二阶行列式与逆矩阵精品教案

二阶行列式与逆矩阵【教学目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵【教学重难点】1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵2．运用行列式求逆矩阵【教学过程】一、行列式与矩阵行列式：我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a bc d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。

计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。

矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。

二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。

则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a bA ad bc c d ==-≠。

当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 三、典例剖析设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。

判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围。

四、课堂练习展开下列行列式，并化简（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779矩阵00a d 可逆的条件为 。

行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。

若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。

“逆矩阵”教学设计
一、教学目标：
1.了解矩阵的逆矩阵的概念和性质；
2.掌握求逆矩阵的方法；
3.了解逆矩阵的应用。

二、教学重点和难点：
1.矩阵的逆矩阵的定义和性质；
2.求逆矩阵的方法；
3.逆矩阵的应用。

三、教学过程：
1.导入：通过一个例子引出逆矩阵的概念，让学生了解在矩阵运算中逆矩阵的重要性。

2.讲解定义和性质：介绍矩阵的逆矩阵的定义和性质，说明逆矩阵存在的条件和唯一性。

3.求逆矩阵的方法：
(1)初等变换法：通过初等行变换将原矩阵转化为单位矩阵，然后对该过程逆向操作，即可求得原矩阵的逆矩阵；
(2)公式法：使用逆矩阵的求逆公式来求解逆矩阵。

4.练习与讲解：让学生进行一些简单的逆矩阵求解练习，然后讲解答案，强化学生的记忆和理解。

5.应用实例：
(1)线性方程组的求解：通过逆矩阵来解决线性方程组的求解问题；
(2)矩阵的幂的求解：通过逆矩阵来求解矩阵的幂；
(3)线性变换的逆变换：通过逆矩阵来进行线性变换的逆变换。

6.拓展应用：
(1)应用于概率统计：逆矩阵在概率统计中有着广泛的应用，可以用来求解多元线性模型的系数矩阵；
(2)应用于数值计算：逆矩阵在数值计算中也有很重要的作用，可以用来求解矩阵方程的解。

7.总结归纳：总结逆矩阵的概念、性质和求解方法，让学生对逆矩阵有一个清晰的认识。

四、教学评估：
1.完成练习题目；
2.参与课堂讨论；
3.解答问题。

通过以上教学设计，学生们可以系统地学习逆矩阵的概念、性质和求解方法，掌握逆矩阵的应用技巧，提高数学素养和解决实际问题的能力。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目的熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法重点与难点重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念教学内容一、概念的引入逆矩阵: 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得: AB=BA=E 。

则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。

定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则说矩阵A是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。

A 的逆矩阵记为1-A.,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B. ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====∆则设唯一性 .. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A所以0≠A定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*11A AA =-其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A AA A A ==**11所以有逆矩阵的定义，既有*11A AA=-当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B证1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是111*)()(---=====AE A AB A B A A EB B 方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()()1111----=ABB A AB AB1-=AEA ,1E AA==-().111---=∴A B AB例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵解023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在2.11=A6.21=A 4.31-=A3.12-=A 6.22-=A 532=A2.13=A 2.23=A 2.33-=A于是.A 的伴随矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-111253232311.*1A A A注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；3.利用公式*11A AA =-，求1.-A 三、逆矩阵的运算性质;1, 1. 1AA A -=则可逆若;)(, , 2.111A A A A -=--且也可逆则可逆若;)()(, 则 , 3.11T T T A A A A --=且也可逆可逆若证明：()()TTTA A AA 11--=ΘTE=,E =()().11TT A A--=∴().,,0,10kkAAE A A --==≠定义时当另外()为正整数k有为整数时当,,,0μλ≠A().λμμλA A =;1)( 0 4.11--=≠A kkA kA k A 也可逆，且，则可逆，数若 ;)( 5.111---=A B AB AB B A 且也可逆，为同阶可逆矩阵，则，若;)( ,,, 111211211----=A A A A A A A A s s s ΛΛΛ则为同阶可逆阵若Ⅴ.小结与提问小结：、逆矩阵及其求法、 提问：求逆矩阵应注意什么？。

2019-2020年高二数学二阶行列式教案 上教版【学习目标】1. 通过加减消元法解二元一次方程组理解行列式的定义2. 掌握二元一次方程组的行列式解法【学习重点与难点】用行列式解二元一次方程组【教学过程】1． 自学指导（1） 回忆初中知识，想想我们是如何来解一个二元一次方程组的？（2） 对于一个二元一次方程组（A ）它的解是什么？（3） 观察（A ）的解你能发现其中的特征吗？（4） 课本中行列式是怎么定义的？又是怎么引入的？它的本质是什么？什么是二阶行列式？（5） 你能把方程组（A ）的解用行列式的形式表示出来吗？通过这一步骤，你能体会到二元一次方程组的行列式解法吗？用行列式解二元一次方程组的时候，你觉得应该注意一些什么问题？（6） 用行列式求二元一次方程组有哪些优越性？2． 自学效果检验、点评及拓展（1） 一次方程称之为线性方程，一元方程组称之为线性方程组，则二元一次方程组即二元线性方程组。

（2） 我们以前所学解二元线性方程组普遍应用的都是加减消元法，用加减消元法解得二元一次方程组（A ）的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221212112211221b a b a a c c a y b a b a b c b c x ，通过观察可以发现，它的解的分子、分母都是两数的乘积差。

（3）为了简化，我们用记号（B ） 来表示算式，他的运算法则就是用主对角线两数乘积减去副对角线两数乘积，即对角线法则。

（B ）就是行列式。

（4） 方程组（A ）的解的分子部分用行列式（）的表示方法、方程组（A ）的解整体用行列式的表示方法，要求学生给出。

（5） 行列式的实质是数（或式）的特定算式的一种记号。

（6） 附带介绍二阶行列式、展开式、行列式的值、行列式的元素、系数行列式的概念。

（7）提示学生观察，行列式分别是由行列式D 做怎样的变化而来，便于学生记忆。

3． 例题自学检查学生用行列式解二元线性方程组的能力。

提示学生解题过程中应该注意的问题。

二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。

教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。

教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。

（2）逆矩阵的性质。

二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。

例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。

思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。

表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。

ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。

符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。

当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。

1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。

第四讲二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】a b 如果矩阵A＝c d 是可逆的，则ad bc 0.其中ab cd称为二阶行列式，记作a bc d，即a bc d＝ad bc，ad bc也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：detA或|A| 【可逆矩阵的充要条件】a b 定理：二阶矩阵A ＝c d 可逆，当且仅当detA=ad bc 0.此时d b1det A det AAc adet A det A（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式：①3 14 2②22 132.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

0 1①A ＝1 01 1②B ＝0 01【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式ax bye一般的，方程组cx dy f可写成矩阵形式为：2. 二元一次方程组的线性变换意义a b 设变换：c dx，向量ye、fax bye，则方程组cx dy f，意即：xe＝y f三、逆矩阵与二元一次方程组31x y3221.研究方程组：13x y122的矩阵形式与逆矩阵的关系。

ax bye【定理】如果关于x,y的二元一次方程组cx dy fa b的系数矩阵A＝c d是可逆的，则21x ab该方程组有唯一解：＝y c defax by【推论】关于x,y的二元一次方程组cx dy 0（a,b,c,d,均不为0），有非零解a bc d＝0【应用】3x y 21.用逆矩阵解二元一次方程组4x2y0【思考】课本60页思考ax by ea b的系数矩阵A＝不可逆，方程组的解如何？cx dy fc d3【练习：P61】【应用】a b1.为何值时，二元一次方程组c dx＝yx有非零解？y三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式42.三阶行列式的运算【第四讲.作业】311.矩阵A＝42，则|A|=21x2.矩阵A ＝105，若A是不可逆的，则x=3.1234的逆矩阵为104. A ＝3112，B ＝，则(AB )1＝013x 5. A ＝，3，若A不可逆，则A＝11230x my6.若关于x,y的二元一次方程组4x11y0有非零解，则m＝2m 7.设二元一次方程组24x x＝没有非零解，则m所有值的集合为y y8.向量在旋转变换1R的作用下变为60o3，则向量＝139. 若01xy1＝，则x+y＝253 110. A ＝ 1 03 2 3，B ＝，向量满足 (AB1) ＝0 11，则向量＝11.用逆矩阵的方法解方程组：7x 11y 3 ①x y 03x y 0 ②12x 4y 012.求下列未知的二阶矩阵 X ：1 2 3 2 ①X3 11 1②X 1 23 23 11 12 213.当为何值时，二元一次方程组1 3x y ＝ xy有非零解？1 2 3 0 14.设 A ＝，矩阵 B 满足 ABA1 ＝1 11 2，求矩阵 B.答案：1.2 2.2 3.21553110104.72155.3156.-33/47.63 m8.233129.－310.332311.11x ,yx=k,y=3k6612.1477105773877、417713.1或4 14.5233210337。

人教版高中选修4-2二二阶行列式与逆矩阵课程设计一、引言本次课程设计是以人教版高中数学选修4-2的二二阶行列式与逆矩阵为主要内容，参考了国内外相关教材和研究文献，并根据自身教学经验和掌握的教学资源，结合高中学生的学情和实际需要，设计了课程的目标、内容、方法、评价等各个方面，并以Markdown文本格式输出。

二、课程目标本次课程的教学目标如下：1.掌握行列式的概念和计算方法；2.理解二元线性方程组解法中的逆矩阵概念和性质；3.熟悉行列式和逆矩阵的相关定理和公式；4.能够应用所学知识解决实际问题。

三、课程内容本次课程的内容主要包括以下几个方面：3.1 行列式1.行列式的概念和基本性质；2.行列式与行列式的基本运算法则；3.行列式的性质及应用。

3.2 逆矩阵1.逆矩阵的概念和性质；2.逆矩阵的求法和计算方法；3.逆矩阵与线性方程组的解法；4.实际问题的应用。

四、课程方法本次课程的教学方法主要包括以下几个方面：1.授课讲解：通过讲授掌握行列式和逆矩阵的概念、属性、应用等；2.课堂练习：通过在课堂上设置练习题，让学生更好地运用所学知识；3.实战演习：在课堂外设置一定量的习题和实战演习，让学生自主学习和运用知识；4.互动答疑：随时接受学生提问，给予正确的指导和帮助。

五、课程评价本次课程的评价主要采用以下几种方式：1.课堂表现：包括学生的听课和掌握情况，以及在练习课上的完成情况；2.作业和实验：通过作业和实验对学生学习成果进行评价，加强学生自主学习能力；3.期末考试：通过期末考试测试学生对于课程内容的掌握情况，同时提高考试应对能力。

六、总结本次课程设计以行列式和逆矩阵为主线，结合课程目标、内容、方法、评价等方面进行全面设计和规划，并通过Markdown文本格式输出，提高教学效率和教学质量，为高中学生的后续学习打下坚实的基础。

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案2教学目标1. 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法；2. 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件并运用行列式求逆矩阵教学重点二阶行列式的定义，存在可逆矩阵的充要条件教学难点熟练掌握求逆矩阵的方法。

教学过程1. 二阶行列式的概念 如果矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则ad bc -≠0. 其中ab cd -称为二阶行列式，记作a b c d ，即a bc d＝ad bc -，ad bc -也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：detA 或|A| 注意：ad bc -为主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积2. 可逆矩阵的充要条件 定理：二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当detA=ad bc -≠0.此时 1det det det det db A A Ac a A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭与此相反，若detA=ad bc -=0，则二阶矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭不存在逆矩阵。

3.二阶矩阵和二阶行列式的区别：二阶矩阵是一个数表，而二阶行列式是一个数。

例题分析例题1 矩阵A ＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，求|A|。

思路分析：根据二阶行列式概念求得。

答案：|A|＝313214242=⨯-⨯=例题2判断矩阵1627⎛⎫=⎪⎝⎭M 是否存在逆矩阵，若存在，求出它的逆矩阵，并利用定义验证 思路分析：根据可逆矩阵的充要条件判断可逆矩阵的存在，再利用二阶行列式求解。

答案：判断矩阵1627⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的行列式1617625027=⨯-⨯=-≠所以矩阵M 存在逆矩阵-1M ,且17676555521215555--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M验证：176161055E 27210155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭MM 176161055E 21270155-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭M M 技巧点拨：求解该类问题属程序化知识，需要牢记行列式。

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝m zx ＋dy ＝n，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值． [精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值： (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2 θ)＝1. 2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解． [精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－11 11＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1212 12.(2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 00 1＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－(4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在唯一解． 又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．[精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解． ∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 2－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4.解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 02 1＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 1，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解． 5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 26 4＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56. 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2341－⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321进行加密．(1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A 对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。

高中数学第４课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教Ａ版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第4课时二阶行列式与逆矩阵课时逆矩阵与二元一次方程组教案新人教A版选修4－２）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第四讲 二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一。

二阶行列式与逆矩阵 【概念】如果矩阵Ａ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的,则ad bc -≠0.其中ab cd -称为二阶行列式,记作a b c d ，即a b c d =ad bc -,ad bc -也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：d ｅtA 或｜A| 【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，当且仅当de ｔA=ad bc -≠0。

此时1det det det det db A A A ca A A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(请同学一起证明此定理)【应用】１。

计算二阶行列式: ①3142 ②2213λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆,若可逆,求出逆矩阵。

①A=0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭②B＝11 00⎛⎫ ⎪⎝⎭【练习：Ｐ55】二、二元一次方程组的矩阵形式1。

二元一次方程组的矩阵形式一般的，方程组ax by ecx dy f+=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为:2.二元一次方程组的线性变换意义设变换ρ:a bc d⎛⎫⎪⎝⎭,向量xy⎛⎫⎪⎝⎭、ef⎛⎫⎪⎝⎭,则方程组ax by ecx dy f+=⎧⎨+=⎩，意即：ρxy⎛⎫⎪⎝⎭=ef⎛⎫⎪⎝⎭三、逆矩阵与二元一次方程组1。

第四讲二阶行列式与逆矩阵·逆矩阵与二元一次方程组一.二阶行列式与逆矩阵【概念】a b 如果矩阵A＝c d 是可逆的，则ad bc 0.其中ab cd称为二阶行列式，记作a bc d，即a bc d＝ad bc，ad bc也称为行列式a bc d的展开式。

符号记为：detA或|A| 【可逆矩阵的充要条件】a b 定理：二阶矩阵A ＝c d 可逆，当且仅当detA=ad bc 0.此时d b1det A det AAc adet A det A（请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式：①3 14 2②22 132.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。

0 1①A ＝1 01 1②B ＝0 01【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式1.二元一次方程组的矩阵形式ax bye一般的，方程组cx dy f可写成矩阵形式为：2. 二元一次方程组的线性变换意义a b 设变换：c dx，向量ye、fax bye，则方程组cx dy f，意即：xe＝y f三、逆矩阵与二元一次方程组31x y3221.研究方程组：13x y122的矩阵形式与逆矩阵的关系。

ax bye【定理】如果关于x,y的二元一次方程组cx dy fa b的系数矩阵A＝c d是可逆的，则21x ab该方程组有唯一解：＝y c defax by【推论】关于x,y的二元一次方程组cx dy 0（a,b,c,d,均不为0），有非零解a bc d＝0【应用】3x y 21.用逆矩阵解二元一次方程组4x2y0【思考】课本60页思考ax by ea b的系数矩阵A＝不可逆，方程组的解如何？cx dy fc d3【练习：P61】【应用】a b1.为何值时，二元一次方程组c dx＝yx有非零解？y三、三阶矩阵与三阶行列式1.三阶矩阵的形式42.三阶行列式的运算【第四讲.作业】311.矩阵A＝42，则|A|=21x2.矩阵A ＝105，若A是不可逆的，则x=3.1234的逆矩阵为104. A ＝3112，B ＝，则(AB )1＝013x 5. A ＝，3，若A不可逆，则A＝11230x my6.若关于x,y的二元一次方程组4x11y0有非零解，则m＝2m 7.设二元一次方程组24x x＝没有非零解，则m所有值的集合为y y8.向量在旋转变换1R的作用下变为60o3，则向量＝139. 若01xy1＝，则x+y＝253 110. A ＝ 1 03 2 3，B ＝，向量满足 (AB1) ＝0 11，则向量＝11.用逆矩阵的方法解方程组：7x 11y 3 ①x y 03x y 0 ②12x 4y 012.求下列未知的二阶矩阵 X ：1 2 3 2 ①X3 11 1②X 1 23 23 11 12 213.当为何值时，二元一次方程组1 3x y ＝ xy有非零解？1 2 3 0 14.设 A ＝，矩阵 B 满足 ABA1 ＝1 11 2，求矩阵 B.答案：1.2 2.2 3.21553110104.72155.3156.-33/47.63 m8.233129.－310.332311.11x ,yx=k,y=3k6612.1477105773877、417713.1或4 14.5233210337。