大学生数学建模竞赛
承诺书
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摘要
本文是通过对某山区地形的特点以及降雨量分布的理解，从而采用数学的思维及方法得出降雨量与问题相关的数学模型：
问题一模型的建立与求解过程：首先，用给出的地形数据，通过matlab 软件绘制出地形地貌图，并结合spss 软件对南北走向线,东西走向线进行曲线拟合，分析发现该地区地貌近似为抛物面；其次，该地区的降雨量在一定时间内近似为周期性变化，于是该地区水量的求解转化为对该地区地形表面积的求解；然后，运用基于量图原理的曲面积分方法，依次求得水量： 年最大水量：3363max 731203.57021563.910 1.1410Q m m -=⨯⨯=⨯ 年最小水量：3353min 731203.5702852.510 6.2310Q m m -=⨯⨯=⨯ 年均水量：3353731203.57021206.3108.8210Q m m -=⨯⨯=⨯
问题二模型的建立与求解：本文把山体表面水流看成是坡面流，求解动能最关键的步是计算出坡面流阻力，而坡面流阻力与降雨量，坡度，植被覆盖度，河床粗糙度等因素有关，颇为复杂。因此，本文关于坡面流阻力的建模，以降雨量为主要因素，并且引用Darcy Weisbach 的阻力系数计算模型，并结合前人研究的成果，得出山体表面水流的速度计算模型，从而计算出在z=695处的单位质量动能：2001.4E J =。
问题三模型的建立与求解：针对植被和石漠化对降雨量的影响，本文采用了对比观测法。植被对降雨量的影响，本文引用了全国以及我国林区与非林区在1951-1999年期间的年平均降水量数据并绘制了全国以及我国林区、非林区的年平均降水量折线图，根据全国6个分区的林区与非林区降水量数据得出植被具有增大降雨量的作用，即某些地区植被覆盖对降水量呈正相关，石漠化对降水量呈负相关。
【关键词】地形地貌图 曲线拟合 曲面积分 Darcy Weisbach 模型 对比观测法
一、问题的提出
通过对某山区降雨量的研究，综合考虑该山区的地势特点。由题所给的地势分布数据，以及该地区26年的年降雨量和最大降雨量数据。试建立数学模型解决以下问题：
1、流入该区域山谷的最大、最小、年均水量；
2、给出高度z=695处的动能；
3、分别考虑植被完好和石漠化两种情形对水量是否有影响，并给出理由。
二、问题的分析
该山区在一年之中的降雨量与多种因素有关，本文通过给定的地形数据绘制出地形地貌图，将水量的求解转化为曲面面积的计算，并通过查找资料，分析得到雨强和水流流速的关系，进而求出在某一高出单位质量的动能。最后，将植被覆盖和石漠化对降水量的影响转化为有林区和无林区对降水量的作用，并运用对比观测法得出结论。
三、基本假设：
1、忽略山区突出部分，山区地貌近似为抛物面。
2、雨水均匀分布在整个地区。
3、山区为理想曲面，植被等因素造成的山体表面不均匀，忽略不计。
四、符号说明：
X: 横坐标（东西走向）
Y: 纵坐标（南北走向）
Z、Y1: 海拔高度
P: 降雨量
Q: 水量
L、X1: 曲线弧长
S: 平面面积
f: 坡面流总阻力
A: 坡角
E: 动能
V: 断面流速
五、模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立
关于该山区的表面积计算，本文使用量图原理的方法【1】：由L
∑代表要算面积区域内的等高线长度的总和；S代表该山区的平面面积；h
∆表示两等高线间的高程差。如此，得下式决定地面平均倾斜角A的正切：
tan
L h
A
S
∑∆
=()
11
-
由于地面面积等于该地平面面积乘以地面平均倾斜角的正割，则所求的该山区的表面积S'为：
sec S S A '= ()12-
为了便于计算，本文用极坐标代替直角坐标。取一制高点作为极坐标的中心；任取一条直线作为基线。这样某一等高线C 所围成的斜面积如下： 高度是Z 的曲线方程是：(),f Z ρθ= 02θπ≤≤ 0Z h ≤≤
其中h 是制高点的高度。则曲线C 的面积：
()22
10,2S d πρθθ
=⎰ ()13-
由于220
00
h h L h
dZ π
πθθ∆∑=∑∆=⎰
⎰⎰ ()14-
按照量图原理的方法：
sec S S A '==()15-
tan L h
A S
∑∆= ()16-
故 2
h L S S S ∑⎫'==⎪
⎭
()1
7- 以式（1）、（2）代入式（3）：
S '=
()18-
S '=
()19-
利用上述模型，可得出山谷的表面面积公式S '=投影在地面上的部分是处于XY 平面内，综合考虑题中所给的地形参数，借助
MATLAB 得出该地形的三维图形（如图5.1所示）。
