第2章 点、直线、平面之间的位置关系一、平面 知识要点： 1．点A 在直线上，记作A a ∈；点A 在平面α内，记作A α∈；直线a 在平面α内，记作a α⊂．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．例1空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点．证明：∵P ∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC ．同理P ∈面ADC ．∵P 在面ABC 与面ADC 的交线上，又∵面ABC ∩面ADC =AC ，∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点．例2求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内． 已知：直线AB ，BC ，CA 两两相交，交点分别为A ，B ，C ，求证：直线AB ，BC ，CA 共面． 证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α．因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α．所以AB ，BC ，CA 三直线共面． 例3在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1B C D ，，是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线．解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内．（2）∵点1B C D ，，不共线，由公理3可知，点1B C D ，，可确定平面1BC D ，∴ 点1BC D ，，在同一平面内．（3）∵AC BD O =，∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ，∴平面1AC 平面1BC D 1OC =．二、 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1．空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．已知两条异面直线a b ，，经过空间任一点O 作直线////a a b b ''，，把a b ''，所成的锐角（或直角）叫异面直线a b ，所成的角（或夹角）．a b ''，所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(090]︒，，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥．求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．例1已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案：B解析：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°．记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线．过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B ．例2如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点．（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线． 证明：（1）∵正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D ．又∵111B D C 中，E 、F 为中点，∴EF //1112B D ，∴ //EF BD ，即D 、B 、F 、E 四点共面．（2）∵1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面， ∴1AC BE PQ =平面平面．又1AC BE R =平面，∴1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴R PQ ∈．即P 、Q 、R 三点共线．例3已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面．证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂． 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂． 假设c α⊄，则c C α=，在平面α内过点C 作//c b '，因为b //c ，则//c c '，此与c c C '=矛盾．故直线c α⊂． 综上所述，a 、b 、c 、d 四线共面．例4如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点．（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小． 解：（1）如图，连结DC 1，∵DC 1∥AB 1，∴DC 1和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角． ∵∠CC 1D =45°，∴AB 1和CC 1所成的角是45°．（2）如图，连结DA 1、A 1C 1， ∵EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角．∵△A 1DC 1是等边三角形， ∴∠A 1DC 1=60º，即直线AB 1和EF 所成的角是60º．三、直线与平面、平面与平面位置关系 知识要点：1．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）； （2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线与平面平行（没有公共点）． 分别记作：l α⊂；l P α=；//l α． 2．两平面的位置关系：平行（没有公共点），相交（有一条公共直线）．分别记作//αβ；l αβ=．例1已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小．解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示），连结MN 、DN ，设AB =2，∴PM =PN =1，而AN =DN MN⊥AD ，AM=1，得MNE 1A 1C A A BCDE FG H∴MN 2=MP 2+NP 2，∴∠MPN =90°．∴异面直线AB 、CD 成90°角．例2已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==．求证：E 、F 、G 、H 四点共面． 证明：在△ABD 和△CBD 中，∵E 、H 分别是AB 和AD 的中点，∴EH 12BD ．又∵23CF CG CB CD ==，∴FG //23BD ．∴EH ∥FG ．所以，E 、F 、G 、H 四点共面．四、直线与平面平行的判定 知识要点：1．直线与平面平行的定义：直线与平面无任何公共点．2．判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；a a ab b αβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭④平行线的传递性：,a b c b a c ⇒⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭⑥垂直于同一平面的两直线平行 a a b b αα⊥⇒⊥⎫⎬⎭例1已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC ．证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ，∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF =12CD ．∵AB ∥CD ，AB =CD ，E 为AB 中点，∴AE ∥CD 且AE =12CD ．∴GF ∥AE ，GF =AE ，四边形AEGF 为平行四边形．ABC DE FGM O∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． 例2在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点， 求证：EF ∥平面BB 1D 1D ．证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ，OE =12DC ．∵DC ∥D 1C 1，DC =D 1C 1，F 为D 1C 1的中点，∴OE ∥D 1F ，OE =D 1F ，∴四边形D 1FEO 为平行四边形，∴EF ∥D 1O ． 又∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．例3如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG ． 证明：如右图，连结DM ，交GF 于O 点，连结OE ，在BCD ∆中，G 、F 分别是BD 、CD 中点，∴GF ∥BC ，∵G 为BD 中点，∴O 为MD 中点，在AM D ∆中，∵E 、O 为AD 、MD 中点，∴EO ∥AM ， 又∵AM ⊄平面EFG ，EO ⊂平面EFG ，∴AM ∥平面EFG ．点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了， 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．例4如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：MN //平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA =PA 与MN 所成的角的大小．解：（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点，∴NH //=12DC ．由M 是AB 的中点，∴ NH //=AM ，即AMNH 为平行四边形．∴//MN AH ． 由MN PAD AH PAD ⊄⊂平面，平面，∴//MN PAD 平面．（2）连接A C 并取其中点为O ，连接OM 、ON ，∴OM //=12BC ，ON //=12PA ，所以ONM ∠就是异面直线PA 与MN 所成的角．由4MN BC ==，PA =OM =2，ON =．∵222MN MO NO =+，∴MO ⊥NO ，o 30ONM ∠=，即异面直线PA 与MN 成30°的角．点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行， 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得．五、平面与平面平行的判定 知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：//////a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭，，，例1正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：（1）由B 1B //=DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE //=B 1G ． 从而得B 1E ∥AG ，同理GF //=AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． A1∴DF ∥平面EB 1D 1．又∵BD DF =D ，∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．例2已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上， 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD ． 求证：平面MNQ ∥平面PBC ． 证明：∵PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD ，∴MQ //AD ，NQ //BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，∴NQ //平面PBC ， 又∵ABCD 为平行四边形，BC //AD ，∴MQ //BC ，而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴ MQ //平面PBC ． 由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理， ∴平面MNQ ∥平面PBC ． 点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平行”问题最终转化为证线与线的平行．六、直线与平面平行的性质 知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭． 例1经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B ． 证明：∵11111111//AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄⊂，平面，平面， ∴111//AA BEE B 平面．又11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂=平面，平面平面，∴11//AA EE ． 则111111//////AA BB BB EE AA EE ⎫⇒⎬⎭．例2如图，//AB α，//AC BD ，C α∈，D α∈，求证：AC BD =． 证明：连结CD ， ∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为β， ∵C D α∈，，C D β∈，，∴CD αβ=，∵//AB α，AB β⊂，CD αβ=，∴//AB CD ， 又∵//AC BD ，∴四边形ACDB 为平行四边形，∴AC BD =．七、平面与平面平行的性质 知识要点： 1．面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．2．其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等．例1如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β．求证：MN ∥α．证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ，则ME ∥AC ，∴ME ∥α，又NE ∥BD ，∴NE ∥β，∵α∥β，∴NE ∥α， 又ME ∩NE =E ，∴平面MEN ∥α，∵MN ⊂平面MEN ，∴MN ∥α．八、直线与平面垂直的判定 知识要点：1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥， l 即平面α的垂线，α即直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直） 2．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直．符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α． 3．斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和斜线在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”．通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键． 4．证明两直线垂直和主要方法：①利用勾股定理证明两相交直线垂直；②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）； ④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）；⑤利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论． 例1四面体A B C D 中，A C B D E F =，，分别为A DB C ，的中点，且EF =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD ．证明：取CD 的中点G ，连结EG FG ，，∵E F ，分别为AD BC ，的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =． 又AC BD =，∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==，∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =，∴BD ⊥平面ACD ． 例2已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D于O ，连AO ．由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求，在Rt EOA △中，11122EO EF A D ===AE =，sin EO EAO AE ∠== 所以直线AE 与平面11ABC D ． 例3三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ， 求证：O 为底面△ABC 的垂心，,PO OA PA a PA a a OAααα⊥⇒⇒⊥⊂⊥⇒⎫⎬⎭如图：是在平面上的射影又直线且即：线影垂直线斜垂直，反之也成立证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴,PO BC PO AC ⊥⊥． 又∵PA BC PB AC ⊥⊥，， ∴BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，， ∴O 为底面△ABC 的垂心．点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ⊥⊥，，求证PC AB ⊥”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥后进行证明．三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出．九、平面与平面垂直的判定 知识要点：1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．记作二面角AB αβ－－（简记P AB Q －－）．2．二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角．范围：0180θ︒<<︒． 3．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作αβ⊥．4．判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．（线面垂直→面面垂直） 例1已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P ． （1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF ． 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ， ∴P A ⊥平面PEF ．∵EF ⊂平面PEF ，∴P A ⊥EF ． （2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF ． 又PE ⊂平面APE ，∴平面APE ⊥平面APF ．例2如图，在空间四边形ABCD 中，，，AB BC CD DA ==，，E F G 分别是CD DA AC ，，的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD ． 证明：，AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ⊥．同理可证AC DG ⊥，∴ AC ⊥面BGD ． 又易知EF //AC ，则EF ⊥面BGD ．又因为EF ⊂面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BGD ．十、线面、面面垂直的性质 知识要点：1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．（线面垂直→线线平行） 2．面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥．（面面垂直→线面垂直） 例1把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？解：注：若BC 与a 垂直，同理可得AB 与a 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直”． 例2如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；⇒⎭⎬⎫⊂⊥ααa AC ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥A AB AC AB a ACa BC a ABC BC ABC a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）平面P AC⊥平面ABCD；平面P AC⊥平面PBC；平面P AD⊥平面PBD；平面P AB⊥平面ABCD；平面P AD⊥平面ABCD．本章总结。
