函数图像的对称专题一、图像的对称变换（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像____ 去下翻上_____得到；“去下翻上”详解：x 轴及其上方的图像不动，x 轴下方的图像（如果有的话）沿x 轴对称翻折到x 轴上方. （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像______去左翻右____得到。
“去左翻右”详解：y 轴及其右边的图像不动，y 轴左边的图像（如果有的话）去掉 ，并将y 轴右边的图像沿y 轴对称翻折到y 轴左边.（3）关于,(,)x a y b y x a b ===，， 的对称翻折见二（二） 【例1】(1)2()2||3f x x x 的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)2()|2||3|f x x x k 的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)(3)若2()|2||3|f x x x k 有6个零点，则k 的取值范围是________.(3,4)二、 图像的对称（一）自对称图一图二 图三1.基本结论：（1）若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称（图一）． 特殊化： ()()f a x f a x -=+⇔()y f x =的图象关于直线x a =对称； 再特殊化： ()()f x f x -=⇔()y f x =的图象关于直线0x =对称；（2）若()y f x =满足()()f a x f b x +=--，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称（图二）． 特殊化： ()()f a x f a x -=-+⇔()y f x =的图象关于点(,0)a 对称； 再特殊化： ()()f x f x -=-⇔()y f x =的图象关于点(0,0)对称.一般化：()()2()2()f a x f a x b f a x b f a x -++=⇔-=-+()2(2)f x b f a x ⇔=--()y f x ⇔=的图象关于点(,)a b 对称（图三）．2.核心原理：中点坐标公式.从而易得()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+3.梳理成表格：一般情况关于直线___对称)()(x b f x a f -=+差个 负号 ↔ )()(x b f x a f --=+关于点___对称 特殊化：上式b a =时 关于直线___对称 )()(x a f x a f -=+ 差个 负号 ↔ )()(x a f x a f --=+关于点___对称 更特殊：上式0=a 时关于 ___对称 )()(x f x f -=差个 负号 ↔)()(x f x f --=关于 ___对称3.核心原理：中点坐标公式【例2】（1）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；1x = （2）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；2x =-（3）若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．2x = （4）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；(10)， （5）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________；(20)-， （6）若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．(21)， （7）已知函数1(bx f x x a-=-满足6)2()(=-+x f x f ，则=a ________;=b _________.1,3 （8）已知函数1312()(1)12x x f x x ---=+-++,则(2)()f x f x -+=______________.2 (9)已知函数()y f x =的图象关于1(,)2对称，则1()()...20222022f +2020...()2022f +2021()2022f +=_________.20212. （二）两个函数图像的对称初步（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于________对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于______对称； （4）函数)2(x a f y -=的图像与函数()y f x =的图像关于______对称（图四）； （5）函数2()y b f x 的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称（图四）；图四（6）函数2(2)ybf a x 的图像与函数()y f x =的图像关于_________对称（图四）；（7）函数)(y f x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线_________对称. 核心原理仍然是_____中点坐标公式______（图四）.【例3】(1) 函数1lg600100y x=-与 x y lg =的图像关于______对称.(3,1)-（2）已知x x g lg )(=， )(x f 的图像与)(x g 的图像关于)1,2(对称，则)(x f 的解析式是________. (3)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析:C 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．三、图像的应用（综合练习与巩固）【1】将函数()f x 的图象关于y x =对称，然后向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（）BA ．()ln 1f x x =-B ．()ln 1f x x =--C ．()1ln f x x =-D ．()1e xf x --=【2】若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2解析：A 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.【3】对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确是_______________. 解析: ①②.作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【4】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为__________.0A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算解析:由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+，∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4，∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．【5】若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-+，且与直线2y kx k =-交于四个点，则这四个点的横坐标之和x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =__________.8.【6】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程()12xf x -=的解的个数为______. 3 【变式一】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x =的解的个数为______. 5 【变式二】 已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x ≤的解集为__________. (,6][2,0][22,4]-∞--+【7】已知函数2()2||1f x x x =+-,则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析:D.函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.思考： 若上题的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，呢？【8】已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][23,+)∞B ．(0,1][3,)+∞C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞解析:B.在同一直角坐标系中，分别作出函数221()(1)f x mx m x m ⎛=-=-⎝与()g x x m =+的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意． （2）当1m >时，10m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点，只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）．综上所述，(][0,13),m ∈+∞．故选B ．【9】函数0.5()|log |2x f x x -=的零点个数为________．解析:2.由()0f x =，得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的图象， 由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点．【变式一】函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________． 解析：2.由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.【变式二】0.5()|log |(0)f x x k k =->的零点是1,x x ，则（ ）A A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【变式三】0.5()|log |2xf x x -=的零点是1,x x ，则（ ）B A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【10】（波浪锯齿形）若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x -=，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有_______个.解析: 4.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.【11】（波浪锯齿形）定义在R 上的奇函数f （x ），满足(2)()f x f x -=，且f （x ）在区间[0，1]上 是减函数，则（ ）C ．A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．f （x ）的图象关于直线(3,0)-对称C ．(3)(2018)(2019)f f f -<<D ．[11，12] 是f （x ）的一个单调增区间 【12】已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0 在 R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令 F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出 F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．四、真题赏析（全国卷中的对称）全国卷是“对称热爱狂”.新课标高考十六年以来（2007-2022）的和新高考三年以来（2020-2022），全国卷函数小题大约有共120道左右的，和对称有关的真题超过40道，占三分之一，是函数板块第一高频考点.现积累如下. 1.基础的对称【1】（2007全国一，文9，理9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【2】（2014全国一，文5，理3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ） A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数【3】（2014全国二，文15）偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.3【4】（2008全国一，理9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ D ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx-<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.【5】（2014全国二，理15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.（1,3-）【6】（2020新高考全国一卷8）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【7】（2004全国一，理2，文,2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（ ） A ．b B ．－b C ．b 1D ．－b1【8】（2009全国二，文3）函数22log 2xy x-=+的图像（A ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【9】（2017全国一，文9）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则( C ) A ．()f x 在（0,2）单调递增 B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称【10】（2018全国三，文7）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称 的是（B ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【11】（2021全国乙，文理4）设函数1(1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得1()11xf x x-==-++，对于A ，()2112fx --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()212f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【12】（2015全国一，理13）若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =.【13】（2021新高考全国一，13）已知函数()()32xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()32xx a f x -=⋅-，故()()32xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()32222xx x x xa x a -⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：1【14】（2007全国一，文、理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =__________．【15】（2008全国一，文8、理6）若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ）A ．21x e -B ．2xe C ．21x e +D ．22x e +【16】（2008全国二，文4、理3）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【17】（2012全国新课标，理12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）()A 1ln 2- ()B2(1ln 2)-()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+解析:函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e d -=,设函数min min 111ln 2()()1()1ln 222x g x e x g x e g x d -'=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-【18】（2015全国一，文12）设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（C ）（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4此题的出现，提醒我们，理解到本质最重要.否则纲貌似超了，说不超说超纲也不超.【19】（2013全国一，理16）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.16【20】（2018全国二，文12，理11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（C ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【21】（2021全国甲，理12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 94-B. 32-C.74D.52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．955122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，133512222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以935222f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．2.和零点有关的对称问题（或利用对称性求值）见下：1.具体函数对称性【22】（2010全国一理10）已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ A ）(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【23】（2010全国一文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（C ）(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【24】（2011全国新课标文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =， 那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【25】（2010全国一理15）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是. (1,5)4解析:在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,414a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. 【26】（2015全国二文12）设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131--【27】（2016全国二文12）已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ (B)(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【28】（2020全国二理9）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在1(,)2-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x⎫≠±⎨⎩，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1,2x ⎛∈-⎪⎝时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，()ln 12y x =-在1,2⎛-⎪⎝上单调递减，()f x ∴在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛∈-∞-⎪⎝时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x +⎛=----==+⎪-⎝，2121x μ=+-在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，D 正确. 故选：D.【29】（2020全国三理16）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，12622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，12622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎭，则6f π⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛-=-+=--=-+=- -⎝，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝，则2f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③. 【30】（2022全国甲文理5）函数()33cos x x x -=-在区间ππ,2⎡-⎥⎣的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】令()()33cos ,,2xxf x x x ππ-⎤=-∈-⎥⎦， 则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈⎪⎝时，330,cos 0xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【31】（2022全国新高考全国一卷9）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛=++> ⎝的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎝中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得23πππω<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎝对称，所以3,2k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以2,6k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 22f x x π⎛=++ ⎝， 所以5sin 21244f ππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【32】（2022全国新高考全国二卷9）函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛ ⎝中心对称，则（ ）A. y =()f x 在5π0,12⎛ ⎝单调递减B. y =()f x 在π11π,1212⎛-⎪⎝有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴 D. 直线2y =是一条切线【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 03f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛= ⎝．对A ，当5π0,12x ⎛∈⎪⎝时，2π2π3π2332x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛ ⎝上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛∈-⎪⎝时，2ππ5π2322x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π23x +，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π2π3x +，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y ⎛'=+=- ⎝得：2π1cos 23x ⎛+=- ⎝， 解得2π2π2π3x +=+或2π4π2π,3x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝处的切线斜率为02π2cos13x k y =='==-，切线方程为：(0)2y -=--即2y =．故选：AD ．【33】（2022全国新高考全国一卷10）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【解析】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得3x -<<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(103f -=+>，103f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥()03f x f ⎛≥ ⎝，即函数()f x 在3⎛∞ ⎝上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确； 令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误.故选：AC2.抽象函数对称性（或虽为具体函数但是具体函数虚晃一枪的对称）【34】（2009全国一，理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ D ） (A) ()f x 是偶函数(B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【35】（2021新高考全国二8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A. 102f ⎫-= ⎪⎭B. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.【36】（2011全国新课标理12）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于(D) （A ）2 (B) 4 (C) 6(D)8总结：换元后提取对称性【37】（2012全国新课标文16）设函数()f x =(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____解析()f x =22sin 11x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1xx ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M-1，最小值为m －1， ∴110M m -+-=，M m +=2. 总结：拆分后提取对称性【38】（2016全国二，理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m x y x y x y ⋅⋅⋅则1)mi i xy ==∑ （B ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m总结：换元后提取对称性【39】（2017全国三，理11,文12）已知函数211()2()x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（C ）A ．12-B ．13C ．12D ．1总结：换元后提取对称性，背景在课本《必修一》P83,B 组4.【40】（2018全国三文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -= ______．2-【41】（2022全国乙卷理12）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221(k f k==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024.(k f f f f f f f f f k=+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑【42】（2022全国新高考全国一卷12）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f ⎛- ⎪⎝，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛-= ⎪⎝ C. (1)(4)f f -= D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】因为322f ⎛-⎪⎝，(2)g x +均为偶函数， 所以322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即32f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,2x =对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以102g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【43】（2022全国新高考全国二卷8）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221(k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．。
