人教A版高中数学必修五第二章数列测试题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

第二章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在等差数列{a n}中,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10==120解得,a1+a10=24.2.等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不对答案:A解析:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a2>0,a6>0,则a4>0.又=a2·a6=64,∴a4=8.3.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…)且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.4.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==50,∴=5.又a4a5a6=(a4a6)·a5=,故选A.5.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因为3a n+1=3a n -2,所以a n+1-a n =-,所以数列{a n }是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n =15-(n-1)=-n+,由a n =-n+>0,得n<23.5,所以使a k ·a k+1<0的k 值为23.6.若数列{a n }满足a n+1=1-,且a 1=2,则a 2 012等于( )A .-1B .2C .D .答案:D解析:∵a n+1=1-,a 1=2,∴a 2=1- ,a 3=1-2=-1,a 4=1-- =2.由此可见,数列{a n }的项是以3为周期重复出现的,∴a 2 012=a 670×3+2=a 2=.7.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n+1-a n (n ∈N *).若b 3=-2,b 10=12,则a 8=( )A .0B .3C .8D .11答案:B解析:{b n }为等差数列,公差d=- -=2,∴b n =b 3+2(n-3)=2n-8. ∴a n+1-a n =2n-8.∴a 8=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=3+(-6)+(-4)+…+6 =3+-=3.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案:C解析:∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,∴a m =S m -S m-1=0-(-2)=2, a m+1=S m+1-S m =3-0=3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =ma 1+ -×1=0,∴a 1=- -.又∵a m+1=a 1+m ×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C .9.等差数列{a n }中,已知3a 5=7a 10,且a 1<0,则数列{a n }前n 项和S n (n ∈N *)中最小的是( ) A.S 7或S 8 B.S 12 C.S 13D.S 14答案:C解析:由3a 5=7a 10得3(a 1+4d )=7(a 1+9d ),解得d=-a 1>0.所以a n =a 1+(n-1)d=a 1-(n-1)×a 1,由a n =a 1-(n-1)×a 1≤0,即1--≥0,解得n ≤=13,即当n ≤13时,a n <0.当n>13时,a n >0,所以前13项和最小,所以选C .10.(2015河南南阳高二期中,12)数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1;b n =(-1)n a n (n ∈N *);则数列{b n }的前50项和为( ) A.49 B.50C.99D.100答案:A解析:∵数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,∴a 1=S 1=3,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n ,故a n =∴b n =(-1)na n = -- ·∴数列{b n }的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选A .二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.已知数列{a n }中,a n =2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n = .答案:-解析:∵数列{a n }是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9. ∴其前n 项和S n =- --.12.正项数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,2-(n ∈N *,n ≥2),则a 7= . 答案:解析:因为2 -(n ∈N *,n ≥2), 所以数列{}是以 =1为首项, 以d= =4-1=3为公差的等差数列. 所以 =1+3(n-1)=3n-2.所以a n = - ,n ≥1. 所以a 7= - .13.(2015江西吉安联考,13)已知数列{a n }满足a n a n+1a n+2a n+3=24,且a 1=1,a 2=2,a 3=3,则a 1+a 2+a 3+…+a 2 013+a 2 014= .答案:5 033解析:∵数列{a n }满足a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a 1a 2a 3a 4=24, a 4==4,∵a n a n+1a n+2a n+3=24, ∴a n+1a n+2a n+3a n+4=24, ∴a n+4=a n ,∴数列{a n }是以4为周期的周期数列,2 014=503×4+2,∴a 1+a 2+a 3+…+a 2 013+a 2 014 =503×(1+2+3+4)+1+2=5 033.14.(2015山东省潍坊四县联考,14)已知数列{a n }满足a 1+3·a 2+32·a 3+…+3n-1·a n =,则a n = .答案: -解析:∵a 1+3·a 2+32·a 3+…+3n-1·a n =,∴当n ≥2时,a 1+3·a 2+32·a 3+…+3n-2·a n-1=-,两式相减得3n-1·a n =-,即a n =-,n ≥2,当n=1时,a 1=,满足a n = -,故a n =-.三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n的最大值.解:(1)由a n=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,解得-数列{a n}的通项公式为a n=11-2n.(2)由(1)知S n=na1+-d=10n-n2.因为S n=-(n-5)2+25.所以n=5时,S n取得最大值25.16.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11. 则当1≤n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =- n 2+n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11 =n 2-n+110.综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=17.已知数列{a n }中,a 1=3,a n+1=4a n +3. (1)试写出数列{a n }的前三项;(2)求证:数列{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式a n ; (3)设b n =log 2(a n +1),记数列的前n 项和为T n ,求T n 的取值范围.解:(1)∵a 1=3,a n+1=4a n +3,∴a 1=3,a 2=15,a 3=63.(2)∵=4,∴数列{a n +1}是公比为4的等比数列. ∴a n +1=(a 1+1)·4n-1=4n , ∴a n =4n -1.(3)∵b n =log 2(a n +1)=log 24n =2n ,∴-,·∴T n=---…=-,∵T n=-是关于n(n∈N*)的单调递增函数, ∴n=1时,(T n)=,n→+∞时,T n→.min∴T n的取值范围是.。

第二章《数列》测试题（满分：150分，时间120分钟）一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．若数列的前4项分别是12-、13、14-、15，则此数列一个通项公式为（ ） A ．()11nn -+ B ．()1n n - C ．()111n n +-+ D ．()11n n --2．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a 的所有可等值构成的集合是（ ） A ．{}6 B ．{}-88， C ．{}-8 D ．{}8 3．在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，则9a =（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．174．数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为（ ）A ．100299-B ．1002101-C ．99299-D ．992101- 5．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（） A ．11 B ．9 C ．15 D ．13 6．等差数列{}n a 中，14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297 7．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（ ）.A ．66B ．55C ．45D ．38 8．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>9．已知公差d ≠0的等差数列{}n a 满足a 1＝1，且a 2、a 4－2、a 6成等比数列，若正整数m 、n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝（ ）A ．30B ．20C ．10D ．5或40 10．若数列{}n a 满足122020n n n a a a ++++=（*n ∈N ），20221a =，20212a =，则1a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2017 11．已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则n a n 的最小值为（ ） A ．294 B．1 C ．152 D ．38512．已知数列{}n a 的首项13a =，前n 项和为n S ，123n n a S +=+，n *∈N ，设3log n n b a =，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的范围（ ） A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．123⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭ C ．1334⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭ D ．13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13．在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项． 14．已知数列{}n a 满足11a =，()*111,2n n a a a n N n -=+++∈≥，则{}n a 通项公式n a =________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C所对的边，若b =A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________； 16．已知数列{}n a 的通项公式为6(3)377n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩，，，若{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围为_____，17．设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________，三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（10分）设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值.19．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．20．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且315S =，38522a a a +=+．（1）求n a ；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 21．（12分）在数列{}n a 中，11a =，1*122()n n n a a n N ++-=∈.（1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n S . 22．（12分）在数列{a n }中，a 1=2，点(a n ，a n+1)(n，N*)在直线y=2x 上． (，)求数列{ a n }的通项公式；(，)若b n =log 2a n ，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和T n ． 23．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3=5，a 6=a 4+4，公比为正数的等比数列{b n }满足b 2=1，b 3b 5=116.，1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；，2）设c n =a n b n 2，求数列{c n }的前n 项和T n .答案第1页，总1页 参考答案1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．B 7．B 8．B 9．A 10．D 11．C 12．C 13．6 14．12n - 15．1 16．(2，3)17．408218．（1）215n a n =-（2）2(7)49n S n =--；7n =时，n S 取得最小值19．（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =. 20．（1）21n a n =+；（2）略21．（Ⅰ）略; （Ⅱ）21n n S =-.22．（，）2n n a =；（，）1n n +. 23．，1，a n =2n −1，b n =(12)n−2，，2，T n =6−2n+32.。

第二章：数列综合练习一、选择题1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2973．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ．120C ．168D ．1924．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．－1C ．1±D ．215．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项A ．2B ．4C ．6D ．86．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513B ．512C ．510D ．82257．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。

A ．98B ．99C ．96D ．978．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．179．在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为（ ）A ．6B ．2)1(6--⋅nC ．226-⋅nD ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n10．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（）A ． –22.5B ．－21.5C ．－20.5D ．－2011．已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．912．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231nn S nT n =+,则nna b =（ ）A 23B 2131n n -- C 2131n n ++ D 2134n n -+13．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ． – 4B ．－6C ．－8D ．－1014．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．2115．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）A ．1B ．0或32C ．32D ．5log 216．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．15(0,)2+ B.15(,1]2- C.15[1,)2+ D.)251,251(++-17．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对18．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分，共48分）1.等差数列a 1,a 2,a 3,…, a n 的公差为d ，则数列ca 1,ca 2,…,ca n (c 为常数，且c ≠0)是（ ）A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{a n }的前三项依次为1-a ,1+a ,4+a ,则n a 等于( )A. n⎪⎭⎫ ⎝⎛∙324 B. n ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙234 C. 1324-⎪⎭⎫ ⎝⎛∙n D. 1234-⎪⎭⎫ ⎝⎛∙n 3.等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为（ ）A.2B.4C.6D.8 4.〈山东〉已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比等于（ ）A.1B. 1-C. 2-D.2 5.〈江西模拟〉若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且32613π=S ,则tan a 7的值为（ ）A. 3B. 3-C. 3±D. 33-6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{a n }满足02211273=+-a a a ,数列{b n }为等比数列，且b 7=a 7,则b 6b 8等于( )A.2B.4C.8D.167.〈全国Ⅰ理〉设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若21-=-m S ,S m =0,S m +1=3,则m 等于( )A.3B.4C.5D.6 8.各项都是实数的等比数列{a n }，前n 项和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40等于（ ）A.150B. 200-C.150或200-D.400或50- 二、填空题（每题5分，共15分）9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1=1,则S 4= .10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= .11.〈新定义题〉若数列{a n }满足k a a a a nn n n =-+++112(k 为常数)，则称{a n }为等比差数列，k 叫做公比差.已知{a n }是以2为公比差的等比差数列，其中a 1=1,a 2=2,则a 5= .三、解答题（12题10分，13题12分，14题15分，共37分） 12.〈全国大纲理〉等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知223S a =,且S 1, S 2,S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.13.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1 (n ∈N *),等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9.（1）分别求数列{a n },{b n }的通项公式; （2）设22++=n n n a b c (n ∈N*),求证c n +1＜c n ≤31.14.〈河南期中考〉已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且()n n S n a +=321对一切正整数n 成立.（1）求出数列{a n }的通项公式;（2）设n n a n b 3=,求数列{b n }的前n 项和B n .参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵01≠=--c d a a n n ，,∴()cd a a c ca ca n n n n =-=---11 (常数),∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨：由等比数列性质可得()()()4112+-=+a a a ,解得a =5.∴231515=-+=q ,∴a n =123·4-⎪⎭⎫ ⎝⎛n . 3.C 点拨：由()60424=+-a a S 得6031=+a a ,∴33142=++=a a a a q ,又60·21131=+=+q a a a a ,∴a 1=6.4.D 点拨：设等比数列的公比为q (q ≠0)，因为4a 1,2a 2,a 3成等差数列，所以4a 1+a 1q 2=4a 1q ,即0442=+-q q ,解得q =2.5.B 点拨：由等差数列前n 项和的性质得32613713π==a S ,则327π=a ,从而332tantan 7-==πa . 6.D 点拨：因为{a n }是等差数列，所以a 3+a 11=2a 7,所以已知等式可化为04277=-a a ,解得a 7=4或a 7=0（舍去），又{b n }为等比数列，所以b 6b 8=27b =16.7.C 点拨：∵{a n }是等差数列,21-=-m S ,0=m S ,∴21=-=-m m m S S a .∵S m +1=3,∴311=-=++m m m S S a ,∴11=-=+m m a a d . 又02)2(2)(11=+=+=a m a a m S m m ,∴21-=a ,∴21·)1(2=-+-=m a m ,∴m =5. 8.A 点拨：用性质：S m +n =S m +q m S n . 由S m +n =S m +q m S n ,得S 30=S 20+q 20S 10=S 10+q 10S 10+q 20S 10，从而有061020=-+q q ,∴q 10=2(310-=q 舍去).∴S 40=S 30+q 30S 10=70+23×10=150.故选A.二、9.15 点拨：设{a n }的公比为q (q ≠0).∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列，∴4a 1+a 3=4a 2，即4a 1+a 1q 2=4a 1q ,∴0442=+-q q ,解得q =2,∴()152121144=--⨯=S . 10.21 点拨：设{a n }的公差为d ,由题意知()⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+=+.1021555,111d a d a 解得⎩⎨⎧==.0,11a d 故()212177717=-⨯+=d a S . 11.384 点拨：由21223=-a a a a 得83=a , 由22334=-a a a a 得484=a ,由23445=-a a a a 得3845=a . 三、12.解：设{a n }的公差为d .由223a S =,得2223a a =,故02=a 或32=a .由S 1，S 2，S 4成等比数列得4122S S S =, 又da S -=21，da S -=222,da S 2424+=，故()()()d a d a d a 2422222+-=-.若a 2=0，则222d d -=,所以d =0,此时S n =0,不合题意；若a 2=3,则()()()d d d 212362+-=-,解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或12-=n a n . 13.（1）解：由a n +1=2S n +1 ①得121+=-n n S a ②, ①－②得()112-+-=-n n n n S S a a ,∴a n +1=3a n .∴13-=n n a .∵6235==-d b b ,∴d =3，∴63-=n b n . （2）证明：因为a n +2=3n +1,b n +2=3n ，所以nn n nn c 3331==+， 所以c n +103211<-=-+n n n c ，所以c n +1＜c n ＜…＜311=c ，所以c n +1＜c n ≤31.14.解析：对于（1）可以利用a n ，S n 的关系来得出数列{a n +3}是一个等比数列求出.对于(2)可以利用错位相减法. 解：（1）由已知得n a S n n 32-=,()13211+-=++n a S n n ,两式相减并整理得：a n +1=2a n +3，所以3+a n +1=2(3+a n ),又32111-==a S a ,∴a 1=3,可知3+a 1=6≠0,进而可知a n +3≠0，所以2331=+++nn a a ,故数列{3+a n }是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+a n =3×2n ,即()123-=n n a .（2）n n n b nn n -=-=2)12(,设T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n （1）， 则2T n =1×22+2×23+…+（n －1）2n +n ×2n +1（2）， 由（2）－（1）得T n ()()1111322122212222222++++-+=+---=+++++-=n n n n nn n n .∴()()2)1(2123211+--+=++++-=+n n n n T B n n n .。

人教A 版必修5第二章数列综合测试题一、单选题1．等比数列{}n a 满足13a =，36a =，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 2．在等比数列{}n a 中，13a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则5a =（ ） A ．24 B ．48 C ．96 D ．48- 3．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 4．设数列{}n a 的满足：12a =，111n n a a +=-，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则2020T =（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2- 5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a =-16117b b b π++=，则3948tan 1b b a a +-的值是（ ） A． B．2 C．2- D6．在等比数列{}n a 中，若78910158a a a a +++=，8998a a =-，则789101111a a a a +++=（ ）A ．56- B ．53- C ．83- D ．103- 7．设()35727*()22222n f n n N +=+++++∈，则()f n =（ ） A ．()2413n - B ．()12413n +- C ．()32413n +- D ．()42413n +- 8．在数列{}n a 中，11a =，()*12n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =- B ．12n n S a =- C ．2n n S a =- D ．2n n S a =- 9．数列1，12+，212++…，211222n -++++，…的前n 项和为n T ，则n T =（ ）10．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数列{}n a 的前n 项和()242n S n n n N*=-+∈，则1210a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．15 B ．35 C ．66D ．100 12．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λD ．34λ二、填空题13．已知等比数列{}n a 中，21S =，232a a +=，则6S =________． 14．在数列{}n a 中，12,a =()*11ln 1n n a a n N n +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，则n a =__________． 15．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则n a n的最小值为_________. 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，公差0d <，若对任意的*n N ∈，总存在*k ∈N ，使21(21)k n S k S -=-.则3k n -的最小值为___________.三、解答题17．（1）已知数列{}n a ，满足178a =，且11123n n a a +=+.求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*113n n S a n N =-∈.证明：数列{}n a 是等比数列. 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知()*1382,5a a a n N +=-=∈. （1）求n a ；（2）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列n b 的前n 项和nT . *1⎛⎫（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知{}n a 是等差数列，公差不为0，其前n 项和为n S .若2a ，4a ，7a 成等比数列，312S =.（1）求n a 及n S ；（2）已知数列{}n b 满足111n n n a b b +-=，*n N ∈，113b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围.21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2464a a =，356S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 满足252,5a a ==，且122,2,2n n n a a a ++构成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为数列{}2n a 的前n 项和，记12n n n n S b S S ++=⋅，求证：1212n b b b ++⋅⋅⋅+<.参考答案1．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可知，1a ，3a ，5a ，7a 构成等比数列，则223163a a q q ===，可得22q =，从而可求出357a a a ++的值【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，易知1a ，3a ，5a ，7a 构成等比数列，且223163a a q q ===，得22q =.所以243573336122442a a a a a q a q ++=++=++=. 故选：B.2．B【分析】利用等差中项和等比数列的通项公式可解得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意得，21344a a a =+，即211144a q a a q =+.又130a =≠，∴2440q q -+=，解得2q，则44513248a a q ==⨯=， 故选：B.3．C【分析】先求得1a ，然后求得10S .【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=.故选：C4．D【分析】由123456,,,,,a a a a a a 的值确定数列{}n a 是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出2020T .【详解】12345611112,1,121,112,1,1212222a a a a a a ==-==-=-=+==-==-=- 可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列()1673202012320192020232020202012T a a a a a a a a a a a =⋅=⋅=-=-⋅⋅=-故选：D5．A【分析】 根据等比数列和等差数列的下标性质、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】因为{}n a是等比数列，所以316116a a a a ==-6a =24863a a a ==.因为{}n b 是等差数列，所以1611637b b b b π++==，所以673b π=，所以3961423b b b π+==.所以 3948713b b a a π+=--，所以39487tan tan tan 133b b a a ππ+⎛⎫=-=-= ⎪-⎝⎭故选：A6．B【分析】根据71089a a a a =将789101111a a a a +++化为7891089a a a a a a +++可求得结果. 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴71089a a a a =. ∴789101111a a a a +++710891111a a a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7108971089a a a a a a a a ++=+ 710898989a a a a a a a a ++=+ 7891089a a a a a a +++= 1558938==--. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用71089a a a a =变形求解是解题关键.7．D【分析】易得()f n 是以2为首项，224=为公比的等比数列，再得到其项数求解即可.【详解】易知1，3，5，7，…是首项为1，公差为2的等差数列，设该数列为{}n a ，则21m a m =-，设27n a n =+，令2127m n -=+，∴4m n =+，∴()f n 是以2为首项，224=为公比的等比数列的前4n +项的和， ∴()()442142()41143n n f n ++-==--， 故选：D.8．D【分析】根据等比数列的定义求出通项公式，再根据等比数列的求和公式可求得结果.【详解】∵()*12n n a a n N +=∈，∴112n n a a +=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，12为比的等比数列， ∴112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11112221212n n n n S a --==-=--. 故选：D.9．B【分析】根据等差数列、等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.【详解】设该数列为{}n a ，由已知得数列的通项公式为122112nn n a -==--， 则()()2212(21)2121222n n n n T a a a n =+++=-+-++-=+++-()12122212nn n n +-=-=---.故选：B10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t = 则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-.故选：A11．C【分析】利用n a 与n S 关系可求得数列{}n a 的通项公式，进而得到前10项各项的正负，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】当1n =时，111421a S ==-+=-；当2n ≥时，()()22142141225n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-， 经检验，当1n =时，不符合25n a n =-，1,125,2n n a n n -=⎧∴=⎨-≥⎩. 令250n ->，又n *∈N ，解得：3n ≥且n *∈N .()()121012310811511662a a a a a a a ⨯+∴++⋅⋅⋅+=--++⋅⋅⋅+=++=. 故选：C.【点睛】 易错点睛：在利用n a 与n S 关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足2n ≥时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩. 12．A【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解. 【详解】依题意得，()24122412n n n T +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈， ∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立. 只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可. 设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+. ∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴3λ，故选：A.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.13．21【分析】设公比为(0)q q >，根据条件，可解得1,q a 的值，代入等比数列求和公式，即可求得答案.【详解】因为{}n a 为等比数列，设公比为(0)q q >，所以212111S a a a a q =+=+=①，又223112a a a q a q +=+=②②①得2q ，所以113a =，所以661(12)32112S -==-，故答案为：21 14．()21 n n n N *+∈【分析】由条件变形为()111111n n n a a n n n nn n++-==+-，再利用累加法求通项公式. 【详解】由1111n n a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()111111n n n a a n n n nn n++-==+-， 当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -∴=+-+-+⋯+-()()()()21 21 11 31 21 1121 n n n n n n n n n n n N *=+-+-+⋯+--=+∈⎡⎤⎣⎦， 当1n =时，12ln12a =+=成立. 故答案为：()21 n n n N*+∈15．225【分析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到n a n 的解析式，再根据基本不等式可求得n an最小值. 【详解】 解：1n n a a n +=+，1n n a a n +∴-=，即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，…，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=，将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)+12n n n --=， 即当2n ≥时，1(1)2n n n a a -=+， 又112a =，()2(1)2412=222n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，又112a =也适合上式，()2(1)2412=22n n n n n a n z --+∴=+∈224121=222n a n n n n n n -+∴=+-， 由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2n n时取得最小值，即n =又n z ∈且45<<，44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴的最小值为：225. 故答案为：225. 【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式. 16．8- 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式得到k n a S =，令2n =，化简得到12a k d-=，又因为k *∈N ，所以1k =，得1d a =-，再利用等差数列前n 项和公式得到219773222k n n ⎡⎤⎛⎫-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用二次函数的性质即可得到答案.【详解】 由题意得()121(21)(21)2k n k a a k S --+=-则得(21)2(21)2kn k a k S -⋅=-，即k n a S =，令2n =得2k a S =，即11(1)2a k d a d +-=+①，即得12a k d-=. 因为首项10a >，公差0d <，则得120a k d-=<，即2k <. 又因为k *∈N ，所以1k =，代入①得1d a =-. 当1d a =-时，由k n a S =得1111(1)(1)2n n a a k a na ---=-即(1)(2)12n n k --=+，所以2193222k n n n -=-+即219773222k n n ⎡⎤⎛⎫-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此当4n =或5时，3k n -的最小值为8-. 故答案为：8- 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，根据题意化简得到1d a =-，从而得到(1)(2)12n n k --=+为解决本题的关键，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由11123n n a a +=+得1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义可证结论；（2）根据()113n n S a =-和()11113n n S a ++=-两式相减可得112n n a a +=-，根据等比数列的定义可证结论. 【详解】 （1）∵11123n n a a +=+，∴1211212323323n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，又12725038324a -=-=≠，∴23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为524，公比为12的等比数列.（2）∵()113n n S a =-，∴()11113n n S a ++=-， 两式相减得，111133n n n a a a ++=-，即112n n a a +=-，又当1n =时，()111113a S a ==-，∴112a =-.∴数列{}n a 是首项为12-，公比为12-的等比数列.【点睛】关键点点睛：根据等比数列的定义证明是解题关键. 18．（1）3n a n =-；（2）24n nT n =+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1382,5a a a +=-=，利用“1,a d ”法求解. （2）由（1）知3n a n =-，得到1112n b n n =-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则1122275a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，所以()2113n a n n =-+⋅-=-； （2）由（1）知3n a n =-，则()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，123n n T b b b b ∴=+++⋯+，111111+2334+12n n ⎛⎫⎛⎫=-+-⋯- ⎪+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，1122n =-+24n n =+. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 19．（1）13-=n n a ；（2）()131nn T n =-⨯+.【分析】（1）根据题中条件，得到()1112123n n n S a n --⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，与题中条件两式作差，再结合题中条件，判断数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式；（2）由（1）的结果，得到n b ，利用错位相减法求和，即可得出结果. 【详解】（1）∵数列{}n a 满足11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭①， ∴()1112123n n n S a n --⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭②， ①-②得：111121133n n n n n a a a +-⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()1113023n n n a a n +⎛⎫--=≥ ⎪⎝⎭，可得()132n n a a n +=≥， 由11a =，11212213a S a ⎛⎫==-⎪⎝⎭，解得23a =，∴213a a =， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则13-=n n a ； （2）由（1）知13-=n n a ，则()1211323log 3log 3213n n n n n n b a a n ---=⋅=⋅=-⋅，则()0121133353213n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯③，()()1213133323321 3n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯④，③-④得()()121212333213n n n T n --=+⨯+++--⨯()()3312213222313nn n n n -=+⨯--⨯=-+-⨯-，∴()131nn T n =-⨯+.【点睛】 思路点睛：利用“错位相减法”求数列和时，既可以在等式两边同乘公比q ，也可以在等式两边同乘1q，两式相减后使用等比数列前n 项和公式求和即可；但求和时应注意项数. 20．（1）2n a n =+，(5)2n n n S +=；（2）1,13n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.（1）将2a ，4a ，7a 成等比数列，312S =．转化为1a 和d 的方程组，解出1a 和d ，即可得到n a 及n S ； （2）数列{}n b 满足111,n n na n Nb b ++-=∈，当2n 时，运用累加法求出n b ，验证1n =时也成立，再利用裂项相消求和求出n T ，根据其单调性即可求出n T 的范围 【详解】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为()d d ≠0，由题意得，()()()2111136,3312,a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨+=⎪⎩解得11,3,d a =⎧⎨=⎩∴3(1)12n a n n =+-⨯=+，(32)(5)22n n n n n S +++==. （2）由111n n na b b +-=得，当2n 时1111n n n a b b ---=， 又由（1）知2n a n =+，∴112232111111111111n n n n n n n b b b b b b b b b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231(1)(2)3(2)2n n n n n a a a a n ---++=+++++=.经检验，当1n =时上式仍成立， ∴)*2112((1)(2)12n b n N n n n n ⎛⎫==-∈ ⎪++++⎝⎭，∴1111111111222123344512222n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵()*212n T n N n =-∈+在正整数集上 单调递增，113T =， ∴1,13n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21．（1）62nn a -=；（2）()()*2*(11)6,,211607,.2n n n n n T n n n n -⎧∈⎪⎪=⎨-+⎪∈⎪⎩N N . 【分析】（1）直接利用等比数列的性质求出38a =，再由356S =求出12q =，进一步求出等比数列的通项公式．（2）利用分类讨论思想，分6n 或7n 两种情况讨论，分别利用等差数列的前n 项和公式求出结果． 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵224364a a a ==，∴38a =，又∵356S =，∴333256a a a q q ++=，∴288856q q++=， 解得12q =或13q =-（舍去）， ∴3632n n n a a q--==.（2）由（1）知62nn a -=，∴()()*2*66,log 667,n n n n n N b a n n n n N⎧-∈⎪==-=⎨-∈⎪⎩当6n 时，123(56)(11)543(6)22n n n n n n T b b b b n +--=++++=++++-==；当7n 时，123543210123(6)n n T b b b b n =++++=++++++++++-2(5)(6)11601522n n n n ---+=+=. ∴()()*2*(11)6,,211607,.2n n n n n T n n n n -⎧∈⎪⎪=⎨-+⎪∈⎪⎩N N【点睛】分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 22．（1）n a n =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等比中项性质可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列中的项可求得公差d ，由等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）可知{}2na 为等比数列，由等比数列求和公式求得nS，整理得到n b ，由裂项相消法可求得12211222n n b b b +++⋅⋅⋅+=--，由21022n +>-可得结论. 【详解】（1）122,2,2n n n a a a++构成等比数列，∴()22122222n n n n n a a a a a ++++=⋅=，∴122n n n a a a ++=+，∴{}n a 是一个等差数列，设其公差为d ，由252,5a a ==得：5233d a a =-=，解得：1d =，()22n a a n d n ∴=+-=.（2）证明：由（1）知：22n a n =，1222n n+=，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴()12122212n n nS +-==--，∴()()1121221122222222n nn n n n b +++++==----⋅-，∴12233412111111222222222222n n n b b b ++++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-------211222n +=--， 222n +>，21022n +∴>-，21112222n +∴-<-，即1212nb b b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()m f n f n d ⋅+⎡⎤⎣⎦形式的数列，即()()()()11m m d f n f n d f n f n d ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎡⎤⎝⎭⎣⎦，进而前后相消求得结果.。

新课标数学必修5第二章数列综合训练一、选择题1．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列,则2a =（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．213．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）A ．1B ．0或32C ．32D ．5log 24．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2-C ．15[1,)2+ D ．)251,251(++-5．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对6．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。

2．数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________。

3．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

4．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。

5．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。

新课标高中数学人教A 版必修5第二章单元素质测试题——数列与等差数列（训练时间90分钟，满分100分） 姓名__________评价__________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1.（10安徽文5）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值（ ）A. 15B. 16C. 49D.642.（07辽宁文5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63B ．45C ．36D ．273.（09安徽理5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 184.（11全国Ⅰ文6） 设为n S 等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差24,22=-=+k k S S d ，则=k （ ）A. 8B. 7C. 6D.5 5.（08江西理5）在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6.（11安徽文7）若数列}{n a 的通项公式是=+++--=1021),23()1(a a a n a n n 则（ ）A.15B.12C.-12D.-157.（12全国Ⅰ理5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a + 的前100项和为（ ）A.100101 B.99101C.99100D.101100 8.（12浙江理7）设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错．误．的是（ ）A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在对应题号后的横线上）9.（11天津文11）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.10.（12广东理11）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．11.（09宁夏理14）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 三、解答题（本大题共4小题，共45分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12.（本题满分9分，11福建文17）已知等差数列{}n a 中，3131-==a a ，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值．13.（本题满分12分，09全国Ⅱ文17） 已知等差数列{}n a 中，,0,166473=+-=a a a a 求{}n a 前n 项和n S .14.（本题满分12分，10浙江文19）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数{}n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S .（Ⅰ）若55=S ，求n S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围.15.（本题满分12分，12全国Ⅰ文18）已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和.32n n a n S +=（Ⅰ）求；，32a a （Ⅱ）求{}n a 的通项公式.新课标高中数学人教A 版必修5第二章单元素质测试题——数列与等差数列（参考答案） 一、选择题答题卡： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBDAAAC二、填空题9. 110 . 10.12-n ． 11. 31． 三、解答题12. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+- 由121,312 3.a a d ==-+=-可得 解得.2-=d从而，1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=- （Ⅱ）由（Ⅰ）可知32n a n =-， 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-进而由2135235,S k k =--=-可得即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或 又*,7k N k ∈=故为所求.13.解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则,,,2,256545753d a a d a a d a a d a a +=-=+=-=根据题意，得⎩⎨⎧=++--=+-016)2)(2(5555d a d a d a d a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021645225a d a . 解之得.2,05±==d a①当2,05==d a 时，8451-=-=d a a ，n n n n n d n n na S n 9)1(82)1(21-=-+-=-+=； ②当2,05-==d a 时，8451=-=d a a ，.9)1(82)1(21n n n n n d n n na S n +-=--=-+= 解法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，则06473=+=+a a a a .由⎩⎨⎧=+-=0167373a a a a 得⎩⎨⎧-==4473a a 或⎩⎨⎧=-=4473a a①当4,473-==a a 时，.8,102)3(,2,841337=+-=-+=-=∴-=-=a n d n a a d a a d n.92)8102(2)(21n n n n a a n S n n +-=++-=+=②当4,473=-=a a 时，.8,102)3(,2,841337-=-=-+==∴=-=a n d n a a d a a d n.92)8102(2)(21n n n n a a n S n n -=--=+=14.解：（Ⅰ）由55=S 和01565=+S S 得36-=S ..8566-=-=∴S S a⎩⎨⎧-=+==+=∴8551051615d a a d a S .解之得.3,71-==d an n n n n d n n na S n 21723)1(2372)1(21+-=--=-+=. .7,2172312=+-=∴a n n S n（Ⅱ）解：56150,S S += 11(510)(615)150.a d a d \+++=即2211291010.a da d +++=因为1a 可求，即关于1a 的一元二次方程有解， 所以08)110(2481222≥-=+⨯⨯-=∆d d d . 解之得22-≤d 或22≥d .故d 的取值范围为(][)∞+-∞-，，2222 . 15. 解：（Ⅰ）根据题意得2234a S =，即22134a a a =+， .3312==∴a a又3335a S =，332135a a a a =++， .6)(23213=+=∴a a a（Ⅱ）11=a ，1>n 时，113132--+-+=-=n n n n n a n a n S S a ， 整理得.111--+=n n a n n a 即.111-+=-n n a a n n 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅=∴----- .2)1(23)2)(1(3)2)(1()1(1132431211n n n n n n n n n n n n n n +=⋅----⋅+=⋅⋅--⋅-⋅-+= 11=a 满足上式.故{}n a 的通项公式为.2)1(nn a n +=。

10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。

高中数学必修五《数列》单元检测（内含答案）一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．7B ．15C ．20D ．25【解析】 S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5×(a 2＋a 4)2＝5×62＝15. 【答案】 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．12【解析】 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3 ＝9a 55a 3＝95×59＝1. 【答案】 A3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7.d ＝a 4－a 13＝2，S n ＝na 1＋n (n －1)2·d＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝100， ∴n ＝10.【答案】 B4．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12【解析】 ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.【答案】 B5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)] ＝3×5＝15.【答案】 A二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝ .【解析】 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.【答案】 127．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝ .【解析】 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.【答案】 408．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝ 时，S n 取到最大值．【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.故当n ＝5或6时，S n 最大．【答案】 5或6三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解】 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎨⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5). [能力提升]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18 【解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 【答案】 B2．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，所以193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.【答案】 B3．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ．【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．【答案】 11 74．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n}中有12项大于零．。

新人教A 版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.，的一个通项公式是（ ）A. n a =B. n a =C. n aD. n a =2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 2011是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项.A. 332B. 333C. 334D. 3354. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ）A.45B.75C. 180D.3005. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－56. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A.21B.2C. 41D.47. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列｛an ＋b n ｝的前100项之和是( )A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于()A.97B.95C.93D.919.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A.21 B. 31 C.2 D.311. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( )A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( )A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 二、填空题（每小题4分，共计16分）13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛na 1｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ .16. 数列121，241，341，4161，…的前n 项和为 . 三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n .18.（本题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.19. （本题满分12分）已知等差数列｛a n ｝中，a 1＝29，S 10＝S 20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a 1＝5，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，求｛a n ｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋54＋257＋…＋1523--n n 22.（本题满分14分）已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)求证｛b n ｝是等比数列；(2)设c n ＝n n a 2(n ＝1，2…)求证｛c n ｝是等差数列；(3)求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式.数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C 10.D 11.C 12.B二、填空题13. ⎩⎨⎧≥+==22215n n n a n 14. －4772+ 15. 70 16. n n n 21222-++三、解答题17. 解析：设S n ＝ｐn 2＋qnS n ＝ｐn 2＋qn ＝m ； ①则S m ＝ｐm 2＋qm ＝n ②①－②得：ｐ(n 2－m 2)＋q (n －m )＝m －n 即ｐ(m ＋n )＋q ＝－1 (m ≠n ) ∴S m ＋n ＝ｐ(m ＋n )2＋q (m ＋n )＝(m ＋n )［ｐ(m ＋n )＋q ］＝－(m ＋n ).18. 解析：由S 12＞0及S 13＜0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〈⨯+〉⨯+021213130211121211d a d a2a 1＋11d ＞0 24＋7d ＞0即 又∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ∴a 1＋6d ＜0 3＋d ＜0∴－724＜d ＜－3.19. 解析：设数列｛a n ｝的公差为d∵S 10＝S 20，∴10×29＋2910⨯d ＝20×29＋21920⨯d 解得d ＝－2∴a n ＝－2n ＋31设这个数列的前n 项和最大，a n ≥0 －2n ＋31≥0则需： 即a n ＋1≤0 －2(n ＋1)＋31≤0∴14.5≤n ≤15.5∵n ∈N ，∴n ＝15∴当n ＝15时，S n 最大，最大值为S 15＝15×29＋21415⨯ (－2)＝225.20. 解析：令a n ＝b n ＋ｋ，则a n ＋1＝b n ＋1＋ｋ ∴b n ＋1＋ｋ＝2(b n ＋ｋ)＋3 即bn ＋1－2b n ＝ｋ＋3令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－3则an ＝b n －3，b n ＋1＝2b n 这说明｛b n ｝为等比数列，q ＝2 b 1＝a 1－ｋ＝8，∴b n ＝8·2n －1＝2n ＋2 ∴a n ＝2n ＋2－3.21. 解析：设S n ＝1＋54＋257＋…＋2523--n n ＋1523--n n ① 则51S n ＝51＋254＋357＋…＋1553--n n ＋n n 523- ② ①－②得：22. 解析：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2 ①∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2 ② ②－①得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1，2，…)即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， 变形，得an ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1，2，…)∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列｛b n ｝是公比为2的等比数列；由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，得a 2＝5故b 1＝a 2－2a 1＝3∴b n ＝3·2n －1. 将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝43(n ＝1，2，…)由此可知，数列｛cn ｝是公差为43的等差数列，它的首项c 1＝,2121=a 311(3)(31)444n c n n =-=-∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1，2，…)； 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式， 所以所求｛a n ｝的前n 项和公式是：S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

2014.9.27班级： 座号： 姓名：一、选择题：1、已知1,7,13,19,,--⋅⋅⋅则这个数列的通项公式为（） A ．21n -B 65n +C (1)65nn --D (1)(65)nn --2、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（） A ．4B ．32C ．169D ．2 {}66)70)74)78))(,199,123,9533218D C B A n a a a a n n ====则中，、在等差数列4．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）（A ）2（B ）3（C ）4（D ）55．等差数列｛a n ｝中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则该数列前13项的和是（） （A ）13（B ）26（C ）52（D ）156{}3831341516,1),2()1(635111）））））等于（则且满足、D C B A a a a n a a a a n n n n n =≥-+=⋅--{}313111,371--+=-）））））的值（则为等比数列，且、已知D C B A t t S a n n n8、等比数列{}n a 中，236a a +=，238a a =，则q =（） A ．2B ．12C ．2或12D ．12-或2- 9、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（）A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b a D ．10b a ⎛⎫⎪⎝⎭10、在项数为2n+1等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（）。

（A ）9(B)10(C)11(D)12 二、填空题：11．已知下列数列{}n a 的前n 项和S n 的公式，求{}n a 的通项公式。

（1）S n =2n n 32-,则=n a ；（2）S n =32-n，则=n a 。

第二章 章末检测 （A ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．671答案 D解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q＝3， S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120. 4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220答案 B解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54，∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 5．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在答案 B解析 依题意，b n ＝b 1·⎝⎛⎭⎫127n －1＝13·⎝⎛⎭⎫133n －3＝⎝⎛⎭⎫133n －2， ∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝⎛⎭⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13， ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0， 即log k 3＝1，∴k ＝3.6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对答案 A解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A ．1或2B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2答案 C解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3答案 A解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516答案 C解析 因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d . 所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316. 10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )答案 D解析 由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列，∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ，∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项答案 C解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1， 则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.2－1与2＋1的等比中项是________．答案 ±114．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．答案 －4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d <－236， ∵d ∈Z ，∴d ＝－4.15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．答案 15解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)答案 ①②④解析 ①中，⎩⎪⎨⎪⎧ (a 99－1)(a 100－1)<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎨⎧a 99>10<a 100<1 ⇒q ＝a 100a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中，⎩⎪⎨⎪⎧ a 99a 101＝a 21000<a 100<1⇒a 99a 101<1，∴②正确． ③中，⎩⎪⎨⎪⎧T 100＝T 99a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99，∴③错误． ④中，T 198＝a 1a 2…a 198＝(a 1a 198)(a 2a 197)…(a 99a 100)＝(a 99a 100)99>1，T 199＝a 1a 2…a 198a 199＝(a 1a 199)…(a 99a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0. 解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )． 18．(12分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．19．(12分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 20．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1. 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n 1＋n. (1)解 由已知⎩⎨⎧ a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列． 又a 2＝12S 1＝12a 1＝12， ∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×(32)n －2， n ≥2. (2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n) ＝1－11＋n ＝n 1＋n . 22．(14分)已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ＋1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .解 (1)∵对任意n ∈N *，有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)， ① ∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)． ② ①－②并整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0.而数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1＝3.当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立；当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立，舍去．∴a n ＝3n －2，n ∈N *.(2)T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－6a 2－6a 4－…－6a 2n＝－6(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－6×n (4＋6n －2)2＝－18n 2－6n .附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。