高中数学教师招聘考试数学试题一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡对应的方格内）1.已知集合}101{，，A -=，集合},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A 3B 5C 7D 9 2．若函数⎩⎨⎧>≤+=1,ln 1,12)(x x x x x f ，则=))((e f f A 3 B 12+e C e D 1 3．函数22)(3-+=x x f x 在区间（0，1）内的零点个数是A 0B 1C 2D 34．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）(填写正确命题的编号)．①1ab ≤； ②2a b +≤； ③ 222a b +≥；④333ab +≥； ⑤112a b+≥A ③⑤B ①②④C ②③⑤D ①③⑤5．若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ,BC 为圆O 的直径，且AB=AO ，则CB CA ⋅ 等于 ( )A.23B.3 D.32 6. 设曲线()a ax x f -=32在点(1,)a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为 A31 B 121 C2 D3 7．复数i i )1(-的共轭复数是（ ）A i --1B i +-1C i -1D i +1 8．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( ) A ．31B ．21C ．33D ．22 9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是( )第9题A ．83 B ．43C ．4D ．8 10．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案11. 已知a b c ，，分别是ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边，若13a b ==，，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A =12. 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22C 的标准方程为 .13．设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是 14．已知7270127(x m )a a x a x ...a x -=+++的展开式中5x 的系数是189，则实数m = ． 15．将容量为n 的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2：3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和为 27， 则 n =__________三.解答题(本题共6小题,共55分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分8分）已知函数)02,0( )cos(3)(<<->+=ϕπωϕωx x f 的最小正周期为π，且其图象经过点)0,125(π。
(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 若函数)2,0(),62()(πβαπ∈+=、x f x g ，且423)(,1)(==βαg g ， 求)(βα-g 的值。
17．（本题满分8分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：24320,8a a a +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12log n n n b a a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S .18．（本题满分9分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O落在线段AD 上． （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ； （Ⅱ）已知8BC=，4PO =，3AO =，2OD =．求二面角B AP C --的大小．19．（本题满分10分）一个盒子里装有标号为1，2，3的3大小、颜色、质地完全相同的小球，现在有放回地 从盒子中取出2个小球，其标号记为y x ,，记|||1|y x x -+-=η. （1）设η的取值集合为M,求集合M 中所有元素的总和; （2）求2=η时的概率. 20．（本题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，其中左焦点F （-2，0）. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线m x y +=与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆122=+y x上，求m 的值.21.（本题满分10分）已知fx x a x b xa ()=+++3223在x =-1时有极值0. （1）求常数b a 、的值； （2）求f x ()的单调区间.参考答案 一、CABDC ABDBA 二、11. 21 12. 4)3(22=+-y x 13. ①④ 14. 3，-3 15. 60 三、PDBO A16. 解：（1）依题意函数的最小正周期πωπ==2T，解得2=ω，所以)2cos(3)(ϕ+=x x f 因为函数)(x f 的图象经过点)0,125(π，所以0)1252cos(3=+⨯ωπ， 得到Z k k ∈+=+⨯,21252ππϕπ，即Z k k ∈-=,3ππϕ， 由02<<-ϕπ得3πϕ-=，故)32cos(3)(π-=x x f 。
4分（2）依题意有x x x g cos 3]3)62(2cos[3)(=-+⨯=ππ，由1cos 3)(==ααg得31cos =α，同理423cos 3)(==ββg ，得42cos =β，而)2,0(πβα∈、，所以322cos 1sin 2=-=αα， 414cos 1sin 2=-=ββ， 所以)sin sin cos (cos 3)cos(3)(βαβαβαβα+=-=-g =4742)4143224231(3+=⨯+⨯⨯ 。
8分 17. 解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有311231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩； 又{}n a 单调递增，∴122q a =⎧⎨=⎩，∴2nn a =.………5分（Ⅱ）依题意，122log 22n n n nb n =+=-,∴12(12)(1)(1)221222n n n n n n n S +-++=-=---， 。
8分 18.（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得AD BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，，得PO BC ⊥因为PO AD O ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥ 。
3分 （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM 。
因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM 。
故BMC ∠为二面角B —AP —C 的平面角。
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5分在222,41,Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222Rt POD PO OD ∆=+中,PD ， 在Rt PDB ∆中，222PBPD BD =+，所以222236, 6.PB PO OD BD PB =++==得在222,25, 5.Rt POA PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,sin 233PA PB AB BPA BPA PA PB +-∠==∠=⋅从而故sin BM PB BPA =∠=同理GM =因为222BM MC BC += 所以90BMC∠=︒， 即二面角B —AP —C 的大小为90.︒ 。
9分19. 解:(1)由题意得:当1=x 时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为0,1,2; 当2=x 时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为2,1,2; 当3=x时,y 可以取1,2,3,对应的η的值为4,3,2;故η的取值集合M 为{0,1,2,3,4}.所以集合M 中所有元素的总和为0+1+2+3+4=10. ………….5分 (2) 记取出的2个小球的标号为y x ,,则),(y x 共有9种情况:(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).其中(1,3),(2,1),(2,3),(3,3)满足2=η，共4种情况。
故2=η时的概率为94。
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10分 20. 解:(1)由题意得,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222222c b a c a c 解得⎩⎨⎧==222b a故椭圆的方程为：14822=+y x 。
4分 （2）设点A ),(11y x ，B ),(22y x ，线段AB 的中点为M ),(00y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822消去y 得，0824322=-++m mx x 323208962<<-⇒>-=∆∴m m ，3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴ 。
8分又点M 在圆122=+y x上，553,1)3()32(22±=∴=+-∴m m m 。
10分 21. 解：（1）0)1(,63)('2'=-++=f b ax x x f Θ且0)1(=-f⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-∴92310310632b a b a a b a b a 或 。
5分 （2）由（1）知当3,1==b a 时， 当9,2==b a 时，)1)(3(3)('++=x x x f Θ，∴在),1(),3,(+∞---∞上，0)('>x f在（-3，-1）上，0)('<x f ，故当9,2==b a 时，函数)(x f 的增区间为)3,(--∞和（),1+∞-，减区间是（-3，-1）。
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10分。
