六年级奥数第06讲-设数法解题(学)

设数法解题（2）例1：五年级三个班的人数相等，一班的男生人数与二班的女生人数相等，三班的男生人数是全部男生人数的52，全部的女生人数占全年级人数的几分之 几？练习：1、某班期末考试中，男生平均分为82分，女生平均分为85分，其中男生占全班人数的52，求全班平均分。

2、阳光小学合唱团中有31是男生，今年六年级毕业一部分学生后，总人数减少 了72，此时男生占学生总数的51，求男生减少了几分之几？3、已知甲校学生人数是乙校学生人数的53，甲校女生是甲校学生人数的125，乙 校男生是乙校学生人数的209，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之 几？例2：小林要买一些圣诞卡，由于圣诞卡减价20%，用同样多的钱他可以多买6 张。

问：小林原来可以买多少张圣诞卡？练习：1、由于物价上涨，练习本单价上涨10%，老师用同样多的钱比原来要少买5本。

老师原来可以买多少本练习本？2、圆环外圆周长比内圆周长多25.12厘米，求环宽。

能力检测：1、某班一次考试，平均分为70分，其中43及格，及格的同学平均分为80分， 那么不及格的同学平均分为多少分？2、某班男生人数是女生的32，男生平均身高138厘米，全班平均身高为132厘 米。

问：女生平均身高多少厘米？3、有一堆苹果，平均分给甲、乙两班的每个人，第人分得6个；若只分给甲班， 则每人分得10个；若只分给乙班，那么每人分得几个？4、 一、二两班人数相等，一班男生是女生的32，二班男生是女生的54。

这两个 班的男生总数是女生总数的几分之几？5、育红小学科技兴趣小组去年男生人数是女生人数的54，今年男生增加了203， 女生减少了51。

今年科技兴趣小组的男生人数是女生人数的几分之几？6、妈妈准备买一些面包，面包店每到晚上8：00后，面包会减价30%，那么用 同样多的钱晚上可以多买3个面包，请问妈妈原来准备买几个面包？7、有两个同心圆，内圆周长比外圆周长小31.4厘米，求两圆之间的距离。

第九周设数法解题专题简析：在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

例题1：有一批饼干平均分给幼儿园大、小两个班，每人分得12块。

如果只分给大班的同学，每人可分得21块；如果只分给小班的同学，每人分得多少块？解：设这批饼干共有84块。

大、小两个班有：84÷12＝7（人）大班有：84÷21＝4（人）小班的同学，每人分得：84÷（7－4）＝28（块）练习1：1.有一批苹果分给幼儿园大、小两个班的小朋友，平均每人可得6个，如果分给大班小朋友，平均每人可得10个．如果只分给小班小朋友，每人平均可得几个?2.张老师去买课桌椅，他带的钱只买课桌可买40张，只买椅子可买60把，一张课桌配一把椅子为一套，那么最多可买课桌椅多少套？3.某班女同学的人数是男同学的一半。

男同学的平均体重是42千克，女同学的平均体重是39千克。

全班同学的平均体重是多少千克？足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降价多少元？ 【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。

为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+15）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。

即：15－15×（1+15）÷2＝6（元） 答：每张票降价6元。

说明：如果设原来有a 名观众，则每张票降价：15－15a ×（1+15）÷2a ＝6（元） 练习21. 某班一次考试，平均分为70分，其中34及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？2.足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了1/5，则一张门票降价了几元？3.某公司彩电按原价格销售，每台获利润60元；现在降价销售，结果彩电销售量增加了一倍，获得的总利润增加了0.5倍，则每台彩电降价______元。

小学数学难题特殊解题方法：设数法小学数学难题特殊解题方法：设数法【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。

为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。

这种方法就是设数法。

设数法是假设法的一种特例。

给哪一个未知量设数，要便于快速解题。

为了使计算简便，数字尽可能小一点。

在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。

若单位“ 1”未知，就给单位“1”设具体数值。

例1 判断下列各题。

（对的打√，错的打×）（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1.（）（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。

（）以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。

第（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。

由上表看出，正方体的棱长扩大2倍，体积扩大8倍；棱长扩大4倍，体积扩大64倍……这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。

几分之几?分析：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。

男生人数则为女生人数比男生人数少几分之几，则为解：通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。

分析：这道题似乎条件不够，不知从何下手。

不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。

假设去时每小时走20千米，那么A、B两地的路程就是：沿原路回家的速度则为：回家时所需的时间则为：解：把全路程看作单位“1”。

例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。

（1993年数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷）分析：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。

第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142． 因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】 由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数． 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】 找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲 和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒． 则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒 所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时． 而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时． 设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25． 所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟． 有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程． 甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度． 有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈， 所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒． 此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程． 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒． 所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++； 乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。

《举一反三》六年级奥数教案一、教学内容：举一反三P44—P48二、教学目标：1、学会用“设数法”解题。

2、理解所设的数只要便于列式计算，它们的大小与解答的结果无关。

三、教学难点：怎样设数才能使解题最简便。

四、教学设计：1、复习上次课所学内容，讲解作业。

P40疯狂操练2（1）P40疯狂操练2（2）2、新课内容I、为什么要设数？【例题1】：如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）个△。

【分析】：由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。

总结：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

有些题目直接解答比较困难，设一个具体数后，解答的难度可以适当降低，也便于理解，这种方法叫做设数法。

【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？【分析】：初看似乎缺少观众人数这个条件，如果设原来有a名观众，则每张票降价：15-15a×(1+1/5)÷2a=6（元）。

方法二：见书P45例题2【思路导航】答：略。

总结：在用设数法解题时，我们知道所设的数只要便于列式计算，它们的大小（但不能是0）与解答的结果没有关系。

所以我们设的这个数要尽量方便计算。

II、怎样设数？怎样设数最简便？【例题3】小王在一个小山坡来回运动。

先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

【分析】：很多同学看到题目后，立刻列出算式：(200+240+150+200)/4。

切记：求平均速度时，我们用公式：平均速度=总路程/总时间。

1）为什么设单程路程：我们知道平均速度=总路程/总时间，要求小王的平均速度，题目所给条件似乎不够，此时，我们可以假设总路程（4个单程路程之和）或总时间（4个单程时间之和），又4个单程时间都不同，所以我们假设总路程要更简便。

我们在解答一些数学问题时，会发现其中的一些数量关系改变后，并不影响整个问题的解答，这时我们可以考虑用一个具体的数字来替代，便问题变得简单。

这种将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做设数法。

一些百分数问题、工程问题及许多组合问题和解传统的数论问题均可用设数法解决。

常见的设数方式有:对点设数、对线段设数、对区域设数及对其他对象设数等。

[例1] 去年实验小学参加各种体育兴趣小组的同学中，女生占总数的1／5，今年本校的学生数与去年一样，为迎接2008年奥运会，全校今年参加各种体育兴趣小组的学生增加了20％，其中女生占总数的1／4。

那么。

今年女生参加各种体育兴趣小组的人数比去年增加百分之[例2]如果一个三角形的底边长增加10％，底边上的高缩短10％，那么这个新三角形的面积是原来三角形面积的分析与解答(用设数法)设原三角形的底是4，高是2，则原三角形的面积为[例3】某水果店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克0．84元，从产地到水果店距离200千米，运费为每吨每运1千米收1．20元，如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润，零售价应是分析与解答假设收购苹果1000千克，则成本为:1000×0．84+l×200×1．2=1080 (元)，在运输及销售过程中损耗1000×10％=100(千克)，剩下1000-100 =900(千克)，要想实现25％的利润，必须卖出后收回1080×(1+25％)= 1350(元)，故零售价应是每千克1350÷900=1．5(元)。

[例4]有两个杯子，甲盛水，乙盛果汁，先将甲杯的水倒进乙杯，使乙杯里的液体增加一倍，调匀；再将乙杯的果汁倒进甲杯，使甲杯的液体增加一倍，调匀；再将甲杯的果汁倒进乙杯，使乙杯内的液体增加一倍……，如此倒五次，最后乙杯里果汁占果汁水的百分之几?思路剖析本题中甲、乙两杯的容量均不可知，但考察题意，经过若干次的变动后，乙杯果汁与水的比例跟开始容量无关，为便于计算，可先对甲、乙杯中容器进行数字假设。

设数法解题【知识点】有些题条件比较少，解题时无法下手，对于这类题我们可以将某一个或几个条件假设成一些简单好算的数量，然后依据题目中的条件与假设的数量作推算，可以使题得到巧妙的解答，这就是设数法解题。

设数运算时要注意：（1）假设的数字在后面的运算中要简单好算，尽量降低计算难度，假设的数一般是几个数的最少公倍数。

（2）假设的数不能影响最后计算的结果。

【练习题】1、 一列火车往返于A 、B 两地之间，已知上行速度为每小时60千米，下行速度为每小时80千米。

那么火车往返于A 、B 两地的平均速度是多少？（6874千米／小时）2、 甲、乙两车同时从A 地出发到B 地，甲车速度是乙车速度的53，当乙车到了B 地后立即返回，在途中和甲车相遇，已知两车从出发到相遇用了60分钟。

甲、乙两车在A 、B 两地往返一次各用多长时间？(甲车232小时，乙车153小时)3、 某校入学考试招考学生中有31被录取，录取者平均分比录取分数线高6分，没被录取的学生的平均分比录取分数线低24分。

所有考生的平均成绩是60分，那么录取分数线是多少分？（74）4、足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加20％，问一张门票降价多少元？（6元）5、 猎狗发现离它35米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻紧追上去，兔跑7步路程狗只需跑4步，但狗跑3步的时间兔却能跑4步。

狗至少跑出去多远才能追上兔子？（147米）6、 一只狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。

问：狗追上兔子时，兔子跑出多远？（280）7、 某商品按获利的40％定价，实际打八折出售，每件实际获利率是多少？（12％）8、 有浓度为30%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%,若再加入同样多的水后，浓度变为百分之几？（6%）9、 商店进回一批本子，按获利20％定价，当按定价售出了60％后，为了尽快售完，剩下的打折出售，最低打整几折出售，才能不亏本儿有微利？(六折)10、 六年级三个班的人数相等。

第七讲 设数法解题一、精典例题例1：如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。

解： 由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。

说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

例2：足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加51，问一张门票降价多少元？ 【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。

为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+51）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。

即： 15－15×（1+51）÷2＝6（元） 说明：如果设原来有a 名观众，则每张票降价： 15－15a ×（1+51）÷2a ＝6（元） 例3：小王在一个小山坡来回运动。

先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。

则四个单程的和：1200×4＝4800（米），四个单程的时间分别是；1200÷200＝6（分）；1200÷240＝5（分）；1200÷150＝8（分）；1200÷200＝6（分）；小王的平均速度为：4800÷（6+5+8+6）＝192（米）说明：（200+240+150+200）÷4＝197.5（米）是速度的平均数，不是平均速度。

例4：某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多51，女孩平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。

设数法解题姓名成绩一、填空。

（每空1分, 共20分）1．在一次英语考试中, 甲比乙高4分, 乙比丙低3分, 丙比丁高5分, 甲与丁比（）考得高, 高（）分。

2. 小张开车往返A.B两地, 平均速度为每小时80千米, 如果他去时平均每小时行60千米, 那么他回时平均速度是每小时（）千米。

解决本题时设路程为（）千米最合适。

3. 甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货, 从甲仓库运60吨到乙仓库, 从乙仓库运45吨到丙仓库, 从丙仓库运55吨到甲仓库, 这里（）仓库的货最多, （）仓库的货最少, 这两个仓库的货相差（）吨。

解决本题时设甲、乙、丙三个仓库原有（）吨货物最合适。

4．某班一次考试, 平均分为85分, 其中及格, 及格的同学平均分为90分, 那么不及格同学的平均分是（）分。

5. 有一堆苹果平均分给甲、乙两班的每个人, 每人得6个苹果。

若只分给甲班, 则每人得10个苹果。

如果只分给乙班, 那么每人得（）个苹果。

6．A桶中的水是B桶中水的, 如果将B桶中水的倒入A桶, 那么这时A桶中的水是B桶中水的（）。

7．一次考试共有5道试题。

做对第1, 2, 3, 4, 5题的分别占参加考试人数的81%, 91%, 85%, 79%, 74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是（）。

解决本题时设参加考试人数为（）人最合适, 此时参加考试的人总共做错（）道题。

8. 猎人带猎狗去捕猎, 发现兔子刚跑出40米, 猎狗去追兔子。

已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步, 猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等, 当兔子再跑（）时, 猎狗可以追到它。

解决本题时应设（）。

9. 小明上山时的速度是每分钟150米, 下山时的速度是每分钟200米, 那么他上山后又沿原路下山的平均速度是每分钟（）米。

解决本题时设上山（即下山）的路程为（）米最合适。

10. 商店购进甲、乙两种不同的糖, 所用成本的比为, 已知甲种糖每千克6元, 乙种糖每千克2元。

用设数法解题在数学应用题中，常常遇到一些题目中有多个未知数的情况，而有些未知数对于答案本身没有影响，解答时又不能确定其结果。

这时，就可以采用“设数代入法〞，即对题目中的未知条件，假设一个具体数〔假设的这个数要尽量方便计算〕或一个字母代入，然后求出解答。

例1：如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝〔〕个△。

分析：直接用图形互相代换，显然要多费周折。

由第1个等式，可以设□＝2，那么△＝3。

根据第2等式，可知☆＝8－3＝5。

因此☆☆□＝5×2＋2＝12。

例2：小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米。

求小华上山后又沿原路下山的平均速度。

分析一：设这段路程共有12千米，那么上山的时间为：12÷3＝4〔小时〕，下山的时间为：12÷6＝2〔小时〕，小华上山后又沿原路下山的平均速度为：总路程÷总时间＝〔12×2〕÷〔4＋2〕＝4〔千米/小时〕分析二：设这段路程共有a千米，那么上山的时间为：a÷3＝31a〔小时〕，下山的时间为：a÷6＝61a〔小时〕，小华上山后又沿原路下山的平均速度为：总路程÷总时间＝〔a×2〕÷〔31a＋61a〕＝2a÷21a＝4〔千米/小时〕【说明】分析二中的未知数a，参与了算式的构建和运算，在解答过程中会自动抵消，无法确定其具体数目。

这样的未知数称为辅助未知数。

例3：某班一次数学考试，平均分为70分，其中43及格，及格的同学平均分为80分。

那么不及格的同学平均分是多少？分析：题目中有多个未知数，其中全班人数的多少与答案无关。

可假设全班共有60人。

因此，全班数学考试的总分为：70×60=4200〔分〕，及格人数为60×43＝45〔人〕，及格同学的总分为：80×45=3600〔分〕。

不及格同学的人数为：60－45＝15〔人〕，不及格同学的总分为：4200－3600＝600〔分〕，所以不及格的同学平均分为：600÷15＝40〔分〕例4：足球赛门票30元一张，降价后观众增加一半，收入增加41。

设数法解题设数法解题昨天听了“闹闹”老师的一节课，感觉“闹闹”老师在组织教材上下了不少功夫，在教学上，充分地发挥了线段图的作用，教学语言简洁、亲切。

讲练结合，符合小学生的认知规律。

由于是同行，我想把自己的一些不成熟的想法说出来，与大家共勉，不到之处，敬请批评指正。

设数法解题是小学数学用代数法解题前的一种解题技巧，在教学时，要让学生明确：为什么要设数？怎样设数？设数的方法有多少种？哪种设数方法好？例题李师傅骑自行车往返甲乙两地。

去时每小时行15千米，返回时，由于逆风每小时行10千米。

李师傅往返甲乙两地的平均速度是多少？分析：由于问题是求“李师傅往返甲乙两地的平均速度”，那么我们首先就要弄清楚，“平均速度”的意义，它不同于“平均时间”、“平均路程”，不能用来回速度的平均数来表示，而要用“来回的总路程”除以“来回的总时间”。

但是，题目只给出了来回的速度分别是“每小时15千米”与“每小时10千米”没有“来回的总路程”，也没有“来回的时间”，因此我们就要设数帮助解题。

那么我们设出什么数能解答这道题呢？方法一：设甲乙两地的距离或来回的总路程，为方便起见，我们设两地相距30千米（尽量是15和10的公倍数，这样计算时就不会出现小数或分数），进而求出来回的时间，再根据平均速度的意义求出结果。

解：30×2÷（30÷15+30÷10）=60÷（2+3）=60÷5=12（千米/小时）答：李师傅往返甲乙两地的平均速度是12千米/小时。

（你发现了吗：这个12与15和10的平均数12.5是不想等的！）方法二：设出去时用的时间，再求出甲乙两地的距离也能求出结果。

例如设去时用了4小时，那么甲乙两地的距离就是15×4=60（千米），回来时用的时间就是60÷10=6（小时）进而求出来回的平均速度。

解：15×4×2÷（4+15×4÷10）=60×2÷（4+60÷10）=120÷（4+6）=120÷10=12（千米/小时）答：李师傅往返甲乙两地的平均速度是12千米/小时。

第六讲 变速行程问题本讲知识点汇总：一．普通变速问题的求解普通变速问题的求解 1．分段比较分段比较 在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程．在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程． 2．假设法比较假设法比较 假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．3．方程方程 设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．二．带有往返的变速问题带有往返的变速问题 1．熟记“甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点：熟记“甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点： （1） 甲乙异侧出发：当路程和为1、3、5、…个全长时，两人迎面相遇；、…个全长时，两人迎面相遇；当路程差为1、3、5、…个全长时，两人追上；、…个全长时，两人追上；（2） 甲乙同侧出发：当路程和为2、4、6、…个全长时，两人迎面相遇；、…个全长时，两人迎面相遇；当路程差为2、4、6、…个全长时，两人追上；、…个全长时，两人追上；（3） 注意“相遇”和“迎面相遇”的区别，“相遇”包括迎面相遇和背后追上．“相遇”包括迎面相遇和背后追上．（4） 当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上．当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上．2．对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇；对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇； 3．对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇几次．几次．三．环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期．例1．骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时10千米的速度行进，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到．时到．（1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？（2）如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？时到，应以怎样的速度行进？「分析」（1）可以利用行程中的正反比例解题；（3）确定出发时间很重要．）确定出发时间很重要．练习1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是3:2:1．已知小红帽在三种路段上走的速度比为3:4:5，且在平路上行走的时间是10分钟．分钟．那么小那么小红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？例2． 八戒和沙僧兄弟俩去巡山．八戒先走5分钟，沙僧出发25分钟后追上了八戒．如果沙僧每分钟多走500米，那么出发20分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？ 「分析」本题可以利用行程中的正反比例解题．本题可以利用行程中的正反比例解题．练习2、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶半小时，再将车速提高30千米/小时，可提前30分钟到达，甲乙两地的距离是多少千米？少千米？例3． 某人开汽车从A 城到相距200千米的B 城．开始时，他以56千米/时的速度行驶，但途中因汽车故障停车修理用去半小时．为了按原定计划准时到达，他必须在后面的路程中将速度增加14千米/时．他修车的地方距A 城多少千米？城多少千米？「分析」本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题．本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题．练习3、叔叔开车回家，原计划按照40千米/时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？时到家？例4．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720万千米，再将速度提高三分之一，再将速度提高三分之一，也可以比预定时也可以比预定时间提前半小时到．请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题．练习4、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，提高五分之一，就可比预定时间提前就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？例5．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，在途中C 点相遇．如果甲的速度增加10%，乙每小时多走300米，也在C 点相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C 点相遇．那么两人相遇时距B 多少千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题，途中每次相遇均在C 点这个条件很重要．例6．甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的六分之一．排除故障后，乙提高车速60%，结果甲乙同时到达B 地．那么A 、B 两地之间的距离是多少千米？两地之间的距离是多少千米？「分析」这道题目可以采用列方程的办法解题．数学家欧几里得亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”．他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．被广泛的认为是历史上最成功的教科书．被广泛的认为是历史上最成功的教科书．欧几里得也写了一些关欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人．最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基．在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性．大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明．因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，土地开发和利用的增多，土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋．欧几里德通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势．他下定决心，要在有生之年完成这一工作．为了完成这一重任，欧几里德不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷．文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷．在此地的无数个日日夜夜里，在此地的无数个日日夜夜里，在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解．经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书．这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何．课 堂 内 外作业作业1． 哼哼去奶奶家，途中要经过泥路、土路和水泥路各一段，路程比是3:6:15．已知哼哼在三种路段上的行走的速度比为2:3:5，且在土路上行走的时间是20分钟．分钟．那么哼哼去奶那么哼哼去奶奶家路上一共花了多少分钟？奶家路上一共花了多少分钟？2． （1）丽丽从家走到学校，如果速度提高五分之一，会早5分钟到，按原来的速度需要多长时间到？多长时间到？ （2）丽丽从学校走到家，如果速度减少五分之一，会晚6分钟到，按原来的速度需要多长时间到？多长时间到？3． （1）墨莫从金源走到海文，如果速度增加5米/秒，时间减少六分之一，原来的速度是多少？多少？（2）墨莫从金源走到海文，如果速度减少6米/秒，时间增加六分之一，原来的速度是多少？多少？4．路三三开车回家，原计划按照10千米/时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有5.5千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？5．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村，如果将车速提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720万千米，再将车速提高三分之一，再将车速提高三分之一，也可比预定时间提也可比预定时间提前半小时到．那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？前半小时到．那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？第六讲 变速行程问题例7． 答案：（1）60（2）12．解答：（1）速度之比是10:15，即2:3，所以时间之比是3:2，所以1份时间是2小时，即以速度是10千米每小时会6小时到，即距离是60千米，且出发时间是上午7点；（2）60除以5即可，所以，速度是12千米/时．时．例8．答案：10000． 解答：第一种情况下时间之比是30:25，即6:5，所以速度之比是5:6；第二种情况下时间之比是25:20，即5:4，所以速度之比是4:5．八戒的速度没有改变，所以有20:24和20:25，一份即500米，所以八戒每分钟走10000．例9．答案：60． 解答：故障前后的速度比是56:70，即4:5，时间比是5:4，时间相差半小时，即按原速的时间走完剩下的路程需要2.5小时，所以路程是140千米，那么修车的地方距离A 城60千米．千米．例1010．． 答案：13806、94365．解答：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．例1111．． 答案：648．例1212．． 答案：83．解答：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第1n +个数应为125的倍数，即31125n k +=，可知k 取2时符合要求，此时n 为83．练习：练习：练习1、答案：30．简答：路程除以速度等于时间，所以时间之比是2:3:1，平路是3份时间花了15分钟，所以一共要30分钟．分钟．练习2、答案：225．简答：第一种情况下速度之比是5:6，时间之比是6:5，提前25分钟到，即原来所用的时间是2.5小时；第二种情况下时间比是2:1.5，即时间比是4:3，速度比是3:4，此时车速提高了30千米每小时，所以原来的速度是90千米每小时．则路程是225千米．千米．练习3、答案：60．简答：根据：=总路程平均速度总时间，结合设数法可得：设全程为240千米，后半程速度要达到240120120=604030⎛⎫÷- ⎪⎝⎭千米/时．时．练习4、答案：216．简答：本题解法类似例4．作业作业1. 答案：65分钟．分钟．简答：时间之比是3:4:6，所以时间是65分钟．分钟．2. 答案：30分钟；24分钟．分钟．简答：（1）速度比是5:6，所以时间比是6:5，时间是30分钟；分钟； （2）速度比是5:4，所以时间比是4:5，时间是24分钟．分钟．3. 答案：25米/秒；42米/秒．秒．简答：（1）时间比是6:5，所以速度比是5:6，时间是25米/秒；秒； （2）速度比是6:7，所以时间比是7:6，时间是42米/秒．秒．4. 答案：55千米/小时．小时．简答：设路程为1，则一半路程就是二分之一，列方程可得答案是55．5.答案：2160万千米．万千米． 简答：车速比是5:6，时间比是6:5，所以预定时间是3小时；车速提高三分之一时，速度比是3:4， 时间比是4:3，所以按原速除了720千米的路程需要2小时，小时，所以速度是所以速度是720万千米每小时，万千米每小时，所以地球村所以地球村和火星村之间的路程是2160万千米．万千米．。

六年级奥数——设数法解题2019.06一、知识要点在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

二、精讲精练【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。

【思路导航】由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。

说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

练习11. 已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。

2. 五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15 ，问一张门票降价多少元？【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。

为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+15）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。

即：15－15×（1+15 ）÷2＝6（元）答：每张票降价6元。

说明：如果设原来有a 名观众，则每张票降价：15－15a×（1+15 ）÷2a ＝6（元）练习21. 某班一次考试，平均分为70分，其中34 及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？2. 游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？【例题3】小王在一个小山坡来回运动。

先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第06讲-设数法解题授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 读懂题目表达的意思；② 能够快速找出所给题目中缺少的条件； ③ 能够设出所缺条件，列出式子求解。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

例1、如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。

【解析】由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。

说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

例2、五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？【解析】设戊是100厘米高，可推出甲是101厘米高。

101-100= 1（厘米）答：甲高，甲比戊高1厘米。

例3、足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？【解析】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。

为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+1/5）＝18元，则降价知识梳理典例分析步的时间为85。

26÷（1÷85 －49 ）＝144（步）P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨？【解析】乙仓最多，丙仓最少，设甲、乙、丙三个仓库原来各有100吨，可推出这时乙有115吨，丙有90吨。

设数法解题设数法解题是一种常用的数学解题方法，它通过设定未知数，并借助逻辑推理和数学关系进行求解。

设数法在数学问题解决过程中发挥着重要作用，尤其对于一些复杂的问题，通过恰当的设数可以简化问题，提高解题效率。

本文将介绍设数法解题的基本思路和实践方法。

设数法解题基于设定未知数的思想，在解题过程中，我们可以自行设定一个或多个未知数，并根据问题的情况，逐步推理解题。

设数法的关键是根据问题中的条件以及已知信息设定未知数，并利用这些未知数之间的关系，逐步推导出答案。

下面将通过几个具体例子来说明设数法的应用。

首先，设数法在解决实际问题时常用。

例如：小明的年龄是小红年龄的2倍，而小红的年龄是小华年龄的3倍，现在他们三个人的年龄总和是50岁，请问三个人的年龄各是多少？这个问题可以通过设定一个未知数来解决。

假设小华的年龄为x岁，那么小红的年龄为3x岁，小明的年龄为6x岁。

根据题目中的条件可得到3x+6x+x=50，解方程可以得到x=5，因此小华的年龄为5岁，小红的年龄为15岁，小明的年龄为30岁。

其次，设数法在解决几何问题时也很有实用性。

例如：一个三角形的两边之和等于第三边的长度的一半，且这两条边分别是5和8，求这个三角形的周长。

对于这个问题，我们可以设定未知数表示第三边的长度。

假设第三边的长度为x，根据题目中的条件可得到5+8=0.5x ，解方程可以得到x=26，因此这个三角形的周长为5+8+26=39。

此外，设数法还可以用于解决复杂的代数方程。

例如：已知某数的平方与这个数的和等于12，求这个数的值。

这个问题可以设定一个未知数表示这个数。

假设这个数为x，根据题目中的条件可得到x^2+x=12，移项后得到x^2+x-12=0，通过求解这个一元二次方程，可以得到x=3或x=-4。

因此，这个数的值可以是3或-4。

最后，设数法解题的关键在于设定合适的未知数，并根据问题条件和未知数之间的关系进行逐步推导。

不同的问题可能需要不同的未知数设定，所以在实践中需要根据问题的特点进行合理的选择。

小学奥数——设数法当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。

实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解题方法。

在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。

（一）设具体数量1、一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行驶30千米；返回时逆水，每小时行驶20千米。

求这艘轮船往返的平均速度。

解：甲、乙两港之间的路程没有给，要求往返的平均速度就比较困难。

我们可以设甲、乙两港之间的路程为60千米（60是轮船往返速度30和20的最小公倍数）。

这样去时用的时间是：60÷30=2（小时）返回时用的时间是：60÷20=3（小时）往返一共用的时间是：3+2=5（小时）往返的平均速度是：60×2÷5=24（千米/小时）综合算式：60×2÷（60÷30+60÷20）=120÷（2+3）=120÷5=24（千米/小时）答略。

2、如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）个△。

解：由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括号内应填4。

说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

3、足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？【思维导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一个观众数。

为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+1/5）＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。