++的对称轴是( ) A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线2x =-【解答】解：抛物线2(2)1y x =++， ∴该抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：D ．24．（2021•佛山禅城区校级一模）如图，直线11y k x b =+和直线22y k x b =+分别与x 轴交于(1,0)A -和(3,0)B 两点，则不等式组1200k x b k x b +>⎧⎨+>⎩的解集为( )A ．13x -<<B ．03x <<C ．10x -<<D ．3x >或1x <-【解答】解：当1x =-时，110y k x b =+=，则1x >-时，110y k x b =+>， 当3x =时，220y k x b =+=，则3x <时，220y k x b =+>， 所以当13x -<<时，10k x b +>，20k x b +>， 即不等式组120k x b k x b +>⎧⎨+>⎩的解集为13x -<<．故选：A ．25．（2021•顺德模拟）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边)CB 于点Q ，设AP x =，APQ ∆的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当点Q 在AC 上时，30A ∠=︒，AP x =，tan 30PQ x ∴=︒=，21122y AP PQ x ∴=⨯⨯=⨯= 当点Q 在BC 上时，如下图所示：AP x =，16AB =，30A ∠=︒， 16BP x ∴=-，60B ∠=︒，tan60)PQ BP x ∴=⋅︒=-．211)22y AP PQ x x ∴=⨯⨯=-=+． ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B ．26．（2021•惠东县二模）如图，是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D ．两车到第3秒时行驶的路程相等【解答】解：A 、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12448⨯=米，故A 正确；B 、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加3248=米/秒，故B 正确； C 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C 正确；D 、由于甲的图象是过原点的直线，可得4(v t v =、t 分别表示速度、时间），将12/v m s =代入4v t =得3t s =，则3t s =前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故D 错误； 故选：D ．27．（2021•广州模拟）如图，正方形ABCD 的边长为4，动点M 、N 同时从A 点出发，点M 沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点N 沿折线ADC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒，则CMN ∆的面积为S 关于t 函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当02t 时，AM t =，2AN t =，所以()()2111442444426222AMN BCM CDN ABCD S S S S S t t t t t t ∆∆∆=---=⨯-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-=-+正方形；当24t <时，82CN t =-，1(82)44162S t t =⋅-⋅=-+，即当02t 时，S 关于t 函数的图象为开口向下的抛物线的一部分，当24t <时，S 关于t 函数的图象为一次函数图象的一部分． 故选：D ．二、填空题28．（2021•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点(10,0)A ，OA 绕点O 逆时针旋转60︒得到OB ，连接AB ，双曲线(0)ky x x=>分别与AB ，OB 交于点C ，(D C ，D 不与点B 重合）．若CD OB ⊥，则k 的值为【解答】解：作DE x ⊥轴于点E ，作CF x ⊥轴于点F ．OAB ∆为等边三角形， 60BOA B BAO ∴∠=∠=∠=︒．设OE a =，则DE ，2OD a =．102BD a ∴=-，故点D 坐标为()a ．2(102)204cos60BDBC a a ∴==⨯-=-︒，10(204)410AC a a ∴=--=-．1cos60(410)252FA AC a a ∴=⋅︒=-=-，sin 6010)5)CF AC a a =⋅︒=-=-． 1025152OF AO FA a a ∴=-=-+=-．故点C 坐标为(152a -5))a -． 点D 、C 在反比例函数图象上，∴(152)5)a a a =--．解得：13a =，25a =（不合题意，舍去）．3a ∴=，故点D 坐标为(3，，∴3k xy ==⨯=．故答案为：29．（2021•东莞市校级一模）在直角坐标系中，将抛物线2y x =向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为 244y x x =++ ．【解答】解：将抛物线2y x =向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为：2(2)y x =+，即244y x x =++，故答案是：244y x x =++．30．（2021•惠州模拟）如图，直线142y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，AC AB ⊥，交双曲线(0)k y x x=<于C 点，且BC 交x 轴于M 点，2BM CM =，则k = 14 ．【解答】解：作CD OA ⊥于D ，如图，把0x =代入142y x =+得4y =，把0y =代入142y x =+得1402x +=，解得8x =-，B ∴点坐标为(0,4)，A 点坐标为(8,0)-，即4OB =，8OA =，CD OA ⊥，90CDM BOM ∴∠=∠=︒，而CMD BMO ∠=∠，Rt BMO Rt CMD ∴∆∆∽，∴OB BM CD MC=， 而2BM CM =，4OB =，2CD ∴=， AC AB ⊥，90BAO CAD ∴∠+∠=︒，而90CAD ACD ∠+∠=︒，BAO ACD ∴∠=∠， Rt BAO Rt ACD ∴∆∆∽，∴OB OAAD CD=，即482AD =， 1AD ∴=，817OD OA DA ∴=-=-=， C ∴点坐标为(7,2)--，把(7,2)C --代入ky x=得14k =． 故答案为14．31．（2021•东莞市模拟）抛物线22(1)6y x =+-向右平移一个单位后，得到的解析式为 226y x =- ． 【解答】解：抛物线22(1)6y x =+-向右平移一个单位后，得到的解析式为：22(11)6y x =+--，即226y x =-．故答案为226y x =-． 32．（2021•梅州模拟）函数y =的自变量x 的取值范围是 2x < ．【解答】解：由题意得，20x ->， 解得，2x <， 故答案为：2x <．33．（2021•清远模拟）二次函数21(1)12y x =--的顶点坐标是 (1,1)- ．【解答】解：二次函数21(1)12y x =--的顶点坐标是(1,1)-．故答案为：(1,1)-．34．（2021•珠海校级一模）如图①，在矩形ABCD 中，AB AD >，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A B C →→运动．设点P 的运动路程为x ，AOP ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为 6 ．【解答】解：从图象看，当点P 到达点B 时，AOP ∆的面积为6，此时AOP ∆的高为12BC ，AOP ∴∆的面积11()622AB BC =⨯⨯=，解得24AB BC ⋅=①， 而从图②看，10AB BC +=②， 联立①②并解得64AB BC =⎧⎨=⎩．故答案为：6．35．（2021•珠海校级一模）若点1(2,)A y 、2(3,)B y 都在反比例函数5y x=的图象上，则1y > 2y （填“<”、“ >”或“=” )． 【解答】解：反比例函数5y x=中，50k =>， ∴函数图象在第一、二象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，23<，12y y ∴>，故答案为>．三、解答题36．（2021•中山市模拟）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2(0)k y x x=>的图象交于点(,5)A a 和(5,1)B ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交反比例函数图象于点Q ，连接OP 、OQ ，若POQ ∆的面积为2，求P 点的坐标．【解答】解：（1）反比例函数(0)ky x x =>的图象经过点(5,1)B ，15k∴=，解得5k =， ∴反比例函数解析式为5y x=， 把(,5)A a 代入5y x=，得1a =， 点A 坐标为(1,5)，一次函数解析式y kx b =+经过(1,5)A ，(5,1)B ， ∴515k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为：6y x =-+；（2）设(,6)P m m -+且15m ，则5(,)Q m m ；56PQ m m∴=-+-， 15(6)22POQ S m m m∆∴=-+-⋅=，解得123m m ==，(3,3)P ∴．37．（2021•顺德模拟）如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积为5，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把点(1,)A a 代入3y x =-+，得2a =， (1,2)A ∴把(1,2)A 代入反比例函数k y x=， 122k ∴=⨯=； ∴反比例函数的解析式为2y x=； （2）一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点C ， (3,0)C ∴，设(,0)P x ，|3|PC x ∴=-，1|3|252APC S x ∆∴=-⨯=， 2x ∴=-或8x =，P ∴的坐标为(2,0)-或(8,0)．38．（2021•惠州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y ax b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于点(1,2)A 和(2,)B m -．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作//BE x 轴，AD BE ⊥于点D ，点C 是直线BE 上一点，若2AC CD =，求点C 的坐标．【解答】解：（1）点(1,2)A 在反比例函数2k y x =的图象上， 122k ∴=⨯=， ∴反比例函数的解析式为22y x=， 点(2,)B m -在反比例函数22y x =的图象上， 212m ∴==--， 则点B 的坐标为(2,1)--，由题意得，221a b a b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得，11a b =⎧⎨=⎩， 则一次函数解析式为：11y x =+；（2）由函数图象可知，当20x -<<或1x >时，12y y >；（3）AD BE ⊥，2AC CD =， 30DAC ∴∠=︒， 由题意得，213AD =+=，在Rt ADC ∆中，tan CD DAC AD∠=，即3CD =，解得，CD =，当点C 在点D 的左侧时，点C 的坐标为(11)-，当点C 在点D 的右侧时，点C 的坐标为1，1)-，∴当点C 的坐标为(11)-或1，1)-时，2AC CD =．。