北师版八年级下数学第三章随堂练习83

北师大版数学八年级下册第三章测试题姓名：得分：一、选择题1．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A．线段BC的长度B．线段BE的长度C．线段EC的长度D．线段EF的长度2．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°3．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）4．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2B．a2C．a2D． a5．关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的6．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2）D．（，﹣1）7．下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B （1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′12．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．二、填空题13．线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′的位置关系是．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD 分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为三角形．15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=度．16．在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为．17．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB 的中点，则线段B1D=cm．三、解答题18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．(1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．20．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：②线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．21．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．22．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．23．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．(1)线段DC=；(2)求线段DB的长度．答案与解析1．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A．线段BC的长度B．线段BE的长度C．线段EC的长度D．线段EF的长度【考点】Q2：平移的性质．【专题】选择题【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，∴平移距离就是线段BE的长度．故选B．【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．【专题】选择题【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．【解答】解：由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，故选A【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．3．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】选择题【分析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA 绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．【解答】解：如图，OA=3，PA=4，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，∴P′点的坐标为（﹣3，4）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标．4．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D． a【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，利用正方形的性质得OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，再利用等角的余角相等得到∠EOD=∠FOC，于是可证明△ODE≌△OCF，得到S△ODE =S△OCF，所以S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．【解答】解：扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，∵∠EOF=90°，即∠EOD+∠DOF=90°，∠DOF+∠COF=90°，∴∠EOD=∠FOC，在△ODE和△OCF中，，∴△ODE≌△OCF，∴S△ODE =S△OCF，∴S阴影部分=S△DOC =S正方形ABCD=a2．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．5．关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的【考点】Q5：利用平移设计图案．【专题】选择题【分析】直接利用旋转的性质得出旋转中心进而得出答案．【解答】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出旋转中心是解题关键．6．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2） D．（，﹣1）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】选择题【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB==，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB ﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣1，﹣）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB ﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣2，0）；综上所述，点A1的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）；故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．7．下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【专题】选择题【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B （1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（5，2） C．（6，2） D．（5，3）【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【专题】选择题【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．【解答】解：∵A（﹣1，﹣1）平移后得到点A′的坐标为（3，﹣1），∴向右平移4个单位，∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2），即（5，2）．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠C AA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′A C D．B′C平分∠BB′A′【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB'，∴∠B=∠BB'C，又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，∴∠A'CB'=2∠B，又∵∠ACB=∠A'CB'，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．13．线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′的位置关系是．【考点】Q2：平移的性质．【专题】填空题【分析】根据平移的性质可知，线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′平行且相等．【解答】解：∵线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，∴线段AB和线段A′B′的位置关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．【点评】本题考查的是平移的性质，①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD 分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为三角形．【考点】Q2：平移的性质．【专题】填空题【分析】利用平移的性质可以知∠B+∠C=∠EFG+∠EGF，然后根据三角形内角和定理在△EFG中求得∠FEG=90°．【解答】解：∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置后，∠B的对应角是∠EFG，∠C的对应角是∠EGF，又∵∠B与∠C互余，∴∠EFG与∠EGF互余，∴在△EFG中，∠FEG=90°（三角形内角和定理），∴△EFG为Rt△EFG，故答案是：直角．【点评】本题考查了平移的性质，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=度．【考点】R2：旋转的性质．【专题】填空题【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，∠BA B′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．故答案为：20．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．16．在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为．【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【专题】填空题【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵点A（2，3）向左平移1个单位长度，∴点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，∴A′的坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB 的中点，则线段B1D=cm．【考点】R2：旋转的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】填空题【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB==5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为1.5．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．(1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图﹣轴对称变换．【专题】解答题【分析】(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；(3)利用扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)∵OA==5，∴线段OA扫过的图形面积==π．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【考点】R8：作图﹣旋转变换；Q4：作图﹣平移变换．【专题】解答题【分析】(1)将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；(2)将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．【解答】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点评】此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点位置是解题关键．20．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：③线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1)①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【解答】解：(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；(2)如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；(3)如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个．21．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．【考点】R2：旋转的性质．【专题】解答题【分析】(1)在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；(2)在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．【解答】解：(1)∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴BE=AE=×80=40（米）；(2)∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠CED=∠AEB=60°，∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），则BD=DE+BE=40+40=80（米）．【点评】本题考查了解直角三角形，正确理解三角函数的定义，理解边角关系是关键．22．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．【考点】R8：作图﹣旋转变换；Q4：作图﹣平移变换．【专题】解答题【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2 B2C2即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．23．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．(1)线段DC=；(2)求线段DB的长度．【考点】R2：旋转的性质．【专题】解答题【分析】(1)证明△ACD是等边三角形，据此求解；(2)作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．【解答】解：(1)∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC=AC=4．故答案是：4；(2)作DE⊥BC于点E．∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，∴Rt△CDE中，DE=DC=2，CE=DC•cos30°=4×=2，∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．∴Rt△BDE中，BD===．【点评】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转化为直角三角形的计算是关键．。

第三章图形的平移与旋转第1节图形的平行课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a b的值为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1，1），若平移点A到点C，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，正确的是（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位．B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位．C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位．D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位．4．在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（）A．B．C．D．5．下列运动中不是平移的是（）A．电梯上人的升降B．钟表的指针的转动C．火车在笔直的铁轨上行驶D．起重机上物体的升降6．如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在格点（网线的交点）上，下列方案中不能把△ABC平移至△DEF位置的是（）A．先把△ABC沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度B．先把△ABC向上平移3个单位长度，再沿水平方向向右平移4个单位长度C．把△ABC沿BE方向移动5个单位长度D．把△ABC沿BE方向移动6个单位长度7．如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24m，MG=8m，MC=6m，则阴影部分地的面积是（）m2.A．168B．128C．98D．1568．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是()A ．B ．C ．D ．评卷人得分二、填空题 9．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为_____________．10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n +1（n 为自然数）的坐标为_____（用n 表示）11．如图，ABC ∆沿直线AB 向下平移可以得到DEF ∆，如果85AB BD ==，，那么BE 等于____________.12．若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为h，（单位为：cm）则用m，n，h表示需要地毯的面积为_______.13．如图，在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，现将长方形ABCD向右平移3cm，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为_____cm．14．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．15．将点(2,3)P-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点P'，则点P'的坐标为__________.16．如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是________平方米．评卷人得分三、解答题 17．如图，矩形ABCD 中，6AB =，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形1111D C B A ，第2次平移将矩形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形2222A B C D ，…，第n 次平移将矩形1111n n n n A B C D ----沿11n n A B --的方向平移5个单位，得到矩形(2)n n n n A B C D n >．（1）求1AB 和2AB 的长．（2）若n AB 的长为56，求n 的值．18．已知：如图，把ABC ∆向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到'''A B C ∆； （1）写出',','A B C 的坐标；（2）求出ABC ∆的面积；（3）点P 在y 轴上，且BCP ∆与ABC ∆的面积相等，求点P 的坐标．19．如图，将三角形ABC 向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A 1 ，B 1 ，C 1 ；（2）画出平移后三角形A 1B 1C 1；（3）求三角形ABC 的面积．20．如图，小鱼家在(10,8)A 处，小云家在(4,4)B 处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走：路线△：(10,8)(10,7)(8,7)(8,6)(6,6)(6,5)(4,5)(4,4)→→→→→→→．路线△：(10,8)(4,8)(4,4)→→．（1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短；参考答案：1．B【解析】【详解】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有B符合．故选B．【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．B【解析】【详解】【分析】根据坐标求出BO,AO的长度，可得BO,AO是菱形的边，再根据平移得出图形，根据图形平移求出C的坐标，再逐个判断.【详解】如图，因为在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1,1），所以，BO=112+=,OA=2,因为O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，所以BO=CA，BO∥CA，即CA可由BO平移得到，所以C（1+2，1）所以，根据平移定义，可知选项B正确.故正确选项为：B【点睛】本题考核知识点：用坐标表示平移，菱形.解题关键：推出菱形的边长，运用平移推出C的位置，同时求出C的坐标.4．B【解析】【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．故选B．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．5．B【解析】【详解】分析：根据平移只改变物体的位置，没有改变物体的形状和大小的，并且对应线段平行且相等做出判定即可.详解：选项A，符合平移的定义，属于平移；选项B，改变物体的位置，没有改变物体的形状和大小的，对应线段不平行，不符合平移的定义，不属于平移；选项C，符合平移的定义，属于平移；选项D，符合平移的定义，属于平移；故选B．点睛：本题主要考查了平移的定义，解决本题的关键是抓住平移的特征：平移前后对应线段平行且相等来进行判断．6．D【解析】【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选出正确答案．【详解】解：根据平移的定义及性质可知：A、先把△ABC沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到△DEF；故A正确；B、先把△ABC向上平移3个单位长度，再沿水平方向向右平移4个单位长度可以得到△DEF；故B正确；C、△22=+=，BE435△把△ABC沿BE方向移动5个单位长度可以得到△DEF；故C正确；D、把△ABC沿BE方向移动6个单位长度得不到△DEF；故D错误.故选：D．【点睛】本题考查平移的基本性质：△平移不改变图形的形状和大小；△经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．7．A【解析】【分析】根据平移的性质可得CD=GH，阴影部分的面积等于梯形DMGH的面积，再求出MD的长度，然后根据梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：由平移的性质得，CD=GH=24m，且梯形ABCD的面积等于梯形EFGH的面积△阴影部分的面积=梯形DMGH的面积，△MC=6m，△MD=CD-NC=24-6=18m，△阴影部分地的面积=12（MD+GH）•MG=12×（18+24）×8=168m2．故选A．【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移前后的两个图形能够互相重合判断出阴影部分的面积等于四边形DMGH的面积是解题的关键．8．A【解析】【分析】根据平移的定义结合图形进行判断．【详解】根据平移的定义可知，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．故选A．【点睛】本题考查了平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小．9．10【解析】【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，又△AB+BC+AC=10，△四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故答案为：10．【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．10．（2n，1）【解析】【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可【详解】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），△点A4n+1（2n，1）．故答案为：（2n，1）11．3【解析】【分析】先计算出AD=AB-BD=3，然后根据平移的性质求解．【详解】△△ABC沿直线AB向下平移得到△DEF，△AD=BE，△AB=8，BD=5，△AD=AB-BD=3，△BE=3．故答案为3．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．12．（mn+2nh）cm2．【解析】【分析】根据平移计算出地毯总长，然后再根据长×宽可得面积．【详解】依题意得：地毯的面积为：（mn+2nh）cm2．故答案是：（mn+2nh）cm2．【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象、代数式求值，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．13．20【解析】【分析】根据平移的距离表示出长方形A'ECF的长和宽，即可求出结论．【详解】解：由题意得到BE=3cm，DF=4cm，△AB=DC=7cm，BC=10cm，△EC=BC-BE=10cm-3cm=7cm，FC=DC-DF=7cm-4cm=3cm，△长方形A'ECF的周长=2×（7+3）=20（cm），故答案为20．【点睛】本题考查了平移的性质，认准图形，准确求出长方形A'ECF的长和宽是解题的关键．14．1或5【解析】【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1（厘米），△如图，小正方形平移距离为1厘米；△如图，小正方形平移距离为4+1＝5（厘米)．故答案为1或5，【点睛】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．15．（0，0）【解析】【分析】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向下平移，横坐标不变，纵坐标减，进行求解即可．【详解】解：-2+2=-0，3-3=0，△P'点坐标是（0，0）．故答案为（0，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，熟记“左减右加，下减上加”是解题的关键．16．79【解析】【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积，计算即可．【详解】解：由题意可得，道路的面积为：(30+50)×1−1=79(m2)．故答案为：79【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题关键在于掌握运算公式．17．（1）111AB=，216AB=；（2）10n=．【解析】【分析】（1）根据平移的性质得出21A B 的长度，然后根据图形的位置关系求出1AB 和2AB 的长． （2）根据（1）中所求，得出数字变化规律，进而得出56n AB n =+，根据n AB 的长度即可求出n.【详解】（1）△6AB =，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形1111D C B A ，第2次平移将矩形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形2222A B C D ，△1122111125,5,651AA A A A B A B A A ===-=-=．△11122155111AB AA A A A B =++=++=．△2AB 的长为55616++=．（2）△125111AB =⨯+=，235116AB =⨯+=，△(1)5156n AB n =+⨯+=，解得10n =．【点睛】本题主要考查图形的平移.18．（1）A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）6；（3）P （0，1）或（0，-5）．【解析】【分析】（1）观察图形可得△ABC 的各顶点坐标，继而根据上加下减，左减右加即可得到平移后对应点A′、B′、C′的坐标；即可得到△A′B′C′；（2）直接利用三角形面积公式根据BC 以及BC 边上的高进行求解即可；（3）由△BCP 与△ABC 的面积相等可知点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离，据此分情况求解即可．【详解】（1）观察图形可得A （-2，1），B （-3，-2），C （1，-2），因为把△ABC 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，所以A′（-2+2，1+3）、B′（-3+2，-2+3）、C′（1+2，-2+3），即A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=12BC AD=1432⨯⨯=6；（3）设P（0，y），△△BCP与△ABC同底等高，△|y+2|=3，即y+2=3或y+2=-3，解得y1=1，y2=-5，△P（0，1）或（0，-5）．【点睛】本题考查了图形的平移，三角形的面积，熟练掌握平移的规律“上加下减，左减右加”是解题的关键．19．(1)A1（4，7），B1（1，2），C1（6，4）；(2)见解析；(3)192【解析】【分析】(1)根据平移的规律变化结合平面直角坐标系写出各点的坐标即可；(2)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1) 观察图形可知点A（-1，4），点B（-4，-1），点C（1，1），所以将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得对应点的坐标为：A1（4，7），B1（1，2），C1（6，4）；(2)△A1B1C1如图所示；(3)△ABC的面积=5×5-12×5×2-12×2×3-12×3×5=25-5-3-7.5=25-15.5=9.5．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析【解析】【分析】（1）根据有序实数对的意义即可画出路线△△，再利用平移的性质解答即可；（2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可．【详解】解：（1）路线△△如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等．（2）（答案不唯一）画出路线△：(10,8)(10,4)(4,4)→→，如图所示：【点睛】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键．。

北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题第⼀章三⾓形的证明第⼆章1．1等腰三⾓形第1课时全等三⾓形和等腰三⾓形的性质01基础题知识点1全等三⾓形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对2．如图，若能⽤AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加⼀个适当的条件：AB＝DE(答案不唯⼀)，使得△ABC≌△DEC.5．如图，点B，E，C，F在同⼀条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，∠DBA ＝∠CAB ，AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，∴△ADB ≌△BCA(ASA)．∴AD ＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ，∴∠BAD ＝∠NAM.在△BAD 和△NAM 中，AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)．∴∠B ＝∠ANM.知识点2 等腰三⾓形的性质8．若等腰三⾓形的顶⾓为50°，则它的底⾓度数为(D)A ．40°B ．50°C ．60°D ．65° 9．(2017·平顶⼭市宝丰县期末)等腰三⾓形的⼀边长为4，另⼀边长为5，则此三⾓形的周长为(D)A ．13B ．14C ．15D ．13或14 10．(2017·江西)如图1是⼀把园林剪⼑，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪⼑张开的⾓为30°，则∠A ＝75度．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，AD ＝BD ＝CD ，则下列结论错误的是(C)A ．AB ＝AC B ．AD 平分∠BAC C ．AB ＝BC D ．∠BAC ＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三⾓形的⼀个内⾓等于15°，则这个三⾓形为(D)A ．钝⾓等腰三⾓形B ．直⾓等腰三⾓形C ．锐⾓等腰三⾓形D ．钝⾓等腰三⾓形或锐⾓等腰三⾓形 14．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D)A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°15．如图，已知点A ，F ，E ，C 在同⼀直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE. (1)从图中任找两组全等三⾓形； (2)从(1)中任选⼀组进⾏证明．解：(1)答案不唯⼀，如：△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA. (2)答案不唯⼀，如选择证明△ABE ≌△CDF ，证明如下：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ⼜∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°. ⼜∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)． (2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.03 综合题17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 在边AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数； (2)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，则∠DCE ＝110°； (3)在△ABC 中，∠ACB ＝n °(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，⽤含n 的式⼦表⽰)．解：(1)∵AD ＝AC ，BC ＝BE ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠BEC. ∴∠ACD ＝(180°－∠A)÷2，∠BCE ＝(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－(∠A ＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°. ∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE －∠ACB ＝135°－90°＝45°. (3)①如图1，∠DCE ＝90°－12n °；②如图2，∠DCE ＝90°＋12n °；③如图3，∠DCE ＝12n °；④如图4，∠DCE ＝12n °.第2课时等边三⾓形的性质01 基础题知识点1 等腰三⾓形相关线段的性质1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为边AC ，AB 上的中线．若BD ＝5，则CE ＝5． 2．证明：等腰三⾓形两腰上的⾼相等．解：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D.求证：BD ＝CE.证明：∵CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. ⼜∵AC ＝AB ，∠A ＝∠A ，∴△ACE ≌△ABD(AAS)．∴CE ＝BD.知识点2等边三⾓形的性质3．如图，△ABC是等边三⾓形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)5．如图，△ABC为等边三⾓形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为⾼，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所⽰，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三⾓形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三⾓形，AD 为BC 边上的中线，∴AE ＝AD ，AD 为∠BAC 的平分线．∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∴∠BAE ＝∠BAD ＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABD(SAS)．∴BE ＝BD.02 中档题10．下列说法：①等边三⾓形的每⼀个内⾓都等于60°；②等边三⾓形三条边上的⾼都相等；③等腰三⾓形两底⾓的平分线相等；④等边三⾓形任意⼀边上的⾼与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三⾓形⼀腰上的⾼与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，△ABC 是等边三⾓形，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，点E 是AC 上⼀点，且AD ＝AE ，则∠CDE 等于(C)A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°12．如图，已知△ABC 是等边三⾓形，点B ，C ，D ，E 在同⼀直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝15度．13．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD ，BE 交于点O ，则∠BOC 的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC 纸⽚，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝45°．解：∵△ABC 是等边三⾓形，BF 是△ABC 的⾼，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE. ∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三⾓形，点M 是线段BC 上任意⼀点，点N 是线段CA 上任意⼀点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q. (1)求证：AM ＝BN ； (2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三⾓形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC. 在△AMB 和△BNC 中，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN. (2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ ＝∠NBC ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°.03 综合题17．已知，如图所⽰，P 为等边△ABC 内的⼀点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的⾼AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h. 证明如下：连接PA ，PB ，PC. ∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h. ∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ＝BC. ∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时等腰三⾓形的判定与反证法01 基础题知识点1 等腰三⾓形的判定1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BC B ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC 中，AD 平分外⾓∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC ⼀定是(C)A ．任意三⾓形B ．等边三⾓形C ．等腰三⾓形D ．直⾓三⾓形3．如图，AC ，BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，如果请你再补充⼀个条件，使得△BOC 是等腰三⾓形，那么你补充的条件不能是(C)A ．OA ＝ODB ．AB ＝CDC ．∠ABO ＝∠DCOD ．∠ABC ＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三⾓形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的⼀个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三⾓形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三⾓形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三⾓形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)⽤反证法证明命题“⼀个三⾓形中不能有两个⾓是直⾓”第⼀步应假设⼀个三⾓形中有两个⾓是直⾓．9．⽤反证法证明：等腰三⾓形的底⾓必定是锐⾓．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐⾓．证明：①假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是直⾓，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾；②假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是钝⾓，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐⾓．故等腰三⾓形的底⾓必定为锐⾓．10．⽤反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平⾏于直线c，这与“过直线外⼀点平⾏于已知直线的直线有且只有⼀条”相⽭盾，所以假设不成⽴，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州⽉考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若⽤反证法证这个结论，应⾸先假设∠B≥90°．13．如图，在⼀张长⽅形纸条上任意画⼀条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状⼀定是等腰三⾓形．14．某轮船由西向东航⾏，在A处测得⼩岛P的⽅位是北偏东70°，⼜继续航⾏7海⾥后，在B处测得⼩岛P的⽅位是北偏东50°，则此时轮船与⼩岛P的距离BP＝7海⾥．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂⾜为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三⾓形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三⾓形．16．如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE. (1)成逸同学说：BD ＝DE ，她说得对吗？请你说明理由；(2)⼩敏同学说：把“BD 平分∠ABC ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三⾓形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°. ⼜∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC(或点D 为AC 中点)．理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E. (1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变⼩(填“⼤”或“⼩”)； (2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三⾓形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE. 理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°. ⼜∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°. ∴∠ADB ＝∠DEC. ⼜∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°. 理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°. ∵∠C ＝40°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝180°－∠DAC －∠ADE ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三⾓形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三⾓形．第4课时等边三⾓形的判定01基础题知识点1等边三⾓形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三⾓形B．等边三⾓形C．不等边三⾓形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个⾓分别为60°的三⾓形是等边三⾓形B．顶⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形C．底⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形D．有⼀个⾓为60°的三⾓形是等边三⾓形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°⾓的三⾓板拼接在⼀起，则拼接后的△ABD的形状是等边三⾓形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上⼀动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三⾓形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三⾓形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.⼜∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.⼜∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三⾓形．知识点2 含30°⾓的直⾓三⾓形的性质 7．(2017·平顶⼭市宝丰县期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，则AB ＝18． 8．(2017·郑州⽉考)如图，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，∠CDB ＝30°.若BC ＝3 cm ，则AD ＝6cm.9．如图，这是某超市⾃动扶梯的⽰意图，⼤厅两层之间的距离h ＝6.5⽶，⾃动扶梯的倾⾓为30°，若⾃动扶梯运⾏速度为v ＝0.5⽶/秒，则顾客乘⾃动扶梯上⼀层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC 与铁路AD 相交于车站A ，B 区在∠CAD 的平分线上，且距车站A 为20千⽶，∠DAC ＝60°，则B 区距铁路AC 的距离为10千⽶．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝8 cm ，求AD 的长．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝8 cm ，∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝16 cm. ⼜∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DCB ＝30°. ∴DB ＝12BC ＝4 cm.∴AD ＝AB －DB ＝12 cm.02 中档题12．在下列三⾓形中：①三边都相等的三⾓形；②有⼀个⾓是60°且是轴对称图形的三⾓形；③三个外⾓(每个顶点处各取1个外⾓)都相等的三⾓形；④⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形．其中是等边三⾓形的有(D)A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④13．如图，折叠直⾓三⾓形纸⽚的直⾓，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD ＝1，∠B ＝30°，则BD 的长是(B)A ．1B ．2 C. 3 D ．2 314．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三⾓形是(D)A ．直⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．等边三⾓形15．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．616．如图，△ABC 是等边三⾓形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上⼀点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF 的形状是等边三⾓形．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边的中线，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证：△AED 是等边三⾓形；(2)若AB ＝2，则四边形AEDF 的周长是4．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＝60°. ∴AD ＝12AB.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB.∴AE ＝AD.∴△ADE 是等边三⾓形．03 综合题18．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ＝60°，连接AC.(1)如图1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证：①△ABE ≌△ACF ；②△AEF 是等边三⾓形；(2)若点E 在BC 的延长线上，则在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三⾓形？请证明你的结论(图2备⽤)．解：(1)证明：①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三⾓形．∴AB ＝AC. 同理，△ADC 也是等边三⾓形，∴∠B ＝∠ACF ＝60°.⼜∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．②∵△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°.∴△AEF 是等边三⾓形． (2)存在．证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理，可证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.∴∠BAE －∠CAE ＝∠CAF －∠CAE. ∴∠BAC ＝∠EAF ＝60°. ∴△AEF 是等边三⾓形．(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)⼩专题(⼀) 等腰三⾓形中常见的数学思想类型1 ⽅程思想1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ED ＝EA ，求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °，∵BC ＝BD ＝ED ＝EA ，∴∠ADE ＝∠A ＝x °. ∴∠DEA ＝∠DBE ＝2x °. ∴∠BDC ＝∠C ＝3x °. ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝3x °.在△ABC 中，∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180. ∴x ＝1807.∴∠A 为180°7.类型2 分类讨论思想2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取⼀点P ，使得△PAB 为等腰三⾓形，则符合条件在点P 共有(B)A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个。

北师版八年级数学下册图形的平移与旋转单元复习题（含答案）一、选择题1．(2019·河南期末)观察下面图案，在(A)(B)(C)(D)四幅图案中，能通过图案(1)平移得到的是(C)A B C D2．(2019·南阳唐河县期末)如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是(D)A．BC∥EF B．AD＝BE C．BE∥CF D．AC＝EF 3．(2019·驻马店平舆县期末)如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正确的平移方式是(A)A．向右平移4格，再向下平移4格B．向右平移6格，再向下平移5格C．向右平移4格，再向下平移3格D．向右平移5格，再向下平移3格4．(2019·郑州新密市期中)下列四幅图片，是中心对称图形的是(B)A B C D5．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1 B．O2 C．O3 D．O46．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C) A．30°B．60°C．72°D．90°7．(2019·驻马店确山县期末)把点A(3，－4)先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(D)A．(0，－8) B．(6，－8) C．(－6，0)D．(0，0)8．(2019·邓州市期末)如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝(D)A．78°B．132°C．118°D．112°9．(2019·南阳社旗县一模)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C)A B C D二、填空题10．(2018·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个相同的格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠部分，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．12如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A113．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．14．(2018·株洲)如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．15．(2019·新疆)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为三、解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°.若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.17.(2019·宁夏)已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．18．(2019·邓州市期末)取一副三角板按图1拼接，其中∠ACD＝30°，∠ACB＝45°.(1)如图2，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度(0°＜α＜180°)得到△ABC′，猜想当∠CAC′为多少度时，能使CD∥BC′？并说明理由．解：(1)AB∥CD.理由如下：∵∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，∴∠BAC＝∠C＝30°.∴AB∥CD.(2)当∠CAC′＝75°时，能使CD∥BC′.理由如下：延长BA交CD于点E.∵∠BAC′＝45°，∴∠BAC＝75°＋45°＝120°.又∵∠BAC＝∠AEC＋∠ACD，∴∠AEC＝120°－30°＝90°.又∵∠B＝90°，∴∠B＋∠AEC＝90°＋90°＝180°.∴CD∥BC′.。

第三章图形的旋转综合训练练习北师大版2023—2024学年八年级下册一、选择题1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A ．B．C ．D ．2.如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°到△OCD 的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD ＝（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°3．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°4．如图，在平面直角坐标系中，将点P （2，3）绕原点O 顺时针旋转90°得到点P '，则P '的坐标为（）A ．（3，2）B ．（3，﹣1）C ．（2，﹣3）D ．（3，﹣2）5．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.66.若点P （m ﹣1，5）与点Q m +n 的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．77．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC 的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接AA ′，若∠1＝25°，则∠BAA ′的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转31°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠DOB 的度数是（）A ．34°B ．36°C ．38°D ．40°10.如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC 上一点，DE ＝1，将△ADE 绕着点A 顺时针旋转到与△ABF 重合，则EF ＝（）A ．B ．C ．5D ．2第2题第4题第5题11．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A ′与A 对应，则角α的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．C ．3﹣D ．3﹣二、填空13．如图，在直角坐标系中，已知点A （3，2），将△ABO 绕点O 逆时针方向旋转180°后得到△CDO ，则点C的坐标是．14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转150°，得到△ADE ，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则∠B 的度数为．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE ＝EF ，则AB 的长为．16．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB ＝3，则BE ＝．17．如图，在△OAB 中，∠AOB ＝55°，将△OAB 在平面内绕点O 顺时针旋转到△OA 'B ’的位置，使得BB ′∥AO ，则旋转角的度数为．18．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，则AE 的长是．19．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，若∠EBF ＝45°，则△EDF 的周长等于．第7题第8题第9题第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第17题第18题20．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC ＝10，BD ＝9，则△AED的周长是．三、解答题21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1,1），B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。

一、选择题1.世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是( )A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量2.一本笔记本4.5元，买x本共付y元，则4.5和y分别是( )A．常量，常量B．变量，变量C．变量，常量D．常量，变量3.一列火车从兰州出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达酒泉车站减速停下，下列图形中，能刻画火车在这段时间内速度随时间变化情况的是( )A．B．C．D．4.小明在6月份的某一天倒了一杯开水，水太烫，他将这杯开水晾在桌上，则这杯水的水温（∘C）与时间（t）之间的关系图象大致是( )A．B．C．D．5.一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法中：① A，B两地相距60千米；②出发1小时，货车与小汽车相遇；③小汽车的速度是货车速度的2倍；④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶60千米；⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米．其中正确的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个6.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿线段OA−弧AB−线段BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( )A．B．C．D．7.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来，乌龟一直坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟．下列图象中能大致反映龟兔行走的路程随时间变化情况的是( )A．B．C．D．8.甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是( )A．甲的速度是70米/分B．乙的速度是60米/分C．甲距离景点2100米D．乙距离景点420米9.如图所示的图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是( )A．第3min时汽车的速度是40km/hB．第12min时汽车的速度是0km/hC．从第3min到第6min，汽车行驶了120kmD．从第9min到第12min，汽车的速度从60km/h减少到0km/h10.如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A，D，且与边BC相切于点E，分别交AB，DC于点M，N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为( )A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段MB→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段ABD．从A点出发，沿弧AM→线段MB→线段BC→线段CN二、填空题11.已知函数f(x)=x，那么f(−2)=．x+112.某品牌汽车每千米的耗油量是0.1L，用s(km)表示行驶的路程，p(L)表示耗油量．在此过程中，变量是，常量是；p关于s的函数表达式是，当s=200km时，函数p的值是L．13.自2020年1月1日延庆区开展创城以来，积极推广垃圾分类，在垃圾分类指导员的帮助下，居民的投放正确率不断提升，分类习惯正在养成．尤其是在5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施以来，延庆区城管委为全区从源头上规范垃圾投放，18个街乡镇新配备户用分类垃圾桶20万个，助力推进垃圾分类．下面两张图表是某小区每个月的厨余垃圾量和其他垃圾量．（1）3月份厨余垃圾量比其他垃圾量多吨；（2）月份两类垃圾量（单位：吨）的差距最大．14.已知甲乙两地之间的距离为810米，小明和小天分别从甲乙两地出发，匀速相向而行，已知小明先出发1分钟后，小天再出发，两人在甲乙之间的丙地相遇，此时，小明发现有小学同学也在丙地，于是聊了一会儿，随后以原来速度的4倍返回甲地，小天相遇后继续以原速向甲地前行，到3达甲地后立即原速返回，直至再次与小明相遇．已知在整个过程中，小明、小天两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则在第二次相遇时两人距离乙地米．15.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙继续骑分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达B地．16.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有个．17.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是．三、解答题18.人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐遗忘，为提升记忆的效果，需要有计划的按时复习巩固，图中的实线部分是记忆保持量（%）与时间（天）之间的关系图．请根据图回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是；(2) 如果不复习，3天后记忆保持量约为；(3) 图中点A表示的意义是；(4) 图中射线BC表示的意义是；(5) 经过第1次复习与不进行复习，3天后记忆保持量相差约为；(6) 10天后，经过第2次复习与从来都没有复习的记忆保持量相差约为．19.从甲城向乙城打长途电话，通话时间不超过3分钟收费2.4元，超过3分钟后每分钟加收1元，写出通话费用y（元）关于通话时间x（分）的函数关系式，如果通话10.5分钟，需要多少话费？（本题中x取整数，不足1分钟按1分钟计算）20.回答下列问题：(1) 某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式并写出自变量n的取值范围．本题中，在其他条件不变的情况下请探究下列问题：(2) 当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是，其中1≤n≤25，且n是正整数；(3) 当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式分别是,，其中1≤n≤25，且n是正整数；(4) 某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．21.某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1，y2千米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题．(1) 直接写出，y1，y2与x的函数关系式；(2) 求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？(3) 甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？22.在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度ℎ(m)与操控无人机的时间t(min)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是;(2) 无人机在75m高的上空停留的时间是min；(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度为m/min；(4) 图中a表示的数是；b表示的数是；(5) 求第14min时无人机的飞行高度是多少米？23.A，B两地相距60km，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀速行驶，由A地到达B地，他们行进中的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示．(1) 乙比甲晚出发几小时？比甲早到几小时？(2) 分别写出甲走的路程s1(km)、乙走的路程s2(km)与时间t(h)之间的函数解析式．(3) 乙在甲出发后几小时追上了甲，追上甲的地点离A地多远？24.如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1=AP的每一个确定的值，θ=∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如下表所示：x1=AP012345θ=∠QMPα85∘130∘180∘145∘130∘小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在−2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：(1) 表格中α的值为．(2) 如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP=3.5时，x2的值约为．25.已知甲，乙两名自行车骑手均从P地出发，骑车前往距P地60千米的Q地，当乙骑手出发了 1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q地后立即又原路返回P地，甲，乙两名骑手距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数图象如图所示．（其中折线O−A−B−C−D（实线）表示甲，折线O−E−F−G（虚线）表示乙）(1) 甲骑手在路上停留小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为千米/时；(2) 求乙从P地到Q地骑车过程中（即线段EF）距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数关系式及自变量x的取值范围；(3) 在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x（时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】常量、变量2. 【答案】D【知识点】常量、变量3. 【答案】B【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系4. 【答案】C【解析】∵水很烫，则其温度超过外界温度，∴水的温度会随时间而降低，直到水温与外界温度相同．【知识点】图像法5. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系6. 【答案】C【知识点】图像法7. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】D【解析】开始甲，乙两人相距660米，由图可知，前24分钟甲，乙两人相相距的路程在逐渐缩小．24分钟时，乙到达景点，此时甲、乙两人相距420米之后甲又走了6分钟与乙相遇，−70（米/分）甲总共走了30分钟，∴甲的速度=4206∴甲距景点30×70=2100米，由前24分钟甲、乙两人相距660来缩小到420米，得(甲的速度−乙的速度)×24=660−420，得乙的速度=60米/分，乙总共走了24分钟，∴乙距景点60×24=1440米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系9. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系10. 【答案】D【知识点】图像法二、填空题11. 【答案】2=2．【解析】当x=−2时，f(−2)=−2−2+1【知识点】函数的概念12. 【答案】s，p；0.1L/km；p=0.1s；20【知识点】解析式法13. 【答案】1；5【解析】（1）5−4=1（吨）；（2）2月的差距约是：6.2−5.6=0.6（吨）；3月分的差距是：5−4=1（吨）；4月份的差距约是：4.3−2.3=2（吨）；5月份的差距约是：3.8−1.3=2.5（吨）；6月份的差距是：3−1=2（吨）；7月份的差距约是：2.2−1.2=1（吨）．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】738【解析】设小明、小天速度分别为V1，V2米/分钟．A到B阶段：V1×1=810−750，∴V1=60米/分钟．B到C阶段：(V1+V2)(3.7−1)=750−345，∴V2=90米/分钟．第一次相遇在丙地，即B到D阶段，(V1+V2)(t D−1)=750，∴t D=6，∴甲地到丙地距离为V1t D=60×6=360米，=4分钟，小天从丙地到甲地用时：360V2D到E阶段小明停留在丙地，F点状态是小天到达甲地，小明速度为43V1=80米/分钟，43V1[4−(7.2−6)]=80×2.8=224米，小天到达甲地，小明、小天相距360−224=136米，F到G阶段，小天从甲地返回与小明相遇，136V2+43V1=13690+80=0.8分钟，第二次相遇地点距离甲地：0.8V2=72米，810−72=738米，故第二次相遇地两人距离乙地738米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系15. 【答案】12【解析】由图及题意易乙的速度为300米/分，甲原速度为250米/分．当x=25后，甲提速为400米/分；当x=86时，甲到达B地，此时乙距B地为250(25−5)+400(86−25)−300×86=3600．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系16. 【答案】1【解析】在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度；0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系17. 【答案】①②③【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系三、解答题18. 【答案】(1) 时间；记忆的保持量(2) 40%(3) 经过第1次复习，第10天时的记忆保持量约为55%(4) 经过第5次复习，记忆保持量为100%（或经过第5次复习，能保持长久记忆；或经过第5次复习，不会再遗忘；⋯⋯）(5) 28%(所有百分数均为近似数，只要相差不大，均可视为正确)(6) 46%(所有百分数均为近似数，只要相差不大，均可视为正确)【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、函数的概念19. 【答案】当0<x≤3时，y=2.4；当x>3时，y=2.4+(x−3)=x−0.6，把x=11代入y=x−0.6得：y=11−0.6=10.4．答：如果通话10.5分钟，需要10.4元话费．【知识点】解析式法、分段函数20. 【答案】(1) m=19+n，1≤n≤25，且n是正整数．(2) m=2n+18(3) m=3n+17；m=4n+16(4) m=bn+a−b（1≤n≤p，且n是正整数）．【知识点】解析式法21. 【答案】(1) y1=4x，y2=−5x+10．(2) 由图象可知甲班速度为4 km/h，乙班速度为5 km/h，设甲、乙两班学生出发后，x小时相遇，则4x+5x=10，解得x=109．当x=109时，y2=−5×109+10=409，∴相遇时乙班离A地为409千米．(3) 甲、乙两班首次相距4千米，即两班走的路程之和为6 km，故4x+5x=6，解得x=23．∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是23小时．【解析】(1) 根据图象可以得到甲班 2.5小时走了10千米，则每小时走4千米，则函数关系式是：y1=4x；乙班从B地出发匀速步行到A地，2小时走了10千米，则每小时走5千米，则函数关系式是：y2=−5x+10．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系22. 【答案】(1) 时间（或t）；飞行高度（或ℎ）(2) 5(3) 25(4) 2；15(5) 75−2×25=25(m)．答：第14min时无人机的飞行高度是25m．【解析】(2) 无人机在75m高的上空停留的时间是12−7=5(min)．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度75−507−6=25(m/min)．(4) 图中a表示的数是5025=2min；b表示的数是12+7525=15(min)．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系23. 【答案】(1) 乙比甲晚出发1小时；比甲早到2小时．(2) s1=15t(0≤t≤4)；s2=60t−60(1≤t≤2)．(3) 当s1=s2，乙追上了甲，即15t=60t−60，解得t=43，当t=43时，s1=15×43=20，所以乙在甲出发后43小时追上了甲，追上甲的地点离A地20千米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、行程问题24. 【答案】(1) 50∘(2) ①x1；x2；②③−1.87．【知识点】函数的概念、图像法、列表法25. 【答案】(1) 1；30(2) 乙出发 1.5 小时，甲走了 20×(2.5−1)=30（千米），甲乙相距 6 千米， ∴ 乙走了：30−6=24（千米）， 设 EF 的解析式为 y =k 1+b 1，把 (1,0)，(2.5,24) 代入得：{k 1+b 1=0,2.5k 1+b 1=24,解得 {k 1=16,b 1=−16,∴y =16x −16，令 y =60，则 16x −16=60，解得 x =4.75， ∴x 的取值范围为：1≤x ≤4.75．(3) 设 BC 的解析式为 y =kx +b ， 由 B (2,20)，C (4,60) 得 {2k +b =20,4k +b =60,解得 {k =20,b =−20,∴BC 的解析式为 y =20x −20，当 0≤x ≤2 时，20−(16x −16)=8，解得 x =74； 当 2<x ≤4 时，(20x −20)+(16x −16)=8，解得 x =3；当4≤x≤630时，(x−4)+(16x−16)=60−8，解得x=9423．综上所述，当x=74或3或9423时，甲、乙两骑手相距8千米．【解析】(1) 由图象可知，甲骑手在路上停留1小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为：60÷(6−4)=30（千米/时）．【知识点】行程问题、用函数图象表示实际问题中的函数关系。

北师大版数学八年级下册第三章第四节简单的图案设计课时练习一、选择题（共10题）1．如图，是四家银行行标，不可以先设计出一半来通过对折来完成的是( )A.①③B.②④C.②D.④答案：D解析：解答：根据轴对称图形的定义可以判断④不是轴对称图形；故答案是D选项分析：考查如何通过轴对称设计图案2．图画上大风车的叶片可以看作一个叶片通过怎样的运动得到（）A.平移B.旋转C.平移和旋转D.对折答案：B解析：解答：大风车上的叶片可以看作由一个叶片旋转得到；故答案是B选项分析：考查利用旋转设计图案3．利用电脑，在同一页面对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作一个基本图形通过（）得到的A.旋转B.平移和旋转C.平移D.拉伸答案：C解析：解答：复制就是把一个平移到另一个位置，所以答案是C选项分析：考查平移设计图案4.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，若∠B=30︒，那么∠E=( )A. 20︒B. 60︒C. 30︒D. 45︒答案：C解析：解答：因为设计的风筝是轴对称图形，所以对应角相等，故答案是C选项分析：注意中心对称和轴对称的特点5.广告设计人员在设计图案的时候经常用到的方法是（）A.旋转B.平移C.轴对称D.以上都是答案：D解析：解答：在设计图案的时候经常用到的是旋转、平移、轴对称，故答案是D选项分析：考查图案的设计方法6. 如图，将△ABC绕点O旋转一定的角度得到△A′B′C′，下列结论中不成立的是( )A.OC=OC′B.OA=OA′C.BC=B′C′D.∠ABC=∠A′C′B′答案：D解析：解答：旋转前后的图形全等，而且对应角相等，D选项中不是对应角分析：考查旋转前后的图形全等的问题7.一个长方形绕一点旋转一周所形成的图形可能是( )A.圆B.长方形C.圆环D.正方形答案：C解析：解答：长方形绕一点旋转一周时所形成的图形是圆环，故答案是C选项分析：注意成简单的图案设计方法8.五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过怎样的运动得到的（）A.旋转B.平移C.对折D.旋转和平移答案：D解析：解答：五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过平移和旋转得到，故答案是D分析：注意对中心对称图形的理解9. 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )答案：A解析：解答：此题需有一定空间想象能力,可以实际动手操作一下,以自己能辩认的简单图案代表各图案.，故答案是A选项10.下列几种图案是车的标志，问其中是轴对称图形的有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A解析：解答：根据轴对称图形的定义可知奥迪和大众这两个车标是轴对称图形，所以答案是A分析：考查轴对称图形二、填空题（共10题）11.如图的雪花有______条对称轴答案：3解析：解答：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合，所以雪花有3条对称轴分析：考查对称轴的多少12.起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的_____________答案：平移解析：解答：起重机将重物垂直提起，可以看成平移现象分析：注意分清平移的特点13.关于轴对称的两个图形，沿对称轴折叠后答案：重合解析：解答：关于轴对称的两个图形，沿对称轴折叠后重合分析：注意对称点的连线一定经过对称中心14.轴对称图形只有一条对称轴_______（判断对错）答案：错误解析：解答：有的轴对称图形不止有一条对称轴，如圆、正方形等分析：考查轴对称图形的对称轴的数目15.广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等答案：旋转解析：解答：图案设计的时候经常用到的是行轴对称、平移和旋转等16. 将点A 绕另一个点O 旋转一周，点A 在旋转过程中所经过的路线是_______ 答案：圆解析：解答：利用旋转一周可以得到的图形是圆分析：考查利用旋转设计图案17. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的答案：平移解析：解答：利用平移可以得到一些相同的图案分析：考查简单的图案设计18. 利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案；这种说法_____________ 答案：正确解析：解答：构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或是类似的常规图形，利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案分析：考查简单图形的设计方法19. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案圆环经过______运动得到 答案：平移解析：解答：一个圆环经过平移运动可以得到五环图案分析：考查简单的图案设计20.木工师傅在设计拉动抽屉时，参考的数学原理是 _____答案：平移解析：解答：在拉动抽屉时候前后移动而抽屉不发生改变，这是平移的原理分析：注意旋转的要点三、解答题（共5题）21. 从8:55到9:15，钟表的分针转动的角度是？答案：120°解答：分针60分钟转一周，时针十二小时转一周.从8:55到9:15经过了20分钟，所以，分针转动的角度是6020×360°=120° 解析：分析：注意钟表分针旋转一周的角度22. 从5:55到6:15，时针转动的角度是？答案：10°解答：从5:55到6:15经过了31小时，所以，时针转动的角度是31×121×360°=10°.解析：分析：注意钟表上时针一小时走过的角度 23. 如图，王虎使一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为？答案：27πcm 解答：:第一次翻滚可以看成是以B 为圆心,以AB 为半径的弧,且可求得∠ABA 1＝90°,∴第一次翻滚走过的路径为41×2×5π=25π,第二次翻滚可看成是以C 为圆心,以A 1C 为半径的弧,且∠A 1CA 2=60°,∴第二次翻滚走过的路径为61×2×3π=π.总共路径=25π+π=27π cm. 解析：分析：考查旋转问题，关键是找准对应点24.请你设计一个只有两条对称轴的优美图案答案：解答：解析：分析：注意轴对称图形的特点25. 在图案设计中常用的作图工具有？答案：解答：在图案设计中常用的作图工具有直尺，圆规，三角尺解析：分析：考查简单的图案设计。

北师版八年级下数学第三章随堂练习96一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A. B.C. D.2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是A. B.C. D.3. 如图所示，是边长为的正方形的中心，将一块半径足够长．圆心为直角的扇形纸板的圆心放在点处，并将纸板的圆心绕点旋转，则正方形被纸板覆盖部分的面积为A. B. C. D.4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，则点的坐标是C. D.5. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 如图，在正方形网格中，线段可以看作是线段经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由线段得到线段的过程：．7. 一艘轮船顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则水流的速度是．8. 一只蚂蚁由先向上爬个单位长度，再向右爬个单位长度，再向下爬个单位长度后，它所在位置的坐标是．9. 下列图中是中心对称图形的有．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，将四边形绕点旋转后得到一个四边形，请在图中依次标上点，，，的对应点，，，．11. 如图，与关于某一点成中心对称，画出对称中心．12. 画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗?动手画一画．13. 如图，正方形网格中，为格点三角形．（即三角形的顶点都在格点上）（1）按要求作图：将沿方向平移，平移的距离是长的倍，在网格中画出平移后的．（2）如果网格中小正方形的边长为，求在平移过程中扫过的面积．答案第一部分1. C 【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．2. D3. B4. A 【解析】将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，点的横坐标为，纵坐标为，的坐标为．5. B【解析】A．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B．不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；C．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；D．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误．第二部分6. 将线段绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度7.8.9. （1），（3）第三部分10. 略．11. 如图所示：利用关于一点对称的图形对应点相交于一点，进而连接各对应点得出点即为所求．12. 答案不唯一，举例如图．13. （1）如图．（2）．。

北师大版八年级数学下册第三章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【2022·交口县期末】如图，国家节水标志由水滴、手掌和地球变形而成，寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是()2．在平面直角坐标系中，将点A(4，5)向左平移2个单位长度，所得到的点的坐标为()A．(2，5) B．(6，5) C．(4，7) D．(2，3)3．【教材P83随堂练习T1变式】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()4．【教材P89复习题T13变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是()A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)5．【教材P90复习题T21变式】如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝2，AB＝1，把Rt△ABO绕着原点逆时针旋转90°，得到△A′B′O，那么点A′的坐标为() A．(－3，1) B．(－2，3)C．(－1，3) D．(－3，2)6．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD，CE，若△ACD的面积为10，则△BCE 的面积为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．47．【教材P 74习题T 3变式】【2022·威海】如图，在方格纸中，点P ，Q ，M 的坐标分别记为(0，2)，(3，0)，(1，4)．若MN ∥PQ ，则点N 的坐标可能是( ) A ．(2，3) B ．(3，3) C ．(4，2) D ．(5，1)8．【2022·呼和浩特】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC ，ED 交于点F .若∠BCD ＝α，则∠EFC 的度数是(用含α的代数式表示)( ) A ．90°＋12α B ．90°－12α C ．180°－32α D ．32α9．如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A ，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 平移的距离为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．810．【2022·杭州】如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B .在M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，M 2(－3，－1)，M 3(1，4)，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2，112四个点中，直线PB 经过的点是( )A ．M 1B ．M 2C ．M 3D ．M 4 二、填空题(每题3分，共24分)11．在平面直角坐标系中，点A (－3，7)关于原点中心对称的点的坐标是________．12．在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是__________．13．在四张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正五边形、平行四边形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是________．14．如图，△ABC的顶点分别为A(3，6)，B(1，3)，C(4，2)．若将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BC′，则点A的对应点A′的坐标为__________．15．如图，把边长为3 cm的正方形ABCD先向右平移1 cm，再向上平移1 cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为__________．16．如图，将△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE.若∠CAE＝60°，∠E＝65°，且AD⊥BC，则∠BAC＝________°.17．如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝4.5，BD＝4，则△ADE的周长为________．18．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，连接EF，则有下列结论：①△AED≌△AEF；②BE＋DC＝DE；③S△ABE＋S△ACD＞S△AED；④BE2＋DC2＝DE2.其中正确的是__________．(填序号)三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．【2022·吉林二模】图①、图②、图③都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上灰色，请你再涂灰两个．．小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．(1)图①中，整个涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)图②中，整个涂色部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)图③中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．20．【教材P77习题T1变式】如图，△ABC是等边三角形，△ABD按顺时针方向旋转后能与△CBD′重合．(1)旋转中心是________，旋转角是________°；(2)连接DD′，求证：△BDD′为等边三角形．21．【2022·淮北期末】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F.(1)请说明∠DAC＝∠F.(2)若BC＝6 cm，当AD＝2CE时，则AD＝________．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点)．(1)将△ABC先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的图形；(2)将△ABC绕点A1顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出旋转后的图形；(3)借助网格，利用无刻度直尺画出△A1B1C1的中线A1D1.(画图中要体现找关键点的方法)23．【2022·哈尔滨三模】如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求，并说明理由．(1)在图①中，以AB和AC为边画四边形ABDC，点D在小正方形的顶点上，此四边形至少有两个内角为直角且既不是中心对称图形也不是轴对称图形；(2)在图②中，以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，此四边形只有一个内角为直角且面积为10.24．【探究规律】如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2＋1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，如图②，连接CE，BD，CD.(1)当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；(2)如图③，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．答案一、1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9．A 10．B二、11．(3，－7) 12．(1，5) 13．35 14．(4，1) 15．4 cm 2 16.85 17.8.518．①③④ 提示：由旋转的性质知AF ＝AD ，BF ＝CD ，∠FBA ＝∠DCA ，∠F AD＝90°，又∵∠DAE ＝45°， ∴∠F AE ＝∠DAE ＝45°.又∵AE ＝AE ，∴△AED ≌△AEF .∴DE ＝EF . ∵∠EBF ＝∠FBA ＋∠ABE ＝∠ACD ＋∠ABE ＝90°， ∴BE 2＋BF 2＝BE 2＋DC 2＝EF 2＝DE 2.又∵S △ABE ＋S △ACD ＝S △ABE ＋S △AFB ＞S △AED ，BE ＋DC ＝BE ＋FB ＞EF ＝ED ， ∴正确的结论是①③④.三、19．解：(1)如图①，整个涂色部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．(答案不唯一)(2)如图②，整个涂色部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．(答案不唯一)(3)如图③，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．20．(1)点B ；60(2)证明：由旋转的性质得BD ＝BD ′. ∵旋转角是60°， ∴∠DBD ′＝60°.∴△BDD ′为等边三角形．21．解：(1)∵△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF ，∴AC∥DF，AD∥BF.∴∠ACB＝∠F，∠ACB＝∠DAC.∴∠DAC＝∠F.(2)4 cm提示：∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，∴AD＝BE.设AD＝BE＝x cm，则CE＝12x cm，∵BC＝6 cm，∴x＋12x＝6.解得x＝4，即AD的长为4 cm.22．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)如图，线段A1D1即为所求．23．解：(1)如图①，取点D，连接BD，CD，四边形ABDC即为所求．理由：由图①可得AB2＝22＋12＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25.∴BC2＝AB2＋AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.根据图①可知∠BDC＝90°，∴四边形ABDC满足至少有两个内角为直角，根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知四边形ABDC 既不是轴对称图形也不是中心对称图形， ∴四边形ABDC 即为所求．(2)取点E ，连接AE ，CE ，四边形ABCE 即为所求，如图②.理由：由(1)可知△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝25， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×5×25＝5.由图②可得AE ＝32＋12＝10，CE ＝32＋12＝10. ∴AC 2＝AE 2＋CE 2，AE ＝CE .∴△ACE 是直角三角形，且∠AEC ＝90°，∠EAC ＝∠ECA ＝45°. ∴S △AEC ＝12AE ·CE ＝12×10×10＝5. ∴S 四边形ABCE ＝S △ABC ＋S △AEC ＝5＋5＝10.∵△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ≠AC ， ∴∠ACB ≠45°，∠ABC ≠90°. ∴∠ACB ＋∠ACE ≠90°.又∵∠BAE ＝∠BAC ＋∠CAE ＝135°， ∴四边形ABCE 只有内角∠AEC 为直角， ∴四边形ABCE 即为所求． 24．(1)证明：易知∠CAE ＝∠BAD ＝α.在△ACE 和△ABD 中，⎩⎨⎧AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，AE ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD (SAS)． ∴CE ＝BD .(2)证明：由(1)知△ACE ≌△ABD ， ∴∠ACE ＝∠ABD .∵∠ACE ＋∠AEC ＝90°，∠AEC ＝∠FEB ， ∴∠ABD ＋∠FEB ＝90°. ∴∠EFB ＝90°.∴CF ⊥BD .∵AB ＝AC ＝2＋1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°， ∴BC ＝2＋2，CD ＝AC ＋AD ＝2＋2. ∴BD ＝CD .又∵CF ⊥BD ，∴BF ＝DF . ∴CF 垂直平分BD .(3)解：在△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时△BCD 的面积有最大值．∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上，且在△ABC 外部时，△BCD 的面积取得最大值．如图，延长DA 交BC 于点G ，则DG ⊥BC .∵AB ＝AC ＝2＋1，∠CAB ＝90°，DG ⊥BC 于点G ， ∴AG ＝12BC ＝2＋22，∠GAB ＝45°. ∴DG ＝AG ＋AD ＝2＋22＋1＝2＋42，∠DAB ＝180°－45°＝135°. ∴S △BCD 的最大值为12BC ·DG ＝12×(2＋2)×2＋42＝32＋52. 此时旋转角α＝135°.。

2019备战中考数学基础必练（北师大版）-第三章-整式及其加减（含解析）一、单选题1.已知和－是同类项，则的值是( )A. －1B. －2C. －3D. －42.下列说法正确的是（）。

A. 0是单项式B. 单项式的系数是C. 单项式的次数为D. 多项式是五次三项式3.若关于x，y的多项式x2y-7mxy+y3+6xy化简后不含二次项，则m=（）A. B. C. - D. 04.﹣（a﹣b+c）变形后的结果是（）A. ﹣a+b+cB. ﹣a+b﹣cC. ﹣a﹣b+cD. ﹣a﹣b﹣c5.对于代数式，下列说法不正确的是（）A. 它按x降幂排列B. 它是单项式C. 它的常数项是D. 它是二次三项式6.买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要（）元．A. 4m+7nB. 28mnC. 7m+4nD. 11mn7.如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直继续交换位置，第2012次交换位置后，小鼠所在的座号是（）.A. 1B. 2C. 3D. 48.已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b的值为（）A. 179B. 140C. 109D. 210二、填空题9.若代数式x+y的值是1，则代数式（x+y）2﹣x﹣y+1的值是________．10.若与是同类项，则m+n=________.11.- πx2y的系数是________；12.鸡兔同笼，鸡m只，兔n只，则共有________个头，________只脚．13.d是最大的负整数，e是最小的正整数，f的相反数等于它本身，则d﹣e+2f的值是________14.学校决定修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，则草坪的面积是________平方米．15.观察下列等式12=1= ×1×2×（2+1）12+22= ×2×3×（4+1）12+22+32= ×3×4×（6+1）12+22+32+42= ×4×5×（8+1）…可以推测12+22+32+…+n2=________．16.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺板地面：依上推测，第n个图形中白色瓷砖的块数为________．17.若x2-2x=3．则代数式2x2-4x+3的值为________．三、计算题18.如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求：的值。

第三章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列现象中,属于平移的是( )①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上,瓶装饮料的移动.A.②④B.①③C.②③D.①②2.下列说法正确的是( )A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到3.下列图形中,旋转120°后能与原图形重合的是( )A.等边三角形B.正方形C.正五边形D.矩形4.如图1,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移到△DEF,已知BC=5,EC=3,那么平移的距离为( )图1A.2B.3C.5D.75.已知平面内A,B,C三点有如下关系:将点A先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点B;将点A先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度得到点C.若点B的坐标为(5,-3),则点C的坐标为( )A.(4,-6)B.(6,-7)C.(2,-5)D.(8,-1)6.如图2所示的是一个以点O为对称中心的中心对称图形,若∠A=30°,∠C=90°,AC=1,则AB的长为( )图2A.4B.C.D.7.如图3所示,将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE,连接BD,则∠ADB的度数为( )图3A.30°B.50°C.80°D.100°8.风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.如图4,现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片粘到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的粘合方法是( )图4A. B.C. D.9.△A1B1C1是△ABC平移后得到的三角形,则△A1B1C1≌△ABC,理由是.10.在平面直角坐标系中,点A(1,2)可由点B(1,0)向平移个单位长度得到.11.在26个大写英文字母中,写出既是轴对称,也是中心对称的字母、、.(写出3个)12.如图5,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若线段AB=3,则BE=.图513.如图6所示,△ABC和△DCE是等边三角形,将△ACE绕着点逆时针旋转度可得到.图614.如图7所示,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP’重合,如果AP=2,那么PP’=.图715.作图:(1)如图8所示,将字母A按箭头所指的方向,平移3cm,作出平移后的图形;(2)如图9所示,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D,请作出平移后的三角形.图8图916.如图10所示的图案可以看成是什么“基本图案”通过怎样的变化得到的?图1017.如图11所示,A,B两点的坐标分别为(2,3),(4,1).(1)求△ABO的面积;(2)把△ABO向下平移3个单位长度后得到△A’B’O’,求△A’B’O’的3个顶点的坐标.图1118.如图12所示,四边形ABCD是正方形,AF=AE.(1)可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法怎样变化,使△ABE变到△ADF的位置?(2)线段BE与DF之间有怎样的关系,为什么?图1219.如图13,已知△ABC三个顶点坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(4,4).(1)请按要求画图:①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2.(2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标.图1320.如图14①所示,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论;(2)将图14①中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图14②,(1)中的结论还成立吗?作出判断,并说明理由;(3)将图14①中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形(草图即可).此时(1)中的结论还成立吗?作出判断,不必说明理由.①②图14参考答案1.A2.B3.A4.A5.C6.D7.B8.A9.平移不改变图形的形状和大小10.上 211.H、I、O12.313.C 60 △BCD14.215.解:作图略.16.解:图案是由△ABC绕点O顺时针(逆时针)旋转三次而形成的,旋转角度依次为90°,180°,270°.17.解:(1)S△ABO=3×4-×4×1-×2×2-×2×3=5.(2)△A’B’O’的3个顶点的坐标分别为A’(2,0),B’(4,-2),O’(0,-3).18.解:(1)旋转方法,△ABE绕A点逆时针旋转90°,变到△ADF的位置.(2)BE=DF且BE⊥DF.理由如下:由(1)得△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∠ABE=∠ADF.∵∠ADF+∠F=90°,∴∠ABE+∠F=90°,即BE⊥DF.19.(1)①如图所示:△A1B1C1即为所求;②如图所示:△A2B2C2即为所求;(2)由图形可知:交点坐标为(-1,-4).20.解:(1)AF=BE.证明:∵△ABC和△CEF是等边三角形,∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=60°.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE.(2)成立.理由如下:∵△ABC和△CEF是等边三角形,∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°.∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB,即∠ACF=∠BCE,∴△AFC≌△BEC,∴AF=BE.(3)结论仍成立.作图不唯一,如:。

北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转单元自测一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（）A ．戴口罩讲卫生B ．勤洗手勤通风C ．有症状早就医D ．少出门少聚集6．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点()06B ，，点A 在第一象限内，AB OA =，120OAB ∠=︒，将ABO 绕点О逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．(33-，B ．()3-，C ．)33-，D ．(33，8．下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到OCD ，若10050A D ∠=︒∠=︒，，则AOD ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°二、填空题11．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的.12．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点B'在BC 上．若△B ＝50°，则△CAC′的度数为 ．13．如图，在ABC 中，70C ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''，且C '在边BC上，则B AB ∠'的度数为 .14．如图，数轴上放置的正方形的周长为8个单位，它的两个顶点A 、B 分别与数轴上表示1-和3-的两个点重合．现将该正方形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动的翻滚，当正方形翻滚一周后，点A 落在数轴上所对应的数为7．（1）当正方形翻滚三周后，点A 落在数轴上所对应的数为 ；（2）如此继续下去，当正方形翻滚n 周后(n 表示正整数)，用含n 的式子表示点A 落在数轴上所对应的数为 ．三、计算题15．如图，在ABC 中，点D 是 AB 边上的中点.（1）画出 BCD 关于点D 的中心对称图形（ AED ）； （2）若 2AC = ， 4BC = ，根据所作图形直接写出线段 CD 长的取值范围.16．如图所示，△ABC 平移后得到了△DEF ，D 在AB 上，若△A=26°，△E=74°，求△1，△2，△F ，△C 的度数．四、作图题17．ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O 为坐标原点．( 1 )将ABC 向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到111A B C ；作111A B C 关于y 轴对称的222A B C ；在图中画出111A B C 和222A B C ，并写出2A 、2B 、2C 的坐标． ( 2 )在y 轴上存在一点M ，使得11A B M 的周长最小，请在图中画出点M 的位置．18．如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC （顶点都在小正方形的顶点上）及格点P ，按下列要求画格点三角形．（1）在图1中，画出△ABC 绕点P 顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．（2）在图2中，画出△ABC 绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF ，且点P 在△DEF 内（不包括边界）．五、解答题19．如图，在ABC 中，80B ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到A B C '''，且AB A C⊥'于点D ，求A CB ∠''的度数.20．如图，在ΔABC 中，75CAB ∠=，在同一平面内，将ΔABC 绕点A 旋转到ΔAB C ''的位置，使得CC '△AB ，求BAB ∠'的度数．六、综合题21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt ABC 的三个顶点()22A -，，()05B ，，()02C ，．（1）将ABC 以点C 为旋转中心旋转180︒， 得到11A B C ，请画出11A B C 的图形；（2）平移ABC ，使点A 的对应点2A 坐标为()26-，，请画出平移后对应的222A B C 的图形； （3）若将11A B C 绕某一点旋转可得到222A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．22．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到AED ，（1）填空：若35BAC ∠=︒，则CAE ∠的度数为 ； （2）连接BE ，若线段5AB =，求ABE 的周长．23．将一副三角板的两个锐角顶点重合，△AOB ＝45°，△COD ＝30°，OM 、ON 分别是△AOC 、△BOD 的平分线．（1）如图1，当OB 与OC 重合时，则△MON 的大小为 ；（2）当△COD 绕着点O 旋转至如图2所示，且△BOC ＝10°时，求△MON 的度数； （3）当△COD 绕着点O 旋转至如图3所示，且△BOC ＝n°时，求△MON 的度数．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故答案为：C．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。

北师大版八年级数学下册第三章综合素质评价一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是()A．国旗上升的过程B．球场上滚动的足球C．工作中的风力发电机叶片D．传输带运输的东西2．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()3．【2022·汕头澄海区期末】将点P(－3，4)先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的点的坐标是()A．(－7，1) B．(－7，7) C．(1，7) D．(1，1)4．如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，则旋转中心可能是()A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图，点A(0，8)，△AOB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝45x上，则△AOB向右平移的长度为()A．241 B．10 C．8 D．66．如图，在△ABC中，∠BAC＝138°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C的度数为()A．16°B．15°C．14°D．13°7．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标为(1，0)，将△OAB 绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为()A．(－12，32) B．(－1，12) C．(－32，32) D．(－32，12)8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB 平移至A′B′，那么a＋b的值为()A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连接BB′，则△A′BB′的周长为()A. 3 B．1＋ 3 C．2＋ 3 D．3＋ 310．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝2，AD＝42，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 023次旋转结束时，点C的坐标为()A．(6，4) B．(－6，－4) C．(4，－6) D．(－4，6)二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m＋1，2m－4)，将点A向上平移两个单位后刚好落在x轴上，则m的值为______________．12．如图，将△ABC沿CB向左平移3 cm得到△DEF，AB，DF相交于点G，如果△ABC的周长是12 cm，那么四边形ACED的周长为______________．13．如图是一块长方形场地ABCD，长AB＝a米，宽AD＝b米，A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为______________平方米．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，则△2 023的直角顶点的坐标为______________．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC(点D、E分别与点A、B对应)，如果∠ACD与∠ACE的度数之比为32，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为______________．三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16．请你将下面的图形通过平移、旋转或轴对称，设计出一幅图案．17．如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转得到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．18．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－3，－4)、B(0，－3)、C(－1，－1)，D(－3，－2)．画出将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的四边形A′B′C′D′，并写出点C′的坐标．四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，0)、B(－3，3)、C(－4，－1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．(1)画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；(3)写出△A1B1C1经过怎样的旋转可直接得到△A2B2C2.(请将(1)(2)小问的图都作在所给图中)20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位长度，记平移后得到的三角形为△DEF.(1)求DB的长；(2)求此时梯形CAEF的面积．21．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB 边上时，(1)猜想线段DE与AC的位置关系是____________，并加以证明；(2)设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是____________，并加以证明．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC ＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E，使DE＝AD.再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”的字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，解答下列问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF.(1)求证：BE＋CF＞EF；(2)若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，边BA绕点B顺时针旋转α得到线段BP，连接P A，PC，过点P作PD⊥AC于点D.(1)如图1，若α＝60°，求∠DPC的度数；(2)如图2，若α＝30°，求∠DPC的度数；(3)如图3，若α＝150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．答案一、1．C2．D3．D4．C5．B6．C7．A8．A9．D点拨：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴BC＝3AC＝3，AB＝2AC＝2，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，AB＝A′B′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CA＝CA′，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1，∴∠BCB′＝60°，A′B＝AB－AA′＝1，∴△CBB′为等边三角形，∴BB′＝CB＝3，∴△A′BB′的周长为A′B＋A′B′＋BB′＝1＋2＋3＝3＋ 3.10．B点拨：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，∵OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∵BC＝AD＝42，∴CE＝BE＝4，∴OE＝OB＋BE＝6，∴C(－4，6)，∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第1次旋转结束时，点C的坐标为(6，4)；则第2次旋转结束时，点C的坐标为(4，－6)；则第3次旋转结束时，点C的坐标为(－6，－4)；则第4次旋转结束时，点C的坐标为(－4，6)；….发现规律：旋转4次为一个循环，∵2 023÷4＝505……3，则第2 023次旋转结束时，点C的坐标为(－6，－4)．二、11．112．18 cm13．(ab－a－2b＋2)14．(8 088，0)点拨：∵点A(－3，0)，B(0，4)，∴AB＝32＋42＝5.由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环，一个循环前进的长度为4＋5＋3＝12.∵2 023÷3＝674……1，∴△2 023的直角顶点是第675个循环组的第一个三角形的直角顶点，其与第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点坐标相同．∵674×12＝8 088，∴△2 023的直角顶点的坐标为(8 088，0)．15．30°或150°点拨：当旋转角小于50°时，如图，旋转角为∠BCE.∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴∠DCE＝50°，∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3∶2，∴∠ACE＝23＋2×50°＝20°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝30°；当旋转角大于50°时，如图，∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3∶2，∠DCE＝∠ACB＝50°，∴∠ACE＝2∠DCE＝100°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝150°.三、16．解：如图所示．(答案不唯一)17．解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠BCA＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°，∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠D＝40°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－40°＝40°，∴∠DAC的度数为40°.18．解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求，点C′的坐标为(2，2)．四、19．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(4，1)；(2)如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(－3，－3)；(3)△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2.(答案不唯一) 20．解：(1)∵将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位长度得到△DEF，∴AD＝3，∵AB＝5，∴DB＝AB－AD＝2；(2)如图，作CG⊥AB于点G，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理得BC＝AB2－AC2＝4，由三角形的面积公式得CG·AB＝AC·BC，∴3×4＝5×CG，∴CG＝12 5，∵将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位长度得到△DEF，∴CF＝BE＝3，∴梯形CAEF的面积为12(CF＋AE)×CG＝12×(3＋5＋3)×125＝665.21．解：(1)DE∥AC(或填平行)证明：∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；(2)S1＝S2证明：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴CD＝AC＝12AB，由(1)可得∠DCB＝30°，∴∠B＝∠DCB，∴BD＝CD＝12AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质可知，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2.五、22．(1)证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG，EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD)．易得△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，又∵DE⊥DF，∴ED垂直平分GF，∴EF＝EG.在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF；(2)解：BE2＋CF2＝EF2.证明：∵∠A＝90°，∴∠EBC＋∠FCB＝90°，由(1)知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，∴BE2＋CF2＝EF2.23．解：(1)∵边BA绕点B顺时针旋转α得到线段BP，∴BA＝BP，∵α＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝AC，又∵∠BAC＝90°，∴∠P AC＝30°，∴∠ACP＝75°，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC＝15°；(2)如图1，过点A作AE⊥BP于点E，∵∠1＝30°，∴∠BAE＝60°，∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BP A＝12×(180°－∠1)＝75°，∴∠2＝∠BAP－∠BAE＝75°－60°＝15°，又∵∠3＝∠BAC－∠BAP＝90°－75°＝15°，PD⊥AC，∴∠APD＝75°，∴∠APD＝∠APB＝75°，∴P A平分∠BPD，又∵BP⊥AE，PD⊥AD，∴AE＝AD，又∵在Rt△ABE中，∠1＝30°，∴AE＝12AB＝12AC，∴AD＝12AC＝DC，∴∠DPC＝∠APD＝75°；(3)如图2，过点A作AE⊥BP，交PB的延长线于点E. ∴∠AEB＝90°，∵∠ABP＝150°，∴∠1＝30°，∠BAE＝60°，又∵BA＝BP，∴∠2＝∠3＝12∠1＝15°，∴∠P AE＝75°，∵∠BAC＝90°，∴∠4＝75°，∴∠P AE＝∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，在△APE和△APD中，∵∠AEP＝∠ADP，∠P AE＝∠4，P A＝P A，∴△APE≌△APD，∴AE＝AD，在Rt△ABE中，∠1＝30°，∴AE＝12AB，又∵AB＝AC，∴AE＝AD＝12AB＝12AC，∴AD＝CD，又∵∠ADP＝∠CDP＝90°，∴PD垂直平分AC，∴P A＝PC，∴∠DCP＝∠4＝75°，∴∠DPC＝15°.。

北师大版八年级数学下册第三章测试卷及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.在以下生活现象中，属于旋转变换的是( )A ．钟表的指针和钟摆的运动B ．站在电梯上的人的运动C ．坐在火车上睡觉的旅客D ．地下水位线逐年下降2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )3. 已知点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(2，1)．将线段AB 沿某一方向平移后，点A 的对应点的坐标为(－2，1)，则点B 的对应点的坐标为( )A ．(5，3)B ．(－1，－2)C ．(－1，－1)D ．(0，－1)4.如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(2，－2)C ．(2，5)D ．(－2，5)5.若P 与A(1，3)关于原点对称，则点P 落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B 的对应点B′在边AC 上(不与点A ，C 重合)，则∠AA′B′的度数为( )A ．αB ．α－45°C ．45°－αD ．90°－α7.如图，在△AOB 中，BO ＝32，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A′OB′，连接BB′，则线段BB′的长为( )A ．1 B. 2 C. 32 D.322 8.如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是( )A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠CC ．AD ∥BC D ．AD ＝BC9.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A 的对应点A′在直线y ＝34x 上，则点B 与其对应点B′之间的距离为( )A.94B ．3C ．4D ．5 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB 边上，则点B′与点B 之间的距离为( )A ．12B ．6C ．6 2D ．6 3二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.将线段AB 平移1 cm ，得到线段A′B′，则点B 到点B′的距离是_________．12. 一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是__________．( 填序号)13.如图，已知面积为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_______.14.如图，等边三角形AOB 绕点O 逆时针旋转到△A′OB′的位置，OA′⊥OB ，则△AOB 旋转了____度．15.如图，△ABC 的顶点分别为A(3，6)，B(1，3)，C(4，2)．若将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，得到△A′BC′，则点A 的对应点A′的坐标为________．16.如图，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转到长方形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝110°，则α＝________．17.如图，OA ⊥OB ，△CDE 的边CD 在OB 上，∠ECD ＝45°，CE ＝4.若将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC ＝________．18.如图，将Rt △ABC 沿着直角边CA 所在的直线向右平移得到Rt △DEF ，已知BC ＝a ，CA ＝b ，FA ＝13b ，则四边形DEBA 的面积等于__________．三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，3)．(1)若△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，已知点C 的对应点C 1的坐标为(4，0)，画出△A 1B 1C 1；(2)若△A 2B 2C 2是△ABC 关于原点O 中心对称的图形，写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标；(3)将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 3B 3C 3，画出△A 3B 3C 3.20．(8分) 如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O 为AD边的中点．若把四边形ABCD绕点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；(2)求点C在旋转过程中经过的路径长．21．(8分) 如图，已知线段AB和点A′.尺规作图：作出由线段AB平移得到的线段A′B′，其中点A的对应点为A′.(不写作法，保留作图痕迹)22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.(1)补充完成图形；(2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.23．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边三角形BCD，连接AD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，A，C，E三点恰好在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，求∠BAD 的度数和AD的长．24．(10分) 如图①，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°.(1)求∠BCD的度数；(2)将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′.当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C 并延长交AB于点E.①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD′≌△CAE.25．(14分) 如图，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图②)，量得它们的斜边长为10 cm，较小的锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，且点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决：(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.参考答案1-5ABCAB 6-10CDCCD11. 1cm12. ②③④13. 1414. 15015. (4，1)16. 20°17. 218. 23ab 19. 解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作．(2)A 2(3，－5)，B 2(2，－1)，C 2(1，－3)．(3)如图，△A 3B 3C 3为所作．20．解：(1)旋转后的图形如图所示．(2)如图，连接OC.由题意可知，点C 的旋转路径是以O 为圆心，OC 的长为半径的半圆．∵OC ＝12＋22＝5，∴点C 在旋转过程中经过的路径长为5π.21. 解：如图，线段A′B′即为所求．(画法不唯一)22. (1)解：补全图形，如图所示．(2)证明：由旋转的性质得∠DCF ＝90°，DC ＝FC ，∴∠DCE ＋∠ECF ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＋∠BCD ＝90°.∴∠ECF ＝∠BCD.∵EF ∥DC ，∴∠EFC ＋∠DCF ＝180°.∴∠EFC ＝90°，在△BDC 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝FC ，∠BCD ＝∠ECF ，BC ＝EC ，∴△BDC ≌△EFC.∴∠BDC ＝∠EFC ＝90°.23.解：∵△BAD 绕D 点顺时针旋转60°得到△CED ，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴∠E ＝60°，∵∠BAC ＝120°，∴∠BAC ＋∠E ＝180°，∴AB ∥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝60°.∵△ABD ≌△ECD ，∴CE ＝AB ＝6，∴AE ＝AC ＋CE ＝4＋6＝10，∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝10.24. 解：(1)∵AC ＝BC ，∠A ＝30°，∴∠CBA ＝∠CAB ＝30°.∵∠ADC ＝45°，∴∠BCD ＝∠ADC －∠CBA ＝15°.(2)①由旋转的性质，得CB ＝C′B＝AC ，∠C′BD′＝∠CBD ＝∠A ＝30°，∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°. ②证明：∵AC ＝C′B，∠C′BD′＝∠A ，∴∠CEB ＝∠C′CB－∠CBA ＝45°，∴∠ACE ＝∠CEB －∠A ＝15°，∴∠BC′D′＝∠BCD ＝∠ACE ，在△C′BD′和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BC′D′＝∠ACE ，C′B＝CA ，∠C′BD′＝∠A ，∴△C′BD′≌△CAE(ASA)．25. 解：(1)图形平移的距离就是线段BC 的长，∵在Rt △ABC 中，斜边长为10 cm ，∠BAC ＝30°，∴BC ＝5 cm.∴平移的距离为5 cm(2)∵∠A 1FA ＝30°，∴∠GFD ＝60°，又∵∠D ＝30°，∴∠FGD ＝90°.在Rt △DFG 中，由勾股定理得FD ＝5 3 cm ，∴FG ＝12FD ＝532cm (3)在△AHE 与△DHB 1中，∵∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，∴FD －FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1.又∵∠AHE ＝∠DHB 1.∴△AHE ≌△DHB 1(AAS)．∴AH ＝DH。

北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转自主学习能力达标测试题2（附答案）1．下列图形可由平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB ＝DE ，点B ，C ，D 在x 轴上，点A ，E ，F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的B ．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的 C ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的D ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的3．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA=4，PB=23，PC=2，以下五个结论：①∠ BPC=120°；②∠APC=120°；③143ABC S =V ；④AB=28；⑤点P 到△ABC 三边的距离分别为PE,PF,PG ,则有3PE PF PG AB ++=其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝3，DA ＝5，则CD 的最小值为（ ）A．523-C．2 D．1-B．5325．下面的图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）A．B．C．D．6．将点P（﹣1，4）向左平移3个单位后得到点P′，则点P′的坐标为（）A．（﹣1，7）B．（﹣1，1）C．（2，4）D．（﹣4，4）7．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．9．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴称图形又是中心对称图形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．在平面直角坐标系中，把点A（﹣10，1）向上平移4个单位，得到点A′，则A′的坐标是_____．11．如图，箭头ABCD在网格中做平行移动，当点A移到点P位置时，点C移到的位置为点_______12．如图，△ABC是等边三角形，点A(-3，0)，点B(3，0)，点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为______．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为_____．14．若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是______．15．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2）关于原点对称的点的坐标为____．16．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=3，将扇形OAB绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜180）后得到扇形O′AB′，当点O在弧AB'上时，n为__°．17．在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．18．如下图所示的四个图形中，是中心对称图形的是__________,是轴对称图形的__________. (填序号)19．若线段AB、CD关于点P成中心对称，则线段AB、CD的关系是______．20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为l.，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点.（1）在给定的方格纸中画出平移后的；（2）画出边上的中线；（3）画出边上的高线；（4）若连接，则线段与的关系为_______.（直接写出结果）21．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标是，点D的坐标是．（2）在坐标轴上是否存在一点P，S△P AC＝14S四边形ABDC，若存在这样一点，请求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图2，在线段CO上取一点G，使OG＝3CG在线段OB上取一点F，使OF＝2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积．22．利用直尺画图()1利用图()1中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．()2把图()2网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．()3如果每个方格的边长是单位1，那么图()2中组成的三角形的面积等于______．23．如图，将△ABC沿着从B到D的方向平移后得到△EDF，若AB=16cm，AE=12cm，CE=4cm．（1）指出△ABC平移的距离是多少？（2）求线段BD、DE、EF的长．24．已知O为直线AB上一点，∠COE为直角，OF平分∠AOE.(1)如图1，若∠COF=30°，则∠BOE=_______；若∠COF=m°，则∠BOE=_______，∠BOE 和∠COF的数量关系为___________；(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到图2的位置时，(1)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍成立?请说明理由.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO 向左平移6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标．26．在长方形ABCD中，AB=a，BC=b(a＜b)，在图中将线段A1A2向右平移1个单位长度得到线段B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1在图②中，将折线A 1A 2--A 2A 3向右平移1个单位长度到折线B 1B 2--B 2B 3得到封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1.(1)在图①中，封闭图形A 1A 2B 2B 1的面积为______(用含a 的式子表示).(2)在图②中，除去封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1后剩余图形的面积和为______(用含a 、b 的式子表示).(3)如图③，在一块长方形草地ABCD 中，有两条互相垂直且宽度相同的长方形小路.若AB=a(m)，BC=b(m)(a ＜b)，小路的宽度为1m ，用两种不同的方法表示草地的面积(用含a 、b 的式子表示)；27．如图，平面直角坐标系xoy 中(4,6)A -，(1,2)B -，(4,1)C -．（1）作出ABC ∆关于直线1x =对称的图形△111A B C 并写出△111A B C 各顶点的坐标； （2）将△111A B C 向左平移2个单位，作出平移后的△222A B C ，并写出△222A B C 各顶点的坐标；（3）观察ABC ∆和△222A B C ，它们是否关于某直线对称？若是，请指出对称轴，并求ABC ∆的面积．参考答案1．A【解析】【分析】根据平移、中心对称、旋转、轴对称逐一判断可得．【详解】A．此图案可以由平移得到，符合题意；B．此图案可以由中心对称得到，不符合题意；C．此图案可以由旋转得到，不符合题意；D．此图案可以由轴对称得到，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移、中心对称、旋转、轴对称的定义是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，得出△ABC≌△DEF，由点B，C，D在x 轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，进而得出△DEF与△ABC位置关系．【详解】解：∵△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，∵点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，∴△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的，故选：A．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角.3．B【解析】【分析】作BH⊥PC于H，根据等边三角形的性质得：BA=BC，∠ABC=60°，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，证明出△PBD为等边三角形和△PCD为直角三角形即可求出①；根据平角性质，可得∠BPH=30°，证明△ABP为直角三角形，即可求出②和④；根据面积公式求出③；根据等面积法即可求出④.【详解】作BH⊥PC于H根据等边三角形的性质得：BA=BC，∠ABC=60°把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD得到上图根据旋转的性质可得CD=AP=4，BD=BP=3∠PBD=60°∴△PBD为等边三角形∴PD=PB=23∠BPD=60°在三角形PDC中，PC=2，PD= 23CD=4∴PC2+PD2=CD2∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°∴∠BPC=∠BPD+∠CPB=150°，故①错误；根据平角性质，可得∠BPH=30°在直角三角形PBH中，∵∠BPH=30°∴PB=23∴BH=132PB PH=3CH=PC+PH=2+3=5 在直角三角形BCH中22228BC BH CH =+=，则228AB =，故④正确；又∵222BP AP AB +=∴△ABP 为直角三角形，∠APB=90°∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°，故选项②正确；2ABC S BC ==V ③错误； 111111222222ABC S PE AB PF BC PG AC PE AB PF AB PG AB =++=++V g g g g g g2AB =∴2PE PF PG AB ++=，故选项⑤正确 故答案选择：B. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理． 4．A 【解析】 【分析】将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，CD 转化为BE ，由于AE 、AD 、BD 都是定值，所以当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小． 【详解】将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝ ∵AE 、AD 、BD 都是定值，所以当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝3．故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转转化线段，利用两点之间线段最短求最值．5．D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．D【解析】【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．【详解】解：将点P（−1，4）向左平移3个单位后得到点P′，则点P′的坐标为（−4，4），【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．7．A【解析】【分析】判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图像折叠后可重合，判断中心对称的关键是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.【详解】A项，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.B项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.C项，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.D项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题主要是要根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行求解.8．A【解析】【分析】根据轴对称和中心对称的定义，对选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．【点睛】本题考查轴对称和中心对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称的定义. 9．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．既是轴对称图形又是中心对称图形的是：线段、矩形、菱形、正方形，共4个，故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．（﹣10，5）【解析】【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【详解】解：把点A（﹣10，1）向上平移4个单位，得到点A′，则A′的坐标是（−10，5），故答案为：（−10，5）.【点睛】本题考查坐标的平移变化，解题的关键是熟练掌握平移规律．11．R【解析】【分析】根据平移的基本性质，C在A左边1个单位处，经过平移，对应点位置关系不变．【详解】当点A移到点P位置时，点C移到的位置为点R．故答案为：R．【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．12．3 2【解析】【分析】取BC中点G，连接DG，由“SAS”可证△BGD≌△BOE，可得OE=DG，当DG⊥OC时，DG的值最小，由含30°角的直角三角形的性质即可求出DG的值，即OE最小值．【详解】如图，取BC中点G，连接DG，OE，∵△ABC是等边三角形，点A(-3，0)，点B(3，0)，∴AO=BO=3，∠BCO=30°，∠ABC=60°，∴BC=AB=6，∵点G是BC中点，∴CG=BG=OA=OB=3，∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°，∴∠DBE=60°，BD=BE，∴∠ABC=∠DBE，∴∠CBD=∠ABE，且BE=BD，BG=OB=3，∴△BGD≌△BOE(SAS)，∴OE=DG，∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小．∵∠BCO=30°，DG⊥OC∴DG=12CG=32，∴OE的最小值为3 2 .故答案为3 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．13．6【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，然后利用S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′进行求解.【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，∴AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′＝12×4×4﹣12×4×1＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和三角形面积计算，熟知旋转不改变图形的大小与形状是解题关键.14．2＜EF＜8【解析】【分析】根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知EF的取值范围等于BC的取值范围；【详解】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3，∴DE=5，DF=3∴EF的取值范围为：2＜EF＜8故答案为：2＜EF＜8【点睛】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．15．（4，﹣2）．【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点A（﹣4，2）关于原点对称的点的坐标是：（4，﹣2）．故答案为：（4，﹣2）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．16．60【解析】【分析】连接OO′，可知△OO′A为等边三角形，可求得n.【详解】解：连接OO′，由旋转的性质可知OA＝O′A，又OO′＝O′A，∴△OO′A为等边三角形，∴n＝60.【点睛】本题主要考查旋转的性质，由旋转得到△OO′A为等边三角形是解题的关键17．90°【解析】【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数即可．【详解】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．18．①②③④【解析】【分析】中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；然后根据中心对称图形的定义和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.【详解】是中心对称图形的是①,是轴对称图形的②③④.故答案为：①，②③④.【点睛】此题考查中心对称图形，轴对称图形，解题关键在于对图形的识别.19．平行且相等.【解析】【分析】根据线段AB、CD关于点P成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可．【详解】解：∵线段AB、CD关于点P成中心对称，∴线段AB、CD的关系是：平行且相等．故答案为：平行且相等．【点睛】此题主要考查了中心对称的性质，正确记忆中心对称的对应边关系是解决问题的关键．20．（1）如答图中所示.见解析；（2）如答图中所示，见解析；（3）如答图中所示，见解析；（4）.【解析】【分析】（1）结合的位置，绘制出的图像，即可.（2）结合中线为顶点到底中点的连线，即可.（3）过A点做BC的垂线，即可.（4）结合平行四边形的判定和性质，得出，即可.【详解】（1）如答图中所示.（2）如答图中所示（3）如答图中所示（4）【点睛】本题考查图形的平移，平行四边形的判定，高的绘制，中线的绘制，熟练掌握作图步骤是解题的关键.21．（1）（0，2），（4，2）；（2）存在，点P的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，﹣2）；（3）74．【解析】【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可；（2）先根据平行四边形的面积公式求出S四边形ABDC＝8，然后分点P在x轴上时求出AP的长度，分两种情况写出点P的坐标；点P在y轴上时，求出CP的长，分两种情况写出点P 的坐标；（3）求出点G、F的坐标，利用待定系数法求出直线CF、BG的解析式，联立求出点H的坐标，再根据S四边形OGHF＝S△OBG﹣S△HBF列式计算即可得出结果．【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，∴点C、D的坐标分别为（0，2），（4，2），故答案为：（0，2），（4，2）；（2）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，∵C（0，2），∴OC＝2，∴S四边形ABDC＝4×2＝8，点P在x轴上时，∵S△PAC＝14S四边形ABDC，∴12AP×2＝14×8，解得AP＝2，当点P在点A的左边时，﹣1﹣2＝﹣3，点P的坐标为（﹣3，0），点P在点A的右边时，﹣1+2＝1，点P的坐标为（1，0）；点P在y轴上时，∵S△PAC＝14S四边形ABDC，∴12CP×1＝14×8，解得CP＝4，点P在点C的上方时，2+4＝6，点P的坐标为（0，6），点P在点C的下方时，2﹣4＝﹣2，点P的坐标为（0，﹣2），综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，﹣2）；（3））∵OG＝3CG，∴OG＝313OC＝34×2＝32，∴点G的坐标为（0，32），∵B（3，0），∴OB＝3，∵OF＝2BF，∴OF＝212+OB＝23×3＝2，∴点F的坐标为（2，0），设直线CF的解析式为：y＝kx+a，则202ak a=⎧⎨=+⎩，解得：12ka=-⎧⎨=⎩，∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+2，设直线BG的解析式为：y＝mx+n，则0332m nn=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BG的解析式为：y＝﹣12x+32联立21322y xy x=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：11 xy=⎧⎨=⎩，∴点H的坐标为（1，1），∴S四边形OGHF＝S△OBG﹣S△HBF＝12×3×32﹣12×（3﹣2）×1＝94﹣12＝74． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了坐标与图形性质、平行四边形面积的计算、三角形面积的计算、平移的性质、用待定系数法求直线的解析式、分类讨论等知识；熟练掌握平移的性质，进行分类讨论是解题的关键．22．（1）见解析（2）见解析（3）3.5【解析】【分析】()1根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB 平行的格点以及垂直的格点作出即可；()2根据网格结构的特点，过点E 找出与AB 、CD 位置相同的线段，过点F 找出与AB 、CD 位置相同的线段，作出即可；()3根据S S =-V 正方形三个角上的三角形的面积即可得出结论．【详解】()1如图所示、()2如图所示；()111333122313222EFH S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯V 39132=--- 3.5=．故答案为：3.5．【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．23．(1)12cm ；（2）BD =12cm ，DE =16cm ，EF =8cm ．【解析】【分析】（1）找准平移前后的对应点即可确定平移的距离；（2）根据平移的性质分别求得相应的线段的长即可．【详解】（1）∵AE=12cm，∴平移的距离=AE=12cm；（2）∵三角形ABC沿着从B到D的方向平移后得到三角形EDF，∴BD=AE=12cm，DE=AB=16cm，EF=AC=AE﹣CE=16﹣4=8（cm）．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质，数形结合，准确识图是解题的关键．24．(1)60°;2m°;∠BOE=2∠COF;(2)∠BOE=2∠COF仍成立.理由见解析.【解析】【分析】（1）当∠COF= m°，根据弧余得到∠EOF=90°- m°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2 m°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2 m°）=2 m°，所以有∠BOE=2∠COF．并且当n=34°时，可求出对应的∠BOE；（2）和（1）推论得方法一样，可得到∠BOE=2∠COF．【详解】(1) ∵∠COE是直角，∠COF=30°，∴∠EOF=90°-30°=60°，由∵OF平分∠AOE．∴∠AOE=2∠EOF=120°，∴∠BOE=180°-120°=60°；当∠COF= m°，∴∠EOF=90°- m°，∴∠AOE=2∠EOF=180°-2 m°，∴∠BOE=180°-（180°-2 m°）=2 m°，所以有∠BOE=2∠COF，故答案为：60°；2m°；∠BOE=2∠COF；(2)∠BOE=2∠COF仍成立，设∠COF=n°，∵∠COE是直角，∴∠EOF=90°-n°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，即∠BOE=2∠COF.【点睛】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、互余互补的含义等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.25．作图见解析；（﹣3，﹣3）【解析】【分析】分别作出平移变换和旋转变换后的对应点，再顺次连接即可得．【详解】解：如图所示，△A1B1O1、△A2B2O2即为所求：其中点O2的坐标为（﹣3，﹣3）．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换、平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质．26．（1）a；（2）ab-a；（3）（a-1）（b-1），ab-a-b+1.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的面积计算封闭图形A1A2B2B1的面积即可；（2）结合图形，根据平移的性质可知，图②中剩余图形的面积都可看作是以（b-1）为长，为a 宽的矩形的面积；（3）结合图形可知，草地的面积可看作长度减小1，宽度小1的矩形面积，也可用原长方形面积减去两条长方形小路的面积计算．【详解】解：（1）在图①中，根据平移的性质可知，封闭图形A 1A 2B 2B 1为平行四边形，∴封闭图形A 1A 2B 2B 1的面积=AB∙1=a ；（2）在图②中，根据平移的性质可知，图②中剩余图形的面积都可看作是以（b-1）为长，为a 宽的矩形的面积，∴除去封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1后剩余图形的面积和为：a(b-1)=ab-a ；（3）方法一，草地的面积=（a-1）（b-1），方法二，草地的面积=ab-a-1（b-1）=ab-a-b+1.故答案为（1）a ；（2）ab-a ；（3）（a-1）（b-1），ab-a-b+1.【点睛】本题是四边形综合题，考查了作图--应用与设计作图，平移的性质，以及数形结合思想，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．27．(1)图形见解析，1(6,6)A ，1(3,2)B ，1(6,1)C ；（2）图形见解析，2(4,6)A ，2(1,2)B ，2(4,1)C ；（3）ABC ∆和△222A B C 关于y 轴对称，ABC ∆的面积为7.5【解析】【分析】（1）分别作出三顶点关于直线x =1的对称点，再顺次连接即可得；（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点分别向左平移，再顺次连接即可得；（3）观察图形即可得：再利用三角形的面积公式求解可得．【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，A 1（6，6），B 1（3，2），C 1（6，1）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，6），B2（1，2），C2（4，1）；（3）△ABC和△A2B2C2关于y轴对称，△ABC的面积为125×3=7.5．【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，掌握轴对称的性质是解答本题的关键．。

北师大版八年级下册数学第三章图形的平移与旋转同步课时练习题3．1图形的平移第1课时平移的认识01基础题知识点1平移的认识1．下列现象中属于平移的是(A)A．升降电梯从一楼升到五楼B．闹钟的钟摆运动C．树叶从树上随风飘落D．汽车方向盘的转动2．下列选项中能由左图平移得到的是(C)3．如图，由△ABC平移得到的三角形有(B)A．15个B．5个C．10个D．8个知识点2平移的性质4．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B)A．40°B．50°C．90°D．130°5．下列说法：①图形平移，对应点所连的线段互相平分；②确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距离；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；④一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(A) A．2 B．3 C．5 D．77．如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是13cm.8．如图，△ABC经过一次平移到△DFE的位置，请回答下列问题：(1)点C的对应点是点E，∠D＝∠A，BC＝FE；(2)连接CE，那么平移的方向就是点C到点E的方向，平移的距离就是线段CE的长度；(3)连接AD，BF，BE，与线段CE相等的线段有AD，BF．知识点3 平移作图9．下列平移作图错误的是(C)10．如图，经过平移，四边形ABCD 的顶点A 移到了点A′. (1)指出平移的方向和平移的距离； (2)画出平移后的四边形A′B′C′D′.解：(1)如图，连接AA′，平移的方向是点A 到点A′的方向，平移的距离是线段AA′的长度． (2)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．02 中档题11．如图，已知△ABC 平移后得到△DEF ，则下列说法中，不正确的是(C)A ．AB ＝DE B ．BC ∥EFC ．平移的距离是线段BD 的长 D ．平移的距离是线段AD 的长 12．(2017·西安期中)如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC 方向平移BE 距离得到此图形，其中AB ＝6，BE ＝5，DH ＝3，则四边形DHCF 的面积为(C)A ．35 B.652 C.452D ．3113．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C ，则△A′B′C 的周长为12．14．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD 的两条边AB 与BC ，且四边形ABCD 是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC. (1)试在图中标出点D ，并画出该四边形的另两条边；(2)将四边形ABCD 向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.解：(1)点D 以及四边形ABCD 另两条边如图所示． (2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．15．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． (1)请利用平移的知识求出种花草的面积；(2)若空白的部分种植花草共花费了4 620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)． 答：种花草的面积为42平方米． (2)4 620÷42＝110(元)．答：每平方米种植花草的费用是110元．03 综合题16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A′B′C′的位置． (1)若平移距离为3，求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积；(2)若平移距离为x(0≤x ≤4)，用含x 的代数式表示△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积．解：(1)由题意，得CC′＝3，BB ′＝3，∴BC ′＝1.又由题意易得，重叠部分是一个等腰直角三角形， ∴重叠部分的面积为12×1×1＝12.(2)当平移的距离是x 时，CC ′＝BB′＝x ， 则BC′＝4－x.∴重叠部分面积为12(4－x)2.第2课时 沿x 轴或y 轴方向平移的坐标变化01 基础题知识点 沿x 轴或y 轴方向平移的坐标变化 1．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后对应的点A′的坐标是(C)A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(C)A．(1，3) B．(2，2)C．(2，4) D．(3，3)3．在平面直角坐标系中，将线段OA向下平移2个单位长度，平移后，点O，A的对应点分别为点O1，A1.若点O(0，0)，A(1，4)，则点O1，A1的坐标分别是(B)A．(0，－2)，(－1，4) B．(0，－2)，(1，2)C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)4．(2017·郴州)在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)．5．如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．解：如图所示．由图可知，A1(－2，2)，B1(0，－2)，C1(2，1)，D1(1，4)．02中档题6．将△ABC各顶点的纵坐标加“－3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC(B)A．向上平移3个单位长度得到的B．向下平移3个单位长度得到的C．向左平移3个单位长度得到的D．向右平移3个单位长度得到的7．若将点P(m＋2，2m＋1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m＝－3．8．如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，嘴唇C的坐标为(－1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，右眼B的坐标是(3，3)．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，点B(－2，1)，平移线段AB，使点A落在A1(0，－1)，点B落在点B1，则点B1的坐标为(1，1)．10．观察下图，与图1中的鱼相比，图2中的鱼发生了一些变化，若图1中鱼上点P的坐标为(4，3.2)，则这个点在图2中的对应点P1的坐标应为(4，2.2)．11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)点A的坐标为(2，7)，点C的坐标为(6，5)；(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，那么平移后点M的对应点M1的坐标为(a，b－7)．解：平移后的△A1B1C1如图所示．第3课时沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化01基础题知识点沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化1．将点(1，2)先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点的坐标是(A) A．(－2，3) B．(4，3)C．(－2，1) D．(4，1)2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为(D)A．(4，3) B．(2，4)C．(3，1) D．(2，5)3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)A．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度C．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝－6，y＝2．5．(2017·西安高新区期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，－2)，将线段AB沿某一方向平移后，得到点A的对应点A′的坐标为(－1，0)，则点B的对应点B′的坐标为(1，－3)．6．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图中鱼的各个顶点A，B，C，D都在格点上．(1)把鱼先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请你画出平移后得到的图形；(2)写出A，B，C，D四点平移后的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．(2)A′(4，2)，B′(0，6)，C′(2，2)，D′(1，1)．02中档题7．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中A，B的对应点分别为A1，B1，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为(A)A．(a－4，b＋2) B．(a－4，b－2)C．(a＋4，b＋2) D．(a＋4，b－2)8．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF.(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．解：(1)△DEF如图所示，其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)．(2)连接AD.由图可知，AD＝32＋42＝5.∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．03综合题9．在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”．点A(－6，－2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1，点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2，…，以此类推．(1)写出点A3的坐标：A3(0，1)；(2)写出点A n的坐标：A n(－6＋2n，－2＋n)(用含n的代数式表示)．3.2图形的旋转第1课时旋转的认识01基础题知识点1旋转的有关概念1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动2．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为(B)A．40°B．70°C．80°D．140°3．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：(1)旋转中心是点A；(2)点B，D的对应点分别是点C，E；(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；(4)∠B的对应角是∠ACE；(5)旋转角度为60°．知识点2旋转的性质4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(C) A．15 °B．60°C．45°D．75°5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－2，0)和(2，0)．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为(B)A．(2，2) B．(2，4)C．(4，2) D．(1，2)6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC＝130°，则AD＝AB＝5cm，DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．02 中档题 7．(2016·大连)如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若∠CAE ＝90°，AB ＝1，则BD ＝2．8．(2017·西安期中)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B ，D 两点间的距离为210．9．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求∠ACE 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，AB ＝AD ，AC ＝AE. 又∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝AD ＝AE. ∴△ABD ≌△ACE(SAS)．(2)∵∠CAE ＝100°，AC ＝AE ， ∴∠ACE ＝∠AEC.∴∠ACE ＝12×(180°－∠CAE)＝12×(180°－100°)＝40°.03 综合题 10．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接AE ，则AE 的长为2＋6．第2课时 旋转作图01 基础题 知识点 旋转作图1．将△AOB 绕点O 旋转180°得到△DOE ，则下列作图正确的是(C)2．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)A．96 B．69 C．66 D．994．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.解：如图.5．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．解：如图所示．02中档题6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是把平行四边形ABCD以A为中心(D)A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到7．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；(2)将△ABC绕点P沿逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.解：(1)△A′B′C′如图所示． (2)△A″B″C″如图所示．8．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A(－4，2)，点D(0，5)．(1)画出△ABC 绕点D 逆时针方向旋转90°后的△EFG ； (2)写出点E ，F ，G 的坐标．解：(1)如图所示，△EFG 即为所求．(2)如图所示，E(3，1)，F(1，2)，G(3，4)．小专题(五) 教材P89T12的变式与应用教材母题：(教材P89T12)如图，△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？解：∵△ABC ，△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝42°，AB ＝AC ，AD ＝AE.∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE －∠DAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)．∴△ABD 与△ACE 可通过旋转相互得到，△ABD 以点A 为旋转中心，逆时针旋转42°，使△ABD 与△ACE 重合．1．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形．(1)求证：BD ＝CE ；(2)△ABD 可以看作是由△ACE 逆时针旋转90°得到的．证明：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴BD ＝CE.2．如图，点P 是等边△ABC 内一点，PA ＝4，PB ＝3，PC ＝5.线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ. (1)求PQ 的长．(2)求∠APB 的度数．解：(1)∵AP ＝AQ ，∠PAQ ＝60° ∴△APQ 是等边三角形． ∴PQ ＝AP ＝4. (2)连接QC.∵△ABC ，△APQ 都是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠PAQ ＝60°.∴∠BAP ＝∠CAQ ＝60°－∠PAC.在△ABP 和△ACQ 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAP ＝∠CAQ ，AP ＝AQ ，∴△ABP ≌△ACQ(SAS)．∴BP ＝CQ ＝3，∠APB ＝∠AQC. ∵在△PQC 中，PQ 2＋CQ 2＝PC 2，∴△PQC 是直角三角形，且∠PQC ＝90°. ∵△APQ 是等边三角形，∴∠AQP ＝60°.∴∠APB ＝∠AQC ＝60°＋90°＝150°.3．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AB ＝AC ，AD ＝AE ，然后将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，连接BD ，CE ，得到图2，将BD ，CE 分别延长至M ，N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)在图2中，BD 与CE 的数量关系是BD ＝CE ；(2)在图3中，判断△AMN 的形状，及∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想． 解：△AMN 为等腰三角形，∠MAN ＝∠BAC. 证明：易证△BAD ≌△CAE ， ∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE. 又∵DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，∴BM ＝CN.在△ABM 和△ACN 中，⎩⎨⎧BM ＝CN ，∠ABM ＝∠ACN ，BA ＝CA ，∴△ABM ≌△ACN(SAS)．∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，即∠BAC ＋∠CAM ＝∠CAM ＋∠MAN. ∴△AMN 为等腰三角形，∠MAN ＝∠BAC.3.3 中心对称01 基础题知识点1 中心对称的有关概念及性质 1．下列说法正确的是(B)A ．全等的两个图形一定成中心对称B ．关于某个点中心对称的两个图形一定全等C ．关于某个点中心对称的两个图形不一定全等D ．不全等的两个图形有可能关于某点中心对称2．如图，已知△ABC 与△A′B′C′关于点O 成中心对称，则下列说法不正确的是(B)A ．∠ABC ＝∠A′B′C′B ．∠BOC ＝∠B′A′C′ C ．AB ＝A′B′D ．OA ＝OA′3．如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(C)A ．1组B ．2组C．3组D．4组4．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B＝40°，则∠D的度数为40°．5．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转180°后得到的，那么△ABC与△ADE关于A点中心对称，A点叫做对称中心．6．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距4公里．知识点2画中心对称的图形7．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.解：四边形A′B′C′D′如图所示．知识点3中心对称图形8．(2017·陕西师范大学附属中学期中)下列四个图形中是中心对称图形的是(D)9．(2017·成都)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)10．(2017·玉林)五星红旗上的每一个五角星(A)A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：正方形(答案不唯一)．02中档题12．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④13．如图是一个以点O 为对称中心的中心对称图形，若∠A ＝30°，∠C ＝90°，OC ＝1，则AB 的长为(A)A ．4 B.33C.233D.43314．如图，△ABC 与△DEF 关于O 点中心对称，则线段BC 与EF 的关系是平行且相等．15．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E ，F 在线段AC 上，且AF ＝CE.求证：DF ＝BE.证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称， ∴OB ＝OD ，OA ＝OC. ∵AF ＝CE ，∴OF ＝OE.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOE ，OF ＝OE ，∴△DOF ≌△BOE(SAS)． ∴DF ＝BE.16．如图，正方形ABCD 与正方形A 1B 1C 1D 1关于某点中心对称，已知A ，D 1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B ，C ，B 1，C 1的坐标．解：(1)根据中心对称的性质，可得：对称中心是D1D的中点．∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5)．(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，∴点A1的坐标是(0，1)．∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．综上可得：顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．03综合题17．如图，已知四边形ABCD.(1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN对称；(2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O中心对称；(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称或中心对称吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．解：(1)(2)如图所示．(3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2成轴对称，对称轴是直线EF，如图．周周练(3.1～3.3)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列现象是数学中的平移的是(D)A．骑自行车时的轮胎滚动B．碟片在光驱中运行C．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动D．生产中传送带上的电视机的移动过程2．(2017·西安期中)下列图形是中心对称图形的是(C)3．平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位长度后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比(A) A．横坐标不变，纵坐标加3B．纵坐标不变，横坐标加3C．横坐标不变，纵坐标乘3D．纵坐标不变，横坐标乘34．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(D)5．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(A)A．42°B．48°C．52°D．58°6．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是(A)A．(－4，－2) B．(4，－2)C．(－2，－3) D．(－2，－4)7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(D)A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长8．(2017·西安高新区期中)如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转的度数分别为(B)A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，30°二、填空题(每小题5分，共30分)9．(2017·黔东南)在平面直角坐标系中有一点A(－2，1)，将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点A的坐标为(1，－1)．10．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点A(填“A”“B”或“C”)．11．(2017·平顶山市宝丰县期中)正三角形绕其中心至少旋转120度能与原三角形重合．12．(2017·宜宾)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是60°．13．(2017·太原)如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(－1，1)，C(－2，2)，将△ABC向右平移4个单位长度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′，B′，C′的对应点分别为A″，B″，C″，则点A″的坐标为(6，0)．14．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．三、解答题(共38分)15．(12分)如图，△ABC沿直线l向右平移3 cm得到△FDE，且BC＝6 cm，∠B＝40°.(1)求BE；(2)求∠FDB的度数；(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)； (4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)．解：(1)∵△ABC 沿直线l 向右平移了3 cm ， ∴CE ＝BD ＝3 cm.∴BE ＝BC ＋CE ＝6＋3＝9(cm)． (2)∵∠FDE ＝∠B ＝40°，∴∠FDB ＝140°.(3)相等的线段有AB ＝FD ，AC ＝FE ，BC ＝DE ，BD ＝CE ＝CD. (4)平行的线段有AB ∥FD ，AC ∥FE.16．(12分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1，平移△ABC ，使点A 的对应点A 2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；(2)若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标． 解：(1)如图所示．(2)旋转中心的坐标为(32，－1)．17．(14分)如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．(两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动)(1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？ (2)分别求出平移距离为4 cm 或10 cm 时，重叠部分的面积． 解：(1)平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如图：(2)当平移距离为4 cm 时，重叠部分是三角形OAA′，如图1，此时AA′＝4 cm. ∵∠OAA ′＝∠OA′A ＝60°， ∴△OAA ′是等边三角形． ∴S △OAA ′＝4 3 cm 2.当平移距离为10 cm时，重叠部分是五边形ODC′CE，如图2，此时AA′＝10 cm. ∵AC＝A′C′＝7 cm，∴A′C＝AC′＝3 cm.∵∠A＝∠A′＝60°，∠AC′D＝∠A′CE＝90°，∴C′D＝CE＝3 3 cm.∴S五边形ODC′CE＝S△OAA′－S△AC′D－S△A′CE＝12×10×53－12×3×33×2＝163(cm2).3.4简单的图案设计01基础题知识点1分析图案的形成过程1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移交换来分析其形成过程的图案是(C)2．如图，国旗上的四个小五角星，通过怎样的变化可以相互得到(D)A．轴对称B．平移C．旋转D．平移或旋转3．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是(C)4．如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是(B)A. B. C. D.5．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是(D)A．①⑤B．②④C．③⑤D．②⑤知识点2利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案6．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是(C)A. B.C. D.7．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．8．(2017·西安期中)如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形．解：如图所示．(1)(2)(3)02中档题9．下列能通过基本图形旋转得到的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，它们旋转的角度均是60°．11．如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法将该图形绕O点顺时针依次旋转90°，180°，270°，你会得到一个什么样的立体图形？解：得到的是一个星星图案，如图．12．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，请仿照图2的画法，在图3所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影．解：如图所示：答案不唯一．13．请运用平移、轴对称和旋转分析下面图案的设计过程．解：若从原图中提取的基本图案如图所示，则可按下面的两种几何变换(不唯一)得到整个图案：形成方式一：形成方式二：03综合题14．已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)．图1图2解：答案不唯一，以下提供三种图案．章末复习(三)图形的平移与旋转01基础题知识点1平移1．下列图形中，可由左图经过平移得到的是(C)A B C D2．(2016·安顺)如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)A．(－2，－4) B．(－2，4)C．(2，－3) D．(－1，－3)3．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．4．如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1，1)，B1(4，2)，C1(3，4)．(1)请画出△ABC ，并写出点A ，B ，C 的坐标； (2)求出△AOA 1的面积．解：(1)如图所示，A(－3，1)，B(0，2)，C(－1，4)． (2)S △AOA 1＝12×4×1＝2.知识点2 旋转 5．(2016·新疆)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是(D)A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，若点A ，B 的对应点分别是点D ，E ，画出旋转后的三角形，并求点A 与点D 之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3.由旋转的性质，得CD ＝AC ＝3，∠ACD ＝90°. ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝3 2. 知识点3 中心对称 7．(2017·郑州月考)下列图形中，是中心对称图形的是(A)8．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A 1B 1C 1关于E 点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是(A)A ．(3，－1)B ．(0，0)C ．(2，－1)D ．(－1，3)知识点4图案设计9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．02中档题10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C)A．30°B．60°C．72°D．90°11．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1 个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3 个单位长度12．(2017·西安高新区期中)某景点拟在如图的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为200米．13．如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4.解：如图所示：答案不唯一．14．(2017·郑州月考)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为(－6，1)，点B的坐标为(－3，1)，点C的坐标为(－3，3)．(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移8个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1。