北师大版高中数学必修5模块试题及答案

2016-2017学年高中数学模块综合测试（B）北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学模块综合测试（B）北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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模块综合测试（B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )A。

错误!＜错误!B。

错误!＜错误!C．a2＜b2D．|a｜＞|b｜解析：如果a＜0，b＞0，那么错误!＜0，错误!＞0,∴错误!＜错误!.答案：A2．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为( )A．2 B．4C．8 D．16解析：错误!≤错误!＝4,故选B。

答案:B3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，若c＝错误!,b＝错误!，B＝120°，则a ＝( ）A。

错误!B．2C. 3D.错误!解析：由正弦定理，得错误!＝错误!，∴sin C＝错误!.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°,△ABC为等腰三角形，a＝c＝错误!,故选D.答案:D4．在等差数列｛a n｝中,若a4＋a6＝12,S n是数列{a n}的前n项和,则S9的值为( ）A．48 B．54C．60 D．66解析: 因为a4＋a6＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝12，所以S9＝a1＋…＋a9＝54.答案：B5．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，则a＋b的值是( )A．10 B．－10C．－14 D．14解析：不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，即方程ax2＋bx＋2＝0的解为x＝－错误!或错误!，故错误!解得错误!∴a＋b＝－14.答案：C6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝错误!a，则错误!＝( )A．2错误!B．2错误!C.错误!D。

2016-2017学年高中数学模块综合测试（A）北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学模块综合测试（A）北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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模块综合测试（A）（本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订！）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{a n｝中,a2＝7,a4＝15，则前10项和S10＝( ）A．100 B．210C．380 D．400答案:B1．在等差数列｛a n｝中,若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( ）A．45 B．75C．180 D．300解析: ∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5,∴由已知得5a5＝450，∴a5＝90∴a2＋a8＝2a5＝180。

答案:C2．在△ABC中，若b＝2a sin B，则角A为( ）A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60° D．30°或150°解析：根据正弦定理sin B＝2sin A sin B,所以sin A＝错误!，所以A＝30°或150°。

答案：D3．a∈R,且a2＋a＜0，那么－a,－a3，a2的大小关系是( )A．a2＞－a3＞－a B．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a3解析：由a2＋a＜0得－1＜a＜0,∴－a＞a2＞－a3。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ∈R ,且a 2+a<0,则-a ,-a 3,a 2的大小关系是( ) A.a 2>-a 3>-a B.-a>a 2>-a 3 32>-a D.a 2>-a>-a 3a 2+a<0,∴-1<a<0,0<-a<1.-a>(-a )2>(-a )3,即-a>a 2>-a 3.2x 2-x-1>0的解集是( ) A.(-12,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-12)∪(1,+∞)2x 2-x-1=(x-1)(2x+1)>0,∴x>1或x<-12.故解集为(-∞,-12)∪(1,+∞).A n (n ,a n )(n ∈N +)在函数y=a x (a>0,a ≠1)的图像上,则a 3+a 7与2a 5的大小关系是( ) A.a 3+a 7>2a 5 B.a 3+a 7<2a 5 C.a 3+a 7=2a 57与2a 5的大小和a 有关,a 3=a 3>0,a 7=a 7>0,a 5=a 5>0,a 3+a 7≥2√a 3·a 7=2a 5. 又a>0,a ≠1,∴等号不成立. a 3+a 7>2a 5.中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形2·a 2+c 2-b22ac·a=c ,整理得a=b ,故△ABC 为等腰三角形.a =(3,-2),b =(x ,y-1),若a ∥b ,则4x +8y 的最小值为( ) √2 B.4√2 C.2√2 D.2 a ∥b ,∴3(y-1)-(-2)x=0,2x+3y=3.故4x +8y =22x +23y ≥2√22x+3y =2√23=4√2,当且仅当2x=3y ,即x=34,y=12时,等号成立.中,若a=80,b=100,A=45°,则此三角形的解的情况是( ) A.一解 B.两解 D.无解△ABC 中,a<b ,A=45°<90°.a>b sin 45°=50√2,知此三角形有两解.7.设x ∈R ,记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x-[x ],则{√5+12},[√5+12],√5+12( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列[√5+12]=1,{√5+12}=√5-12,则由等比数列性质易得三者构成等比数列. 8.在△ABC 中,AB=√3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( ) A.√32B.√34C.√32或√3D.√34或√32,得12=(√3)2+BC 2-2√3·BC ·cos 30°,解得BC=1或2.故S △ABC =12BA ·BC sin 30°=12×√3×1×12=√34或S △ABC =12×√3×2×12=√32.{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,则a 10等于( ) B.9 C.10 D.55S n +S m =S n+m ,得S 1+S 9=S 10,a 10=S 10-S 9=S 1=a 1=1.10.已知x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a 等于( )B.2C.-2D.-3,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y ,即y=-ax+z. 设直线l 0:ax+y=0.当-a ≥1,即a ≤-1时,l 0过O (0,0)时,z 取得最大值,z max =0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a ≤0时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =a+1=4,∴a=3(舍去); 当-1<-a<0时,即0<a<1时,l 0过B (1,1)时,z 取得最大值,z max =2a+1=4,∴a=32(舍去); 当-a ≤-1,即a ≥1时,l 0过A (2,0)时,z 取得最大值,z max =2a+0=4,∴a=2. ,a=2符合题意.{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n+1=3S n (n ≥1),则a 6等于( ) 4 B.3×44+1 C.45 D.45+1a n+1=3S n ,∴a n =3S n-1(n ≥2).,得a n+1-a n =3(S n -S n-1)=3a n , 即a n+1=4a n (n ≥2).故n ≥2时,{a n }是以a 2为首项,以4为公比的等比数列.∵a 2=3S 1=3a 1=3,∴a2a 1=3≠4.∴a 1不在上述等比数列里面.∴数列{a n }的通项公式为a n ={1(n =1),3·4n -2(n ≥2).故a 6=3×44.12.已知a ,b ,a+b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是( ) B.(1,+∞) C.(0,8) D.(8,+∞)a ,b ,a+b 成等差数列,∴2b=2a+b ,b=2a.a ,b ,ab 成等比数列, ∴a ≠0,b ≠0,b 2=a 2b ,∴b=a 2. ∴a 2=2a ,a=2,∴b=4,∴ab=8. 0<log m (ab )<1,∴m>8.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,a=3,b=√6,A=2π3,则B= .,得a sinA =b sinB ,即32=√6sinB ,所以sin B=√22.所以∠B=π4.n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1=q n-1.3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以2×(2S 2)=3S 1+S 3,即4S 2=3+S 3,即4(a 1+a 2)=3+(a 1+a 2+a 3),也就是4(1+q )=3+(1+q+q 2),整理得q 2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n }的首项为a 1=1,公比为q=3, a n =3n-1.n-115.若x ,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .(如图),点A 为(1,3),要使y x最大,则y -0x -0最大,即过点(x ,y ),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A 时,(yx )max=3-01-0=3.16.①数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n (n ∈N +),则1an+1+1an+2+…+1a2n≥15;②数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2a n -1(n ∈N +),则a 11=1 023;③数列{a n }满足a n+1=1-14a n,b n =22a n-1(n ∈N +),则数列{b n }是从第二项开始的等比数列; ④已知a 1+3a 2+5a 3+…+(2n-1)a n =2n+1(n ∈N +),则a n =2n-1. 以上命题正确的有 (只填序号).S n =n 2+2n ,∴a n =2n+1,1a n+1+1a n+2+…+1a 2n =12n+3+12n+5+…+14n+1≥n 4a +1=14+1n≥15,当且仅当n=1时等号成立,故①正确;∵a n+1=2a n -1,∴a n+1-1=2(a n -1),∴a n+1-1a n -1=2.∴{a n -1}是等比数列,a n -1=2n-1.∴a n =2n-1+1, a 11=210+1=1 025,故②错误;b n+1=22a n+1-1=22(1-14a n)-1=22a n -1+2=b n +2,∴{b n }是公差为2的等差数列,故③错误; ④中当n=1时,a 1=22=4,不满足a n =2n-1, 错误.(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)△ABC 中,BC=7,AB=3,且sinC sinB=35.(1)求AC 的长度; A 的大小.由正弦定理,得AC =AB,即AB AC=sinC sinB=35.故AC=5×33=5. (2)由余弦定理,得cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=9+25-492×3×5=-12.因为0°<A<180°,所以A=120°.18.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{1b n}的前n 项和.设数列{a n }的公比为q.由a 32=9a 2a 6,得a 32=9a 42,故q 2=19.由题意知q>0,故q=13.由2a 1+3a 2=1,得2a 1+3a 1q=1,即a 1=13. 故数列{a n }的通项公式为a n =13n .(2)因为b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-n (n+1)2, 所以1b n =-2n (n+1)=-2(1n -1n+1).所以1b 1+1b 2+…+1b n=-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)] =-2n n+1.故数列{1b n }的前n 项和为-2nn+1.19.(12分)如图所示,渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处,且与岛屿A 相距12 n mile,渔船乙以10 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h 追上,此时到达C 处. (1)求渔船甲的速度; sin α的值.依题意知,∠BAC=120°,AB=12 n mile,AC=10×2=20(n mile).在△ABC 中,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120°=784. 解得BC=28 n mile .故渔船甲的速度为BC2=14(n mile/h).(2)由(1)知BC=28 n mile, 在△ABC 中,∠BCA=α, 由正弦定理,得AB sinα=BCsin120°.即sin α=ABsin120°BC=12×√3228=3√314. 20.(12分)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1a n}的前n 项和为T n ,求T n .由S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n =2n .(2)由(1)得1a n =12n. 所以T n =12+122+…+12n=12[1-(12)n ]1-12=1-12n . 21.(12分)已知函数f (x )=x 2ax+b(a ,b 为常数),且方程f (x )-x+12=0有两个实根为x 1=3,x 2=4.(1)求函数f (x )的解析式;(2)设k>1,解关于x 的不等式f (x )<(k+1)x -k.将x 1=3,x 2=4分别代入方程x 2ax+b-x+12=0,得{93a+b =-9,164a+b=-8,解得{a =-1,b =2.故f (x )=x 22-x (x ≠2). (2)不等式即为x 22-x <(k+1)x -k2-x, 可化为x 2-(k+1)x+k2-x<0. 因为x ≠2,所以又可化为(x-2)(x-1)(x-k )>0. ①当1<k<2时,解得1<x<k 或x>2;②当k=2时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解得x>1,且x ≠2; ③当k>2时,解得1<x<2或x>k.综上所述,当1<k<2时,解集为(1,k )∪(2,+∞); 当k=2时,解集为(1,2)∪(2,+∞); 当k>2时,解集为(1,2)∪(k ,+∞).22.(12分)甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f (x ),g (x )及任意的x ≥0:当甲公司投入x 万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f (x )万元,则乙公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x 万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g (x )万元,则甲公司有倒闭的风险,否则无倒闭的风险. (1)请解释f (0),g (0)的实际意义;(2)设f (x )=x+5,g (x )=12x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?f (0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f (0)万元的资金,g (0),甲公司要避免倒闭,至少要投入g (0)万元的资金.(2)设甲公司投入的资金为x 万元,乙公司投入的资金为y 万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需{y ≥x +5,x ≥12y +10,x ≥0,y ≥0,改造设备资金为z=x+y ,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l 0:x+y=0,平移直线l 0,在可行域中的点P 处z=x+y 取得最小值. 由{y =x +5,y =2x -20,得P (25,30). 故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.。

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关 解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案 －2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析 如图，设AB ＝k ， 则AC ＝2k ，再设BD ＝x ， 则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0， 解得x ＝2＋5(负值舍去)． 答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 法一 作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二 设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12 B ．22 C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12．]2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1)D ．(－1,1]C [由题⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，⇒－1<x <1．]3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A ．32B ．54C ．94D ．4C [由题意知a 1＝S 1＝1，设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2，∴S 4＝16，S 6＝36，∴S 6S 4＝94．]4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]D [∵x >1，∴x －1>0． 又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， (当且仅当x ＝2时取“＝”)， 要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3．故选D ．] 5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝ (x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( ) A ．p ≥q B ．p >q C ．p <q D ．p ≤qA [p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立； 当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q ．]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A ．－14 B ．14 C ．－23D ．23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ (3k )2＋(2k )2－(4k )22·3k ·2k ＝－14．]7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5．故选A ．]8．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200A [由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2，∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．]9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7．]10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( )A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10B [设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20．] 11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直接行驶至海岛C ，则此船沿 方向行驶 海里至海岛C ( )A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°， AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝103．]12．若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( )A ．－8B ．2C ．4D ．8C [由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1,3)．不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3,4)．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1,2)，可得C (1,3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0，将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0,1)，将M (0,1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2．z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z 2．易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4．故选C ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将★答案★填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝ ．2 [由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.] 14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝ ．2n [因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n ．]15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为 海里．13 [如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD＝13．]16．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥02x ＋y －7≤0，若x －2y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．(－∞，4] [x ，y 满足的平面区域如图：设z ＝x －2y ，则y ＝12x －12z ， 当经过图中的A 时z 最小，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0得到A (2,3)， 所以z 的最小值为2－2×3＝－4，所以实数m 的取值范围是(－∞，－4]．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4． (1)求证{a n ＋4}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项的和S n ．[解] (1)证明：a n ＋1＝2a n ＋4，变形为a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)． 又∵a 1＝－2， ∴a 1＋4＝2，∴数列{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋4＝2n ，a n ＝2n －4． (2)由(1)可知，a n ＝2n －4，∴S n ＝2＋22＋ (2)－4n ＝2(1－2n )1－2－4n ＝2n ＋1－4n －2．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4．(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b ＝3a sin B ＋b cos A ，可得：2sin B ＝3sin A sin B ＋sin B cos A ，由sin B ≠0，可得2＝3sin A ＋cos A ， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， ∵A ∈(0，π)，可得：A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，解得：A ＝π3． (2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由于cos A ＝b 2＋16－(2x )28b ＝12，可得：4x 2＝b 2－4b ＋16，① ∵∠ADB ＝180°－∠ADC ， ∴cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，∵7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b 227x ＝0，可得：2x 2＝b 2＋2，②联立①②可得：b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×32＝23．19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？[解] 设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24． 所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800．即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元．20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0．[解] 当a ＝0时，－2x ＋4>0，解集为{x |x <2}．当a ≠0时，原不等式可化为(ax －2)·(x －2)>0，则(1)a <0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)<0，又2a <0<2，所以解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2；(2)a >0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)>0，令2a ＝2，则a ＝1，则 ①当a ＝1时，不等式解集为{x |x ≠2}； ②当a >1时，2a <2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2，或x <2a ； ③当0<a <1时，2a >2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a ，或x <2． 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ．(1)求a n ；(2)设c n ＝b n ·b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝4，S 5＝30， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝45a 1＋5×42d ＝30，解得a 1＝d ＝2．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)∵b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ， ∴当n ＝1时，b 1＝a 1＝2；当n ≥2时，b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝a n －1，∴nb n ＝a n －a n －1＝2， 解得b n ＝2n ．∴c n ＝b n ·b n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1．∴数列{c n }的前n 项和22．(本小题满分12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x ＝240．当且仅当2x ＝7 200x ，即x ＝60时等号成立． 从而S ≤－240＋916＝676．故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．。

模块综合测试（A）（本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订！）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{a n｝中,a2＝7,a4＝15，则前10项和S10＝( ）A．100 B．210C．380 D．400答案:B1．在等差数列｛a n｝中,若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于( ）A．45 B．75C．180 D．300解析: ∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5,∴由已知得5a5＝450，∴a5＝90∴a2＋a8＝2a5＝180。

答案:C2．在△ABC中，若b＝2a sin B，则角A为( ）A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60° D．30°或150°解析：根据正弦定理sin B＝2sin A sin B,所以sin A＝错误!，所以A＝30°或150°。

答案：D3．a∈R,且a2＋a＜0，那么－a,－a3，a2的大小关系是( )A．a2＞－a3＞－a B．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a3解析：由a2＋a＜0得－1＜a＜0,∴－a＞a2＞－a3。

答案：B4．设等差数列{a n｝的前n项和为S n。

若a1＝－11,a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时,n等于（)A．6 B．7C．8 D．9解析：a4＋a6＝2a5＝－6,∴a5＝－3，∴d＝错误!＝2，∴S n＝－11n＋错误!·2＝n2－12n.故n＝6时S n取最小值．答案：A5．△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,如果a,b，c成等差数列，B＝30°，△ABC 的面积为错误!，那么b＝( ）A.错误!B．1＋错误!C.错误!D．2＋错误!解析：2b＝a＋c,S＝错误!ac sin B＝错误!，∴ac＝6。

模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a 9＋a 10＋a 11的值为( C ) A ．39 B ．40 C ．57 D ．58解析：a 9＋a 10＋a 11＝S 411－S 8＝112＋1－82－1＝57. 2．已知a <b <c ，且a ＋b ＋c ＝0，则( A )A ．b 2－4ac >0 B ．b 2－4ac ＝0 C ．b 2－4ac <0 D ．b 2－4ac 的正负不确定 解析：∵a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a <0，c >0，∴ac <0，∴b 2－4ac >0.3．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则该三角形最大内角的度数是( C )A ．150°B ．135°C ．120°D ．90°解析：设最大内角为θ，由于m 2＋3m ＋3>m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3>2m ＋3.故由边角关系可知长为m 2＋3m ＋3的边所对的角最大．由余弦定理得cos θ＝(2m ＋3)2＋(m 2＋2m )2－(m 2＋3m ＋3)22(2m ＋3)(m 2＋2m )＝－12，故θ＝120°.4．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( C )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由a >0，b >0，1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0，得k ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )恒成立，而－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝－4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴k ≥－4. 5．在△ABC 中，三边长分别为m －2，m ，m ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( B )A.154B.1534C.2134D.3534解析：由最大角的正弦值为32，知这个角为60°或120°，由三角形不是等边三角形，得最大角为120°，根据余弦定理得(m －2)2＋m 2－2m (m －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(m ＋2)2，解得m ＝5，则△ABC 的三边长分别为3,5,7，故这个三角形的面积为12×3×5×32＝1534.6．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15解析：由a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，知a 7为一个定值，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7也为定值． 7．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数( B )A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在解析：A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数，但a ≠12能使上述不等式恒成立，从而选B.8．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( C )A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．S 4。

模块综合评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项公式a n 可能是( C ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n －1解析：取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( A ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)解析：由已知，可得A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，则A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A.3．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( A ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5 D ．3 5解析：依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得b sin B ＝asin A ，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin135°sin30°＝5 2. 4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2 D．1<m <3解析：因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2. 5．已知c <d ，a >b >0，则下列不等式中必成立的一个是( B ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ad >bc D.a c >bd解析：由不等式的性质可知c <d ，∴－c >－d .又a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d .6．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( D ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析：因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10a 1＋a 102＝±15.7．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( B )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( C )A ．(3,6) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫95，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 D ．(3，＋∞)解析：作出可行域，如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x ＝y －0x －0的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)间连线的斜率．由图可知k OC ≤z ≤k OB .易求得B (1,6)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，因为k OC ＝95，k OB ＝61＝6，所以95≤z ≤6.9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 10．已知x ，y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则a 1＋a 22b 1b 2的取值范围是( C )A ．RB ．(0,4]C ．[4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：原式＝x ＋y2xy＝x 2＋2xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2，又∵x ，y >0，∴x y ＋y x ＋2≥2x y ·yx＋2＝4，当且仅当x y ＝y x，即x ＝y 时等号成立．11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞解析：直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3,3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3,3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn取最大值时，n 的值为( C ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．17解析：因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5，所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根．又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0,1)，所以a 3＝4，a 5＝1.所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝9－n ·n 2，所以S n n ＝9－n2. T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋2894.所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c＝3，C ＝π3，则A＝π6. 解析：由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ⇒sin A ＝a sin C c ＝323＝12，所以A ＝π6.14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝(－2)n －1.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为13海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是①③④(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤a ＋b24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1. 18．(本小题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ， 所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3， 所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.20．(本小题12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝an n ＋12，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .解：(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n n ＋12＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋...＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋ (2)＝n24＋2n 2＝n n ＋22，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －1n ＋12－n (n ＋1)＝－n ＋122.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋122，n 为奇数，nn ＋22，n 为偶数.21．(本小题12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24.所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 22．(本小题12分)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图像上(n ∈N ＋)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知，b n ＝2a n >0. 当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d. 所以，数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d的等比数列．(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，a 2－1ln2＝2－1ln2.解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n. 于是，T n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n,4T n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n＋n ·4n ＋1.因此，T n －4T n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝1－3n 4n ＋1－43.所以，T n ＝3n －14n ＋1＋49.。

数学必修5第一部分（选择题 共50分）一、 选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（ ）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（ ） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（ ）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是 （ ）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（ ）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2 C.a n ＝n ＋1 D.a n ＝n8.设函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c <1 B.1<c <8 C.c >8 D.0<c<1或c >8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B = .14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为 . 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为 .16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝ .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船 发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝c b .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q >0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(qa q q a --＝q 3(1－q )()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n (n ∈N +).8.A 点拨：不等式f (a )<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a1＝b1，且ab 1=ab 时，取等号，故应选C.10.C11.D 点拨：由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，)()1(n f n f +＝f (1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab )＝log c 8>1＝log c c ，有1<c <8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝21，又0°<B <180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f (t )＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f (t 1)－f (t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f (t 1)－f (t 2)>0.即f (t 1)>f (t 2).∴f (t )＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f (t )＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ， 故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ， 又S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n +1=2a n +1(n ∈N *),∴a n +1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n . 即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n +1)－(n +1)］=(n +1)b n +1.②②－①，得2(b n +1－1)=(n +1)b n +1－nb n ,即(n －1)b n +1－nb n +2=0,③ ∴nb n +2－(n +1)b n +1+2=0.④ ④－③，得nb n +2－2nb n +1+nb n =0,即b n +2－2b n +1+b n =0,∴b n +2－b n +1=b n +1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时， 原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2， 又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21，所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f (n )=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f (n )＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立， 则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x (x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f (x )＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以f (x )＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)cos A ＝acos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x(x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n8.设函数f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f(a)<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1)9.已知a>0，b>0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z=2x+y 中变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意a ，b 满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab)>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c<1 B.1<c<8 C.c>8 D.0<c<1或c>8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B=.14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为.16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A)共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b Λ=n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).21.已知等差数列{a n}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；(2)将数列{a n}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前三项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有T n<S m＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元.(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝cb .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理得3sin Bcos A ＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒3sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫⎝⎛t ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5.5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q>0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ； 当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(q a q q a --＝q 3(1－q)()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n(n ∈N +).8.A 点拨：不等式f(a)<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a 1＝b1，且ab1=ab 时，取等号，故应选C. 10.C11.D 点拨：由f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，)()1(n f n f +＝f(1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b)，即b ＝2a.又因为a ，b ，ab成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab)＝log c 8>1＝log c c ，有1<c<8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得acos C ＋ccos A ＝2bcos B ，根据正弦定理得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝2sin Bcos B ，则sin(A ＋C)＝2sin Bcos B ，即sin B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝21，又0°<B<180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f(t)＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f(t 1)－f(t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0， 所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f(t 1)－f(t 2)>0.即f(t 1)>f(t 2).∴f(t)＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f(t)＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ， 三、17.解：(1)因为m ∥n ， 所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ， 故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n.即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214Λ=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)－(n+1)］=(n+1)b n+1.②②－①，得2(b n+1－1)=(n+1)b n+1－nb n ,即(n －1)b n+1－nb n +2=0,③ ∴nb n+2－(n+1)b n+1+2=0.④④－③，得nb n+2－2nb n+1+nb n =0,即b n+2－2b n+1+b n =0,∴b n+2－b n+1=b n+1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列. 19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.(2)当a ＞0时， 原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ， 从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21， 所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f(n)=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f(n)＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值， 即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立， 则8≤10＋λ，得λ≥－2， 所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f(x)＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10×(2a1＋9d)2＝10×(－8＋27)2＝5×19＝95.【答案】 C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A，要使三角形有两解，则应该满足的条件是()A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时，有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b 时有一解．【答案】 D3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是()A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4【解析】 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.【答案】 A4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C.【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【解析】 (ax ＋b )(x －3)>0等价于 ⎩⎨⎧ ax ＋b >0，x －3>0或⎩⎨⎧ax ＋b <0，x －3<0， ∴⎩⎨⎧x >－1，x >3或⎩⎨⎧x <－1，x <3. ∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 【答案】 A6．“神七”飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( )A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n 分钟内通过的路程为S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ＝n (n ＋1)．检验选项知，n ＝15时，S 15＝240 km.故选C.【答案】 C7．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154 B ．34 C.31510D ．1116【解析】 由6sin A ＝4sin B ＝3sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k ＞0)， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(22＋42－32)k 22×2k ×4k ＝1116.【答案】 D8．(2015·四川高考)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252 B ．492 C ．12D ．16【解析】⎩⎨⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6表示的可行域如图中阴影部分所示．令S ＝xy ，不妨设在点M (x 0，y 0)处S 取得最大值，且由图象知点M (x 0，y 0)只可能在线段AD ，AB ，BC 上．(1)当M (x 0，y 0)在线段AD 上时，x 0∈[－2,0]，此时S ＝xy ≤0；(2)当M (x 0，y 0)在线段AB 上时，x 0∈[0,2]，S ＝xy ＝x ·14－x 2＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－x 2＝－x 22＋7x ＝－12(x －7)2＋492，当x 0＝2时，S max ＝－12(2－7)2＋492＝－252＋492＝12；(3)当M (x 0，y 0)在线段BC 上时，x 0∈[2,4]，S ＝xy ＝x ·(10－2x )＝－2x 2＋10x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋252，当x 0＝52时，S max ＝252. 综上所述，xy 的最大值为252. 【答案】 A9．y ＝3＋x ＋x 21＋x (x ＞0)的最小值是( )A ．2 3B ．－1＋2 3C ．1＋2 3D ．－2＋2 3【解析】 y ＝3＋x ＋x 21＋x ＝31＋x ＋x ＝31＋x ＋x ＋1－1≥23－1，当且仅当31＋x ＝1＋x ，即x ＝3－1时取等号，故y 有最小值23－1.【答案】 B10．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|的值是( )A.2 0142 015 B ．2 0162 015 C.2 0152 014D ．2 0152 016【解析】 |A n B n |＝|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 015B 2 015|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝2 0152 016.【答案】 D11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15 B ．a ＜－1 C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15【解析】 由于f (x )＝3ax －2a ＋1，故f (x )一定是一条直线，又由题意，存在x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，故直线y ＝3ax －2a ＋1在x ＝－1和x ＝1时的函数值异号，即f (－1)f (1)＜0，得(1－5a )(a ＋1)＜0，解得a ＜－1或a ＞15.【答案】 C12．(2014·福建高考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】 作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域的交点为A (6,1)，B (－2,1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝________.【解析】 由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.【答案】 214．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 【解析】 设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得49＝a 2＋25－2×5a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5×sin120°＝1534. 【答案】153415．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】 画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0. 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32. 【答案】 3216．若a ＞0，b ＞0，且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．【解析】 a 1＋b 2＝12·2a 1＋b 2≤4a 2＋1＋b 24＝54，当且仅当⎩⎨⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立， 即a ＝104，b ＝62时成立． 【答案】 54三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求C 的度数． 【解】 (1)由题意△ABC 的周长为2＋1，∴AB ＋BC ＋AC ＝2＋1.由正弦定理，得 BC ＋AC ＝2AB ，∴AB ＝1.(2)由△ABC 的面积为12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由(1)知BC ＋AC ＝2，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128，若b n ＝log 2a n ，数列{b n }前n 项的和为S n .(1)若S n ＝35，求n 的值；(2)求不等式S n ＜2b n 的解集. 【导学号：67940089】 【解】 (1)由a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝128得q 3＝64， ∴q ＝4，a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12·4n －1＝22n －3， ∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －3＝2n －3. ∵b n ＋1－b n ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，∴{b 1}是以b 1＝－1为首项，2为公差的等差数列， ∴S n ＝(－1＋2n －3)n 2＝35，n 2－2n －35＝0，(n －7)(n ＋5)＝0，即n ＝7.(2)∵S n －2b n ＝n 2－2n －2(2n －3)＝n 2－6n ＋6＜0， ∴3－3＜n ＜3＋3， ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4，即所求不等式的解集为{2,3,4}．19．(本小题满分12分)如图1，矩形ABCD 是机器人踢球的场地，AB ＝170 cm ，AD ＝80 cm ，机器图1人先从AD 中点E 进入场地到点F 处，EF ＝40 cm ，EF ⊥AD .场地内有一小球从点B 向点A 运动，机器人从点F 出发去截小球．现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？【解】 设该机器人最快可在点G 处截住小球，点G 在线段AB 上．连接FG .设FG ＝x cm.根据题意，得BG ＝2x cm.则AG ＝AB －BG ＝(170－2x )cm.连接AF ，在△AEF 中，EF ＝AE ＝40 cm ，EF ⊥AD ， 所以∠EAF ＝45°，AF ＝402cm ， 于是∠F AG ＝45°.在△AFG 中，由余弦定理，得 FG 2＝AF 2＋AG 2－2AF ·AG cos ∠F AG ，所以x 2＝(402)2＋(170－2x )2－2×402×(170－2x )×cos 45°， 解得x 1＝50，x 2＝3703.所以AG ＝170－2x ＝70 cm 或AG ＝－2303cm(不合题意，舍去)． 即该机器人最快可在线段AB 上离A 点70 cm 处截住小球． 20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).【导学号：67940090】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.21．(本小题满分12分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车运营的总利润y (单位：十万元)与运营年数x 满足二次函数的关系：y ＝－a (x －6)2＋11，且该二次函数图像过点(4,7)．问每辆客车运营多少年，运营的年平均利润最大？最大值为多少？(年平均利润＝总利润年数) 【解】 设年平均利润为z 十万元，依题意， ∵二次函数y ＝－a (x －6)2＋11的图像过点(4,7)， ∴7＝－a (4－6)2＋11， ∴a ＝1，∴y ＝－(x －6)2＋11，z ＝y x ＝－(x －6)2＋11x＝－x 2＋12x －25x ＝－x －25x ＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12.∵x ＞0，∴x ＋25x ≥10， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤－10，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤2，∴z ≤2，当且仅当x ＝25x 即x ＝5时，z 有最大值为2十万元．即每辆客车运营5年，运营的年平均利润最大，最大值为2十万元．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N ＋)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{c n }的前n 项和S n ；(3)若c n ≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：67940091】【解】 (1)证明：由题意知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∵b n ＝3log 14a n －2，b 1＝3log 14a 1－2＝1，∴b n ＋1－b n ＝3log 14a n ＋1－3log 14a n ＝3log 14a n ＋1a n＝3log 14q ＝3， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列．(2)由(1)知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)， ∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N ＋)， ∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ； 于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. ∴S n ＝23－12n ＋83×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)． (3)∵c n ＋1－c n ＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝9(1－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，c 2＝c 1＝14，当n≥2时，c n＋1＜c n，即c1＝c2＞c3＞c4＞…＞c n，∴当n＝1或2时，c n取得最大值是1 4.又c n≤14m2＋m－1对一切正整数n恒成立，∴14m2＋m－1≥14，即m2＋4m－5≥0，解得m≥1或m≤－5.故实数m的取值范围为{m|m≥1或m≤－5}．。

高二数学必修5测试题一．选择题（每道4分，共计40分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．21B ．23 C.1 D.33.已知{}n a 等比数列，且0n a >,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=（ ）A. 5B. 10C. 15D. 204.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．65．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为 （ ）A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn nC ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ．5 B. 3 C. 7 D. -8 8.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ） 10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A 、63B 、108C 、75D 、83 二、填空题（每道4分，共计16分）11.在ABC ∆中，045,B c b ===，那么A ＝_____________;12.a 克糖水中含有b 克糖(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了。

必修５模块检测题（1）一、选择题1.点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ )．A ．[7,)-+∞B 。

(7,24)- C.(,7)(24,)-∞-+∞ Ｄ.(](0,1)2,41．B (3321)(3426)0a a ⨯-⨯+-⨯-⨯+<，即(7)(24)0a a +-<,得724a -<<．2。

若数列{}n a 中,*1111,()2n n a a a n N +==-∈,则n a =( ). A ．11()2n -- B ．11()2n -- C ．1()2n - D ．1()2n - 2．Ａ112n n a a +=-,即数列{}n a 是以1为首项，以12-为公比的等比数列，得11()2n n a -=-. ３.如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ )。

A 。

lg lg ,(0)a x b x x >> Ｂ．22ax bx > C.22a b > Ｄ.22x x a b >3。

Ｄ 当0x >时,lg x 可正可负，而当x R ∈时，20x >恒成立．4.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ )。

Ａ.海里/小时B. 海里/小时C。

海里/小时 Ｄ. 海里/小时4．Ｂ 设货轮按北偏西30的方向航行30分钟后N 处,20sin 30sin105MN =，得MN=，速度为 海里/小时.５．在数列{}n a 中,13a =且对于任意大于1的正整数n ，点1(,)n n a a -在直线60x y --=上，则357a a a -+的值为（ ）．A 。

27B ．6C ．81D ．95.A 160n n a a ---=,即16n n a a --=，得数列{}n a 是等差数列,且首项13a =，公差6d =，而3577512434627a a a a d a a d -+=-==+=+⨯=。

2．设 a，b，c，d∈R，且 a>b，c>d，则下列结论正确的是( A. a＋c>b＋d B. a－c>b－d C. ac>bd a b D. d>c
3．已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 A＝45°，B＝60°，a ＝6，则 b 等于( A. 3 B. 3 ) C. 3 D. 2 )
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a b c 18． 同学们对正弦定理的探索与研究中， 得到sinA＝sinB＝sinC＝2R(R 为△ABC 外接圆 的半径)．请利用该结论，解决下列问题：
(1)现有一个破损的圆块如图 1，只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计 一种方案，求出这个圆块的直径的长度． (2)如图 2，已知△ ABC 三个角满足(sin∠ CBA) ＋(sin∠ ACB) －(sin∠ CAB) ＝sin∠
8．已知 0＜x＜1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( 1 A.3 1 B.2 3 C.4 2 D.3
9．在△ABC 中，已知 a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则 C 等于( A．30° B．60° C．45°或 135° D．120°
)
10．设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z， 则下列等式中恒成立的是( )
2 2 2
CBA·sin∠ACB，AD 是△ABC 外接圆直径，CD＝2，BD＝3，求∠CAB 和直径的长．
参考答案
一、选择题 a5 1 1 3 3 1．D ∵a5＝a2q ，∴q ＝a2＝8，∴q＝2. 2．A 3．A
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4．B 画出可行域如图，分析图可知当直线 u＝x＋2y 经过点 A、C 时分别对应 u 的最大 值和最小值． 2 2 5．A 因数列{an}是等比数列，a2a4＝a3，a4a6＝a5，代入条件 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，得 2 2 a3＋2a3a5＋a5＝25，(a3＋a5)2＝25，又 an>0，所以 a3＋a5＝5. 6．C 设 a＋b＝t，则 a＝t－b；代入 a ＋2b ＝6 中得，(t－b) ＋2b ＝6，整理得 3b2－2tb＋t2－6＝0，∵b∈R，∴Δ＝4t2－12(t2－6)≥0， ∴－3≤t≤3.即(a＋b)min＝－3. 7．C ∵运算满足 xy＝x(1－y)，∴不等式(x－a) (x＋a)<1 化为(x－a)(1－x－

模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .14解析:由于S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C .答案:C2.已知c<d ,a>b>0,则下列不等式中必成立的一个是 ( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ad>bcD.a c>b d解析:由不等式的性质可知,c<d ,∴-c>-d.又a>b>0,∴a+(-c )>b+(-d ),即a-c>b-d.答案:B3.在△ABC 中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为( ) A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,依据正弦定理,得b sinB=a sinA ,所以b=asinB sinA =5sin135°sin30°=5√2.答案:A4.在△ABC 中,若AB=√5,AC=5,且cos C=910,则BC 为 ( )A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x ,由余弦定理得5=x 2+25-2·5·x ·910,即x 2-9x+20=0,解得x=4或x=5. 答案:C5.若△ABC 中,sin B ·sin C=cos 2A2,则△ABC 的外形为 ( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sin B ·sin C=cos 2A 2可得2sin B ·sin C=2cos 2A 2=1+cos A ,即2sin B ·sin C=1-cos(B+C )=1-cos B cos C+sin B sin C , 则sin B sin C+cos B cos C=1,即cos(B-C )=1, 又-π<B-C<π.所以B-C=0,即B=C.答案:C 6.假如不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( )A.(1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞) 解析:∵4x 2+6x+3=(2x +32)2+34>0,∴原不等式⇔2x 2+2mx+m<4x 2+6x+3⇔2x 2+(6-2m )x+(3-m )>0,x ∈R 恒成立⇔Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0,解得1<m<3. 答案:A7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d=2,S k+2-S k =24,则k=( ) A.8B.7C.6D.5解析:∵S k+2-S k =24,∴a k+1+a k+2=24,∴a 1+kd+a 1+(k+1)d=24, ∴2a 1+(2k+1)d=24.又∵a 1=1,d=2,∴k=5.答案:D8.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y=x 2-2x+3的顶点是(b ,c ),则ad 等于( ) A.3B.2C.1D.-2解析:∵y=x 2-2x+3的顶点为(1,2),∴b=1,c=2.又∵a ,b ,c ,d 成等比数列,∴a=12,d=4,∴ad=2. 答案:B9.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( )A.3B.4C.92D.112解析:本题主要考查不等式的解法及最值的求法等学问.∵x+2y+2xy=8,∴(x+2y )+(x+2y 2)2≥8,解得x+2y ≥4.∴x+2y 的最小值为4.答案:B10.已知a>0,x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.2解析:由题意作出{x ≥1,x +y ≤3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,由于直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a (x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为三个内角A ,B ,C 所对的边,设向量m =(b-c ,c-a ),n =(b ,c+a ),且m ⊥n ,b 和c 的等差中项为12,则△ABC 面积的最大值为 .解析:由m ⊥n 得(b-c )b+(c-a )(c+a )=0,整理得b 2+c 2-a 2=bc ,则cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,所以A=π3,sin A=√32.由于b 和c 的等差中项为12,所以b+c=1. 所以bc ≤(b+c 2)2=14,当且仅当b=c=12时取等号.从而S △ABC =12bc sin A ≤12×14×√32=√316. 答案:√31612.已知函数f (x )={x -1x ,x ≥2,x ,x <2,若使不等式f (x )<83成立,则x 的取值范围为 .解析:当x ≥2时,由x-1x <83化简得,3x 2-8x-3<0,解得-13<x<3,∴2≤x<3.当x<2时,x<83,∴x<2,∴x<3.答案:{x|x<3}13.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤x ,x +y ≤4,y ≥k ,且z=2x+y 的最小值为-6,则k= .解析:画出可行域如图:画直线l 0:y=-2x ,平移直线l 0,当过A (k ,k )时,使得z 最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2. 答案:-214.设x ,y ∈R ,a>1,b>1,若a x =b y =3,a+b=2√3,则1x+1y的最大值为 . 解析:由于a>1,b>1,a x =b y =3,a+b=2√3,所以x=log a 3,y=log b 3.1x +1y=1log a 3+1log b 3=log 3a+log 3b=log 3ab ≤log 3(a+b 2)2=log 3(2√32)2=1,当且仅当a=b 时,等号成立.即1x+1y的最大值为1. 答案:115.设{a n }为公比q>1的等比数列,若a 2 013和a 2 014是方程4x 2-8x+3=0的两根,则a 2 015+a 2 016= . 解析:∵a 2021和a 2022是方程4x 2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x=12,x=32,又{a n }的公比q>1,∴a 2021=12,a 2022=32,∴q=3.∴a 2021+a 2022=a 2021q 2+a 2022q 2=(a 2021+a 2022)q 2=(12+32)×32=18.答案:18三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C )]=sin(A+C ), ∴sin A+sin C=2sin(A+C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac. 由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a=c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.17.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式x+2m >1+x -5m 2. (1)当m>0时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为{x|x>5},试求实数m 的值. 解:(1)原不等式可化为m (x+2)>m 2+x-5,(m-1)x>m 2-2m-5,若0<m<1,不等式的解集为 {x |x <m 2-2m -5m -1}; 若m=1,则不等式的解集为R ; 若m>1,则不等式的解集为 {x |x >m 2-2m -5m -1}. (2)由题意和(1)知,m>1且满足 {x |x >m 2-2m -5m -1}={x|x>5}, 于是m 2-2m -5m -1=5,解得m=7.18.(本小题满分12分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.向量m =(1,cos B ),n =(sin B ,-√3),且m ⊥n .(1)求角B 的大小;(2)若△ABC 的面积为10√3,b=7,求此三角形周长. 解:(1)∵m ⊥n ,∴m ·n=0.∴m ·n=sin B-√3cos B=0. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴tan B=√3.∵0<B<π2,∴B=π3.(2)∵S △ABC =12ac sin B=√34ac , 由题设知√34ac=10√3,得ac=40.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即49=a 2+c 2-ac ,∴(a+c )2=(a 2+c 2-ac )+3ac=49+120=169. ∴a+c=13,∴三角形周长是20.19.(本小题满分13分)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求T n .解:(1)由题意知(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ),即(a 1+2)2=a 1(a 1+6), 解得a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n.(2)由题意知b n =a n (n+1)2=n (n+1),所以T n =-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n ·(n+1).由于b n+1-b n =2(n+1), 可得当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n-1+b n )=4+8+12+…+2n=n2(4+2n )2=n (n+2)2, 当n 为奇数时,T n =T n-1+(-b n )=(n -1)(n+1)2-n (n+1)=-(n+1)22.所以T n ={-(n+1)22,n 为奇数,n (n+2)2,n 为偶数.20.(本小题满分13分)如图,某学校拟建一块周长为400 m 的操场,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,同学做操一般支配在矩形区域.为了能让同学的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽? 解:设中间矩形区域的长、宽分别为x m,y m,中间的矩形区域面积为S m 2,则半圆的周长为πy2m .∵操场周长为400m, ∴2x+2×πy2=400,即2x+πy=400(0<x <200,0<y <400π). ∴S=xy=12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x+πy 2)2=20000π. 由{2x =πy ,2x +πy =400,解得{x =100,y =200π.∴当且仅当{x =100,y =200π时,等号成立.即当矩形的长和宽分别设计为100m 和200πm 时,矩形区域面积最大.21.(本小题满分13分)设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图像上(n ∈N +). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f (x )的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n b n 2}的前n 项和S n .(1)证明:由已知,b n =2a n >0.当n ≥1时,bn+1b n=2a n+1-a n=2d . 所以,数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d 的等比数列.(2)解:函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(2a 2ln 2)(x-a 2),它在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意,a 2-1ln2=2-1ln2. 解得a 2=2.所以,d=a 2-a 1=1,a n =n ,b n =2n ,a n b n 2=n ·4n .于是,T n =1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n ·4n , 4T n =1×42+2×43+…+(n-1)×4n +n ·4n+1. 因此,T n -4T n =4+42+…+4n -n ·4n+1=4n+1-43-n ·4n+1=(1-3n )4n+1-43. 所以,T n =(3n -1)4n+1+49.。