二次函数符号abc的判定练习

y
-1 o 1 x
（5）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0 ② △＝0
抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有唯一的公共点；
③ △＜0 抛物线与x轴无交点。
y ox
y ox
y ox
勇攀高峰
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；
o1 特殊值法
x
y aabb cc 0 0
y=ax2+bx+c 当x 1时 y=a-b+c
y aabbcc0 0 y
y aabbcc00
-1 o
x
y aabbcc00
x=-1
比拼速度
二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(< , >或 =)填空: a< 0，b < 0，c > 0，a+b+c< 0，a-b+c> 0， Nhomakorabeay
开口向下
a＜0
数形结合法
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
① 图象与y轴交点在y轴正半轴；
c＞0
② 图象过原点
c=0
③ 图象与y轴交点在y轴负半轴
c＜0
y
指出下列二次函数与y轴交点的坐标.
(1) y=x2-8x+7 (2) y=-2x2+9x-17
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
转化 + 特殊值
根据抛物线y=ax2+bx+c图象位置，你 会判断那些字母或代数式的符号？

（2013•遵义）10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b ﹣c ，N=4a ﹣2b+c ，P=2a ﹣b ．则M ，N ，P 中，值小于0的数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a ﹣2b+c 的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a 小于0，变形即可对于P 作出判断，根据a ，b ，c 的符号判断得出a+b ﹣c 的符号．解：∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴a ＜0，b ＜0，∵图象经过y 轴正半轴，∴c ＞0，∴﹣c ＜0∴M=a+b ﹣c=a+b+（﹣c ）＜0，当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c点（-2，4a ﹣2b+c ）在第二象限∴4a ﹣2b+c ＜0，∴N=4a ﹣2b+c ＜0， ∵﹣ab 2＞﹣1， ∴ab 2＜1， ∴b ＞2a ，∴2a ﹣b ＜0，∴P=2a ﹣b ＜0，则M ，N ，P 中，值小于0的数有M ，N ，P ．故选：A ．点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a ，b ，c 的符号是解题关键．（2016•遵义）12．如图为二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④△＞0；⑤4a ﹣2b+c ＜0，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b 与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a ＜0，故本选项错误；②由对称轴为x=231+-=1， ∴﹣a b 2231+-=1， ∴b=﹣2a ，则2a+b=0，故本选项正确；③由图象可知，当x=1时，y=a+b+c点（1，a+b+c ）在第一象限y ＞0，则a+b+c ＞0，故本选项正确；④从图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错正确；⑤由图象可知，当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c点（-2，4a ﹣2b+c ）在第二象限∴4a ﹣2b+c ＜0，∴4a ﹣2b+c ＜0，故本选项正确；故选D ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．（2017•遵义）11．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b+c=0；③2a+c ＜0；④a+b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④【考点】：二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据开口向下得出a ＜0，根据对称轴在y 轴右侧，得出b ＞0，根据图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，得出c ＞0，从而得出abc ＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c 经过点（﹣1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，把b=a+c 代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，把c=b ﹣a 代入即可判断④正确．解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣＞0，∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），∴a ﹣b+c=0，故②正确；③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确；④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0，∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠-1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，∴4ac-b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=-1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，∴把（-2，0）代入抛物线得：y=4a-2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，（第11题图）∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=-1，∴y=a-b+c的值最大，即把（m，0）（m≠-1）代入得：y=am2+bm+c＜a-b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．5、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0②当-1≤x≤3时，y＜0③若。

二次函数中a、b、c的作用练习题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示;它与x轴的两个交点分别为﹣1;0; 3;0．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2、已知二次函数的图象如图所示;有下列5个结论：①；②；③；④；⑤;的实数其中正确的结论有 BA. 2个B. 3个C. 4个D. 53、小明从如图所示的二次函数的图象中;观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤;你认为其中正确信息的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4、已知二次函数的图象如图所示;有下列结论：①；②；③；④．其中;正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45、已知抛物线y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x 1;0;且0＜x1＜1;下列结论：①9a-3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．36、如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象;A、B、C为抛物线与坐标轴的交点;且OA=OC=1;AB＞AO;下列几个结论：1abc＜0；2b＞2a；3a-b=-1；44a-2b+1＜0．其中正确的个数是A．4 B．3 C．2 D．1解：1∵该抛物线的开口向上;∴a＞0；又∵该抛物线的对称轴x=-＜0;∴b＞0；而该抛物线与y轴交于正半轴;故c＞0;∴abc＞0；故本选项错误；2由1知;a＞0;-＜0;∴b＞-2a；故本选项错误；3∵OA=OC=1;∴由图象知：C0;1;A-1;0;把C0;1代入y=ax2+bx+c得：c=1;把A-1;0代入y=ax2+bx+c得：a-b=-1;故本选项正确；4由3知;点A的坐标是-1;0．又∵AB＞AO;∴当x=-2时;y＜0;即4a-2b+1＜0；故本选项正确．综上所述;正确的个数是2个．故选C．7.如图所示;二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点-1;2;且与x轴交点的横坐标为x1、x2;其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0;②2a-b＜0;③a＜-1;④b2+8a＞4ac中;正确的结论是解：由图知：抛物线的开口向下;则a＜0；抛物线的对称轴x=- ＞-1;且c＞0；①由图可得：当x=-2时;y＜0;即4a-2b+c＜0;故①正确；②已知x=- ＞-1;且a＜0;所以2a-b＜0;故②正确；③已知抛物线经过-1;2;即a-b+c=21;由图知：当x=1时;y＜0;即a+b+c＜02;由①知：4a-2b+c＜03；联立12;得：a+c＜1；联立13得：2a-c＜-4；故3a＜-3;即a＜-1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于-1;所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2;即：＞2;由于a＜0;所以4ac-b2＜8a;即b2+8a＞4ac;故④正确；因此正确的结论是①②③④．8已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示;则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是A．①②B．②③C．③④D．②④解：①∵抛物线的开口向上;∴a＞0;∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上;∴c＜0;∵对称轴为x=＜0;∴a、b同号;即b＞0;∴abc＜0;故本选项错误；②当x=1时;函数值为2;∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞-1;解得：＜a;∵b＞1;∴a＞;故本选项错误；④当x=-1时;函数值＜0;即a-b+c＜0;1又a+b+c=2;将a+c=2-b代入1;2-2b＜0;∴b＞1故本选项正确；综上所述;其中正确的结论是②④；故选D．9、已知：抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;且满足4a+2b+c＞0;以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2;其中正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个解：1因为抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;所以原式可化为a-b+c=0----①;又因为4a+2b+c＞0----②;所以②-①得：3a+3b＞0;即a+b＞0；2②+①×2得;6a+3c＞0;即2a+c＞0;∴a+c＞-a;∵a＜0;∴-a＞0;故a+c＞0；3因为4a+2b+c＞0;可以看作y=ax2+bx+ca＜0当x=2时的值大于0;草图为：可见c＞0;∵a-b+c=0;∴-a+b-c=0;两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c;整理得-a+b+c=2c＞0;即-a+b+c＞0；4∵过-1;0;代入得a-b+c=0;∴c=b-a;再代入4a+2b+c=3b+3a＞0;即b＞-a∴b＞0;a＜0;c=b-a ＞0;又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2ab-a=b2-2ab+2a2;∵b2-2ab=bb-2a;b＞-a;b-2a＞-3a;并且b是正数;∴原式大于3a2．综上可知正确的个数有4个．故选D．10如图;是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分;图象过点A-3;0;对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．解：①∵图象与x轴有交点;对称轴为x==-1;与y轴的交点在y轴的正半轴上;又∵二次函数的图象是抛物线;∴与x轴有两个交点;∴b2-4ac＞0;即b2＞4ac;正确；②∵抛物线的开口向下;∴a＜0;∵与y轴的交点在y轴的正半轴上;∴c＞0;∵对称轴为x==-1;∴2a=b;∴2a+b=4a;a≠0;错误；③∵x=-1时y有最大值;由图象可知y≠0;错误；④把x=1;x=-3代入解析式得a+b+c=0;9a-3b+c=0;两边相加整理得5a-b=-c＜0;即5a＜b．故正确的为①④．1. B2. B3.C．提示：由二次函数的图象知;∴①；②；正确;由x=-1;③正确;由对称轴;得到∴④2a-3b=0是错误．的；x=2;把代入得⑤是正确的;故选C．4. C5.解：∵y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x1;0;且0＜x1＜1;∴x=-3时;y=9a-3b+c＞0；∵对称轴是x=-1;则=-1;∴b=2a．∵a＞0;∴b＞a；再取x=1时;y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＞0．∴①、③正确．故选C 6.。

1.如图所示,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A,D 两点，与y 轴交与点C ，抛物线的顶点B
在第一象限，若点A 的坐标为（1,0），试分析判断a,b,c, b 2﹣4ac,2a+b,2a-b,a+b+c,a-b+c
的符号,其中大于零的有( )个.
2.如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）
b 2﹣4a
c ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（ ）
3．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-
=x 。

下列结论中，正确的是（ ）A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a 十c<2b
4．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列五个结论：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④2c<3b ；⑤a+b>m(am+b)(m ≠1，为实数)。

其中正确的结论有
5.已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc>0③8a+c>0；④9a+3b+c<0. ⑤6a+3b+c>0.其中正确的有( )
6．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）。