微分方程的基本概念

第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。

微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。

它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。

本文将就微分方程的基本概念进行介绍。

一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。

一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。

二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。

三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。

四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。

微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。

二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。

(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。

(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。

2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。

(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。

3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。

(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。

三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

(3) 通解为齐次通解加上特解。

四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。

2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。

3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。

通过变量代换和积分可以求出其通解。

五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。

2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。

第九章 微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节 微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引 言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。

微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。

通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。

一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。

一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。

微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。

二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。

1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。

根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。

2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。

它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。

常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。

三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。

根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。

1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。

例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。

2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。

通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。

四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。

以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。

微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。

微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。

本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。

一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。

二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。

常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。

一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。

根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。

1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。

将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。

3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。

通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。

4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。