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10.1.2事件的关系和运算学习目标核心素养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算素养.【自主预习】事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B A(或A B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B，记作(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示(或)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示(或)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示，图形表示思考1：一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)【基础自测】1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为() A．至多做完3套练习题B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题D．至少做完3套练习题2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是() A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3【合作探究】【例1】(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【规律方法】判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．【跟踪训练】从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有1个红球；(3)至少有1个白球，都是红球．[探究问题]1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？【例2】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B ＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路探究](1)分析事件所包含的样本点→判断事件间的关系(2)样本点表示各事件→进行事件的运算[母题探究]1．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.2．用事件A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：①B∪D；②C∪D.【课堂小结】1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．【当堂达标】1．判断正误(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．()(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．()2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为．4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？【参考答案】【自主预习】事件的关系和运算(1) 一定发生⊇⊆相等A＝B(2) 至少有一个A∪B A＋B(3) 同时A∩B AB(4) 不能同时发生A∩B A∩B＝∅A∩B＝∅－(5) A∩B＝∅AA∩B＝∅A∪B＝Ω思考1：[提示]A＝C∩D.思考2：[提示]根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．【基础自测】1．B[至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]2．C[A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.]3．C[设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.]【合作探究】【例1】(1)C[③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.](2)[解]依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．【跟踪训练】[解]给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．[探究问题]1．[提示]事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B 中的样本点构成的．2．[提示]事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B 中的样本点构成的．3．[提示]“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．【例2】[解]在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，(2)事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．[母题探究]1．[解]A∩C＝A，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．2．[解]B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.【当堂达标】1．[提示](1) 错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．(3) 错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．[答案](1)×(2)√(3)×2．C[从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]3．②[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]4．[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故C∩A＝A.。
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
对偶问题例题对偶问题又称为对频问题或对偶配对问题，是指给定两组元素，要求找出其中满足某种条件的元素对。
对偶问题经常出现在数学、计算机科学和逻辑学等领域中，涉及到了集合论、图论、逻辑推理等多种知识。
下面通过一些例题和相关参考内容来介绍对偶问题的求解方法和常用技巧。
例题1：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中至少有一门课及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A和B的交集的概率，即求A∩B的概率。
参考内容：1. 概率论基本概念：概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用0到1之间的数值来表示。
事件的概率等于事件发生的次数与总次数的比值。
2. 交集和并集的概率：对于两个事件A和B，其交集的概率可以表示为P(A∩B)，并集的概率可以表示为P(A∪B)。
计算交集和并集的概率需要用到概率的加法规则和乘法规则。
3. 对偶问题的求解方法：对于这个问题，可以利用对偶的思想来求解。
由于已知A的概率为0.8，所以A的对偶事件A'的概率为1-0.8=0.2。
同样，B'的概率为1-0.7=0.3。
根据对偶的乘法规则，可以求得A'∩B'的概率。
然后，通过对偶的加法规则，可以计算出A∪B的概率，即至少有一门课及格的学生的概率。
例题2：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中两门课都不及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A'∩B'的概率，即求两门课都不及格的学生的概率。
