三角形内角和180度剖析

三角形的内角和定理解析在几何学中，三角形是一种基本的图形，有很多重要的性质和定理。

其中之一就是三角形的内角和定理，也被称为三角形内角和公式。

本文将对此定理进行详细解析。

三角形的内角和定理是说，三角形的三个内角的和等于180度（°），可以表示为如下的公式：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

三角形的内角和定理是几何学中最基本的定理之一，它可以帮助我们计算三角形的其他角度，或者验证一个已知角度是否符合三角形的条件。

下面，我们将通过几个例子来进一步说明三角形的内角和定理。

例子1：考虑一个直角三角形ABC，其中∠C=90°。

根据三角形内角和定理可知：∠A + ∠B + 90° = 180°即：∠A + ∠B = 90°这个结果也符合直角三角形的性质，即直角三角形的两个锐角的和等于90°。

例子2：现有一个等边三角形XYZ，其中三个内角都相等，我们用∠X表示一个内角，则有：∠X + ∠Y + ∠Z = 180°因为等边三角形的三个内角都相等，所以∠X = ∠Y = ∠Z，可以将公式改写为：3∠X = 180°即：∠X = ∠Y = ∠Z = 60°这个结果也符合等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都等于60°。

通过以上的例子，我们可以看到三角形的内角和定理的应用。

通过已知的内角和公式，我们可以计算或验证三角形的角度。

在实际问题中，内角和定理还可以与其他定理一起使用，帮助我们解决更复杂的几何问题，比如角的相等性、三角形的相似性、直角三角形的性质等等。

除了三角形的内角和定理，几何学中还有许多其他重要的定理和性质，比如三角形的外角和定理、直角三角形的勾股定理、相似三角形的性质等等。

通过研究这些定理和性质，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。

总结：三角形的内角和定理是几何学中最基本的定理之一，它指出三角形的三个内角的和等于180°。

《三角形的内角和》教学反思9篇《三角形的内角和》教学反思精选篇1这节课作为四年级下册中三角形的一个重要组成部分，它是学生学习三角形内角关系和其它多边形内角和的基础。

即使在以前没有这部分内容，大部分教师在课后也会告诉学生三角形的内角和是180度，学生容易记住。

本节课我具体抓住以下2个方面。

1为学生营造了探究的情境。

在数学教学中，教师应提供给学生一种自我探索自我思考自我创造自我表现和自我实现的实践机会，使学生最大限度的投入到观察思考操作探究的活动中。

教学中，我在引出课题后，引导学生自己提出问题并理解内角与内角和的概念。

在学生猜测的基础上，再引导学生通过探究活动来验证自己的观点是否正确。

当学生有困难时，教师也参与学生的研究，适当进行点拨。

并充分进行交流反馈。

给学生创造了一个宽松和谐的探究氛围。

2充分调动各种感官动手操作，享受数学学习的快乐。

在验证三角形的内角和是180度的过程当中，大部份同学都是用度量的方法，此时，我引导学生：180度是什么角？我们能否把三个内角转化一下呢？经过这么一提示，出现了很多种方法，有的`是把三个角剪下来拼成一个平角。

有的用两个大小相等的直角三角形拼成一个正方形，还有的是用折纸的方法，极大地调动了大脑，就连平时对数学不感兴趣的学生也置身其中。

充分让学生进行动手操作，享受数学学习的乐趣。

《三角形的内角和》教学反思精选篇2新课标提出“人人学有价值的数学”。

强调“教学要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。

要激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们积极主动地探索，解决数学问题，发现数学规律，获得数学经验；而教师只是学生学习的组织者引导者和合作者，在全面参与和了解学生的学习过程中起着对学生进行积极的评价，关注他们的学习方法学习水平和情感态度，促使学生向着预定的目标发展的作用”。

根据这一教学理念来设计这堂课。

引导学生小组合作，出示不同类型的三角形，用通过量一量算一算，得出三角形的内角和是180°或接近180°（测量误差），再引导学生通过剪拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。

“三角形内角和是180°”的验证教学几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180°”，常见的有三种方法：（1）用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°（简称“测量求和法”）；（2）将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（简称“剪拼法”）；（3）将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（简称“折拼法”）。

这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180°。

这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180°”的错误印象。

“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与撕下来后图形间的联系与变化。

“折拼法”有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起来方法不明──学生并不能十分清楚地掌握折的方法。

因此，我们对教材中的“折拼法”方案稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”，然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（如图1）。

经改进操作起来简捷多了。

其实，对于三角形内角和的三种常见验证方法，或多或少都存在着误差。

用任何一种方法验证“三角形内角和是180°”，都不足以让人信服。

因此，让尽量多的验证方法出现在课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。

然而事实并不随你我所愿。

正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。

如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：学生猜想“三角形内角和是180°”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180°吗？说说你的依据。

（1）“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。

几何入门教学虽然历来被重视，但是一些学生的学习效果并不是很理想.初学的学生尤其在运用几何直观发现几何结论、添加辅助线、证明几何结论的问题上颇显困难.教学中，教师较为重视让学生记忆某些几何结论，而忽视结论被直观发现的过程；重视证明的步骤，而忽视证明的必要性和证明思路的获得.本文以“三角形内角和为180°”一课为例，针对教师困惑较大的几何入门教学做一些探讨，希望可以起到抛砖引玉的作用.一、深刻理解数学知识的地位与作用理解数学知识不仅是落实数学学科核心素养的一个基本条件，而且也是数学教师必备的专业素养.教学前，教师必须明确所面对的教学内容在整个数学知识体系中的地位和作用，明确它的本质和价值.关于“三角形内角和为180°”一课的教学，教师应从知识的整体结构出发理解其在数学知识体系中的地位和作用.三角形是平面图形中最基本的图形，毫不夸张的说，它是我们研究平面几何问题的一个“基底”，因为许多几何问题都可以转化为三角形问题加以解决.从数学的角度来说，三角形的内角和定理是平面几何中最基本的定理之一，它反映了三角形的基本性质，它和“平行线间的距离处处相等”，以及“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”都是等价命题.这足以说明它的重要性.笔者听过多位教师执教的“三角形内角和为180°”一课.多数教师都在上课伊始，指出“在小学时，我们已经知道了三角形的内角和是180°，今天我们一起来证明这个结论”，然后直奔主题——画出辅助线，写出证明过程……但是，学生对为什么要证明这个结论，它与小学学习的内容之间有什么区别与联系，与前面学过的平行线等知识有什么联系，以及学习它的意义等都不得而知.这样不但使学生学习的主动性打折扣，而且也谈不上对知识的结构性理解与建构.二、深度理解学生学生发展是教学活动的出发点和归宿.在章建跃博士强调的“四个理解”中，“理解学生”是其中重要的一条.奥苏贝尔认为，学生学习有三个认知变量：一是旧知识的可利用、可吸收性；二是新、旧知识的初中几何入门教学的建议和思考——以“三角形内角和为180°”一课为例收稿日期：2020-03-18作者简介：张惠英（1961—），女，正高级中学高级教师，河北省特级教师，主要从事中学数学教育与数学课程研究.张惠英摘要：几何入门教学历来被重视.然而，在教学实践中，多见突出教师教的精彩，缺少立足于学生认知现状的自然过渡.三角形内角和定理的证明是初中阶段通过引辅助线进入几何证明大门的开篇课.在教学“三角形内角和为180°”一课时，教师可以借助学生在小学经历的撕纸、拼角等直观操作活动，通过问题驱动，或寻找论证的上位概念等数学学习活动，较自然地获得推理论证的途径.关键词：三角形内角和；直观操作；推理论证；思维发展··23可辨别性，即新、旧知识间的异同；三是可利用、可吸收知识的牢固性.这三个认知变量都是基于对学生的理解.教师授课前要深入研究“学生已经知道了什么”，并充分考虑以下三点.第一，学生的知识储备.在本节课之前，学生已经学习了什么？学生已经学习了平行线的性质和判定定理，也学过了线段、射线、直线和角，知道了角的度量等基础知识.第二，学生的认知经验.在小学时，学生通过观察、测量、或者撕纸得到过三角形的内角和是180°.进入初中后，学生的思维水平正处在从形象思维到抽象思维的过渡时期.在学习内容的定位上，是从实验几何到论证几何.学生在前面学习实验几何时，经历的是合情推理，而在后面要学习的论证几何中，要经历的是演绎推理.因此，这正是一个从形象思维到抽象思维、从合情推理到演绎推理过渡的关键期.学生不仅要辨别具体的新知识，还要体会直观操作和几何论证的区别与联系.第三，学生可能存在的学习困难.七年级学生学习三角形内角和定理时，正处于几何论证的入门时期，在学习上会遇到很多困难.主要存在以下四个方面的困难：第一个困难是识图、作图，很多学生看不懂图、更不会作图；第二个困难是找推理思路，尤其是探索证明的思路，构造出正确的辅助线对很多学生来说是非常困难的；第三个困难是文字语言、符号语言、图形语言之间的转换，这对学生来说也是一个很大的挑战；第四个困难是知识零散，难以结构化.三、教学过程应关注学生的思维发展针对七年级学生几何入门难以发现证明思路的问题，教师在教学过程中要特别关注衔接学生小学的数学活动经验，基于学生在小学经历的测量、撕纸等活动，引导学生操作、观察、思考，帮助学生达到从形象思维到抽象思维、从合情推理到演绎推理的自然过渡，从感性认识到理性思维的发展.我们一同欣赏以下两个案例.案例1：教师甲运用问题驱动，相继提出了如下的问题串展开教学.问题1：在小学时，大家通过测量或撕、拼几个三角形（如图1~图3），发现了这几个三角形的三个内角和都是180°，你确信任意一个三角形的内角和都等于180°吗？AB C图1AB C图2AB C图3问题2：回顾测量或撕纸、拼角等过程，你认为要怎样证明三角形的内角和是180°？问题3：当证明了任意三角形的内角和都是180°后，你有哪些感悟？试着谈谈数学家是如何想到要研究三角形的内角和是180°的.针对以上三个问题，教师采取让学生先独立思考，然后交流展示的方式进行教学.问题1容易激活学生原有的认知经验，激活学生的思维，引发学生广泛参与.事实上，小学时期的直观操作属于合情推理，它能够帮助学生发现命题，但是它不能保证这样得到的结论是真命题.因此，我们需要用演绎推理来证明.对于七年级的学生，必须做到合情推理与演绎推理相辅相成、相互支撑，才更有利于他们的几何入门学习.这样，在初中“图形与几何”领域的学习中，就要利用合情推理发现一些命题，并理解证明的必要性，再依据学过的数学原理来论证这些命题的正确性，发展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理能力.本节课的教学中，教师要让学生理解“虽然在小学时学过三角形的内角和是180°，到了初中我们为什么还要继续研究、讨论，并证明三角形的内角和是180°”，从而使学生的思维得到进一步提高.问题2关注学生获得证明的思路.学生通过回顾、观察如图1或图2或图3所示的撕纸的图形，发现将角移动了位置后这个角的大小不变.这样，抽象出一条能够把一些线和角联系起来的重要的线，使学生容易联想到平行线的判定条件，自然地引出作平行线为辅助线.学生就不会感到辅助线的出现很唐突了.进而借助··24已知的平行线的性质定理，来证明三角形的内角和是180°.在定理的自主探索过程中，学生的思维角度不同，证法也各不相同.而这些不同的角度的本质是相同的，它们之间是可以相互转化的.教师要尽可能优化学生的思维，引导学生发现解决问题的关键不在于在哪一点作平行线，而是借助平行线的性质达到平移角的目的，即解决问题的方法是利用“两直线平行，同旁内角互补”，或“两直线平行，内错角相等”构造出一个平角，进而得到“三角形的内角和是180°”，如图4~图7所示.（1）（2）图4图5图7图6问题3关注对学生反思能力的培养.教师要引导学生及时反思.反思是一个经历高阶思维的过程.反思是有层次的，仅仅就学了什么知识与技能进行的反思是低层次的，对知识的获得过程及其中渗透的转化、抽象等数学思想进行的反思是中层次的，从学生的思维发展，特别是理性思维发展进行反思才是高层次的.高层次的反思要让学生知其然，知其所以然.问题3的提出，自然地把问题归结到如何认识一个平面几何图形，使学生的思维达到了一个新的高度，即思考认识几何图形的一般思维策略，往往是通过研究构成它的要素之间的关系来认识它，而构成几何图形的基本要素之间的关系就是几何图形的性质.教师要让学生知道：三角形有三条边、三个内角，我们已经研究了三角形的三边关系，自然要研究三角形三个内角的关系.加法是最简单的一种运算，因此才会想到“三角形的内角和是否存在规律”的问题.案例2：教师乙运用从理论到实践、搭脚手架的方式展开教学.教学一开始，教师乙引导学生思考：在学过的内容中，你见过哪些180°的图形或图形结构？接着让学生回忆、表达：平角等于180°；两直线平行，同旁内角互补.进而去构造平角或平行线，从分析法的角度来思考并解决问题.教师乙相当于给出一个自带动力的指引，借助数学的上位概念来督促学生明确：我在研究什么？我研究的对象是谁？我研究到了什么程度？我自己能把握到什么程度？这样的教学能充分调动学生原有的数学知识储备，容易引发学生在一个相对较大的数学结构中思考新的问题，对于学生形成和优化知识结构大有裨益.笔者认为，这种教学方式更适合学习基础较好的班级.四、结束语数学的学习是层层递进、螺旋上升的.不同的学情，不同的学段，不同的教学要求，会有不同的思维生成.几何入门教学可以有多种形式，但重在帮助学生掌握研究平面图形的一般方法和策略，形成知识结构，锻炼他们发现和提出数学问题的能力及分析和解决数学问题的能力，促使学生积累数学活动经验，形成反思意识，提高反思能力.教师需要理解数学、理解学生的认知现状，重视学生对知识的建构和理解，重视对学生数学迁移能力的培养，运用合理的问题驱动促使学生萌生想法，无痕过渡，走进新知识的大门.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］张惠英，吴如皓，王克维.在初中数学教学中引发学生积极思考：听台湾数学“探索规律”一节课的启示［J］.中国数学教育（初中版），2014（5）：61-64.［3］张昆.平面几何推理论证教学的辩证思考［J］.中国数学教育（初中版），2018（11）：18-21.［4］王萍萍，鲍建生，周超.中小学生数学创造力培养的研究述评：聚焦课堂［J］.数学教育学报，2018，27（6）：22-28.··25。

《三角形的内角和》说课稿一、说教材1、说课内容今天我说课的内容是人教版义务教育课程标准试验教科书四年级数学下册第五单元第85页的《三角形的内角和》。

2、教材分析在第一学段里学生熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，已经掌握了三角形的概念、分类，“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，是“图形与几何”领域的重要内容之一，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。

经过第一学段以及本单元的学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，甚至大多数学生已经知道三角形的内角和是180度，但不一定知道原因，“知其然而不知其所以然” 。

已经具备了一些相应的三角形知识和技能，这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的概念，打下了坚实的基础，所以本课的设计不在于了解，而在于验证。

它是掌握多边形内角和及其他实际问题的基础，因此，掌握三角形的内角和是180度这一规律具有重要意义。

教材上这部分内容分成3个部分来呈现的。

第一部分是让学生通过量一量、算一算，初步感知三角形的内角和是180°；第二部分是通过拼角的实验来探究并归纳三角形内角和的规律，第三部分是运用规律、解决问题。

教材这样编排由发现问题，到验证问题，再到运用规律，充分体现了知识结构的有序性和强烈的数学建模思想，既符合四年级学生的认知规律，又突出了本课教学的重点。

剪去三角形的三个角，拼成了一个平角，以此证明三角形的内角和就是180度。

最后应用三角形内角和是180度，解决已知三角形的两个内角，求另一个内角的数学问题。

教材在呈现教学内容时，不但重视体现知识形成的过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活的组织教学提供了清晰的思路。

主要体现在：概念的形成不直接给出结论，而是提供丰富的动手实践的素材，设计思考性较强的问题，让学生通过探索、实验、发现、讨论、交流获得。

从而让学生在动手操作，积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力，不断提高自己的思维水平。

《三角形的内角和》教学反思（精选4篇）《三角形的内角和》教学反思（精选4篇）《三角形的内角和》教学反思篇1二学期几何里一个重要的知识点——三角形内角和，是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上这一节课进一步对三角形内角之间的关系的学习和探究。

本课设计的出发点在于运用先进的多媒体手段让学生直观感知三角形内角和的特点。

这节课上完之后，我在课后进行了小结，也听取了经验丰富的教师的分析，收获很大，授课过程中有讲得好的环节也有处理得不好的环节，下面从几个方面小结：1.在本次授课中，引入是比较恰当的。

我是从学生原有的对图形的认识的感性知识进行引入的，先出示一个长方形，让学生说出它的内角和是多少度，学生用之前学过的知识都知道，长方形有四个直角，那么加起来就是360°，然后又用正方形，由于正方形和长方形有一个同样的特征，所以学生也很容易就能回答出来它的内角和是多少。

再将正方形沿着对边剪开，分成两个三角形，这个时候问学生：你们能猜出三角形的内角和是多少吗？这样的引入和从旧知到新知的过渡，非常地自然，学生也较容易进行猜想。

2.利用多媒体手段让学生直观感知三角形内角和的特点。

用动画演示撕角拼一拼，折角，让学生可以非常直观地认识三角形内角和的特点，印象非常深刻，也给学生在进行动手操作时以正确的指引。

3.小组合作，自主探究。

整一节课都很注重学生自主探究，动手实验的过程，我只是一个主导者，组织好课堂教学，放手让学生去实验、讨论、归纳，没有像之前上课那样由本人我讲完整节课而学生只是听。

4.在学生进行猜想之后，让学生开始动手实验，测量三角形的三个内角的度数并填表，这个环节在处理的时候不是很得当，因为量角在学生来说，本来就是一个难点，没有很好的掌握量角的技巧导致没能准确地量角，而且在本节课中，要进行量角实验的三角形个数较多，学生不能很好地进行小组分工，所以在这个地方花费了不少的时间，而结果量出来的度数也不是很精确，虽说在测量中允许有误差，但是这与一开始的教学设计出发点有出入，达不到很好验证猜想的效果。

三角形的内角和定理三角形的内角和定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内的三个角度之和总是180度。

这个定理在解决各种几何问题和计算三角形的角度时非常有用。

本文将对三角形的内角和定理进行详细阐述，并给出证明。

首先，让我们来了解一下三角形的定义。

三角形是由三条边和三个顶点组成的一个平面几何图形。

根据边的不同关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

对于任意一个三角形ABC，我们可以标记出它的三个内角，分别为∠A、∠B和∠C。

现在我们来研究一下这三个角的和是否总是180度。

首先，我们可以将三角形ABC的两条边AB和AC延长，分别延长到点D和点E。

由于延长线与初始线段上的点不重合，所以我们可以得到两个新的角，分别为∠BAD和∠CAE。

接下来，我们来研究四边形ABED。

由于四边形ABED是一个平面图形，所以它的内角之和总是360度。

我们可以将这个四边形分割成两个三角形，即三角形ABD和三角形AEC。

根据四边形ABED的角度和为360度，我们可以得到如下等式：∠BAD + ∠DAE + ∠CAE + ∠EAB = 360度由于三角形ABC和三角形ABD分别共享两个角A和B，所以我们可以使用这个等式来计算三角形ABC的内角之和：∠A + ∠B + ∠C + ∠EAB = 360度现在我们来考虑三角形ABC的外角∠EAB。

根据角度理论，一个三角形的外角等于其相对的内角之和。

所以我们可以将∠EAB写成∠EAB = ∠A + ∠B。

将这个等式代入前面的等式中，可以得到：∠A + ∠B + ∠C + (∠A + ∠B) = 360度通过整理等式，我们可以得到：2∠A + 2∠B + ∠C = 360度然后，我们可以将等式两边同时除以2，得到：∠A + ∠B + ∠C = 180度这就证明了三角形的内角和定理：三角形的内角之和总是180度。

这个定理在解决各种几何问题和计算三角形的内角时非常有用。

高中几何知识解析三角形的内角和定理三角形是几何学中最基础的图形之一，它具有许多独特的性质和定理。

本文将详细解析三角形的内角和定理，旨在帮助高中生更加深入理解三角形的性质和应用。

一、基本概念回顾在深入讨论三角形的内角和定理之前，先来回顾一下三角形的基本概念。

三角形是由三条线段构成的封闭图形，其中每条线段称为三角形的边，两边之间的夹角称为三角形的角。

三角形的内角共有三个，分别称为内角A、内角B和内角C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。

二、三角形的内角和定理内角和定理是指三角形内角的和等于180度。

具体地说，对于任意一个三角形ABC，其内角和A+B+C等于180度。

证明：考虑任意一个三角形ABC，以边AB为底边，做一个高CD 从顶点C垂直于底边AB。

这样，三角形ABC就被分为两个直角三角形ACD和BCD。

根据直角三角形的性质，三角形ACD的内角A等于90度减去内角C，即A = 90 - C；而三角形BCD的内角B等于90度减去内角C，即B = 90 - C。

将上述两式相加，得到A + B = (90 - C) + (90 - C) = 180 - 2C。

另一方面，根据三角形内角的定义，内角A+B+C等于180度。

因此，由A + B = 180 - 2C和A + B + C = 180可得到C = C，即两边相等，证明完毕。

三、内角和定理的应用内角和定理在高中几何的学习中具有重要的应用价值。

通过利用内角和定理，我们可以推导得到许多与三角形相关的定理和性质。

1. 角度关系推导根据三角形的内角和定理，我们可以推导出一些角度关系定理，如角平分线定理、同位角定理和外角和定理等。

这些定理在解题时起到了重要的作用，帮助我们确定角度的大小和关系。

2. 证明其他定理内角和定理也可以作为证明其他定理的基础。

通过结合其他已知定理和内角和定理进行推理，我们可以证明更复杂的几何定理和性质。

3. 解决实际问题内角和定理在解决实际问题时也有广泛的应用。

三角形的内角和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

在研究三角形的性质时，内角和定理是一个重要的概念。

本文将为您详细介绍三角形的内角和定理。

内角和定理，又称为三角形内角和公式，是指三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理被广泛地运用于解决各种与三角形相关的问题。

在了解内角和定理之前，我们首先来看一下三角形的基本概念。

三角形有几个重要的要素，包括三条边和三个内角。

三角形的内角用字母A、B、C来表示，对应的边分别为a、b、c。

下面，我们将通过具体的例子来说明内角和定理的应用。

例一：假设已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，求第三个内角。

解：根据内角和定理，三角形的三个内角之和等于180度。

已知两个内角为60度和80度，将它们相加得到140度。

将140度代入内角和定理的公式，可以得到第三个内角的度数为180度减去140度，即第三个内角为40度。

在解决具体问题时，我们可以根据内角和定理列出方程，将已知的内角代入方程，然后求解未知的内角。

除了用内角和定理来求解未知的内角，我们也可以用它来判断一个图形是否是三角形。

如果一个图形的三个内角之和等于180度，那么它就是一个三角形。

否则，它就不是一个三角形。

例二：假设一个图形的三个内角分别为70度、60度和50度，判断它是否是一个三角形。

解：根据内角和定理，将三个内角相加得到70度+60度+50度=180度。

因此，这个图形的三个内角之和等于180度，所以它是一个三角形。

除了了解内角和定理的基本概念和应用，我们还可以通过内角和定理来推导其他的三角形性质。

比如，我们可以利用内角和定理证明等腰三角形的两个底角相等，或者利用内角和定理证明等边三角形的三个内角相等等。

总结起来，三角形的内角和定理是指三角形的三个内角之和等于180度。

它是几何学中的一个重要概念，被广泛地应用于解决各种与三角形相关的问题。

我们可以通过内角和定理来求解未知的内角，判断一个图形是否是三角形，以及推导其他的三角形性质。

课题：《三角形内角和定理》一、教学目标知识技能:1、理解“三角形的内角和等于180°”.2、运用三角形内角和结论解决问题.数学思考：1、通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和，感受数学思考过程的条理 性，发展合情推理能力和语言表达能力.2、理解三角形内角和的计算、验证，其本质就是把三个内角集中在一起转化为一个平角，其方法可以用拼合的方法，也可以用引平行线的方法.解决问题：1、学会运用三角形内角和定理解决实际问题，如在航海测量、几何计算等方面的应用2、通过介绍“三角形内角和定理及其证明”，让学生初步了解什么是几何证明，并感 受证明几何问题的基本结构和推导过程.情感态度：在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展同学们的合情推理能力，逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.二、教学重点难点三角形内角和定理的证明及如何利用定理解决生活中的实际问题。

三、教学过程设计（一）学生回忆，引出课题问题1：复习平行线的性质如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ，1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于多少度，为什么？2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2），则：（1）∠2等于多少度？为什么？（2）∠3等于多少度？为什么？（3）∠1+∠2+∠3等于多少度？为什么？师生活动：师：在第五章我们学习了相交线与平行线的相关知识，你还记得吗？请同学们完成以下练习，看看谁完成的又快又准。

生：1、∠1=80º,理由是: 平角的定义；2、（1）∠2=30º, 理由是:两直线平行,内错角相等（或利用两直线平行，同旁内角互补）(2) ∠3=70º,理由是:两直线平行,内错角相等（或利用两直线平行，同旁内角互补）（3）∠1+∠2+∠3等于180度，三角形内角和等于180度；（二）通过设疑，引出课题N M 70︒30︒1E D A 图1（1） N M 70︒30︒321E D C A B 图1（2）问题2：三角形内角和是1800是真命题吗？如何证明？师生活动：师：对于任意一个三角形的三个内角的和等于180度.我们是在小学已经知道了这个结论,那时侯,大家是怎样知道的呢?生：通过度量的方法,或者剪拼实验,能够验证一些具体的三角形的三个内角和都等于180º。

3．三角形的内角和【教学目标】：1、探索与发现三角形的内角和是180°，已知三角形的两个角度，会求出第三个角度。

2、培养学生动手操作和合作交流的能力，促进掌握学习数学的方法。

3、培养学生自主学习、积极探索的好习惯，激发学生学习数学应用数学的兴趣。

【教学重点和难点】：重点掌握三角形的内角和是180°，会应用三角形的内角和解决实际问题；难点是探索性质的过程。

【教材分析】《三角形内角和》属于空间与图形的范畴，是在学生已经接触了三角形的稳定性和三角形的分类相关知识后对三角形的进一步研究，探索三个内角的和。

教材中安排了学生对不同形状的、大小的三角形进行进行度量，运用折叠、拼凑等方法发现三角形的内角和是180°。

扩充了学生认识图形的一般规律从直观感性的认识到具体的性质探索，更加深入的培养了学生的空间观念。

【教学过程】一、创设情境，激发兴趣。

出示课件，提出两个两个疑问：1、两个大小不一样的两个三角形的对话我比你大，所以我的内角和比你大，是这样的吗？2、三个形状不一样的三角形的争论。

我们的形状不一样，所以我们的内角和各不相同，是这样的吗？老师发现它们争论的焦点是三角形的内角和的问题，那什么是三角形的内角？什么又是三角形的内角和呢？二、初建模型，实际验证自己的猜想在第一步的基础上学生自然想到要量出三角形每个角的度数就能够求出三角形的内角和，从而证明三角形的内角和与三角形的大小和形状没有关系都接近180度。

这时教师要组织学生进行小组合作，每人用量角器量出一种三角形（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形）的三个内角，并计算出它们的总和是多少？把小组的测量结果和讨论结果记录下来以便全班进行交流。

三角形的形状三角形每个内角的度数内角和锐角三角形钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形三、再建模型，彻底的得出正确的结论因为在上一环节学生已经得出三角形的内角和大约都是或接近180度。

探索与发现（一）——三角形内角和教学案例及点评一、案例背景：官底镇中心小学刘玭2010年9月，本着构建最本色最简洁最实用的模式以整体提高小学数学课堂教学效率，提高学生各方面学习能力的初衷，针对小学数学新授课课堂教学的特点，我校在已有的小组合作学习模式的基础上做了进一步的完善，提出了小学数学“学、交、练、评”课堂教学模式。

这种教学模式着力追求数学教学的高效性，旨在提高学生的自主学习能力。

经过近年来的研究、实施、改进，这种小学数学课堂教学模式的优越性已逐步体现。

1、教材分析：本课是北师大版小学四年级数学下册第二单元《认识图形》第三节课的内容，是在学生学习了角的分类、三角形分类的基础上进行学习的，为以后探索其它平面图形的特点做好了准备。

因此，学习、掌握三角形的内角和是180°这一性质具有重要意义。

教材创设了两个不同形状的三角形的发生矛盾冲突的问题情境，以此导入新课，激发学生的学习兴趣。

引导学生通过画一画、量一量、算一算的方法探究三角形的内角和，再利用拼一拼、折一折活动来验证三角形的内角和为180°这一性质，并利用此性质解决问题，让学生在动手操作、积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学经验，发展学生的空间观念。

2、学情分析：学生在前面的学习中对角的分类、三角形的分类、角的测量已经有了一定的知识基础，同时也具备了一定的动手操作和合作交流的能力，可以通过一系列的操作活动探索发现三角形内角和的性质。

3、教学目标：⑴、让学生通过画、量、剪、拼等一系列直观操作活动，探索三角形内角和的性质。

⑵、能运用三角形内角和的性质解决一些简单的实际问题。

⑶、通过小组合作、动手实践活动培养学生动手操作的能力、探索能力和合作的意识。

4、教学重难点：重点：让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程，知道三角形的内角和是180°，并且能用它解决一些简单的实际问题。

难点：⑴、“三角形内角和等于180°”的探索和验证。

三角形内角和180度教学案例分析三角形是最常见的平面几何图形之一，而三角形内角和定理即指三角形所有内角的和应该等于180度，它的表达形式如下：∑ A, B, C = 180°任何一个三角形的内角和都为180度，是数学中的一个重要定理，这一定理尤其受到数学专家的高度重视，而许多的学校教学中也将其作为教学内容，以使学生了解其中的重要性。

本文将从实际教学案例出发，分析三角形内角和定理及其在教学中的重要性。

一、三角形内角和定理三角形内角和定理是一个由古希腊数学家欧几里德首次提出的定理，也是几何学中一个重要的定理，它指出了任何一个三角形形状内所有角之和都为180度。

这一定理是由古希腊数学家欧几里德于其《几何学》一书中提出，之后也被英国数学家和物理学家爱普斯特整理制定出来，被认为是数学中的一个重要定理，如今它在数学教学中也十分重要，得到了许多学校的重视。

二、三角形内角和的教学案例为了使学生能够更好地了解三角形内角和定理，许多教师在教学实践中都采用了不同的教学方法，其中包括实物演示、视频教学、游戏式教学等。

以下讨论一具体案例，介绍了使用实物和图形结合的教学方法传授三角形内角和定理。

1.先，教师定义三角形可以用以下的几种方式：以三条线连接三个点形成的图称为三角形，三角形是一种具有三个内角的几何图形；2.着，教师将三角形折叠起来，从而使它形成两个角，然后让学生用一根线把这两个角连接起来，从而使三角形完全折叠，也就是说，学生已经把三个角变成了一个角，且所得角的角度为180度；3.后，教师再次把三角形折叠起来，然后用纸片分别把每个内角和外角所对应的角度给学生，由此让学生总结出三角形内角和定理的表达形式，并加深对定理的理解。

三、教学重要性以上案例介绍了教师使用实物演示的学方法，通过这种方式，让学生可以从一个实际的角度更加深刻地理解三角形内角和定理，使之可以在日后遇到类似的考试题目时灵活运用。

三角形内角和定理由数学家发现，是数学中极为重要的定理，因此它在数学教学中至关重要，如何让学生更好地理解这一定理也是教师应该思考和努力的方向。

“三角形内角和180°”应用知多少“三角形的内角和等于180°”是揭示三角形三个内角关系的重要结论，利用这一结论可以解决很多与三角形内角有关的问题，下面结合例题予以分类剖析，供同学们参考：一、已知三角形的两角求第三个角例1 如图1，∠A=100°，∠B=25°，求∠C 的度数.分析：直接利用三角形的内角和等于180°，即∠A ＋∠B ＋∠C=180°求解. 解：由∠A ＋∠B ＋∠C=180°，知∠C=180°―∠A ―∠B=180°―100°―25°=65°.点评：已知三角形的两角求第三个角，是三角形的内角和等于180°最直接的应用.二、已知角的关系求角度例2 已知在△ABC 中，∠A ＋∠B=80°，∠C=2∠B ，试求∠A 、∠B 、∠C 的度数. 分析：题中已给出两个独立的条件：∠A ＋∠B =80°，∠C=2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A ＋∠B ＋∠C=180°就可以求出∠A 、∠B 、∠C.解：由∠A ＋∠B=80°及∠A ＋∠B ＋∠C=180°，可得∠C=100°.又因为∠C=2∠B ，所以∠B=50°.所以∠A=80°－∠B=80°－50°=30°.点评：解决本题关键是利用隐含条件∠A ＋∠B ＋∠C=180°.本题也可以设∠B=x °，则∠A=（80－x ）°，∠C=2x °，则有80－x ＋x ＋2x =180°，x =50°，从而求出∠A 、∠B 、∠C 的度数.三、判断三角形的形状例3 在△ABC 中，若∠A=21∠B=31∠C ，试判断这个三角形的形状. 分析：由∠A=21∠B=31∠C ，结合∠A ＋∠B ＋∠C=180°可求出∠A 、∠B 、∠C 的度数，从而判断三角形的形状.解：设∠A=x ，则∠B=2x ，∠C=3x ，于是有x ＋2x ＋3x =180°，x =30°，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，故△ABC 是直角三角形.点评：本题利用设未知数x 的代数方法求出三角形三个内角的度数，不少几何问题如果应用代数方法求解，可使过程简单、清晰.四、综合外角求角度例4 如图2，已知DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 延长线于F ，∠B ＝67°，∠ACB ＝74°，∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数.分析：要求∠BDF 的度数，应从三角形的内角和180°、三角形的外角性质出发.若将∠BDF 看成△BDF 的内角，只需求出∠F 的度数即可.解：因为∠CEF=∠AED ＝48°，∠BCA=∠CEF ＋∠F ，所以∠F=∠BCA －∠CEF=74°－48°=26°.所以∠BDF=180°―∠B ―∠F=180°―67°―26°=87°.点评：三角形的内角和性质和外角性质是进行与角有关的计算或证明的重要依据.本题中也可将∠BDF 看成△ADE 的外角来求，同学们不妨一试.五、求多角和 A C 图1 A B FC ED 图2例5 如图3，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.分析：因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E每个角的度数都不确定，且较分散，所以必须把∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E看作一个整体求它的度数，可以考虑将其转化到一个三角形中去.解：因为∠AGE是△CGE的外角，所以∠AGE=∠C＋∠E.同理：∠AFG=∠B＋∠D.因为∠AG E＋∠AF G＋∠A=180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.点评：求多个角的度数问题，可以联想到三角形的内角和等于180°和外角的性质，将所求角转化到一个或几个三角形中去，从而求得多个角的和.ABC DE图3G F。

推理能力属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的十大核心概念之一，也是《普通高中数学课程标准（2017年版）》中明确提出的六大数学核心素养之一。

推理是形式逻辑术语，是一种重要的思维形式，即由一个或几个已知命题推出一个新命题的思维形式。

[1]推理在人们认识客观世界的过程中发挥着巨大的作用，要推理出正确的结论，需要有两个条件，一是推理前提是真判断，二是推理形式正确。

[2]因此，只要推理前提为真，推理过程正确，结论就一定正确。

“三角形的内角和”是小学阶段“图形与几何”领域一节很有代表性的经典课例。

从数学内容来看，边和角是三角形的重要属性，属于必须掌握的重要知识。

更重要的是，这一内容对于学生推理能力的培养有着非常重要的价值。

教材通过“量角”“拼角”和“折角”等方式，让学生经历说明三角形内角和是180°的过程，这是一种合情推理①的方式。

现在很多教师的教学中，会在上述内容之后加入演绎推理的内容。

那么，对于小学生而言，三角形的内角和是180°，应该以怎样的方式进行说明比较合适？合情推理和演绎推理在教学中又该如何落实？我们应该对相关概念进行梳理，进而对教学有进一步的思考。

一、课堂上的合情推理“合情”吗？《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳三角形内角和180°该如何说明*——小学数学中的合情推理和演绎推理□章勤琼杜娅茹【摘要】推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

“三角形的内角和”这一内容是培养学生推理能力的重要内容，但在现实教学中，不论是合情推理或是演绎推理，都存在一些问题。

在推理能力的培养中，需要注意以下两点：第一，关注学生的真实起点，培养良好的思维习惯，真正将培养学生的推理能力落到教学实处；第二，处理好合情推理和演绎推理的关系。

论证三角形内角之和等于180度三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，一个重要的问题是三角形内角之和是否固定。

本文将从几何学的角度进行论证，证明三角形内角之和等于180度。

首先，我们来看一个特殊的三角形——直角三角形。

直角三角形的一个角度为90度，我们假设另外两个角度分别为α和β。

根据角度和定理，三个角度之和等于180度，即90度+α+β=180度。

由此可得α+β=90度。

这表明，直角三角形中的两个角度之和为90度。

接下来，我们考虑一般的三角形。

假设三角形的三个角度分别为α、β和γ。

我们通过构造辅助线来证明三角形内角之和等于180度。

首先，我们延长三角形的一条边，将其延长线与另外两条边相交，如图所示。

（插入图）设延长线与另外两条边的交点分别为点D和点E。

根据三角形内角和定理，我们知道三角形ADE的内角之和等于180度。

设角DAB的度数为x，角EAC的度数为y。

则根据角度和定理，我们可以得到以下等式：α + x = 180度（1）β + y = 180度（2）γ + (x+y) = 180度（3）将等式（1）和等式（2）相加，得到：α + β + x + y = 360度（4）将等式（3）改写为：γ = 180度 - (x+y) （5）将等式（4）代入等式（5），得到：γ = 180度 - (α + β) （6）由等式（6）可知，三角形的第三个角度γ等于180度减去另外两个角度之和。

这证明了一般三角形内角之和等于180度。

综上所述，不论是直角三角形还是一般三角形，三角形内角之和都等于180度。

这一结论是几何学中的基本定理，具有重要的理论和实际意义。

通过本文的论证，我们证明了三角形内角之和等于180度。

这一性质在解决三角形相关问题时非常有用，例如计算未知角度、判断三角形的类型等。

深入理解和应用三角形内角和定理，将有助于我们在几何学领域的学习和研究。

关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考一、几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180度”，常见的有三种方法：1．用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180度（下文简称“测量求和法”）；2．将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（下文简称“剪拼法”）；3．将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（下文简称“折拼法”）。

对于这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180度。

这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180度”的错误印象。

对于“剪拼法”，优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现了原图形与撕下来后图形间的联系与变化。

而“折拼法”则有效地避免了“量”、“撕”的缺陷；可惜的是，操作起来困难，想起来费劲——它要求学生首先沿着“中位线”来折，而“中位线”对学生来说则是个陌生的事物——因此，我们对教材中的“折拼法”方案（如图1）稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”；然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（见图2），经改进操作起来简捷多了。

图1 图2二、几种常见方法的导出其实对于三角形内角和三种常见的验证方法“量”也好，“撕”也好，“折”也罢，它们或多或少都存在着误差。

用单个任何一种方法验证“三角形内角和就是180度”，不足以让人信服。

因此，让尽量多的验证方法出现的课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。

然而事实并不随你我所愿。

正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。

如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们从最坏处考虑，对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：新课伊始，学生猜想“三角形内角和是180度”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180度吗？说说你的依据。