第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。
