2019上海数学初三二模第18题汇编

2019年上海市宝山区嘉定区中考数学二模试卷17．（4分）（2019•嘉定区二模）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a b﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是．18．（4分）（2019•宝山区二模）如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，若点M 关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是．2019年上海市崇明县中考数学二模试卷17．（4分）（2019•崇明区二模）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．18．（4分）（2019•崇明区二模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为 ，那么边AB的长为．17．（4分）（2019•奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．18．（4分）（2019•奉贤区二模）如图，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，顶点A、D、C分别与点E、F、G对应（点D与点F不重合）．如果点D、E、F在同一条直线上，那么线段DF的长是．（用含a的代数式表示）2019年上海市虹口区中考数学二模试卷17．（4分）（2019•虹口区二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．18．（4分）（2019•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C 在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为．17．（4分）（2019•黄浦区二模）如图，函数y （x＞0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果点B的横坐标为3，则点C的坐标为．18．（4分）（2019•黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B ，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么 ．2019年上海市金山区中考数学二模试卷17．（4分）（2019•金山区二模）如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．18．（4分）（2019•金山区二模）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．17．（4分）（2019•闵行区二模）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那么BD＝米．（结果保留根号）18．（4分）（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2 ，D为边AC 上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD：CD＝．2019年上海市普陀区中考数学二模试卷17．（4分）（2019•普陀区二模）如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是．18．（4分）（2019•普陀区二模）如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果 ，那么 的值等于．17．（4分）（2019•松江区二模）如图，高度相同的两根电线杆AB、CD均垂直于地面AF，某时刻电线杆AB的影子为地面上的线段AE，电线杆CD的影子为地面上的线段CF和坡面上的线段FG．已知坡面FG的坡比i＝1：0.75，又AE＝6米，CF＝1米，FG＝5米，那么电线杆AB的高度为米．18．（4分）（2019•松江区二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为．2019年上海市徐汇区中考数学二模试卷经过圆心O，17．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB折叠，则阴影部分的面积为（结果保留π）．18．（4分）（2019•徐汇区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B ，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是．17．（4分）（2019•杨浦区二模）如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y＝ax+b和直线y ＝bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1，4）的一对“对偶直线”：．18．（4分）（2019•杨浦区二模）如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD＝5，AE＝2，AF＝4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．2019年上海市长宁区中考数学二模试卷17．（4分）（2019•长宁区二模）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、 ．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为．18．（4分）（2019•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于．静安区2018学年第二学期期中教学质量调研18．如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知A（，0），B （0，6），M （0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ．如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是▲．(D)图42019年上海市青浦区中考数学二模试卷17．（3分）（2019•青浦区二模）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，E 为AD 的中点，F 为CD 上一点，且2DF CF =，沿BE 将ABE ∆翻折，如果点A 恰好落在BF 上，则AD =．18．（3分）（2019•青浦区二模）我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，12BC =，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1个单位秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2个单位/秒的速度向点运动，P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为．。

2018~2019学年上海市普陀区九年级二模数学试卷（时间：100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算中，正确的是（ ）（A ）235()a a =；（B ）236a a a ⋅=； （C ）2236a a a ⋅=； （D ）2235a a a +=． 2. 如图，直线1l //2l ，如果130∠=︒，250∠=︒，那么3∠=（ ）（A ）20︒； （B ）80︒；（C ）90︒；（D ）100︒．3. 2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率π有关，下列表述中，不正确的是（ ） （A ） 3.14π=；（B ）π是无理数；（C ）半径为1cm 的圆的面积等于2cm π；（D ）圆周率是圆的周长与直径的比值．4. 下列函数中，如果0x >，y 的值随x 的值增大而增大，那么这个函数是（ ）（A ）2y x =-；（B ）2y x=； （C ）1y x =-+； （D ）21y x =-． 5. 如果一组数据3、4、5、6、x 、8的众数是4，那么这组数据的中位数是（ ）（A ）4；（B ）4.5；（C ）5；（D ）5.5．6. 如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次联结ABCD 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；①ABO CBO C C =△△；①DAO CBO ∠=∠；①DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个； （D ）4个．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 分解因式：22a a +=___________． 8. 函数131y x =-的定义域是___________． 9. 不等式组210;34.x x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是___________．10. 月球离地球近地点的距离为363300千米，数据363300用科学记数法表示是___________． 11. 如果2a =、1b =-，那么代数式2a b -的值等于___________．12. 如果关于x 的方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于_________． 13. 抛物线225y ax ax =-+的对称轴是直线___________．14. 张老师对本校参加体育兴趣小组的情况进行调查，下图是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，已知参加体育兴趣小组的学生共有80名，其中每名学生只参加一个兴趣小组，根据图中提供的信息，可知参加排球兴趣小组的人数占参加体育兴趣小组总人数的百分数是___________．第14题图15. 如图，传送带AB 和地面BC 所成斜坡的坡度为1:3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米．（结果保留根号）16. 如图，AD 、BE 是ABC △的中线，交于点O ，设OB a =u u u r r ，OD b =u u u r r ，那么向量AB u u u r用向量a r 、b r表示是___________．第15题图 第16题图 第17题图17. 如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是___________．18. 如图，AD 是ABC △的中线，点E 在边AB 上，且DE AD ⊥，将BDE △绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GFAB的值等于___________．第18题图 三、解答题19. （本题满分10分）计算：312019212sin 60227(1)2-⎛⎫︒-+--- ⎪⎝⎭．解方程：242193x x x =--+．21. （本题满分10分）如图，已知点D 、E 分别在ABC △的边AB 和AC 上，DE //BC ，13DE BC =，ADE △的面积等于3．（1）求ABC △的面积； （2）如果9BC =，且2cot 3B =，求AED ∠的正切值．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图像如图所示．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量；（3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量．23.（本题满分12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD BC<，点E在AD的延长线上，ACE BCD∠=∠，2EC ED EA=⋅．（1）求证：四边形ABCD为梯形；（2）如果EC ABEA AC=，求证：2AB ED BC=⋅．在平面直角坐标系xOy 中，直线24(0)3y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B如图所示，点C 在线段AB 的延长线上，且2AB BC =．（1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线21103y x bx =-++经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使PAB OBC S S =△△，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．如图1，在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，5AB=，4cos5BAC∠=，点O是边AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作①O，①O与射线AB交于点D；以点C为圆心，CD为半径作①C，设OA x=．（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；（2）当点D在线段AB上，如果①C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE y=，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在点O的运动的过程中，如果①C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围.图1 图22018~2019学年上海市普陀区九年级二模数学试卷参考答案一、选择题二、填空题三、解答题19. 解：312019212sin 60227(1)2-⎛⎫︒-+--- ⎪⎝⎭2815=+=20. 解：242193x x x =--+ 原方程可化为：242(3)(9)x x x =--- 整理得：2230x x +-= (3)(1)0x x +-= 解得：13x =-，21x =．经检验，13x =-是方程的增根，故舍去． 所以，原方程的解为1x =． 21. 解：22.解：23.证明：24.解：25.解：。

2019 年上海中考数学二模汇编第 18题1.（杨浦）如图，在矩形ABCD 中，过点知 AD 5， AE 2， AF4，假如以点A的圆 O 交边 AB 于点D 为圆心，r为半径的圆E ，交边D 与圆AD于点 F ，已O 有两个公共点，那么r 的取值范围是2.（黄浦）如图，在△ ABC 中， ACB 90 ， sin B 3，将△ ABC 绕极点 C 顺时针旋5转，获得△ A1B1C ，点 A 、 B 分别与点 A1、 B1对应，边 A1 B1分别交边 AB 、 BC 于点 D 、E ，假如点 E 是边 A1 B1BD 的中点，那么BC13.（闵行）如图，在△ ABC中，AB = AC= 5，BC 2 5，D为边AC 上一点（点 D 与点A、C不重合）．将△ ABC 沿直线BD 翻折，使点 A 落在点 E 处，联络CE．假如CE 金山）一个正C多边形的对称轴共有10 条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．5.（宝山）如图，点M 的坐标为 (3,2)，动点 P 从点 O 出发，沿y 轴以每秒 1 个单位的速度向上挪动，且过点A B P 的直线 l： y＝－ x＋ b 也随之挪动，假如点M 对于 l 的对称点落在座标轴上，设点P 的挪动时间为t ，那么 t 的值能够是6.（静安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(23,0) ，B(0,6)，M (0,2)，点Q在直线 AB 上，把△ BMQ 沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联络 PQ ，假如直线 PQ 与直线AB 所组成的夹角为60°，那么点 P 的坐标是7.（徐汇）如图，在Rt△ABC中，ACB 90，AB 6，cosB 2，先将△ ACB 绕着C 90°，而后再将旋转后的三角形进行放大或减小获得3A CB A极点顺时针旋转△（点、、CB 的对应点分别是点A、C 、 B），联络 A A、 BB，假如△ AAB 和△ AAB 相像，那么 AC的长是8.（奉贤）如图，矩形ABCD ， AD a ，将矩形 ABCD 绕着极点 B 顺时针旋转，获得矩形 EBGF ，极点A、D、C 分别与点E、F、G对应（点 D 与点 F 不重合），假如点 D 、、在同一条直线上，那么线段的长是（用含 a 的代数式表示）9.（崇明）如图，在△ ABC中，已知AB AC ，BAC 30 ，将△针旋转 30°，记点C的对应点为点 D ， AD 、 BC 的延伸线订交于点 E ABC 绕着点 A 逆时，假如线段 DE 的长为 2 ，那么边AB 的长为10.（普陀）如图 7，AD 是 VABC 的中线，点 E 在边 AB 上，且 DE ⊥ AD ，将 VBDE 绕着点 D旋转，使得点B 与点C 重合，点 E 落在点 F 处，联络 AF 交 BC 于点 G ，假如AE5 ，BE 2那么GF的值等于 ____________AB11（.松江）如图，已知 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=8，BC=6．将 △ ABC 绕点 B 旋转获得 △ DBE ，点 A 的对应点 D 落在射线 BC 上．直线 AC 交 DE 于点 F ，那么 CF 的长为 ________．12.（长宁）如图 3，在 VABC 中， ABAC 5 ，BC 8，将 VABC 绕着点 C 旋转，点 A 、B 的对应点分别是点 A '，B ' ，若点 B ' 恰幸亏线段 AA' 的延伸线上， 则 AA' .AB C。

2018 学年初三二模压轴题汇编目录18 题：考点一：翻折 (4)【2018 学年闵行区.18 题】 (4)【2018 学年虹口区.18 题】 (4)【2018 学年静安区.18 题】 (4)考点二：旋转 (5)【2018 学年普陀区.18 题】 (5)【2018 学年奉贤区.18 题】 (5)【2018 学年黄浦区.18 题】 (5)【2018 学年长宁区.18 题】 (6)【2018 学年徐汇区.18 题】 (6)【2018 学年崇明区.18 题】 (6)【2018 学年浦东新区.17 题】 (7)【2018 学年松江区.18 题】 (7)考点三：其他 (7)【2018 学年杨浦区.18 题】 (7)【2018 学年金山区.18 题】 (7)【2018 学年嘉定/宝山区.18 题】 (8)【2018 学年浦东新区.18 题】 (8)【2018 学年青浦区.18 题】 (8)24题：考点一：相似三角形的存在性问题 (9)【2018 学年松江区.24 题】 (9)【2018 学年虹口区.24 题】 (10)考点二：直角三角形的存在性问题 (11)【2018 学年嘉定/宝山区.24 题】 (11)考点三：特殊四边形的存在性问题 (12)【2018 学年崇明区.24 题】 (12)考点四：与角相关的问题 (13)【2018 学年徐汇区.24 题】 (13)【2018 学年黄浦区.24 题】 (14)【2018 学年杨浦区.24 题】 (15)【2018 学年静安区.24 题】 (16)【2018 学年青浦区.24 题】 (17)考点五：与线段相关的问题 (18)【2018 学年闵行区.24 题】 (18)【2018 学年长宁区.24 题】 (19)【2018 学年浦东新区.24 题】 (20)考点六：面积相关的问题 (21)【2018 学年普陀区.24 题】 (21)【2018 学年奉贤区.24 题】 (22)【2018 学年金山区.24 题】 (23)25题：考点一：圆与直线的位置关系问题 (24)【2018 学年普陀区.25 题】 (24)考点二：圆与圆的位置关系问题 (25)【2018 学年杨浦区.25 题】 (25)【2018 学年浦东新区.25 题】 (26)【2018 学年徐汇区.25 题】 (27)【2018 学年静安区.25 题】 (28)考点三：相似三角形的存在性问题 (29)【2018 学年长宁区.25 题】 (29)【2018 学年黄浦区.25 题】 (30)【2018 学年金山区.25 题】 (31)考点四：等腰三角形的存在性问题 (32)【2018 学年崇明区.25 题】 (32)考点五：特殊四边形的存在性问题 (33)【2018 学年奉贤区.25 题】 (33)【2018 学年虹口区.25 题】 (34)考点六：面积问题 (35)【2018 学年闵行区.25 题】 (35)考点七：与角相关的问题 (36)【2018 学年松江区.25 题】 (36)考点八：与线段相关的问题 (37)【2018 学年青浦区.25 题】 (37)考点九：其他（点在圆上，即半径相等） (38)【2018 学年嘉定/宝山区.25 题】 (38)考点一：翻折【2018 学年闵行区·18 题】压轴题之 18 题如图，在 A BC 中， AB = AC = 5，BC =2， D 为边 AC 上一点（点 D 不与点A 、C 重合）.将 ABC 沿直线 BD 翻折，使点 A 落在点 E 处，联结CE .如果CE / / AB ， 那么 AD : CD = .【2018 学年虹口区·18 题】如图，在矩形 ABCD 中，AB =6，点 E 在边 AD 上且 AE =4，点 F 是边 BC 上的一个动点，将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，A 、B 的对应点 A 1、B 1 与点 C 在同一直线上，A 1B 1 与边 AD 交于点 G ，如果 DG =3，那么 BF 的长为 ▲．【2018 学年静安区·18 题】AEDBC如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (2 3, 0)，B (0, 6)，M (0, 2) .点Q 在直线 AB 上，把 BMQ 沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联结 PQ .如果直线 PQ 与直线AB 所构成的夹角为60 ，那么点 P 的坐标是.5考点二：旋转【2018 学年普陀区·18 题】如图，AD 是 A BC 的中线，点 E 在边 AB 上，且 DE ⊥ AD ，将 BDE 绕着点 D 旋 转，使得点 B 与点C 重合，点 E 落在点 F 处，联结 AF 交 BC 于点G ，如果 AE = 5， BE 2那么GF 的值等于 .AB【2018 学年奉贤区·18 题】如图，矩形 ABCD ， AD = a ，将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF ，顶点 A 、D 、C 分别与点 E 、F 、G 对应（点 D 与点 F 不重合）.如果点 D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段 DF 的长是 .（用含a 的代数式表示）【2018 学年黄浦区·18 题】如图，在 ∆ABC 中，∠ACB = 90︒ ，sin B = 3，将∆ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得到 ∆A B C ，51 1点 A 、B 分别与点 A 1 、B 1 对应，边 A 1B 1 分别交边 AB 、BC 于点 D 、E ，如果点 E 是边 A 1B 1 的中点，那么 BD= ▲．AB 1CA 1DCEBB 1如图，在A BC 中，AB =AC = 5，BC = 8 ，将 A BC 绕着点C 旋转，点A、B 的对应点分别是点A '、B ' ，若点B ' 恰好在线段AA '的延长线上，则AA ' 的长等于. 【2018 学年徐汇区·18 题】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90 ，AB=6，cos B=2，先将 A BC绕着顶点C顺时3针旋转90 ，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到 A'CB '（点A '、C、B ' 的对应点分别是点A、C、B ），联结A ' A、B ' B ，如果 A A ' B 和 A A 'B '相似，那么A 'C 的长是.【2018 学年崇明区·18 题】如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，∠BAC = 30︒，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D，AD、BC 的延长线相交于点E.如果线段DE 的长为边AB 的长为▲．，那么AB C2如图2，已知在 ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45°，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点A1处，点C 落在点C1 处，那么AC1A C【2018 学年松江区·18 题】如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC 绕点 B 旋转得到△DBE，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F，那么CF 的长为．考点三：其他【2018 学年杨浦区·18 题】如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E，交边AD 于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4，如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是【2018 学年金山区·18 题】一个正多边形的对称轴共有10 条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于▲．如图，点M 的坐标为(3,2) ，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =-x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是▲ ．l【2018 学年浦东新区·18 题】定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点，已知点M、N 为圆O 的一对反演点，且点M、N 到圆心O 的距离分别为4 和9，那么圆O 上任意一点A 到AM点M、N 的距离之比=AN【2018 学年青浦区·18 题】我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1 个单位/秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2 个单位/秒的速度向点B 运动，P、Q 两点分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为▲ ．压轴题之函数综合题考点一：相似三角形的存在性问题 【2018 学年松江区·24 题】如图，抛物线 y = ax 2+ 4x + c 过点 A （6，0）、B （3， 3），与 y 轴交于点 C ．联结 AB2并延长，交 y 轴于点 D ．（1） 求该抛物线的表达式；（2） 求△ADC 的面积；（3） 点 P 在线段 AC 上，如果△OAP 和△DCA 相似，求点 P 的坐标．xy DBOAC【2018 学年虹口区·24 题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax2 +bx + 8 与x 轴相交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q 的坐标．yPCDA OB x【2018 学年嘉定/宝山区·24 题】在平面直角坐标系xOy 中，如图7，抛物线y =mx 2 - 2x +n （m 、n 是常数）经过点A(-2,3) 、B(-3,0) ，与y 轴的交点为点C ．（1）求此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 和直线BC 的夹角为15º，求线段CD 的长度；（3）设点P 为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC 为直角三角形时，求点P 的坐标．【2018 学年崇明区·24 题】如图，抛物线y =x2 +bx +c 交x 轴于点A (1, 0) 和点B，交y 轴于点C (0, 3) ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P，使PC =PO ，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M，交抛物线于点N．当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M、N 的坐标．考点四：与角相关的问题【2018 学年徐汇区·24 题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-1x2 +bx +c 与直线y =1x - 3 分4 2别交于x 轴、y 轴上的B、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，联结CD 交x 轴于点E .（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（4）如果点F 在y 轴上，且∠FBC =∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标.如图7，已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点O (0, 0)、A (2, 0)，直线y = 2x 经过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB，过点C 作CE ∥ x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F .（1）求抛物线的表达式；（2）当BC =CE 时，求证：∆BCE ∽∆ABO ；（3）当∠CBA =∠BOC 时，求点C 的坐标.已知开口向下的抛物线y =ax2 - 2ax + 2 与y 轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x 轴的交点为C，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M，直线AB 与直线OD 交于点N.（1）求点D 的坐标；（2）求点M的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P(-3, 4) .（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q ，它与y 轴交点为B ，联结PB、PQ .设点B 的坐标为m ，用含m 的代数式表示∠BPQ 的正切值；（3）联结AP ，在（2）条件下，射线PB 平分∠APQ ，求点B 到直线AP 的距离.已知：如图10，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）经过点A（6，-3），对称轴是直线x=4，顶点为B，OA 与其对称轴交于点M，M、N 关于点B 对称．（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）联结ON、AN，求△OAN 的面积；（3）点Q 在x 轴上，且在直线x=4 右侧，当∠ANQ=45°时，求点Q 的坐标．BF 4 EF = 1 考点五：与线段相关的问题【2018 学年闵行区·24 题】已知抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过点 A (1, 0)、B (3, 0) ，且 y 轴的公共点为点C .（1） 求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；（2） 求∠ACB 的正切值；（3） 点 E 为线段 AC 上一点，过点 E 作 EF ⊥ BC ，垂足为点 F .如果 ， 求 BCE 的面积.超预期做自己【2018 学年长宁区·24 题】如图，已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4x2 +bx +c 经过原点，且与x 轴交于9点A ，点A 的横坐标为6 ，抛物线顶点为点B .（1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作OP / / AB ，在直线OP 上点取一点Q ，使得∠QAB =∠OBA ，求点Q 的坐标；（3）将抛物线向左平移m(m > 0) 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，CB : DB = 3 : 4 ，求m 的值.【2018 学年浦东新区·24 题】已知抛物线 y = 1x 2 + bx + c 经过点 M (3, -4) ，与 x 轴相交于点 A (-3, 0) 和点 B ，与 y 轴 3相交于点 C.（1） 求这条抛物线的表达式；（2） 如果 P 是这条抛物线对称轴上一点，PC=BC ，求点 P 的坐标；（3） 在第（2）小题的条件下，当点 P 在 x 轴上方时，求∠PCB 的正弦值.考点六：面积相关的问题 【2018 学年普陀区·24 题】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = - 2x + 4m (m > 0) 与 x 轴、 y 轴分别交于点3A 、B ，如图所示，点C 在线段 AB 的延长线上，且 AB = 2BC . （1） 用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2） 抛物线 y = - 1 x 2+ bx + 10 经过点 A 、C ，求此抛物线的表达式；3（3） 在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点 P ：使得S PAB = 2S OBC ，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，试说明理由.如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y =ax2 +bx + 2 与x 轴交于点A(-2, 0) 和点B(4, 0) .（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD 中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F .①当D②联结BF ，当 DBC 的面积是 BCF 面积的3时，求点C 的坐标.2已知：抛物线y=-x2+bx+c，经过点A(-1,-2)，B(0，1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B'与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B'，设此时抛物线顶点为点P'.①求∠P'BB'的大小.②把线段P'B'以点B'为旋转中心顺时针旋转120 ，点P'落在点M 处，设点N 在（1）中N 的坐标.超预期做自己压轴题之几何综合考点一：圆与直线的位置关系问题【2018 学年普陀区·25 题】如图 1，在Rt A BC 中，∠ACB = 90 , AB = 5, cos∠BAC =4, 点O 是边AC 上一个5动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作 O， O与射线AB交于点D；以点C 为圆心，CD 为半径作 C ，设OA =x .（1）如图 2，当点D 与点B 重合时，求x 的值；（2）当点D 在线段AB 上，如果 C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE =y ，试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）在点O 的运动过程中，如果 C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围.考点二：圆与圆的位置关系问题 【2018 学年杨浦区·25 题】已知圆 O 的半径长为 2，点 A 、B 、C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO ，点 D 为 BC 的中点. （1） 如图 1，联结 AC 、OD ，设∠OAC =α，请用α表示∠AOD ；（2） 如图2，当点 BAC 的中点时，求点 A 、D 之间的距离；（3） 如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E ，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆相切，求弦 AE 的长.已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上的一点，过点O 作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB 于点N，圆O 的半径为5，AB=8.（1）当P是优AB 的中点时（如图8），求弦AP的长；3（2）当点N 与点B 重合时，试判断：以点O 为圆心，2并说明理由；为半径的圆与直线AP 的位置关系，（3）当∠BNO=∠BON，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长.如图，在 A BC中，AC=BC=10，cos C=3，点P是AC边上一个动点（不与点5A、C 重合），以PA 长为半径的 P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E .（1）当 P 与边BC 相切时，求 P 的半径；（2）联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的 Q 与 P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.已知：如图，梯形ABCD 中，AD / / BC，AD = 2，AB =BC =CD = 6 .动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E（点E 与点C 不重合），联结PE、PC . 设BP =x，PC =y .（1）求证：PE / / DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当∠PDC =∠B 时，以D 为圆心、半径为R 的 D 与 P 相交，求R 的取值范围.考点三：相似三角形的存在性问题【2018 学年长宁区·25 题】如图，在Rt ABC 中，∠ACB = 90 ，AC = 3，BC = 4 ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作 P 交边AB 于另一点D ，ED ⊥DP ，交边BC 于点E .（1）求证：BE =DE ；（2）若BE =x，AD =y ，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED 交CA 延长线于点F ，联结BP ，若 BDP 与 DAF 相似，求线段AD 的长.F B图 2C【2018 学年黄浦区·25 题】已知四边形 ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC = 2∠C ，点 E 是射线 AD 上一点，点 F 是射线 DC上一点，且满足∠BEF = ∠A .（1） 如图 1，当点 E 在线段 AD 上时，若 AB=AD ，在线段 AB 上截取 AG=AE ，联结 GE .求证：GE=DF ；（2） 如图 2，当点 E 在线段 AD 的延长线上时，若 AB =3，AD =4， cos A = 1，设 AE = x ，3DF = y ，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域；（3） 记 BE 与 CD 交于点 M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段 AE 的长.AE DA D EG F BC图 1DE【2018 学年金山区·25 题】如图，在 Rt ∆ABC 中，∠C = 90， AC = 16 cm ， AB = 20 cm ，动点 D 由点C 向点 A 以每秒1cm 速度在边 AC 上运动，动点 E 由点C 向点 B 以每秒 4cm 速度在边 BC 上运动，3若点 D ，点 E 从点C 同时出发，运动t 秒( t > 0 )，联结 DE .（1） 求证： ∆DCE ∽ ∆BCA ． （2）设经过点 D 、C 、 E 三点的圆为⊙ P .①当⊙ P 与边 AB 相切时，求t 的值. ②在点 D 、点 E 运动过程中，若⊙ P 与边 AB 交于点 F 、G （点 F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边 AB 于点 M ，当∆PFM 与 ∆CDE 相似时，求t 的值.CAB备用图CDPEAB超预期做自己考点四：等腰三角形的存在性问题【2018 学年崇明区·25 题】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，AB =DC = 8 ，BC = 12 ，cos C =3，点E 为5AB 边上一点，且BE = 2 ．点F 是BC 边上的一个动点（与点B、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG =∠B ．设BF 的长为x，CG 的长为y．（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．B F C考点五：特殊四边形的存在性问题【2018 学年奉贤区·25 题】如图，已知 A BC，AB =2，BC = 3，∠B = 45 ，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD . （1）设BD 为x ，点D、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E 是弧DF 的中点，求BD : CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长.DG EFPQ【2018 学年虹口区·25 题】如图，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =3，AB =4，点 P 为射线 BC 上一动点，以 P 为圆心， BP 长为半径作⊙P ，交射线 BC 于点 Q ，联结 BD 、AQ 相交于点 G ，⊙P 与线段 BD 、AQ 分别相交于点 E 、F ．（1） 如果 BE=FQ ，求⊙P 的半径；（2） 设 BP=x ，FQ=y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3） 联结 PE 、PF ，如果四边形 EGFP 是梯形，求 BE 的长．ABC考点六：面积问题【2018 学年闵行区·25 题】如图 1，点P 为∠MAN 的内部一点，过点P 分别作PB ⊥AM、PC ⊥AN ，垂足分别为点B、C .过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D .BE ⊥AP ，垂足为点E .（1）求证：∠BPD =∠MAN ；（2）如果sin ∠MAN =3 10，AB = 2 10，BE =BD ，求BD 的长；10（3）如图 2，设点Q 是线段BP 的中点.联结QC、CE ，QC 交AP 于点F .如果∠MAN = 45 ，且BE / /QC，求的值.SCEFSPQF2 【2018 学年松江区·25 题】如图，已知 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC= 4 ，BC=16．点 O 在边 BC 上，以 O 为圆心，OB 为半径的弧经过点 A ．P 是弧 AB 上的一个动点．（1） 求半径 OB 的长；（2） 如果点 P 是弧 AB 的中点，联结 PC ，求∠PCB 的正切值；（3） 如果 BA 平分∠PBC ，延长 BP 、CA 交于点 D ，求线段 DP 的长．OO（备用图）图2 图 1 【2018 学年青浦区·25 题】已知：在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，D 是 AB 的中点. 以 CD 为直径的⊙Q 分别交 BC 、BA 于点 F 、E ，点 E 位于点 D 下方，联结 EF 交 CD 于点 G ．（1） 如图 1，如果 BC =2，求 DE 的长；（2） 如图 2，设 BC =x ，GD=y ，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域； GQ（3） 如图 3，联结 CE ，如果 CG =CE ，求 BC 的长．图 3考点九：其他（点在圆上，即半径相等）【2018 学年嘉定/宝山区·25 题】在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），点M 是弦BC 的中点．（1）如图1，如果AM 交OC 于点E ，求OE : CE 的值；（2）如图2，如果AM ⊥OC 于点E ，求sin ∠ABC 的值；（3）如图3，如果AB : BC = 5 : 4 ，点D 为弦BC 上一动点，过点D 作DF ⊥OC ，交半径OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ．探究一：如果设BD =x ，FO =y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O 为圆心，OF 为半径的圆经过点D ，直接写出此时BD 的长度；请你完成上述两个探究．图1 图3。

2019年上海各区初三二模数学试卷19--21题专题汇编（学生版）静安区19．（本题满分10分）计算：12241)1-++-20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy yì-=ïí+-=ïî21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表2记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．表2嘉定区19．（本题满分10分）计算：220)3(60tan 21)21()2018(π-+︒+-+--．20．（本题满分10分）解方程：21224162+--+=-x x x x ．21．（本题满分10分，第(1)小题5分、第(2)小题5分）如图4，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，点E 是边AC 的中点，11=BC ，12=AD ，四边形DFGH 是边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求EDC ∠cos 的值．普陀区19．（本题满分10分）计算：312019212sin 60227(1)2-⎛⎫︒-+--- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：242193x x x =--+．AG B HD F EC图421．（本题满分10分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE //BC ，13DE BC =，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC 的面积； （2）如果9BC =，且2cot 3B =，求AED ∠的正切值． 徐汇区19．（本题满分10分）计算：()()12831233-+-+---20．（本题满分10分）解方程组：22222021,.x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨++=⎪⎩A BCDE图8BO CAABCDE第21题图21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，已知⊙O 的弦AB 长为8，延长AB 至C ，且BC =12AB ， tanC =12． 求：（1）⊙O 的半径；（2）点C 到直线AO 的距离．金山区19. 计算：()()()1212312283-++-++.20. 解方程：142212=---x xx .21. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点，CB CE =，5=CD ，53sin =∠ABC .求：（1）BC 的长． （2）E tan 的值．（第21题图）崇明19．（本题满分10分）先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中a =．20．（本题满分10分）解方程组224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）①② 如图5，已知ABC △中，6AB =，30B ∠=︒，3tan 2ACB ∠=． （1）求边AC 的长；（2）将ABC △沿直线l 翻折后点B 与点A 重合， 直线l 分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，求BEEC的值．虹口区19．（本题满分10分） 先化简，再求值：35(2)242m m m m -÷+---，其中23m =-．20．（本题满分10分）解方程组：22560,312.x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ． （1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ▲ ； （2）联结AD ，AD=7，sin ∠DAC 17=，BC =9，求AC 的长．ABC图5C第21题图DBAEPQ黄浦区19．（本题满分10分）计算： ()()133tan 60cos3271301902-+--︒-︒.20．（本题满分10分）解方程：22161242x x x x +-=--+．21．（本题满分10分）如图4，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O e 的半径.ABCO图4青浦19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分）解方程组：21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图7，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ∶∠DAB =1∶2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC =1，，求∠CAD 的正弦值.①② 22602 1.x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩；EDABC图7宝山19．（本题满分10分）计算：202)3(30cot 21)2019(21π-+︒+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-．21．（本题满分10分）解方程：214162++-x x =22-+x x21．（本题满分10分，第(1)、第(2)小题满分各5分）如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点， BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求cos ∠EDC 的值．第21题图松江19．（本题满分10分） 计算：()()121227+3116+23---+20．（本题满分10分） 解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．(本题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，且AD ⊥BD ，BD =6，sin A =32，求梯形ABCD 的面积．②① （第21题图）CBAD图6DCB AEF奉贤19．（本题满分10分）先化简，再求值：22693111x x x x x x x -+--?--+，其中2x =20．（本题满分10分） 解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，每小题5分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90°，BC =2AB =8，对角线AC 平分∠BCD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，联结CF ． （1）求腰DC 的长； （2）求∠BCF 的余弦值．闵行19．（本题满分10分）先化简，再求值：2214422x x xx x x x-÷-++++，其中21x=-．20．（本题满分10分）解不等式组：62442133x xx x->-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在△ABC中，AB = AC，BC = 10，5cos13ABC∠=，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且23AEAC=，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）EFBF的值．-1-2012（第20题图）AB C（第21题图）EDF杨浦19．（本题满分10分）计算：2301(3)()(32)4cos3023--+--︒+.20．（本题满分10分）已知关于x ，y 的二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩，的解为11.x y =⎧⎨=-⎩，求a 、b 的值.21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =BC ，DC ⊥BC ，且AD =1，DC =3，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于点Q . （1）求AB 的长；（2）当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系.长宁19．（本题满分10分）A BCD Q.P先化简，再求值：)44(24222-+÷+-x x xx x ，其中3=x ．20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤--->- 1223)1(3)6(2 ．　，x x x x ，并把解集在数轴上表示出来.21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，点D 是边AC 的中点，BD CF ⊥，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ． 求：（1）ACE ∠的正切值； （2）线段AE 的长．43 2 10 -4 -3 -2 -1 图4ACBD E F。

2018~2019学年上海市宝山区九年级二模数学试卷（时间：100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列计算中，正确的是（ ）（A ）1242=； （B ）040=；（C ）1242-=-；（D ）144-=-．2. 下列方程中，一定有实数解的是（ ）（A ）490x +=；（B ）2230x x --=；（C ）2311x x x +=--； （D 10=． 3. 对于数据：6，3，4，7，6，0，9，下列判断中正确的是（ ）（A ）这组数据的平均数是6，中位数是6； （B ）这组数据的平均数是6，中位数是7；（C ）这组数据的平均数是5，中位数是6； （D ）这组数据的平均数是5，中位数是7． 4. 直线4y x =-+不经过（ ）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限．5. 下列命题中，真命题是（ ）（A ）对角线相等的四边形是等腰梯形； （B ）两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形；（C ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；（D ）平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形．6. 在直角坐标系平面内，点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(,0)a ，圆A 的半径为2，下列说法不正确的是（ ） （A ）当1a =-时，点B 在圆A 上； （B ）当1a <时，点B 在圆A 内； （C ）当1a <-时，点B 在圆A 外；（D ）当13a -<<时，点B 在圆A 内．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 4的平方根为__________． 8. 计算：2(2)a =__________．9. 不等式组10;2 4.x x -≤⎧⎨-<⎩的整数解是__________．10. 已知函数1()5x f x x -=+，那么(3)f =__________．11. 4=的解是__________．12. 从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_____． 13. 已知关于x 的方程220x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是__________． 14. 为了了解全区近3600名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）分组 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100频数 12 18 180 频率 0.16 0.04根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70~80分的人数大约是__________．15. 如图，在ABC △中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，2BD AD =，AB m =u u u r u r，DE n =u u u r r ，那么DC u u u r 用m u r 、n r 表示为：DC =u u u r__________．第15题图 第16题图 第17题图16. 如图，在⊙O 中，点C 为弧AB 的中点，OC 交弦AB 于D ，如果8AB =，5OC =，那么OD 的长为__________．17. 如图，在正六边形ABCDEF 的上方作正方形AFGH ，联结GC ，那么GCD ∠的正切值为__________．18. 如图，在ABC △中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E ，如果线段DE 的长为2，那么边AB 的长为__________．第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中2a =20. （本题满分10分）解方程组224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21. （本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知ABC △中，6AB =，30B ∠=︒，3tan 2ACB ∠=． （1）求边AC 的长；（2）将ABC △沿直线l 翻折后点B 与点A 重合，直线l 分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，求BEEC的值．崇明区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图像，请解答下列问题：（1）求乙队在26x≤≤的时段内，y与x之间的函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为多少米？23.（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，在直角梯形ABCD中，90ABC∠=︒，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE BC⊥，交AC于点F．（1）联结OE，若BE AOEC OF=，求证：OE//CD；（2）若AD CD=且BD CD⊥，求证：AF DF AC OB=．如图，抛物线2=++交x轴于点(1,0)y x bx cC．A和点B，交y轴于点(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P，使PC PO=，求点P的坐标；（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N，当四边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标．备用图25.（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，8AB DC==，12BC=，3cos5C=，点E为AB边上一点，且2BE=，点F是BC边上的一个动点（与点B、点C不重合），点G在射线CD上，且EFG B∠=∠，设BF的长为x，CG的长为y．（1）当点G在线段DC上时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以点B为圆心，BF长为半径的⊙B与以点C为圆心，CG长为半径的⊙C相切时，求线段BF的长；（3）当CFG△为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．备用图2018~2019学年上海市宝山区九年级二模数学试卷参考答案一、选择题二、填空题三、解答题19. （本题满分10分）解：原式=()()2211111(1)a a a a a +-⨯--+- …………………………………………………（2分） 2111a a =--- ……………………………………………………………（2分） 11a =-. …………………………………………………………………（2分）把a = 原式 ……………………………………………………………………（2分）1=+. ……………………………………………………………………（2分）20. （本题满分10分）解：由②得：(2)()0x y x y +-= …………………………………………………（2分） 所以200x y x y +=-=或 …………………………………………………（2分） 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或…………………………………………………（2分）121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为 ……………………………………（4分）21. （本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）过A 作AH BC ⊥，垂足为H …………………………………………… (1分) ∵6AB =，30B ∠=︒，AH BC ⊥∴3AH =………………………………………………………………………(1分) ∵3tan 2ACB ∠=∴2CH =…………………………………………………………………………(1分)∴ AC =……………………………………………………(2分) （2）由翻折得：132BD AB ==，AE BE =，90BDE ∠=︒∵cos BDB BE=3BE =∴BE =(1分)∴AE =…………………………………………………………………(1分)∴EH =………………………………………………………………… (1分)∴6BE EC == ……………………………………………… (2分)22. （本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）设乙队在26x ≤≤的时段内y 与x 之间的函数关系式为：(0)y kx b k =+≠， 由图6可知，函数图像过点（2，30）、（6，50），得：230650k b k b +=⎧⎨+=⎩ ………………………………………………………… (2分)解得520k b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………（2分）∴ 520y x =+． ………………………………………………………………（1分） （2）由图可知，甲队施工速度是：60÷6=10（米/时）．…………………………（1分） 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米 …………………………（1分） 由题意得：6050.1012z z --= (2)解得： 110z =． …………………………………………………………（1分）答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．23. （本题满分12分，每小题满分各6分）证明（1）∵90ABD ∠=︒,DE BC ⊥ ∴//AB DE ………………………………………………………………（1分） ∴AO BOOF OD =………………………………………………………………（2分） ∵BE AO EC OF = ∴AO BE OF EC= ……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分）（2）∵//AD BC ，//AB DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵BD CD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒，90ADE ADB BDE ∠=∠+∠=︒∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =Q∴DAC DCA ∠=∠∴()..ADO CDF A S A ∆≅∆…………………………………………………（1分）∴OD DF = //AB DE Q ∴AF BE AD AC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵//AD BC∴AD OD DF BC BO BO ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DF AC OB =…………………………………………………………………（1分）24. （本题满分12分，每小题满分各4分）解：（1）∵抛物线2y x bx c =++ 过点(1,0)A 、(0,3)C∴013b c c =++⎧⎨=⎩………………………………………………………………（2分）解得 43b c =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式为243y x x =-+ ………………………………………（1分） （2）过P 作PH OC ⊥，垂足为H ∵PO PC =，PH OC ⊥∴32CH OH ==………………………………………………………………（1分） ∴ 23432x x -+=……………………………………………………………（1分）∴2x =± ………………………………………………………………（1分）33(2)22P P 或（2，）………………………………………………（1分） （3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC //MN∴ANM CMN ∠=∠，ANM GAC ∠=∠，GCA CMN ∠=∠ ∴GAC GCA ∠=∠， ∴GA GC =，设GA x =，则GC x =，3OG x =-， 在Rt OGA △中，222OA OG AG +=∴2221(3)x x +-=，解得53x =∴433OG x =-=，∴4(0,)3G易得直线AG 的解析式为4433y x =-+令2444333x x x -+=-+，解得11x =（舍去），253x =，∴58(,)39N ………………………………………………………………（2分）∴109CM AN ==，∴1037399OM OC CM =+=+=∴37(0,)9M …………………………………………………………………（2分） ∴存在37(0,)9M 、58(,)39N 使四边形ACMN ACMN 为等腰梯形25．（本题满分14分，其中第(1)、(2)小题满分各4分，第(3)小题满分6分）解：（1）∵梯形ABCD 中，AD //BC ，AB DC = ∴B C ∠=∠∵EFC B BEF EFG GFC ∠=∠+∠=∠+∠，EFG B ∠=∠∴GFC FEB ∠=∠……………………………………………………………（1分） ∴EBF △∽FCG △……………………………………………………………（1分） ∴EB BFFC CG=，∴212x x y =- ………………………………………………（1分） ∴ 2162y x x =-+………………………………………………………………（1分）自变量x 的取值范围为：06612x x <≤-+<……………（1分）（2）当012x G CD CD <<时，无论点在线段上，还是在的延长线上，都有2162y x x =-+①当⊙B 与⊙C 外切时，BF CG BC +=∴216122x x x -+=，解得12x =或212x =（舍去） ………………………（2分）②当⊙B 与⊙C 内切时，CG BF BC -=∴216122x x x -+-=，解得14x =或26x = ……… …… ……………………（2分）综上所述，当⊙B 与⊙C 相切时，线段BF 的长为：2或4或6（3）当CFG △为等腰三角形时，线段BF 的长为：53或2或125………………（6分）。

第18题专题题型一：图形等等翻折1.如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （23，0），B （0，6），M （0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ．如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是 ▲ ．参考答案：（23，4）或（0，－2）或（23- ，0）． 解析：（1）如图一，∵23OA =，6OB =，∴∠OBA =30° ∵ 翻折 ∴∠P =∠OBA =30°，4MP MB ==延长PQ 交OB 与H ，∵∠PQA =60°，∠BAO =60°，∴∠PQA =∠BAO ∴PH ∥OA ，∴∠PHO =∠AOB =90° ，又∠OBA =30°， ∴12,232MH MP PH === ∴ P （23，4） （2）如图二，∵ 翻折，∴∠BQM =∠PQM ∵∠PQA =60°，∴∠BQM =∠PQM =60°又∵∠OBA =30°，∴∠BMQ =90°，所以翻折后P 落在y 轴上且MP =BM =4 ∴P （0，－2）（3）如图三，∵∠P AB =60°，∴ BQM =30°，又易证∠BAM =∠OAM =30°，所以Q 点与A 点重合，且P 落在x 轴上，P A =BA =43，∴ P （23-，0）．图一 图二 图三2.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，点E 在边AD 上且AE =4，点F 是边BC 上的一个动点，yQ 图4ABOM xQ﹒PQ ABO MP(Q )ABOMH PQMOB A将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG =3，那么BF 的长为 ▲ ．参考答案：658-解析：易证1EGA CGD △∽△，∴11AG A E GD DC=，∴12A E =，∴ EG =25 ∴BC =AD =725+，设BF =x ，则1,725FB x FC x ==+- 易证1FCB CGD △∽△，∴1FB FCDC GC=，GC =35，∴1658FB =-，即658FB =-3.如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，25BC = ，D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD =_____参考答案：5：6解析：过A 作AH ⊥BC ，∵AC =AB ，∴ BH=5，过C 作CF ⊥AB ，5cos 5BF BH ABC BC AB ===∠，∴ BF =2，AF =3，C F=4，∵CE // AB ，∴四边形ABCE 为梯形，又因为翻折，所以AB =BE ，所以BE =AC ，所以梯形ABCE 为等腰梯形，所以OA =OB ，C第18题图ABDEABC（第18题图）OE =OC ，过O 作OP ⊥AB ，所以AP =52，因为OP ∥CF ，所以AO AP AC AF =，所以AO =256，OC =OE =56，因为CE // AB ，∴ EC COAB AO=，∴ EC =1，因为翻折，所以DAB DEB =∠∠，又因为CE // AB ，所以DAB ECD =∠∠，所以DEB ECD =∠∠，又∠EDC =∠EDC ，所以△DEO ∽△DCO ，所以56ED EO DC EC ==，又ED =AD ，所以AD ：DC =5:6题型二：图形等等旋转4.如图4，在ABC △中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E .如果线段DE 的长为2，那么边AB 的长为 ． 参考答案．62+解析：如图，过点D 作DH ⊥CE ，∵AB AC =，30BAC ∠=︒∴ ∠ABC =∠ACB =75°，∵ 旋转，∴ ∠CAD =30°，∠ACD =∠ADC =75° ∴∠DCH =30°，∠DEC =45°，∵DE =2，∴ DH =HE =1，∴ CD =2，CH =3 ∴ CE =3+1，∵ ∠E =∠E ，∠DCH =∠CAD =30°，∴ △CDE ∽△ACE ∴CD DEAC CE=，∴ AC =62+，∴ AB =62+BOEDABCH5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，cosB =23，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A'CB'（点A'、C 、B'的对应点分别是点A 、C 、B ），联结A'A 、B'B ，如果△AA'B 和△AA'B'相似，那么A C '的长是 ▲ ．参考答案：355-解析：∵∠ACB =90°，AB =6，cosB =23，∴ BC =4，AC =25，∵因为旋转，∴ 1=ABC B ∠∠又∵△AA'B 和△AA'B'相似，∴11BAA CAA =∠∠，过B 作BD ∥AC ，延长1AA 交BD 于点D ，则∠D =1CAA ∠，∴∠D =1BAA ∠，∴ BD =AB =6，因为BD ∥AC ，所以11BA BD AC A C= 即64=25ACAC-，∴AC =355-6.如图3，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ∆绕着点C 旋转，点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上，则'AA 的长等于 ▲ ．参考答案：145解析：过A 作AE ⊥BC ，所以BE =4,AE =3,因为旋转，所以'8,'5B C BC AC A C ===='B B=∠∠，过C作'CH AA ⊥，3sin 'sin '5CH B B CB ===，所以245CH =，所以2275AH AC CH =-=，所以'145AA =ACBB C D B 1A 1A图3BCH A'B'ABCE7.如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆ ，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1BDB C= ▲ ． 【参考答案】35.因为在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =， 所以设3AC x =，则5AB x =；4BC x =因为11A B C ∆由将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转得到， 所以1190ACB ∠=︒,1B B ∠=∠ 又因为点E 是边11A B 的中点， 所以1111115222A EB E CE A B AB x ===== 所以11CEB B ∠=∠;所以1CEB B ∠=∠;所以1//BD B C ;所以11BDB B ∠=∠; 所以1BDB B ∠=∠ 所以542DE BE x x ==-所以15432552x xBD BEB C CEx -===.8.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．【参考答案】3.根据题意得：22228610BD AB AC BC ==+=+=;1064DC DB BC \=-=-=Q 旋转，所以=A D 行，又Q 90ACBDCF ??o\ ACB V ∽DCF V \43DC AC CF BC ==, 3CF \=.9.如图5，矩形ABCD ，AD =a ，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合）．如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 ▲ ．（用含a 的代数式表示）【参考答案】2a .根据题意，由旋转得到90BEF DAB ??o矩形对角线BD BF = 所以BDF V 是一个等腰三角形所以DE EF a ==（等腰三角形三线合一） 所以2DF a =.10.如图7，AD 是△的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE ，那么GFAB的值等于 ▲ ．【参考答案】1063.ABC E 图7联结AF ;因为CFD △由BDE ∆绕点D 旋转得到 所以BDE BDE ∆∆≌ 所以DE FD =;B DCF ∠=∠;27CF AB = 所以//AB CF所以27FG AG =;所以29FG AF =在ADE ∆和ADF ∆中90AD AD ADE ADF DE FD o=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩；得到ADE ADF ∆∆≌ 所以AE AF =设5AE x =；则5AF x =;7AB x =;109xFG = 所以1063FG AB =.题型三：其他题型：11.我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1个单位/秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2个单位/秒的速度向点B 运动，P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为 ．参考答案：35CBAP QM 图6G E DB解析：当t =0时，M 在AC 中点处，即1M 处，当t=6时，Q 运动到B ，此时P 在线段AC 上，且AP=6，CP=2，M 在BP 中点处，即2M 处，过2M 作2M H AC ⊥，交AC 于H ，则26M H =，HP=1，∴ 1HM =3，∴221221()()35M M M H HM =+=，即轨迹长为3512.如图3，点M 的坐标为)2,3(，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线x y -=平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是 ．参考答案：3或2（任意一个都可以）解析：设M 关于直线l 的对称点为点N ，直线l 与x 轴交于点P ，与y 轴交于点F ，易知45?FPO PFO ==∠∠（1）当对称点落在x 轴上时，直线l 垂直平分线段MN ，所以45?MNP PN PM ==∠， ∴45?NMP =∠，∴=90?NPM ∠，∴ P （3,0），∴ OF =OP =3，所以t=3（2）当对称点落在y 轴上时，直线l 垂直平分线段MN ，所以45?,FN=FM MNF =∠ ∴45?NMF =∠，∴ =90?NFM ∠，∴ F （0,2），所以OF =2,所以t =213.如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ▲ .参考答案：105105r -<<+解析：过O 作OH ⊥AD ，OG ⊥AB ，∴AH =2,AG =1，易知四边形AGOH 为矩形，所以OH =1,所以AO =5，易知HD =3，所以OD =10，连接OD 并延长DO ，交圆O 于点P ,Q ，所以PD=105-，DQ=10+5，所以105105r -<<+OFPl N MOPFl NMABCDE F （第18题图）14.定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点。

2019年上海各区初三二模数学试卷19--21题专题汇编（教师版）静安区19．（本题满分10分）计算：12241)1-++-．20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy yì-=ïí+-=ïî21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表2记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．表219．（本题满分10分）计算：12241)1-++-．解：原式=1312+-·························································（8分）52．······················································································（2分）20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy y①②ì-=ïí+-=ïî解：由②得：(2)(5)0x y x y-+=． ···········································································（2分）原方程组可化为：620x yx y-=⎧⎨-=⎩和6+50x yx y-=⎧⎨=⎩．..........................................................（4分）解得：11126xy=⎧⎨=⎩和2251xy=⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解是11126xy=⎧⎨=⎩和2251xy=⎧⎨=-⎩．······························································（4分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设y与x之间的函数解析式为：(0)y kx b k=+≠． ································（1分）把（0，3）、（1，3.3）代入得：33.3bk b=⎧⎨=+⎩， ·····························································（2分）解得，0.33kb=⎧⎨=⎩． ···········································································································（1分）∴y与x之间的函数解析式为0.33y x=+． ·······························································（1分）（2）把y=8，代入0.33y x=+，·················································································（1分）得80.33x=+，解得503x=． ························································································（2分）所以，5035533-=（小时）． ··························································································（1分）答：再过353小时后系统会发出警报． ·········································································（1分）嘉定区19．（本题满分10分）计算：220)3(60tan21)21()2018(π-+︒+-+--．20．（本题满分10分）解方程：21224162+--+=-x x x x ． 21．（本题满分10分，第(1)小题5分、第(2)小题5分）如图4，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，点E 是边AC 的中点，11=BC ，12=AD ，四边形DFGH 是边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求EDC ∠cos 的值．19.解：原式332141-++-+=π……………8分3)32(2+=--+=ππ ……………2分20. 解：方程两边同乘以)2)(2(-+x x …………2分 得：)2()2(162--+=x x ……………1分 整理，得：01032=-+x x …………1分 解此方程得：51-=x ，22=x …………4分经检验51-=x 是原方程的解，22=x 是增根（舍去） ……………1分 ∴原方程的解是5-=x ……………1分21.解：（1）∵四边形DFGH 是边长为4正方形∴4==FD GF ,FG ∥BD ………1分∴AD AFBD GF =……………1分 ∵12=AD ∴8=AF ……………1分∴1284=BD……………1分 AG B HDF EC图4AG B HD F EC图4∴6=BD ……………1分 （2） ∵11=BC ，6=BD∴5=CD ……………1分在直角△ADC 中，222DC AD AC +=,又12=AD ∴13=AC ……………1分∵点E 是边AC 的中点，∴EC ED = ∴C EDC ∠=∠ ……1分 在直角△ADC 中， 135cos ==∠AC CD C ………1分 ∴135cos =∠EDC……………1分普陀区19．（本题满分10分）计算：312019212sin 60227(1)2-⎛⎫︒-+--- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：242193x x x =--+．21．（本题满分10分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE //BC ，13DE BC =，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC 的面积； （2）如果9BC =，且2cot 3B =，求AED ∠的正切值．A BCDE图819．解：原式=228(1)-+-- ······································································· （6分）=281++ ···················································································· （2分）=5. ··································································································· （2分）20．解：去分母得，242(3)(9)x x x =---. ··································································· （3分）整理得，2230x x +-=. ···················································································· （3分） 解得 1x =，3x =-． ······················································································· （2分） 经检验，3x =-是增根，舍去． ········································································ （1分） 所以，原方程的解是1x =． ··············································································· （1分）21．解：（1）∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ． ······························································································· （1分）∴2△△ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ··································································································· （1分） 又∵13DE BC =，∴19△△ADE ABC S S =． ·············································································· （1分） ∵3△ADE S =，∴27△ABC S =． ··············································································· （1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，H 为垂足． ········································································· （1分）∵27△ABC S =，∴1272BC AH ⋅⋅=．∵9BC =，∴6AH =． ···························································································· （1分） ∵AH ⊥BC ，∴90AHB AHC ∠=∠=︒． 在Rt △ABH 中，90AHB ∠=︒，2cot 3B =，∴23BH AH =． ∴4BH =．·················································································································· （1分） ∴5CH =． ·················································································································· （1分） 在Rt △ACH 中，90AHC ∠=︒，∴6tan 5AH C HC ==．·········································· （1分） ∵DE //BC ，∴AED C ∠=∠．∴6tan 5AED ∠=． ······································································································ （1分） 即AED ∠的正切值65．徐汇区19．（本题满分10分）)(121-+-20．（本题满分10分）解方程组：22222021,.x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨++=⎪⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，已知⊙O 的弦AB 长为8，延长AB 至C ，且BC =12AB ， tanC =12． 求：（1）⊙O 的半径；（2）点C 到直线AO 的距离．19．解：原式3=+-522=20．解：（1）由①得：(2)()0x y x y -+=由②得：1x y +=± 得：202000,,,1111x y x y x y x y x y x y x y x y -=-=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=+=-+=+=-⎩⎩⎩⎩分别12222233,1133x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩解得：、无解、无解 （第21题图）ABCDE第21题图∴12222233,1133x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩原方程组的解是： 21．解：（1）过点O 作OH ⊥AC 于点H ， ∵OH 过圆心，且AB =8，∴AH =BH =12AB=4 ∵BC =12AB ，∴BC =4，∴HC =8 ∵在Rt △OHC 中，1tan tan 2OH C C HC ==且∴142OH HC == ∵在Rt △OHA 中，222OH AH OA +=，∴42OA =（2）∵在Rt △OHA 中，4=90HA HO AHO ︒==∠且，∴A=AOH ∠∠=45︒ 过点C 作CG ⊥AO 的延长线于点G ， ∵在Rt △AGC 中，sin CGA AC=∴2sin 4512CG ︒== ∴62CG =C 到直线AO 的距离是2金山区19. 计算：()()()1212312283-++-++.20. 解方程：142212=---x x x .21. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点，CB CE =，5=CD ，53sin =∠ABC .求：（1）BC 的长． （2）E tan 的值．19.解：原式23122221++-++=； （8分）2322221-+-++=； （1分） 33+=. （1分）20. 解：4222-=-+x x x ； （4分）062=-+x x ； ()()023=-+x x ； （2分）解得：31-=x ，22=x ； （2分） 经检验：22=x 为增根舍去 （1分） 所以原方程的解为：3-=x . （1分）21. 解：（1） ∵在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点;∵AB CD 21=, （1分） ∵5=CD ; ∵10=AB ; （1分）∵53sin ==∠AB AC ABC ; 由10=AB 解得6=AC ; （1分）∵222AB AC BC =+ ∵861022=-=BC . （2分）（2）作BC EH ⊥垂足为H ； （1分）∵ο90=∠=∠EHB EHC ；∵D 是边AB 的中点； ∵AB CD BD 21==； ∵ABC DCB ∠=∠; ∵ο90=∠ACB ； ∵ACB EHC ∠=∠； ∵EHC ∆∽ACB ∆； （1分）∵ABECBC CH AC EH ==； 由8=BC ，CB CE =得8=CE ，CEB CBE ∠=∠；∵10886==CH EH 解得524=EH ,532=CH ；585328=-=BH ; （2分）∵3tan ==∠BHEHCBE ，即3=E tan . （1分）崇明19．（本题满分10分）先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中2a =．20．（本题满分10分）解方程组224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图5，已知ABC △中，6AB =，30B ∠=︒，3tan 2ACB ∠=． （1）求边AC 的长；（2）将ABC △沿直线l 翻折后点B 与点A 重合， 直线l 分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，求BEEC的值．19．（本题满分10分） 解：原式=()()2211111(1)a a a a a +-⨯--+- …………………………………………………（2分） ABC图52111a a =--- ……………………………………………………………（2分） 11a =-. …………………………………………………………………（2分）把a =原式……………………………………………………………………（2分）1. ……………………………………………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：由②得：(2)()0x y x y +-= …………………………………………………（2分） 所以200x y x y +=-=或 …………………………………………………（2分）44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或…………………………………………………（2分） 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为 ……………………………………（4分）21．（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ………………………………………………… (1分) ∵AB=6，30B ∠=︒，AH ⊥BC∴AH =3 ………………………………………………………………………(1分) ∵3tan 2ACB ∠=∴CH =2…………………………………………………………………………(1分) ∴AC ==(2分) （2）由翻折得：132BD AB ==，AE=BE ，90BDE ∠=︒ ∵cos BDB BE=3BE =∴BE =(1分)∴AE =…………………………………………………………………(1分)∴EH =………………………………………………………………… (1分)①②∴6BE EC == ……………………………………………… (2分)虹口区19．（本题满分10分） 先化简，再求值：35(2)242m m m m -÷+---，其中3m =．20．（本题满分10分）解方程组：22560,312.x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ． （1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ▲ ； （2）联结AD ，AD=7，sin ∠DAC 17=，BC =9，求AC 的长．19．解：原式=2345()222m m m m ---÷--（） 3222(3)(3)m m m m m --=⋅-+-（）12(+3)m =-当3m =时, 原式=4-20．解：由①得，60x y -=或+0x y =将它们与方程②分别组成方程组，得： C第21题图DBAEPQ60,312.x y x y -=⎧⎨-=⎩ +0,312.x y x y =⎧⎨-=⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解为1124,4;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=-⎩．（代入消元法参照给分）21．解：（1）垂直平分线（或中垂线） （2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F∵DE 是线段AB 的垂直平分线 ∴AD =BD =7 ∴2CD BC BD =-=在Rt △ADF 中，1sin 717DF AD DAC =⋅∠=⨯=在Rt △ADF 中，2243AF AD DF =-=同理，3CF =∴53AC =黄浦区19．（本题满分10分）计算： ()()133tan 60cos3271301902-+--︒-︒.20．（本题满分10分）解方程：22161242x x x x +-=--+．21．（本题满分10分）如图4，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O e 的半径.ABCO图419．解：原式311--，-----------------------------------------------------------------（6分）=232-+，----------------------------------------------------------------------------（2分）=3-+-------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20. 解：去分母得()22162x x +-=-，---------------------------------------------------------------（3分）化简得 23100x x +-=，-----------------------------------------------------------------（3分）解得12x =，25x =-.----------------------------------------------------------------------------------（2分） 经检验12x =是增根，∴原方程的根是5x =-.-------------------------------------------------（2分） 21. 解：联结AO ，交BC 于点D ，联结BO . ----------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴»»AB AC = ，------------------------------------------------------------------------------（1分）又AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD . ---------------------------------------------------------------（2分）∵BC =，∴BD =，-------------------------------------------------------------------------------（1分）∴在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒ ，∴222BD AD AB +=，---------------------------------------（1分）又AB =4，∴2AD =.----------------------------------------------------------------------------------------（1分） 设半径为r . 在 Rt BDO ∆中，∵222BD DO BO +=，-----------------------------------------------（1分）∴(()222+2r r -= ，-------------------------------------------------------------------------------（1分）∴4r = . --------------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴O e 的半径为4 青浦19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分）解方程组：21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图7，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ∶∠DAB =1∶2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC =1，，求∠CAD 的正弦值.19．解：原式=()121+2+1+9---． ························································· （8分）=10． ····················································································· （2分）20．解：由①得+30=x y 或20-=x y ． ························································· （2分）原方程组可化为302 1.，+=⎧⎨+=⎩x y x y 或202 1.，-=⎧⎨+=⎩x y x y ········································· （4分）解得原方程的解是113515，；⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 222515，.⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ················································ （4分） 21．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴DA = DB ， ············································································· （1分） ∴∠DAB =∠B ． ········································································ （1分） ∵∠CAD ∶∠DAB =1∶2， ∴∠B =2∠CAD ， ······································································ （1分） ∵∠C =90°，①② 22602 1.x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩；EDABC图7∴∠CAD +∠DAB +∠B =90°， ························································ （1分） ∴5∠CAD =90°， ∴∠CAD =18°． ········································································ （1分） （2）∵∠C =90°，AC =1，，∴BC =2． ··············································································· （1分） 设DB =x ，则DA =x ，CD =2-x ，∵∠C =90°，∴222+=AC CD AD ，∴()2212+-=x x ． ················· （1分）解得 54=x ， ········································································· （1分） ∴CD =34， ············································································· （1分） ∴334sin 554∠===CD CAD AD ． ·················································· （1分）宝山19．（本题满分10分）计算：202)3(30cot 21)2019(21π-+︒+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-．21．（本题满分10分）解方程：214162++-x x =22-+x x21．（本题满分10分，第(1)、第(2)小题满分各5分）如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点， BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求cos ∠EDC 的值．1tan 2B ∠=。

2019年上海市黄浦区初三数学二模18题【经典例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么＝．【思路分析】设AC＝3x，AB＝5x，由旋转的性质可得CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB ＝∠A1CB1，由题意可证：△CEB1∽△DEB ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，确定相应线段长度，建立比例关系：＝【标准答案】解：∵∠ACB＝90°，sin B＝＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB＝∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE＝A1B1＝2.5x＝B1E，∴BE＝BC﹣CE＝1.5x，∵∠B＝∠B1，∠CEB1＝∠BED∴△CEB1∽△DEB∴＝故答案为：2019年上海市金山区初三数学二模18题【经典例题】一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．【思路分析】根据轴对称图形的性质得到此图形为正十边形，求出正十边形的中心角，作AC平分∠OAB交OB于C，根据相似三角形性质列出比例式，即可求解。

【标准答案】解：∵正多边形的对称轴共有10条，∴这个正多边形是正十边形，设这个正十边形的中心为O，则OA＝OB＝4，∠AOB＝＝36°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝72°，作AC平分∠OAB交OB于C，则∠OAC＝∠O，∠ACB＝∠B，∴OC＝CA＝AB，△ABC∽△OAB，∴＝，即AB2＝4×（4﹣AB），解得，AB1＝2﹣2，AB2＝﹣2﹣2（舍去），∴AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．2019年上海市浦东新区初三数学二模18题【经典例题】定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ 的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N 为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比＝．【思路分析】分三种情情况：1、点A在线段MN上（三点共线）；2、点A在线段NM的延长线上（三点共线）；3、点A、M、N可构成三角形（三点不共线）；按上述情况分类讨论求解即可求解．【标准答案】解：由题意⊙O的半径r2＝4×9＝36，∵r＞0，∴r＝6，当点A在NO的延长线上时，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，∴＝＝，当点A″是ON与⊙O的交点时，A″M＝2，A″N＝3，∴＝，当点A′是⊙O上异与A，A″两点时，易证△OA′M∽△ONA′，∴＝＝＝，综上所述，＝．故答案为：．2019年上海市崇明区初三数学二模18题【经典例题】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为，那么边AB的长为．【思路分析】作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，由题意，可得AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°，可得∠DCE＝30°，∠E＝45°，根据DE＝，可得DF＝EF＝1，CF＝，即CE＝+1，在Rt△CHE中，CH＝HE＝，AH＝，根据AD＝AH+HE ﹣DE，可求出AD的长，进而得出AB的长．【解答】解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E，∴AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DCE＝30°，∠E＝45°，∵DE＝，∴DF＝EF＝1，CF＝，∴CE＝+1，∴CH＝HE＝，AH＝，∴AD＝AH+HE﹣DE＝，∴AB＝．故答案为：．2019年上海市宝山、嘉定区初三数学二模18题【经典例题】如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是．【思路分析】找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，代入函数解析式，按情况分别求出时间t的值．【标准答案】解：如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝3，MD＝2．由直线l：y＝﹣x+b可知∠PDO＝∠OPD＝45°，∴∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y＝﹣x+b过点（，），则＝﹣+b，解得：b＝2，∴t＝2．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y＝﹣x+b过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3，∴t＝3．故点M关于l的对称点，当t＝2时，落在y轴上，当t＝3时，落在x轴上．故答案为2或3．2019年上海市长宁区初三数学二模18题【经典例题】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点C旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于．【思路分析】此题由旋转的性质可得AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8，由等腰三角形的性质可得AF＝A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．【标准答案】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC＝A'C＝5，AB＝A'B'＝5，BC＝B'C＝8∵CF⊥AA'，∴AF＝A'F在Rt△AFC中，AC2＝AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2＝B'F2+CF2，∴B'C2﹣AC2＝B'F2﹣AF2，∴64﹣25＝（5+AF）2﹣AF2，∴AF＝∴AA'＝故答案为：2019年上海市闵行区初三数学二模18题【经典例题】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD：CD＝．【思路分析】作辅助线，构建平行线和直角三角形，先根据勾股定理计算AG的长，证明△BCH∽△ABG，列比例式可得BH＝4，CH＝2，根据勾股定理计算EH的长，从而得CE 的长，最后根据平行线分线段成比例定理得：＝．【标准答案】解：如图，过A作AG⊥BC于G，过B作BH⊥CE，交EC的延长线于H，延长BD和CE交于点F，∵AC＝AB＝5，∴BG＝CG＝，AG＝＝＝2，∵FH∥AB，∴∠ABG＝∠BCH，∵∠H＝∠AGB＝90°，∴△BCH∽△ABG，∴＝，∴＝＝，∴BH＝4，CH＝2，由折叠得：AB＝BE＝5，∴EH＝＝＝3，CE＝3﹣2＝1，∵FH∥AB，∴∠F＝∠ABD＝∠EBD，∴EF＝BE＝5，FC＝5+1＝6，∵FC∥AB，∴＝，故答案为：5：6．2019年上海市静安区初三数学二模18题【经典例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹角为60°，那么点P的坐标是．【思路分析】先求出OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝，得出∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况:（1）当∠PQB＝120°时，又分两种情况：①延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BN＝NM＝BM＝2，由勾股定理得出NP＝＝2，ON＝OM+NM＝4，即可得出P点的坐标；②QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P点的坐标；（2）当∠PQB＝60°时，Q点与A点重合，AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝2，即可得出P点的坐标；综上情况即可P点的坐标．【标准答案】解：∵A（2，0），B（0，6），M（0，2），∴OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵直线PQ与直线AB所构成的夹角为60°，∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：①如图1所示：延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，∵∠PQB＝120°，∴∠BQM＝∠PQM＝120°，∴∠BQN＝∠MQN＝60°，∵QN⊥BM，∴BN＝NM＝BM＝2，在Rt△PNM中，NP＝＝＝2，ON＝OM+NM＝4，∴P点的坐标为：（2，4）；②如图2所示：QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（0，﹣2）；（2）当∠PQB＝60°时，如图3所示：Q点与A点重合，由折叠得：AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（﹣2，0）；综上所述：P点的坐标为：（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．2019年上海市虹口区初三数学二模18题【经典例题】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为．【思路分析】由DG＝3，CD＝6可知△CDG的三角函数关系，由△CDG分别与△A'EG，△B'FC相似，可求得CG，CB'，由勾股定理△CFB'可求得BF长度．【标准答案】解：∵△CDG∽△A'EG，A'E＝4∴A'G＝2∴B'G＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝由△CDG∽△CFB'设BF＝x∴解得x＝故答案为2019年上海市松江区初三数学二模18题【经典例题】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点B 旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为．【思路分析】由题意，可得BD＝AB＝10，tan D＝tan∠A＝，所以CD＝4，在Rt△FCD中，∠DCF＝90°，tan D＝，即，可得CF＝3．【解答】解：∵如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．∴AB＝，tan∠A＝，∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上，直线AC交DE 于点F，∴BD＝AB＝10，∠D＝∠A，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4，在Rt△FCD中，∠DCF＝90°，∴tan D＝，即，∴CF＝3．故答案为：3．2019年上海市奉贤区初三数学二模18题【经典例题】如图，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，顶点A、D、C分别与点E、F、G对应（点D与点F不重合）．如果点D、E、F在同一条直线上，那么线段DF的长是．（用含a的代数式表示）【思路分析】连接BD，证明Rt△EDB≌Rt△CBD，可得DE＝BC＝AD＝a，因为EF ＝AD＝a，根据DF＝DE+EF即可得出DF的长．【标准答案】解：如图，连接BD，∵将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，且D、E、F在同一条直线上，∴∠DEB＝∠C＝90°，BE＝AB＝CD，∵DB＝BD，∴Rt△EDB≌Rt△CBD（HL），∴DE＝BC＝AD＝a，∵EF＝AD＝a，∴DF＝DE+EF＝a+a＝2a．故答案为：2a．2019年上海市徐汇区初三数学二模18题【经典例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是．【思路分析】由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C＝A′H，AC＝AH ＝2，设A′C＝A′H＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题．【标准答案】解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵cos B＝＝，AB＝6，∴BC＝4，AC＝＝2，∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，∴△AA′H≌△AA′C（AAS），∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2，∴x＝3﹣5，∴A′C＝3﹣5，故答案为3﹣5．2019年上海市杨浦区初三数学二模18题【经典例题】如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD＝5，AE＝2，AF＝4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．【思路分析】连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF＝AF＝2，OG＝AE＝1，继而求得OF＝＝，OD＝＝，最后根据两圆的位置关系可得答案．【标准答案】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF＝AF＝2，∴OG是△AEF的中位数，∴OG＝AE＝1，∴OF＝＝，OD＝＝，∵圆D与圆O有两个公共点，∴﹣＜r＜+，故答案为：﹣＜r＜+．2019年上海市青浦区初三数学二模18题【经典例题】我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为．【思路分析】先以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由题意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6时M的坐标，得到直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．【标准答案】解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：依题意，可知0≤t≤6，当t＝0时，点M1的坐标为（4，0）；当t＝6时，点M2的坐标为（1，6），设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．设动点运动的时间为t秒，则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，∴点M3在M1M2直线上，过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，∴M1M2＝3，∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．故答案为：3．2019年上海市普陀区初三数学二模18题【经典例题】如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果，那么的值等于．【思路分析】连接FC，证明△EDB≌△FDC，可得ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，即FC∥AB，所以△CFG∽△BAG，可得，所以FG＝AF，因为DE⊥AD，DE＝DF，所以AE＝AF，进而可得出的值．【标准答案】解：如图，连接FC，∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，∴BD＝CD，ED＝FD，∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，∴FC∥AB，∴△CFG∽△BAG，∴，∴FG＝AF，∵DE⊥AD，DE＝DF，∴AE＝AF，∴＝．故答案为：．。

18．我们规定：在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．如果△OAB 与△OCD 全等，那么点O 叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH 中，∠EFG=90°，EF ∥GH ，EF=1，FG=3，如果该四边形的“等形点”在边FG 上，那么四边形EFGH 的周长是▲．【2023徐汇二模】18．如图，在直角坐标系中，已知点A ()8,0、点()0,6B ，A 的半径为5，点C 是A 上的动点，点P 是线段BC 的中点，那么OP 长的取值范围是_________．【2023静安二模】18．在平面直角坐标系xOy 中，我们定义点A （x ，y ）的“关联点”为B （x y +，x y -）．如果已知点A 在直线3y x =+上，点B 在⊙O 的内部，⊙O的半径长为，那么点A 的横坐标x 的取值范围是▲．第18题图11Oxy18．如图，已知在扇形AOB 中，∠AOB=60°，半径OA=8，点P 在弧AB 上，过点P 作PC⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，那么线段CD 的长为▲．【2023闵行二模】18．阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足290+=︒αβ，那么我们称这个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB =25，4tan 3A =，如果△ABC 是特征三角形，那么线段AC 的长为▲．【2023宝山二模】18．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，点D 在边BC 上，且△ABD 是“倍角互余三角形”，那么BD 的长等于▲.第18题图D PABOCA BC（第18题图）【2023浦东二模】18．我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距．在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为▲．【2023金山二模】18．已知ABC ∆中，︒=∠90BAC ，3=AB ，43tan =C ，点D 是线段BC 上的动点，点E 在线段AC 上，如果点E 关于直线AD 对称的点F 恰好落在线段BC 上，那么CE 的最大值为▲．【2023松江二模】18.我们定义：二次项系数之和为1，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数．那么2=24y x x +的友好函数是．【2023崇明二模】18．如图，已知在两个直角顶点重合的Rt △ABC 和Rt △CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，30CAB CDE ∠=∠=︒，3BC =，2CE =，将△CDE 绕着点C 顺时针旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，联结BE ，那么BE =________．黄浦二模：8或6+徐汇二模：2.57.5OP ≤≤静安二模：-3＜x ＜0杨浦二模：闵行二模：325宝山二模：59或541441-嘉定二模：553浦东二模：金山二模：1.6松江二模：22y x x=--崇明二模：2。

2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷（解析版）2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣13．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是．9．（4分）⽅程：＝3的解为．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽．（填“增⼤”或“减⼩”）13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为度．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝．（⽤向量，表⽰）．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．20．（10分）解⽅程组：21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y 表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．24．（12分）在平⾯直⾓坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，与x轴的另⼀个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．设点B的纵坐标为m，⽤含m的代数式表⽰∠BPQ的正切值；（3）联结AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．25．（14分）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P 交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆⼼半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷参考答案与试题解析⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各项化简后，利⽤同类⼆次根式定义判断即可．【解答】解：与是同类⼆次根式的是，故选：C．【点评】此题考查了同类⼆次根式，熟练掌握同类⼆次根式的定义是解本题的关键．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣1【分析】利⽤平⽅差公式计算即可求出值，【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．【点评】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．3．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反⽐例函数中y＝，当k＜0，双曲线的两⽀分别位于第⼆、第四象限，在每⼀象限内y随x的增⼤⽽增⼤，进⽽得出答案．【解答】解：函数y＝﹣（x＞0）的图象位于第四象限．故选：D．【点评】此题主要考查了反⽐例函数的性质，正确记忆反⽐例函数图象分布的象限是解题关键．4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°【分析】∠1的度数是正五边形的内⾓与正⽅形的内⾓的度数的差，根据多边形的内⾓和定理求得⾓的度数即可得出结果．【解答】解：∵正五边形的内⾓的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，⼜∵正⽅形的内⾓是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．【点评】本题考查了多边形的内⾓和定理、正⽅形的性质，求得正五边形的内⾓的度数是关键．5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差【分析】根据众数、中位数、⽅差和平均数的计算公式分别进⾏解答即可得出答案．【解答】解：A、⼩明的平均数为（2+6+7+7+8）÷5＝6，⼩丽的平均数为（2+3+4+8+8）÷5＝5，故本选项错误；B、⼩明的中位数为7，⼩丽的中位数为4，故本选项错误；C、⼩明的众数为7，⼩丽的众数为8，故本选项错误；D、⼩明的⽅差为4.4，⼩丽的⽅差为6.4，⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差，故原题说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了众数、中位数、⽅差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；⼀组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将⼀组数据按照从⼩到⼤（或从⼤到⼩）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；⼀般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则⽅差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了⼀组数据的波动⼤⼩，⽅差越⼤，波动性越⼤，反之也成⽴．6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形【分析】根据矩形的判定⽅法对A进⾏判断；根据正⽅形的判定⽅法对B进⾏判断；根据矩形的性质、三⾓形中位线定理以及菱形的判定⽅法对C进⾏判断；根据中⼼对称图形的定义对D进⾏判断．【解答】解：A对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，所以A选项错误；B、对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形，所以B选项正确；C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；D、边数为偶数的正多边形都是中⼼对称图形，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断⼀件事情的语句，叫做命题．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，⼀个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是⽤推理证实的，这样的真命题叫做定理．⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝a6．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进⾏运算即可．【解答】解：a2?a4＝a2+4＝a6．故答案为：a6．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是x＞0．【分析】根据⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查⼆次根式，解题的关键是熟练运⽤⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．9．（4分）⽅程：＝3的解为10．【分析】将⽆理⽅程两边平⽅，转化为⼀元⼀次⽅程来解．【解答】解：两边平⽅得：x﹣1＝9，移项得：x＝10．故本题答案为：10．【点评】本题由于两边平⽅，可能产⽣增根，所以解答以后要验根．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞4．【分析】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，由此可解．【解答】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．【点评】本题考查⼆次三项式的因式分解问题，可转化为对应的⼆次⽅程的实数根的情况，属于⽐较简单的问题．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是20%．【分析】设每⽉的利润增长率为x，根据该商店三⽉份及五⽉份的利润，可得出关于x的⼀元⼆次⽅程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每⽉的利润增长率为x，依题意，得：25000（1+x）＝36000，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，找准等量关系，正确列出⼀元⼆次⽅程是解题的关键．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽减⼩．（填“增⼤”或“减⼩”）【分析】直接根据正⽐例函数的性质解答．【解答】解：因为正⽐例函数y＝﹣2x中的k＝﹣2＜0，所以y的值随x的值增⼤⽽减⼩．故答案是：减⼩．【点评】本题考查了正⽐例函数的性质：正⽐例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第⼀、三象限，y值随x的增⼤⽽增⼤；当k＜0时，图象经过第⼆、四象限，y值随x的增⼤⽽减⼩．13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．【分析】利⽤列举法展⽰所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数，所以取得的3个数中不含2的概率＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利⽤列表法或树状图法展⽰所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数⽬m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为72度．【分析】根据A等次的⼈数和所占的百分⽐求出总⼈数，再⽤C等次的⼈数除以总⼈数求出所占的百分⽐，然后乘以360°即可得出答案．【解答】解：扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为：360°×＝72°，故答案为：72．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运⽤．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．【分析】设△ABC边AB上的⾼为h，根据三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的⾼线为h，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可得解．【解答】解：设△ABC边AB上的⾼为h，∵G是△ABC的重⼼，∴△ABG边AB上的⾼为h，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三⾓形的重⼼，熟记三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．【分析】根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，∵以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，∴CD⊥AB，∴CD＝，即⊙C的半径是故答案为：．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝+．（⽤向量，表⽰）．【分析】如图，延长FG交CD的延长线于H．⾸先证明CM＝EC，求出即可解决问题．【解答】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB∥CH，∴＝＝1，∴AF＝DH，设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，∵EF∥CH，∴＝＝，∴CM＝CE，∵＝+＝+，∴＝＝+，故答案为+．【点评】本题考查平⾯向量，平⾏四边形的性质，平⾏线分线段成⽐例定理等知识，解题的关键是学会添加常⽤辅助线，灵活运⽤平⾏线分线段成⽐例定理解决问题，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【分析】先求出OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝，得出∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况，（1）当∠PQB＝120°时，⼜分两种情况：①延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BN＝NM＝BM＝2，由勾股定理得出NP＝＝2，ON＝OM+NM＝4，即可得出P点的坐标；②QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P点的坐标；（2）当∠PQB＝60°时，Q点与A点重合，AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝2，即可得出P点的坐标；综上情况即可P点的坐标．【解答】解：∵A（2，0），B（0，6），M（0，2），∴OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：①如图1所⽰：延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，∵∠PQB＝120°，∴∠BQM＝∠PQM＝120°，∴∠BQN＝∠MQN＝60°，∵QN⊥BM，∴BN＝NM＝BM＝2，在Rt△PNM中，NP＝＝＝2，ON＝OM+NM＝4，∴P点的坐标为：（2，4）；②如图2所⽰：QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（0，﹣2）；（2）当∠PQB＝60°时，如图3所⽰：Q点与A点重合，由折叠得：AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（﹣2，0）；综上所述：P点的坐标为：（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质、勾股定理、三⾓函数、坐标等知识，熟练掌握翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质，并进⾏分类讨论是关键．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．【分析】将原式每⼀项分别化简为+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1，再进⾏计算即可．【解答】解：原式＝+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1＝+3﹣2+﹣+﹣1＝+﹣2．【点评】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每⼀项准确化简是正确计算的关键．20．（10分）解⽅程组：【分析】先将⼆次⽅程化为两个⼀次⽅程，则原⽅程组化为两个⼆元⼀次⽅程组，解⽅程组即可．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0原⽅程组可化为：或解得：，．∴原⽅程组的解为，．【点评】本题考查了解⾼次⽅程组，将⾼次⽅程化为⼀次⽅程是解题的关键．21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；（2）将y＝8代⼊（1）中的函数解析式，求出x的值，再⽤x的值减去5即可解答本题．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，，得，即y与x之间的函数解析式为y＝0.3x+3；（2）把y＝8，代⼊y＝0.3x+3，得8＝0.3x+3，解得，x＝，＝，答：再过⼩时后系统会发出警报．【点评】本题考查⼀次函数的应⽤，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼀次函数的性质解答．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．【分析】（1）通过证明△AME≌△CMF得到ME＝MF．则可判断四边形AECF为平⾏四边形，然后利⽤对⾓线互相垂直得到结论；（2）利⽤CD2＝BF?BC和AB＝CD得到＝，根据相似三⾓形的判定⽅法得到△ABF∽△CBA，所以∠2＝∠3，⽽根据菱形的性质得∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，从⽽可求出∠1的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平⾏四边形，⼜∵EF⊥AC，∴平⾏四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF?BC，∴＝，⼜∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴＝⼜∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点评】本题考查了相似三⾓形的判定与性质：在判定两个三⾓形相似时，应注意利⽤图形中已有的公共⾓、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作⽤，寻找相似三⾓形的⼀般⽅法是通过作平⾏线构造相似三⾓形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．【分析】（1）由等腰三⾓形的性质得出∠ABC＝∠C，由垂径定理得出AD⊥BC，BD＝CD，证出DE是△ABC的中位线．得出DE∥AC，证出∠BFC＝90°，由⾓的互余关系即可得出结论；（2）连接OB．证出△ODB是等腰直⾓三⾓形，得出∠BOD＝45°．再由等腰三⾓形的性质得出∠OBA＝∠OAB．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所⽰：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵直线AD经过圆⼼O，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵点E为弦AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，∵BF⊥DE，∴∠BPD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，。

初三数学质量调研试卷—1—杨浦区2018学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷2019.4(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如图，已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是（A ）a b a b +=-； （B ）a b a b +=--； （C ）a b b a +=-； （D ）a b a b +=+．2．下列关于x 的方程一定有实数解的是 （A ）210x mx --=； （B ）3ax =； （C ）640x x -×-=； （D ）111x x x =--．3．如果00k b <>，，那么一次函数y kx b =+的图像经过（A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限；（C ）第一、三、四象限； （D ）第一、二、四象限．4．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析. 在此问题中，样本是指（A ）80； （B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名初三学生的体重；（D ）该校初三学生的体重．5．如图，已知△ADE 是△ABC 绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为a ，直线BC 与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是 （A ）∠BAC =a ； （B ）∠DAE =a ；（C ）∠CFD =a ； （D ）∠FDC =a . 6．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是 （A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等；（C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线； （D ）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线.A BC DE F（第5题图） 0 A B （第1题图）二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：325()y y ¸=▲ . 8．分解因式：2221a ab b -+-=▲ . 9．方程11x x -=-的解为：▲ . 10．如果正比例函数(2)y k x =-的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数ky x =的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ▲. 11．从105,,6,1,0,2,3p ----这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ▲ . 12．某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，随机选取该校部分学生进行调查，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．类别ABCDEF类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他 人数10462那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 ▲%. 13．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为： ▲. 14．如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果设AB a uu u r r =，AC b uuu r r =，用a r ，b r表示GE uu u r ，那么GE uu u r = ▲ . 15．正八边形的中心角是▲ 度. 16．如图，点M 、N 分别在∠AOB 的边OA 、OB 上，将∠AOB 沿直线MN 翻折，设点O 落在点P 处，如果当4OM =，3ON =时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为 ▲ . 17．如果当0a ¹，0b ¹，且a b ¹时，将直线y ax b =+和直线y bx a =+称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”： ▲. 18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ▲ .AB20%CD 32%E F（第18题图）AO NBM（第16题图） ABCDE G.（第14题图）ABC DE F三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：23016(3)()(32)4cos3023--+--°+.20．（本题满分10分） 已知关于x ，y 的二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=ìí-=+î，的解为11.x y =ìí=-î， 求a 、b 的值.21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =BC ，DC ⊥BC ，且AD =1，DC =3，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于点Q . （1）求AB 的长；（2）当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系.22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题2分，第（3）小题3分） 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与甲出发的时间x （分）之间的关系如图中折线OA -AB -BC -CD 所示. （1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度； （3）求乙比甲早几分钟到达终点？A B C D Q .P （第21题图）（第22题图）OAB CD 416240 y （米） x （分）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC .求证：（1）四边形FBGH 是菱形； （2）四边形ABCH 是正方形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N .（1）求点D 的坐标；（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA 时，求a 的值.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC =AO ，点D 为BC 的中点. （1）如图1，联结AC 、OD ，设∠OAC =a ，请用a 表示∠AOD ；（2）如图2，当点B 为»AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.Oxy1 2 3 412 345 -1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）（第25题图）（第23题图） O A （图1） B CD AOBCD. （图2） A O（备用图）A DH ECBFG杨浦区初三质量调研数学试卷答案及评分建议2019.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．C 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． y ； 8． (1)(1)a b a b -+--； 9．1x =； 10． 02k <<； 11． 27；12．24； 13． 13518020x x =+； 14． 1133a b r r-+； 15．45； 16． 235-； 17． 3y x =+和31y x =+等； 18．105105r -<<+. 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式812323=+--+3....................................................... （7分） 10=...................................................................................................... （3分） 20．解：由题意得22130.a b a b ab -=ìí+--=î，.......................................................... （2分） 由1a b -=得1a b =+，将1a b =+代入22+30a b ab --=，整理得：220b b +-=. .............................................................................. （4分） 解得：122,1b b =-=. .................................................................................. （2分） 当12b =-时11a =-；当21b =时，22a =所以，1112a b =-ìí=-î，；2221.a b =ìí=î，............................................................................ （2分） 21．解：（1）作AH ⊥BC 于点H ， ∵DC ⊥BC ，∴AH //DC . ∵AD //BC ，∴ADCH 为矩形. ........................ （1分）∴HC =AD =1，AH =DC =3. ∵AB =BC ，∴BH =AB -1.在Rt △ABH 中，222AB AH BH =+，即229(1)AB AB =+-， ....... （1分） ∴AB =5. ........................................................................................................ （2分） （2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥DC 于点N ，PN 交AH 于点G ，∵点P 为圆心，∴BM =QM ，即12029BM BQ ==. ............................... （1分） ∵4cos 5BH B AB ==，又cos BM B BP =，∴259BP =，即圆P 的半径为259. （1分） ∵PN ⊥DC ， BC ⊥DC ，PM ⊥BC ，∴PMCN 为矩形. ......................... （1分）∴2025599PN MC ==-=...................................................................... （1分） ∴点P 到直线DC 的距离等于圆P 的半径. ............................................. （1分）∴圆P 与直线DC 相切. ........................................................................... （1分） 22．解：（1）设线段AB 的表达式为y kx b =+， ........................................ （1分）∵点A （4,240），点B （16,0），∴2404,016.k b k b =+ìí=+î.......................... （1分）解得：20,320.k b =-ìí=î∴线段AB 的表达式为20320y x =-+(416)x＃. .................... （2分,1分）（2）B （16,0）表示在甲出发16分钟时，乙赶上了甲，∵甲的步行速度为240=604米/分，∴乙赶上甲时乙行走的路程为1660=960´米.∴乙12分中内走了960米. ....................................................................... （1分）∴乙的速度为960=8012米/分. ..................................................................... （1分） （3）∵甲的步行速度为60米/分，∴甲步行全程需要2400=4060分钟. 乙的步行速度为80米/分，∴乙步行全程需要2400=3080分钟. ....... （1分） 又∵甲先出法4分钟，∴乙比甲早6分钟到终点. ............................... （2分）23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ．........................ （2分） 同理：GH // BF ． .......................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形．.................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG..................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形........................................................ （1分） 证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ........... （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................ （1分）∴四边形ABCH 是平行四边形．................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ......................... （1分）∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形............................................ （1分） 24．解：（1）∵开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，∴0a <，A（0,2），B （1,2-a ），对称轴为直线x =1. ...................................... （3分）又∵对称轴交x 轴于点C ，∴C （1,0）.∵点A 与点D 关于对称轴对称，∴D （2,2）. ................................................ （1分） （2）作DH ⊥OM 于点H ，∵D （2,2），C （1,0）， B （1,2-a ），∴DH =2，BC =2-a ，CH =1，且BC ⊥OM .∴BC //DH . .................................... （1分）∴DH MHBC MC =.即221MH a MH =-+.∴2MH a=-. ............................................. （1分） ∴22OM a =-. ∴2(2,0)M a-......................................................................... （2分）（3）设直线OD 与对称轴交点为G ， ∵点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA ，又∵D （2,2），∴∠AON =∠DOM=45°，∴△AON ∽△DOM ...................... （1分） ∴AO ON DO OM=.∴212(1)2ON OM a ==-.................................................... （1分） ∵BG //AO ，∴BG NG AO ON =.即12(1)221122(1)a a a----=-.∴12a =±. ........ （1分） ∵0a <，且直线AB 与直线OD 的交点N 在第一象限 ， ∴0,23a a <ìí-<î.∴10a -<<.∴12a =-. .......................................................... （1分） 25．解：（1）联结CO ，∵D 为BC 的中点，DO 过圆心，∴OD ⊥BC ................................................ （1分） ∵BC =2，D 为BC 的中点，∴DC =1.∵CO =2, OD ⊥BC ，∴∠COD =30°=30°.. ................................................................ （1分） ∵AO =CO ，∴∠OAC =∠ACO∵∠OAC =a ，∴∠AOC =1802a °-................................................................ （1分） ∴∠AOD =1802301502a a °--°=°-. ........................................................... （1分） （2）联结AB 、OC 、OD ， 由（由（11）得∠COD =30°=30°.. ∴3OD =. ............................................................... （1分） ∵»»=AB BC ，∴AB =BC . .................................................................................... （1分）∵BC =AO ，AO =OC ，∴ABCO 是菱形........................................................... （1分） ∴BC //AO . ∴∠BDO +∠AOD =180°=180°.. ∵OD ⊥BC ,即∠BDO =90°，∴∠AOD =90°，即OD ⊥AO . ........................... （1分） ∴223+4=7AD OD AO =+=. .................................................................. （1分） （3）∵圆O 的半径为AD ，圆D 的半径112BC ==，圆心距3OD =，又∵圆O 与圆D 相切，∴1OD AD =+或1OD AD =-，即31AD =+或31AD =-，∴31AD =-或1+3AD =. ........................................................................... （2分） 作OH ⊥AD 于点H ，则AE =2AH .................................................................... （1分） 当31AD =-时，∵2222()AO AH OD AD AH -=--，即2243(31)AH AH -=---， ∴3314AH -=. ∴3312AE -=. ................................................................................................. （1分）当31AD =+时，同上解得3314AH +=.∴33+12AE =. .................................................................................................. （1分） 即弦AE 的长为3312-或33+12.。

杨浦区18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．18.【答案】√10-√5＜r＜√10+√5【解析】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF=AF=2，∴OG是△AEF的中位数，∴OG=AE=1，∴OF==，OD==，∵圆D与圆O有两个公共点，∴-＜r＜+，黄浦区如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin B=35，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么BDB1C=______．18.【答案】351.解：∵∠ACB=90°，sinB==，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC==4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴=18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是3﹣5 ．【解答】解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵cos B＝＝，AB＝6，∴BC＝4，AC＝＝2，∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′，∴△AA′H≌△AA′C（AAS），∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2，∴x＝3﹣5，∴A′C＝3﹣518．如图，在△ABC中，AB = AC = 5，25BC ，D为边AC上一点（点D与点A、C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE // AB，那么AD︰CD = ▲．普陀区18.如图7，AD 是△的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE ，那么GFAB 的值等于 ▲ ．ABC18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点C 旋转，点A、B的对应点分别是点A'、B'，若点B'恰好在线段AA'的延长线上，则AA'的长等于______．18.【答案】145【解析】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8∵CF⊥AA'，∴AF=A'F在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=∴AA'=18 .如图4，在平面直角坐标系x O yA ( 23 ,0 )，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ，如果直线PQ 与直线A B 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是奉贤区金山区18.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于______．崇明区18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为√2，那么边AB的长为______．18.【答案】√6+√2【解析】解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E，∴AD=AC=AB，∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DCE=30°，∠E=45°，∵DE=，∴DF=EF=1，CF=，∴CE=+1，∴CH=HE=，AH=，∴AD=AH+HE-DE=，∴AB=．松江区18.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC绕点B 旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为______．18.【答案】3【解析】解：∵如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．∴AB=，tan∠A=，∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上，直线AC交DE于点F，∴BD=AB=10，∠D=∠A，∴CD=BD-BC=10-6=4，在Rt△FCD中，∠DCF=90°，∴tanD=，即，∴CF=3．嘉定宝山区18.如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是______．18.【答案】2或3【解析】解：如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点,过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=-x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，∴t=2．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．虹口区青浦区18．（3分）我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为．【解答】解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：依题意，可知0≤t≤6，当t＝0时，点M1的坐标为（4，0）；当t＝6时，点M2的坐标为（1，6），设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．设动点运动的时间为t秒，则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，∴点M3在M1M2直线上，过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，∴M1M2＝3，∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．浦东新区解。

综合计算宝山区、嘉定区21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，AD AC =. （1）如果BAC ∠︒=∠-10BCA ，求D ∠的度数； （2）若10=AC ，31cot =∠D ，求梯形ABCD 的面积.21.解：（1）∵AD ∥BC∴CAD BCA ∠=∠ …………………1分 ∵BAC ∠︒=∠-10BCA∴BAC ∠︒=∠-10CAD …………………1分 ∵︒=∠90BAD∴BAC ∠︒=∠+90CAD∴︒=∠40CAD …………………1分 ∵AD AC =∴D ACD ∠=∠ …………………1分 ∵︒=∠+∠+∠180CAD D ACD∴︒=∠70D …………………1分(2) 过点C 作AD CH ⊥,垂足为点H ，在Rt △CHD 中，31cot =∠D ∴31cot ==∠CH HD D …………………………1分 设x HD =,则x CH 3=，∵AD AC =,10=AC ∴x AH -=10 在Rt △CHA 中，222AC CHAH =+ ∴22210)3()10(=+-x x∴2=x ，0=x （舍去）∴2=HD …………1分 ∴6=HC ，8=AH ，10=AD ………………1分 ∵︒=∠=∠90CHD BAD ∴AB ∥CH图4DCB A图4DCBAH∵AD ∥BC ∴四边形ABCH 是平行四边形 ∴8==AH BC ………1分 ∴梯形ABCD 的面积546)810(21)(21=⨯+=⨯+=CH BC AD S ………1分 长宁区21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC（1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）崇明区ACDB第21题图21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB = ∴6OB OD == ……………………………………1分∵PD OP ⊥ ∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥ ∴180DPO POB +=︒∠∠ ∴90POB =︒∠ ……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴30OP OB tan =︒=g………………………………………………1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD += ……………………………1分∴2226PD +=∴PD =……………………………………………………………1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥（第21题图1）ABOPCD （第21题图2）OABDPC∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，30BH OB cos =︒=g ……………………2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴CH BH ==……………………………………………………1分 ∵BP 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ==︒∠∠ ∴453PH OH cot =︒=g……………………………………………1分∴3PC CH PH =-=- ………………………………………1分奉贤区21.（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． (1) 求EAD ∠的余切值； (2) 求BFCF的值． 21、（1）56； （2）58； 黄浦区21．（本题满分10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.图6ABCD EF（1）求△ABC的面积；（2）求CE∶DE.21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，得BC=2BH.—————————————————————————（2分）在△ABH中，AB=6，cosB=23，∠AHB=90°，得BH=2643⨯=，AH226425-=2分）则BC=8，所以△ABC面积=1258852⨯=——————————————（1分）（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3，则31CE CH BH ABDE DF DF AD====. ——————————————（4分）金山区21．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：AF=BE；（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．AB CDFE图521．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分）∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2分）在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF=∴cot∠CDF=cot∠DAF=AFDF==．………………………………（2分）静安区21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC=EC；（2）求△EAF的面积．第21题图21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵正方形ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． …………（2分） 又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC …………（1分） ∴∠EDC =∠DEC …………（1分） ∴DC =EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴2)(ECAE S S CEB AEF =∆∆ ………………………………（1分） ∵AB=BC=DC=EC =1，AC =2,∴AE =12- …………………………（1分）Rt △BHC 中， BH =22BC =22, ∴在△BEC 中，BH ⊥EC , 4222121=⨯⨯=∆BEC S ……………………（2分） ∴2)12(42-=∆AEF S , ∴4423)223(42-=-⨯=∆AEF S …………（1分） 闵行区21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o，1tan 2ABC ∠=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ∆∆=2求点M 的坐标．第21题图（第21题图）21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴22222425AB OA OB =+=+=．………………………………（1分） ∵90BAC ∠=o ，1tan 2ABC ∠=，∴5AC =． 过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）11255522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯=．………………………………（1分） ∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分） ∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）普陀区21．（本题满分10分）如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=o ，3tan 4B =. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．ABCDE 图721．解：（1）∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=o ，∴AE DE =． ················· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ． ······· （1分）设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ··············· （2分） ∴3=DE ． ·························· （1分） （2） 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ··········· （1分）同理得5=BD ． ························· （1分） 在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ···· （1分） ∴53=CD ． ·························· （1分）∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··················· （1分）即CDA ∠青浦区21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ．（1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ················ （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴DH = DC =x ， ························ （1分） 则AD =3-x ．∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ·············· （1分）ED A图5∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，························ （1分） ∴43=x . ·························· （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=V ABD S AB DH . ·············· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==V V ABD ADE S BD S DE， ···················· （3分） ∴1015323=⨯=V ADE S . ···················· （1分） 松江区21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =， BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于 点E. 求DE 的长．21.（本题满分10分, 每小题各5分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分 在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分(第21题图)DAC∵BC =6∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分 (2)由（1）得AH =2，CH =4在Rt AHC ∆中，AC ==2分∵DE 垂直平分AC∴12CD AC = ED ⊥AC …………………………………………………1分在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD ==……………………………1分∴DE =………………………………………………1分 徐汇区21. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D .（1）求tan DAB ∠；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用尺规作图的方法确定点O 的位置并求出的⊙O 半径.（保留作图轨迹，不写作法）杨浦区21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=600求：（1）求∠CDB的度数（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。