八年级数学：线段的垂直平分线 练习 (2)

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E、D，且AC＝6，则△ACE的周长为（）A．16B．18C．22D．262．如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10 cm，则AB＝（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．不能确定3．如图，在△ABC中，点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，若AB＝8，OB＝5，则△AOB的周长是（）A．13B．15C．18D．214．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点5．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点6．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（）A．60°B．75°C．65°D．70°7．A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（）A．三条中线的交点B．三条垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点8．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为．9．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝．10．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝65°，则∠B的度数为．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．若DC＝2，AD＝1，则BE的长为．12．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是cm．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，连接AD，若BD＝4CD，则S△AED：S△ABC＝．14．三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．16．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE＝BF．19．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC 于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E，△AEC的周长是13，BC＝6．求∠ACE的度数和△ABC的周长．23．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC＝8．求△AEG周长．24．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，（1）直线MN与线段AB的关系是怎样的？为什么？（2）若△ADC的周长为10，AB＝7，求△ABC的周长．25．两两相交的三条公路经过A、B、C三个村庄．（1）要建一个水电站P到三个村庄的距离相等，请通过画图确定点P的位置．（2）要建一个加油站Q，使加油站Q到三条公路的距离相等，这样的加油站Q的位置有处．参考答案1．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝16，故选：A．2．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝10，∴∠EAC＝∠C＝15°，∴∠AEB＝30°，∴AB＝AE＝5（cm），故选：B．3．解：连接OC，∵点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB，∵OB＝5，∴OA＝OB＝5，∵AB＝8，∴△AOB的周长是AB+OA+OB＝8+5+5＝18，故选：C．4．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．5．解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．6．解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，故选：B．7．解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，∴三个小区到公园距离相等，公园最适当的建造位置是在△ABC三边垂直平分线上，故选：B．8．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，连接BD，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，即（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，即BD＝，在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，故答案为：．9．解：如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠A，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，∵OE垂直平分BC，∴OC＝OB，∴∠CBO＝∠C，∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC ＝2×50°＝100°，故答案为：100°．10．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，设∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵∠F AC＝65°，∴∠F AD＝∠F AC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案为：65°．11．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝2，∵BD是∠ABC的平分线，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝1，∴BE＝＝，故答案为：．12．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AB＝2AE＝2×1＝2cm；DB＝DA∴△ABC的周长为BA+AC+CD+DB＝BA+（AC+CD+DA）＝2+12＝14cm．△ABC的周长是14cm．故填14．13．解：设CD＝x，则BD＝4x，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，AD＝BD＝4x，∴△AED的面积＝△BED的面积＝S△ADB，∵S△ACD＝＝，S△ADB＝＝，∴S△ACD＝S△ADB，∴S△AED：S△ABC＝（S△ADB）：（S△ADB+S△ADB）＝2：5，故答案为：2：5．14．解：相等，理由是：∵P是线段AB和线段AC的垂直平分线的交点，∴AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP，即三角形两边的中垂线的交点到三个顶点的距离的大小关系是相等，故答案为：相等．15．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．16．解：（1）设∠P AQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ，∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°，即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°，∴∠P AQ＝20°；（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12，∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12，即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12，∵BC＝8，∴PQ＝2．17．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．18．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE＝AC，∴CE＝BF．19．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；（2）解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．20．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．21．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．22．解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC．∴∠B＝∠ECB＝50°．∵在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝70°﹣50°＝20°．∵△AEC的周长为13，∴AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝13．∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+6＝19，答：∠ACE为20°，△ABC的周长为19．23．解：∵△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴AE＝BE，AG＝CG，∵BC＝BE+EG+CG＝8，∴AE+EG+AG＝8，则△AEG的周长为8．24．解：（1）MN垂直平分AB．理由：连接AM，AN，BM，BN，根据题意得：AN＝BN，AM＝BM，∴点N在线段AB的垂直平分线上，点M在线段AB的垂直平分线上，∴MN是线段AB的垂直平分线，∴MN垂直平分AB．（2）∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△ADC的周长为10，AB＝7，∴AC+AD+CD＝10，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝AB+AC+CD+BD＝AB+（AC+CD+AD）＝10+7＝17．…25．解：（1）如图，由于“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，分别作AB、BC、CA边的垂直平分线，相交于P，P即为所求．（2）如图，由于“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作∠ABC、∠BCA、∠CAB的平分线相交于P1，∠IAE和∠DCA的平分线相交于P2，∠ECB和∠FBC的平分线相交于P3，∠HAB和∠GBH的平分线相交于P4．故加油站Q的位置有4处．。

线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．A 村 ·B 村 ·C 村·9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点（）A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(B)A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D. ∵∠ACB ＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.21。

人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()5. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，△B ＝60°，△C ＝25°，则△BAD 为（ ）A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°6. 如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交BC 于点D ，若AD=4，BC=3DC ，则BC 等于 ( )A.4B.4.5C.5D.67. 如图，C ，E 是直线l 两侧的点，以点C 为圆心，CE 的长为半径画弧交直线l于A ，B 两点．又分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接CA ，CB ，CD ，则下列结论不一定正确的是 ( )A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52 B ．3 C ．2 D ．72 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A ．8B ．11C ．16D ．1710. 如图，在△ABC 中，直线MN 为BC 的垂直平分线，交BC 于点E ，点D 在直线MN 上，且在△ABC 的外面，连接BD ，CD ，若CA 平分△BCD ，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD 是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题11. 如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE△AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC= ．12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．15. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB 对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．人教版数学八年级上册第十三章13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习--参考答案一、选择题1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【答案】C2. 如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是()A．PB＞PC B．PB＝PCC．PB＜PC D．PB＝2PC【答案】B[解析] 如图，连接AP.△线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，△AP＝PB，AP＝PC.△PB＝PC.3. 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()A．△ADC＝45° B．△DAC＝45°C．BD＝AD D．BD＝DC【答案】D[解析] △AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD，故C正确；△AD＝BD，△△B＝△BAD＝22.5°.△△ADC＝45°，故A正确；△DAC＝90°－△ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.4. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()【答案】C[解析] △PA+PB=BC，而PC+PB=BC，△PA=PC.△点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意.5. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，△B＝60°，△C＝25°，则△BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【答案】B6. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，若AD=4，BC=3DC，则BC等于()A.4B.4.5C.5D.6【答案】D[解析] △DE垂直平分AB，AD=4，△BD=AD=4.△BC=3DC，△BD=2CD.△CD=2.△BC=BD+CD=6.故选D.7. 如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点．又分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是()A ．CD△直线lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称D ．CD 平分△ACB 【答案】C [解析] 由作法可知CD 垂直平分AB ，故选项A ，B 正确； △CD 垂直平分AB ，△CA ＝CB.设CD 与AB 交于点G ，易证Rt△ACG△Rt△BCG ，△△ACG ＝△BCG ， 即CD 平分△ACB ，故选项D 正确；△AB 不一定平分CD ，故选项C 错误．故选C.由线段垂直平分线的性质可得PA ＝PB ，但不能得到OP ＝OF.8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．72【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =，∴CF 为斜边AB 上的中线，∵5AB ==，∴1522CF AB ==．故选A ． 9. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为( )A．8B．11C．16D．17【答案】答案为：B.10. 如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分△BCD，△A=65°，△ABC=85°，则△BCD是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A二、填空题11. 如下图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE△AB于D交AC 于E，△EBC的周长是24cm，则BC=．【答案】10cm12. 如图，在Rt△ABC中，△C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分△BAC，则△B度数为.【答案】答案为：30°13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．【答案】13【解析】△DE垂直平分AB，△AE＝BE，△AE＋EC＝8，△EC＋BE＝8，△△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.14. 如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．【答案】515. 如图，在△ABC中，△C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分△BAC.若DE＝1，则BC的长是________．【答案】3[解析] △AD平分△BAC，且DE△AB，△C＝90°，△CD＝DE＝1.△DE是AB的垂直平分线，△AD＝BD.△△B＝△DAB.△△DAB＝△CAD，△△CAD＝△DAB＝△B.△△C＝90°，△△CAD＋△DAB＋△B＝90°.△△B＝30°.△BD＝2DE＝2.△BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.三、解答题16.现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作△BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.17. 如图，已知△ABC.(1)用直尺和圆规分别作出AB，AC边的垂直平分线l1，l2;(2)若直线l1，l2的交点为O，连接OB，OC.求证:OB=OC.【答案】解:(1)如图所示.(2)证明:如图，连接OA.△l1是AB的垂直平分线，△OA=OB.同理，OA=OC.△OB=OC.18. 如图，在△ABE中，AD△BE于点D，C是BE上一点，DC＝BD，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22 cm，求DE的长．【答案】解：△BD＝DC，AD△BE，△AB＝AC.△点C在AE的垂直平分线上，△AC＝CE.△△ABC的周长是22 cm，△AC＋AB＋BD＋CD＝22 cm.△AC＋CD＝11 cm.△DE＝CD＋CE＝CD＋AC＝11 cm.19. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.【答案】解:△DE垂直平分线段AB，GF垂直平分线段BC，△EB=EA，GB=GC.△△BEG的周长为16，△EB+GB+GE=16.△EA+GC+GE=16.△GA+GE+GE+GE+EC=16.△AC+2GE=16.△GE=3，△AC=10.20. 如图，点P是△AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5.（1）求线段QM、QN的长；（2）求线段QR的长．【答案】【解答】解：（1）△P，Q关于OA对称，△OA垂直平分线段PQ，△MQ＝MP＝4，△MN＝5，△QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1.（2）△P，R关于OB对称，△OB垂直平分线段PR，△NR＝NP＝4，△QR＝QN+NR＝1+4＝5.21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. （1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.【答案】解：(1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.22. 如图，△ABC中，△ABC＝30°，△ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出△BAC的度数；（2）求△DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】【解答】解：（1）△△ABC+△ACB+△BAC＝180°，△△BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）△DE是线段AB的垂直平分线，△DA＝DB，△△DAB＝△ABC＝30°，同理可得，△FAC＝△ACB＝50°，△△DAF＝△BAC﹣△DAB﹣△FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）△△DAF的周长为20，△DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，△BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20.。

15.2 线段的垂直平分线【基础练习】知识点1线段垂直平分线的画法1.如图1,小林同学在一张透明纸上画了一条线段MN,然后对折将点M,N重合,再打开,过折痕画直线AB,交MN于点B,则直线AB是线段MN的.图12.如图2,画线段PQ的垂直平分线.图2PQ的长为半径画弧,两弧分别交于点(1)分别以点和点为圆心,大于12和点;(2)过点和点作直线,则直线就是线段PQ的垂直平分线.知识点2线段垂直平分线的性质3.如图3,C是线段AB的垂直平分线上的一点,垂足为D,则下列结论正确的有()①AD=BD;②∠ADC=∠BDC=90°;③△ACD≌△BCD;④AC=BC.图3A.1个B.2个C.3个D.4个4.[2020·枣庄]如图4,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()图4A.8B.11C.16D.175.如图5,在△ABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,△BCN的周长是7 cm,则BC的长为()图5A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm6.[2020·合肥瑶海区期末]如图6,在△ABC中,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,连接AD,AE=4 cm,则△ABC的周长与△ABD的周长的差为()图6A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm知识点3线段垂直平分线的判定7.已知线段AB外有两点M,N,且MA=MB,NA=NB,直线MN交线段AB于点O,则点O是线段AB的,直线MN是线段AB的.若直线MN上另有一点P,则P A与PB的数量关系是,你的依据是.8.如图7,AC=AD,BC=BD,则有()图7A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB9.下列条件不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是()A.MA=MB,NA=NBB.MA=MB,MN⊥ABC.MA=NA,MB=NBD.MA=MB,MN平分AB且点M不在AB上10.如图8,AB=AC,MB=MC.求证:直线AM是线段BC的垂直平分线.图8【能力提升】11.如图9,在△ABC中,D是AB的中点,且CD⊥AB,若∠A=45°,则∠B=°.图912.如图10所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,交AC于点F,交AB于点D,∠A=50°,AB+BC=6,则△BCF的周长为,∠EFC=°.图1013.如图11,AD垂直平分BC于点D,EF垂直平分AB于点F,点E在AC上,BE+CE=20 cm,则AB=cm.图1114.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为边DC的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.图12(1)AD与FC的数量关系是;(2)若AD=1 cm,AB=5 cm,则当BC的长为时,点B在线段AF的垂直平分线上.15.[教材练习第1题变式题]为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,相对位置如图13所示),请用尺规作图的方法确定点P的位置.(要求: 写出已知、求作,不写作法,保留作图痕迹)图1316.[2019·合肥长丰县期末]如图14,已知AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长.图1417.操作实验:如图15①,把等腰三角形沿顶角的平分线对折并展开,发现被折痕分成的两个三角形成轴对称,所以△ABD≌△ACD,所以∠B=∠C.归纳结论:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对的角也相等(证明略).探究应用:如图15②,CB⊥AB,垂足为B,DA⊥AB,垂足为A,E为AB的中点,AB=BC, CE⊥BD.(1)BE与AD是否相等,为什么?(2)小明认为AC是线段DE的垂直平分线,你认为对吗?说说你的理由;(3)∠DBC与∠DCB相等吗?试说明理由.图15答案1.垂直平分线2.(1)P Q M N(2)M N MN3.D[解析] ∵CD是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠ADC=∠BDC=90°,故①②正确;又∵CD=CD(公共边),∴△ACD≌△BCD,故③正确;由③可得④正确(也可直接根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,得出④正确).4.B[解析] ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.5.C[解析] ∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AN=BN.∵△BCN的周长=BN+NC+BC=7 cm,∴AN+NC+BC=7 cm,∴AC+BC=7 cm,∴BC=7-4=3(cm).6.D[解析] ∵DE垂直平分AC,AE=4 cm,∴AD=CD,AC=2AE=8 cm.∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC,∴△ABC的周长与△ABD的周长的差为AC=8 cm.7.中点垂直平分线P A=PB线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等8.A9.C10.证明:∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点M在线段BC的垂直平分线上.∴直线AM是线段BC的垂直平分线.11.45[解析] ∵D是AB的中点,CD⊥AB,∴CD是线段AB的垂直平分线,∴AC=BC.易证Rt△ACD≌Rt△BCD,∴∠B=∠A=45°.12.640[解析] 因为直线DE为边AB的垂直平分线,所以AF=BF.所以△BCF的周长=CF+BF+BC=CF+AF+BC=AC+BC=AB+BC=6.∠EFC=∠AFD=90°-∠A=90°-50°=40°. 13.20[解析] ∵EF垂直平分AB于点F,∴AE=BE.∵BE+CE=20 cm,∴AE+CE=20 cm,即AC=20 cm.∵AD垂直平分BC于点D,∴AB=AC=20 cm.14.(1)AD=FC(2)4 cm[解析] (1)因为AD∥BC,所以∠D=∠ECF.因为E为边DC的中点,所以DE=CE.在△ADE和△FCE中,因为{∠D=∠ECF, DE=CE,∠AED=∠FEC,所以△ADE≌△FCE.所以AD=FC.(2)因为点B在线段AF的垂直平分线上,所以AB=BF.又因为AB=5 cm,FC=AD=1 cm,所以BC=BF-FC=5-1=4(cm),即当BC=4 cm时,点B在线段AF的垂直平分线上.15.解:已知:A,B,C三点不在同一直线上.求作:一点P,使P A=PB=PC.如图所示,点P即为所求.16.解:∵DE 是BC 的垂直平分线,∴CD=BD ,∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB.由题意得{AB -AC =3,AB +AC =14,解得{AC =5.5,AB =8.5,∴AB 和AC 的长分别为8.5 cm,5.5 cm .17.解:(1)BE=AD.理由:∵BD ⊥EC ,DA ⊥AB ,∴∠BEC+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°. ∴∠ADB=∠BEC.在△ADB 和△BEC 中, ∵{∠ADB =∠BEC ,∠DAB =∠EBC =90°,AB =BC ,∴△ADB ≌△BEC (AAS ). ∴BE=AD.(2)对.理由:∵E 是AB 的中点,∴AE=BE.∵AD=BE ,∴AE=AD.在△ABC 中,因为AB=BC ,∴∠BAC=∠BCA.由题意易知AD ∥BC ,∴∠DAC=∠BCA. ∴∠BAC=∠DAC.在△ADC 和△AEC 中, ∵{AD =AE ,∠DAC =∠EAC ,AC =AC ,∴△ADC ≌△AEC (SAS ). ∴DC=EC.∴点C在线段DE的垂直平分线上.∵AD=AE,∴点A在线段DE的垂直平分线上.∴AC是线段DE的垂直平分线. (3)∠DBC=∠DCB.理由:∵△ADB≌△BEC,∴BD=EC.又∵DC=EC,∴DC=BD.∴∠DBC=∠DCB.。

【拔尖特训】2024-2025学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.2线段的垂直平分线专题（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．8B．6C．4D．22．（2022秋•东宝区期末）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点3．（2022秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．4cm B．3 cm C．2cm D．1cm4．（2022秋•长安区校级期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（）A．三条高线的交点处B．三条中线的交点处C．三个角的平分线的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处5．（易错题）（2023秋•青秀区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC 的数量关系是（）A．2∠BOC+∠BPC＝360°B．∠BOC+2∠BPC＝360°C．3∠BOC﹣∠BPC＝360°D．4∠BPC﹣∠BOC＝360°6．（易错题）（2022秋•汉南区校级期末）如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I 为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（）A．x+y＝90°B．x﹣2y＝90°C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°7．（易错题）（2022秋•东阿县校级期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠OEB ＝46°，则∠AOC＝（）A．92°B．88°C．46°D．86°8．（易错题）（2022春•雅安期末）如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（）A．105°B．100°C．110°D．140°9．（培优题）（2022春•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠CC．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF10．（培优题）（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，边AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°二．填空题（共6小题）11．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长．12．（2022秋•德城区校级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠F AE＝19°，则∠C＝°．13．（易错题）（2023春•甘州区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为．14．（易错题）（2023春•荔湾区期末）在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，4），作AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C坐标为．15．（2023春•振兴区校级期中）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝26°，∠EBD＝25°，则∠AED＝．16．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为．三．解答题（共7小题）17．（2023•渭南一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD 垂直平分EF．18．（2022春•合浦县期中）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线．19．（易错题）（2023春•新民市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．（易错题）（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．（1）若BC＝9，求△AEG的周长．（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．21．（培优题）（2023春•榆林期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，连接AE，作AD⊥BC于点D，且D为BE的中点．（1）试说明：AB＝CE；（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．22．（培优题）（2023春•定边县校级期末）已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；（2）求证：∠B=12∠AED．23．（培优题）（2023春•兴庆区校级期末）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；（2）若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数；（3）若∠ACB＝a（90°＜a＜180°），则∠DCE＝．。

垂直平分线1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.PD 为线段AB 的垂直平分线，必然需要连接PA 、PB ，构造出等腰△PAB ，进而求解.逆定理：若PA =PB ，则点P 在AB 的垂直平分线上.【例题讲解】例题1、如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上.BD =CF ，BE =CD ，DG ⊥EF 于点G ，且EG =FG.求证：AB =AC .【分析】可知GD 为EF 的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接【解答】解：连接DE 、DF 如右图所示,D G E F E G F GD E D F在△BDE 和△CFD 中，B D C F B E C DD E D FB D EC FD B CA B A C.例题2、如图，在R t △ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且DE ∥AC ，AE =5，DE =2，DC =3，动点P 从点A 出发，沿边AC 以每秒2个单位长的速度向终点C 运动，设运动时间为t 秒。

（1）线段AC 的长=；（2）在线段EA 上有一点Q ，满足ED =EQ ，连接DQ 、PE ，当PE ⊥DQ 时，求出t 的值.【解答】（1）AC =6；（2）当PE ⊥DQ 时，由于ED =EQ ，易证PE 垂直平分DQ ，所以连接PD 、PQ ，只需使PD =PQ 即可可知AP =2t ，所以PC =6-2t ；CD =3，EQ =2，所以AQ =3，所以41255A F A Q，3955Q F A Q所以1225P F t在R t △PCD 中，PD 2=32+（6-2t ）2；在R t △PQF 中，PQ 2=22129255t所以32+（6-2t ）2=22129255t，解得52t.【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！【最好方法】当PE ⊥DQ 时，易证PE 平分∠DEA ，由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以△AEP 为等腰三角形，所以AP =AE =5，即2t =5，t =52.【巩固练习】1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的（）A .重心B .内心C .外心D .中心2、在△AOB 的内部有一点P ，点P 与P 1关于OA 对称，点P 与P 2关于BO 对称，①则△OP 1P 2是（）A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .钝角三角形②当∠AOB 满足什么条件时，△OP 1P 2是等边三角形？3、如图，△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线交BC 于D 、E ，（1）若∠BAC =100°，则∠DAE =；（2）若∠BAC =80°，则∠DAE =；（3）若∠DAE =10°，则∠BAC =；（4）若△ABC 的周长为20，△ADE 的周长为12，则AB +AC =；（5）当AB =AC ，且∠BAC =120°，则△ADE 为何种特殊三角形？4、如图，等边△ABC的边长为3，BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为.5、如图，已知等腰△ABC，AB=BC=5，AC=10，在BC边上存在一点P，恰好在线段AB的垂直平分线上，则BP的长为.6、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.7、△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G.求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若∠FAC=∠B，求证：AD平分∠BAC.9、如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形.（1）求证：直线AD垂直平分BC；（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由.10、已知二次函数y=a x2+2a x+c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，若C（0，2），BC的垂直平分线过点A，求这个二次函数的关系式.x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=43OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t>0）.（1）点Q的坐标是（，）（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，直线DE经过点O.12、如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C 的对应点为F.（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值.13、如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点，点Q的坐标为（4，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）当OP//CQ时，求点P的坐标；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标.14、已知抛物线y=a x2+b x+c（a<0）与x轴交于点A（8，0）和B（一12，0），与y轴交于点C（0，6）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t（秒），使线段MN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；参考答案1.答案：B2.答案：①B；②∠AOB=30°3.答案：（1）20°；（2）20°；（3）95°；（4）8；（5）等边三角形.4.答案：15.答案：2586.证明： AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， DE=DF在R t△ADE和R t△ADF中，AD=AD，DE=DF，R t△ADE≌R△ADF(HL)，AE＝AF，又DE＝DF，AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上) 7.证明：如图，连接BE、BC，ED⊥BC，D为BC中点BE=ECEF⊥AB，EG⊥AG，且AB平分∠FAGFE=EG在△BFE和R t△CGE中，BE=CE，EF=EG，R t△BFE≌R t△CGE(HL)，BF=CG.8.证明： EF是AD的垂直平分线，AF=DF∠EAF＝∠EDF，∠EAF＝∠FAC+∠CAD，∠EDF＝∠BAD+∠B，又 ∠FAC＝∠B∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.9.答案：(1) △DBC为等边三角形， DB=DC， D在BC的垂直平分线上 AB＝AC， A在BC的垂直平分线上，直线AD垂直平分BC；(2)以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；理由:连接CE，∠ABD＝∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，在△EBC 和△ABD 中，AB =EB ，∠ABD ＝∠EBC ，DB =CB ， △EBC ≌△ABD （SAS ）， ∠BCE ＝∠ADB ，AD ＝CE .在△ADB 和△ADC 中，AD =AD ，AB =AC ，DB =DC ， △ADB ≌△ADC （SSS ）， ∠ADB ＝∠ADC ， ∠ADB ＝12(360°-∠BCD ）＝150°∠BCE ＝∠BDA ＝150°，∠DCE ＝∠BCE -∠BCD =150°-60°=90°CE ＝DA ，DC ＝DB ，以DA ，DB ，DE 三条线段能构成直角三角形.10.解： BC 的垂直平分线过点A ，A B A C ,二次函数y =a x 2+2a x +c 的对称轴为212a x a，设2A B A Cm，则1,1A O m B O m ，0,2C，2C O 在R t △AOC 中，222A O C O A C,即 222122m m ，解得1m 或53，当1m 时，0,0,2,0,0,2A B C （舍去）；当53m时， 82,0,,0,0,233A B C,此时二次函数解析式为299284y xx.11.答案：（1）343,55t t；（2）四边形QBED 能成为直角梯形。

初中数学湘教版八年级上册第二章2.4线段的垂直平分线同步练习一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，则BD的长为()A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm2.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在()A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条高所在直线的交点处C. △ABC三条角平分线的交点处D. △ABC三边的垂直平分线的交点处3.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且BE平分∠ABC，求∠A的度数为()A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，BC=5，则△BEC的周长为()A. 8B. 10C. llD. 135.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为()A. 31°B. 62°C. 87°D. 93°6.如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC=6，AC=8，则△BCE的周长为()A. 10B. 12C. 14D. 167.三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O()A. 到三边距离相等B. 到三顶点距离相等C. 不在第三边的垂直平分线上D. 以上都不对8.如图，△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC=15°，则∠A的度数是()A. 50°B. 36°C. 40°D. 45°9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，斜边BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE，若AE=3，BE=5，则BC的长为()A. 8√5B. 6√5C. 4√5D. 2√510.如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB=12cm，BC=10cm，则△BCE的周长为()A. 22cmB. 16cmC. 26cmD. 25cm二、填空题11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为______．13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=8cm，则AC等于______cm．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=2cm，则AE等于______．三、解答题15.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F.求证：∠BAF=∠ACF．16.如图，在△ABC中，AB>AC．(1)用尺规作图法在AB上找一点P，使得PB=PC.(保留作图痕迹，不用写作法)(2)在(1)的条件下，连接PC，若AB=6，AC=4，求△APC的周长．17.如图所示，在等边三角形ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，求证：BE=EF=FC．18.已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且点E是AC的中点，AC⊥BD，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G．(1)如图1，求证：∠BGE=∠ADE；(2)如图2，若∠ABC=90°；①求证：DE=EG；②若AC=8，△BCG的面积为4，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定、直角三角形的性质．根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰三角形的三线合一，得∠ACE=∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，则∠A=60°，进而求得∠B=30°，则BD=CD=AC．【解答】解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm，所以∠ACE=∠ECD，因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB，因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°，所以∠A=90°−∠ACE=60°，所以∠B=90°−∠A=30°，所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm．故选A．2.【答案】D【解析】解：∵到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选：D．根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．本题考查线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答．3.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠A，由三角形内角和定理可得：∠ABC+∠C+∠A=5∠A=180°，解得：∠A=36°，故选：D．根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，得到∠ABE=∠A，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE=BE，∵AD=3，∴AB=6，∴AE+EC=AC=AB=6，∵BC=5，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=6+5=11；故选：C．由AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，易得△EBC的周长=AC+BC；此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C=31°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=31°，∴∠A=180°−31°×3=87°，故选：C．根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠C= 31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：∵DE是△ABC中AB边的垂直平分线，∴AE=BE，又∵BC=6，AC=8，∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14，故选：C．依据DE是△ABC中AB边的垂直平分线，即可得到AE=BE，再根据BC=6，AC=8，即可得到△BCE的周长．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：如图：连接OA、OB、OC，∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，∴OB=OC，OA=OC，∴OA=OB=OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA=OB=OC，即可得出选项．本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用线段垂直平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8.【答案】A【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠C=∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故选：A．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，∠ABC=∠C，然后根据三角形的内角和等于180°方程求解即可．本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质与定理并列出方程是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EC=EB=5，∴AC=√EC2−AE2=4，∴BC=√AB2+AC2=4√5，故选：C．根据线段垂直平分线的性质得到EC=EB=5，根据勾股定理计算即可．本题考查的是线段垂直平分线线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：∵DE为AC边的垂直平分线∴AE=EC，∵AB=12cm，BC=10cm，∴△BCE的周长为AE+BE+BC=AB+BC=22cm．故选：A．要求△BCE的周长，知道BC=10cm，只要求得BE+CE即可，根据线段垂直平分线的性质得AE=EC，于是BE+CE=BE+AE=AB，答案可得．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键．11.【答案】30【解析】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．故答案为：30．根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．12.【答案】19【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，AD=DC，∵AB+BD+AD=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19．故答案为：19．由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE，AD=DC，从而可得答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．13.【答案】4√2【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=8，∴∠EAB=∠B=22.5°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=45°，∴AC=EC，由勾股定理得，AC2+EC2=AE2，即AC2+AC2=82，解得，AC=4√2，故答案为：4√2．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB=8，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14.【答案】4cm【解析】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠A=∠2，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，在Rt△BCE中，∠1=30°，∴BE=2CE=4，∴AE=4(cm)，故答案为：4cm．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠2，根据直角三角形的性质得到∠A=∠1=∠2=30°，根据含30°的直角三角形的性质解答即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD．∴∠FAD=∠FDA．∵∠BAF=∠FAD+∠BAD，∠ACF=∠FDA+∠DAC，∴∠BAF=∠ACF．【解析】此题利用了角平分线的定义、线段的垂直平分线性质、等腰三角形的性质等知识.由AD是∠BAC的平分线可以得到∠BAD=∠DAC，由FE是AD的垂直平分线得到FA=FD，再根据等边对等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠BAD，∠ACF=∠FDA+∠DAC，就可以证明题目结论．16.【答案】解：(1)如图所示，点P即为所求；(2)由(1)可得PB=PC，又∵AB=6，AC=4，∴△PAC的周长=PA+PC+AC=PA+PB+AC=AB+AC=6+4=10．【解析】(1)作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求；(2)由作图可知：PB=PC，可证△PAC的周长=PA+PC+AC=PA+PB+AC=AB+ AC．本题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17.【答案】证明：在等边三角形ABC 中．∵∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ， ∴∠OBC =∠OCB =30°，OE =BE ，OF =FC ．∴∠OEF =60°，∠OFE =60°.∴OE =OF =EF ．∴BE =EF =FC ．【解析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC =∠OCB =30°，OE =BE ，OF =FC ；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF =60°，∠OFE =60°.从而判定△OEF 是等边三角形即OE =OF =EF ，通过线段的等量代换求证即可．此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．18.【答案】(1)证明：∵点E 是AC 的中点，AC ⊥BD ，∴AD =CD ，△ADC 是等腰三角形，∴∠DAC =∠DCA ，∵AC ⊥BD ，BF ⊥CD ，∴∠BEG =∠CFG =90°，∵∠BGE =∠FGC ，∴∠EBG =∠FCG ，∴∠EBG =∠DAE ，∵∠BEG =∠AED ，∴∠BGE =∠ADE ；(2)①证明：∵点E 是AC 的中点，AC ⊥BD ，∴△ABC 是等腰三角形，∵∠ABC =90°，∴∠BAE =∠ABE =45°，∴AE =BE ，在△AED 和△BEG 中，{∠EAD =∠EBGAE =BE ∠AED =∠BEG，∴△AED≌△BEG(ASA)，∴DE=EG；②解：∵∠ABC=90°，点E是AC的中点，∴AE=CE=BE=12AC=12×8=4，∵S△BCG=12CG⋅BE=12×CG×4=2CG，∴2CG=4，∴CG=2，∴DE=EG=CE−CG=4−2=2，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=12AC⋅BE+12AC⋅DE=12×8×4+12×8×2=24．【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得AD=CD，由等腰三角形的性质得∠DAC=∠DCA，证∠EBG=∠FCG，则∠EBG=∠DAE，由△AED和△BEG的内角和即可得出结论；(2)①易证△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠ABE=45°，得AE=BE，由ASA证得△AED≌△BEG，即可得出结论；②由直角三角形的中线性质得AE=CE=BE=12AC=4，由S△BCG=12CG⋅BE求出CG=2，则DE=EG=CE−CG=2，由S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，即可得出结果．本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的中线性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．。

数学人教版（五四学制）八年级上册20一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，衔接AD，那么△ACD的周长是〔〕A. 7B. 8C. 9D. 102.如图，是的角平分线，是的垂直平分线，，，那么的长为〔〕A. 6B. 5C. 4D.3.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，衔接BD．假定AC=6，△BCD的周长为10，那么BC的长为〔〕A. 2B. 4C. 6D. 84.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．△PAB的周长为14，PA＝4，那么线段AB的长度为( )A. 6B. 5C. 4D. 35.点P在线段的中垂线上，点Q在线段的中垂线外，那么〔〕．A. B. C. D. 不能确定 6.如图，∠AOB 和线段CD ，假设P 点到OA ，OB 的距离相等，且PC=PD ，那么P 点是〔 〕A. ∠AOB 的平分线与CD 的交点B. CD 的垂直平分线与OA 的交点C. ∠AOB 的平分线与CD 的垂直平分线的交点D. CD 的中点7.如图，在中， ， 的平分线AD 交BC 于点D ，假定DE 垂直平分AB ，那么 的度数为〔 〕A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，区分以点A 和点C 为圆心，大于 21AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 区分交BC ，AC 于点D ，E ．假定AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，那么△ABC 的周长为〔 〕A. 16cmB. 19cmC. 22cmD. 25cm9.如图,DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，假定BC=8，AB=10，那么△EBC 的周长为〔 〕．A. 16B. 18C. 26D. 2810.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，衔接BD．有以下结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是〔〕A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①②二、填空题11.小军做了一个如下图的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中包括的道理是________12.如图，CD是线段AB的垂直平分线，假定AC=2cm，BD=4cm，那么四边形ACBD的周长是________cm．13.如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，假定△ABD的周长为6cm，那么AB+AC=________cm.14.如下图，在△ABC中，DM，EN区分垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，假定△ADE的周长为19 cm，那么BC＝________15.如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①区分以B ，C 为圆心，以大于 21BC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，衔接CD.假定CD ＝AC ，∠B ＝25°，那么∠ACB 的度数为________．16.如下图，线段AB=6，现依照以下步骤作图：①区分以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D ； ②连结CD 交AB 于点P ．那么线段PB 的长为________．三、解答题17.：OC 平分∠AOB ，点P 、Q 都是OC 上不同的点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足区分为E 、F ，衔接EQ 、FQ.求证：FQ ＝EQ18.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，假设AC=7，BC=5，求△BDC 的周长．19.如图，∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.〔1〕求∠BAD的度数；〔2〕假定AB=10,BC=12,求△ABD的周长.20.如图，P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．〔1〕求证：∠PCD＝∠PDC；〔2〕求证：OP是线段CD的垂直平分线.21.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．〔1〕应用尺规作图作出点D，不写作法但保管作图痕迹．〔2〕假定△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．答案解析局部一、选择题1.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD，∵AC=3，BC=4∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7.故答案为：A【剖析】依据垂直平分线的性质得出AD=BD，依据三角形周长的计算方法及等量代换线段的和差即可算出答案。

线段的垂直平分线 练习题姓名： 班级： 学号：1.如图所示，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N.作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD.若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( )A.20B.17C.14D.72.如图所示，直线l ，m 相交于点O ，P 为这两条直线外一点，且OP=2.8.若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点P 1，P 2，则P 1，P 2之间的距离可能是( )A.0B.5C.6D.73.如图所示，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在下列哪条线段的垂直平分线上?( )A. ABB. ACC.BCD.不能确定4.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则有( )A.AB 垂直平分CDB.CD 垂直平分ABC.AB 与CD 互相垂直平分D.CD 平分∠ACB5.如图所示，直线AB 与直线BC 相交于点 B ，点D 是直线BC 上的一点.求作一点E 使直线DE//AB ，且点E 到B ，D 两点的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)八年级数学周周清9姓名：班级：学号：1.如图所示，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为( )A.AB>AC=CEB.AB=AC>CECAB>AC>CE D.AB=AC=CE2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD=DE，若△ABC的周长为26 cm，AF=5cm，则DC的长为( )A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm3.如图所示，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+ PN最短，则点P应选在( )A.A点B.B点C.C点D.D点4.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB=4，CD=3，AD=5，则BE= .5.如图所示，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.6某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线(OA，OB)，OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，如图所示.请你帮助他设计路线，使其行走的总路程最短.(保留作图痕迹)。