2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】

A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
8．已知数列 an 是等差数列，若 a9 + 3a11 0 ，a10 a11 0 ，且数列 an 的前 n 项和 Sn 有最大值，那么 Sn
取得最小正值时 n 等于（ ）
A．20
B．17
C．19
D．21
9．若 sin 2 =
5 ， sin ( − ) =
（2）若 c = 3 ，求 a2 + b2 的取值范围.
22．数列an 是公比为正数的等比数列，a1 = 2 ，a2 + a3 = 12 ；数列bn 的前 n 项和为 Sn ，满足 b2 = 3 ，
( ) Sn
=
n 2
(bn
+1)
nN+
.
（1）求 b1 ， b3 ；
（2）求数列an ，bn的通项公式；
5
10 10
，且
4
,
，
,
3 2
，则
+
的值是（
）
A． 7 4
B． 9 4
C． 5 或 7 44
D． 5 或 9 44
10．已知向量 a ⊥ b ， a − b = 2 ，定义： c = a + (1− )b ，其中 0 1.若 c c1 = 1 ，则 c 的值
22
不可能为（ ）
A． 5 5
（3）求 a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn .
）
D． 2 3
A． 3 2
B． 1 2
C． − 1 2
D． − 3 2
4．已知点 A(0,1) ， B (3, 2) ，向量 AC = (−4, −3) ，则向量 BC = （ ）

浙东北联盟（ZDB ）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷总分150分 考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）A B. C. D. 2. 设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面内，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一个正方体外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ）A 3 B. C. D. 84.，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E ，F ，G ，H 分别是棱，，，的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（ ）A. B.C. D. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与夹角为（ ）A. B. C. D. .的.的()5,12a = a 512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭αl m ⊥l n ⊥l α⊥92π2783a b ⋅=- b a a -r 13a b - 13b r 1111ABCD A B C D -11B C 1C C 1B B AB π6π4π3π2a b 2a b a b b +=-= a b + a b - π6π32π35π67. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是内的任意一点，则的最小值为（ ）A 5 B. C.D. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D. 10. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ）A. 0B.C.D. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）.1r 2r 213r r =13π920π926π926π323π23πABC V ADE V 4AB =2AE =ACE △PA PC PE ++{}12e e ，{}1212ee e e +-，{}1221e e e e -- ，{}21122364e e e e -- ，1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ ，ABC V π4A =b =ABC Vc a -4-321111ABCD A B C D -E 11B C F 1CC P 1A DA.B. 可能是直角C. 三棱锥的体积为定值D. 的周长的最小值为非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，.（1）求满足的实数x ，y 的值；（2）若，求实数x 的值.16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC 、的中点，.（1）证明：平面；1C P 1B PC ∠A PEF -PEF !ABC V A B C '''V 2A B B C ''''==60A B C '''∠=︒ABC V a b c 4a = 2b = ,3a b π= ()()20a c b c -⋅-= a c ⋅ (),1a x = ()2,3b =-r ()6,1c =- 2c a yb =+ ()4//a c b + 111ABC A B C -12AA AB AC ===M N 1CC 1AB MN ⊥MN ⊥1AB M（2）求点到平面的距离.17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.（1）求的值；（2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C 为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）18. 如图在直角梯形中，，，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量，求实数x ，y 的值；（3）若向量与的夹角为，求的最小值.19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E 为AD中点，1C 1AB M 100AB AD ==160BC =2120BAD BCD ∠∠==︒cos BDC ∠,E F ,BC CD 80CE =60CF =I CF FG BCD △CEIF ECI ∠θ=CEIF θABCD 2BC AD =2BC CD ==AF BE αBH xBD y AC =+ BP CP βcos βP ABCD -ABCD PA PD ⊥44AD AB ==2PA=PC =（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.PAD ⊥ABCD B PC E --FG PB ⊥浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2【17题答案】【答案】（1）（2），其中为锐角且，最大值为【18题答案】【答案】（1（2）， （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2） []420，2x =1y =-2x =-35()S θϕ=+ϕtan ϕ=23x =415y =58（3。

2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。

高一数学 第1页 共4页 镇海中学2023学年第二学期期中考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i z =+，2i z =，其中i 为虚数单位，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）A． CD．3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4.若a b c ，，为空间中的不同直线，αβγ，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ） ①a c b c ⊥⊥，，则a b ；②a b αα⊥⊥，，则a b ；③αγβγ⊥⊥，，则αβ ； ④a a αβ⊥⊥，，则αβ .A ．0B ．1C ．2D ． 3 5．一个射击运动员打靶6:9，5，7，6，8，7下列结论不正确．．．的是（ ▲ ） A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为76．如图，正三棱柱'''ABC A B C −的所有边长都相等，P 为线段'BB 的中点，Q 为侧面''BB C C 内的一点（包括边界，异于点P ），过点A 、P 、Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不．可能．．是（ ▲ ） A ．五边形 B ．四边形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 7．已知球O 为棱长为1的正四面体ABCD 的外接球，若点P 是正四面体ABCD 的表面上的一点，Q 为球O 表面上的一点，则PQ 的最大值为（ ▲ ）ABCD．2高一数学 第2页 共4页 8. 三棱锥P ABC −中，2 4 2 3PA PB CP BA BC ABC π====∠=，，，，则三棱锥P ABC−的体积的最大值为（ ▲ ） A.1 B.2 C.6 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分． 9.已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ▲ ）A. 事件A 与B 可能为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则()0.48P AB = C. 若A 与B 互斥，则()0.8P A B = D. 若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M N E ，，分别为线段111 A A D C B D ，，中点，P Q ，分别为线段BE ，线段1CD 上的动点，则三棱锥M PQN −的体积（ ▲ ）A.与P 点位置有关B.与P 点位置无关C.与Q 点位置有关D.与Q 点位置无关 11.如图，三棱锥P ABC −中，ABC △的正三角形，PA ⊥底面2ABC PA Q =，，是线段BC 上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.点B 到平面PAQ 的距离的最大值为32B.三棱锥P ABC −的内切球半径为38C.PB 与AQ 所成角可能为4πD.AQ 与平面PBC 所成角的正切值的最大值为43非选择题部分(共92分)三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a b ，，则事件||1a b −≤“”的概率为__▲__.13.正方体1111ABCD A B C D −棱长为2N ，为线段AC 上一动点，M 为线段1DD 上一动点，则1A M MN +的最小值为__▲__.14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C 车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C 三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.高一数学 第3页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数z 满足方程()1i i a z b +=，其中i 为虚数单位，a b ∈R 、. （1）当12a b ==，时，求||z ；（2）若1z z ⋅=，求2b a +的最小值.16.（15分）正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E ，F 分别为11A D 和11C D 的中点． (1)证明：直线CF 平面BDE ;(2)求直线1AA 与平面BDE 所成角的正切值．17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.A 1高一数学 第4页 共4页 18.（17分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC △是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===， （1）证明：BC ⊥平面11ABB A ； （2）求点B 到面11ACC A 的距离;（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C −−的大小为6π，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB AC ，，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC(A) 或，其值为二面角B AO C −−的大小,点A 称为球面角的顶点，大圆弧 AB AC ，称为球面角的边. 不在同一大圆上的三点A B C ，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC △.这三条劣弧称为球面ABC △的边，A B C ，，三点称为球面ABC △的顶点；三个球面角A,B,C 称为球面ABC △的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A B C ，，. （1）球面ABC △的三条边长相等（称为等边球面三角形），若A=2π，求球面ABC △的内角和；（2）类比二面角，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，PM PN PQ ，，称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角 O ABC −. (i) 求球面ABC △的三个内角的余弦值; (ii) 求球面ABC △的面积.A镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.12图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然3过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，4⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。